Theorem fsum2d 11427

Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsum2d.1	⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsum2d.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsum2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsum2d	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝐷,𝑗,𝑘   𝑧,𝐶   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsum2d

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3175	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
2		fsum2d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		sseq1 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4		sumeq1 11347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
5		iuneq1 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = ∅ → ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
6	5	sumeq1d 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = ∅ → Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
7	4, 6	eqeq12d 2192	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = ∅ → (Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
8	3, 7	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
9	8	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
10		sseq1 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴))
11		sumeq1 11347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
12		iuneq1 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵))
13	12	sumeq1d 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
14	11, 13	eqeq12d 2192	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
15	10, 14	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝑥 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝜑 → (𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
17		sseq1 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴))
18		sumeq1 11347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
19		iuneq1 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵))
20	19	sumeq1d 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
21	18, 20	eqeq12d 2192	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))
22	17, 21	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
23	22	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝜑 → (𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
24		sseq1 3178	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑤 ⊆ 𝐴 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐴))
25		sumeq1 11347	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶)
26		iuneq1 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
27	26	sumeq1d 11358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
28	25, 27	eqeq12d 2192	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
29	24, 28	imbi12d 234	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
30	29	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑤 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
31		sum0 11380	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷 = 0
32		0iun 3941	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
33	32	sumeq1i 11355	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷
34		sum0 11380	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = 0
35	31, 33, 34	3eqtr4ri 2209	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷
36	35	2a1i 27	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
37		ssun1 3298	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦})
38		sstr 3163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
39	37, 38	mpan 424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
40	39	imim1i 60	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
41		fsum2d.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
42	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
43		simpll 527	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝜑)
44		fsum2d.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
45	43, 44	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
46		fsum2d.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
47	43, 46	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑗 ∈ 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48		simplrr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
49		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴)
50		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
51		biid 171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
52	41, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51	fsum2dlemstep 11426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
53	52	exp31 364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
54	53	a2d 26	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
55	40, 54	syl5 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
56	55	expcom 116	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝜑 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
57	56	a2d 26	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝜑 → (𝑥 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝑥 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
58	9, 16, 23, 30, 36, 57	findcard2s 6884	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
59	2, 58	mpcom 36	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
60	1, 59	mpi 15	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ 𝐴 Σ𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ ∪ 𝑗 ∈ 𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ∪ cun 3127   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422  {csn 3591  ⟨cop 3594  ∪ ciun 3884   × cxp 4621  Fincfn 6734  ℂcc 7800  0cc0 7802  Σcsu 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346

This theorem is referenced by:  fsumxp  11428  fisumcom2  11430