ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsum2d GIF version

Theorem fsum2d 10825
Description: Write a double sum as a sum over a two-dimensional region. Note that 𝐵(𝑗) is a function of 𝑗. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsum2d.1 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
fsum2d.2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsum2d.3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsum2d.4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsum2d (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑧,𝐴   𝐵,𝑘,𝑧   𝐷,𝑗,𝑘   𝑧,𝐶   𝜑,𝑗,𝑘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem fsum2d
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3044 . 2 𝐴𝐴
2 fsum2d.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (𝑤𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 sumeq1 10740 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
5 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑤 = ∅ → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵))
65sumeq1d 10751 . . . . . . 7 (𝑤 = ∅ → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
74, 6eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑤 = ∅ → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
83, 7imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = ∅ → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
98imbi2d 228 . . . 4 (𝑤 = ∅ → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
10 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝐴𝑥𝐴))
11 sumeq1 10740 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶)
12 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵))
1312sumeq1d 10751 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
1411, 13eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
1510, 14imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
1615imbi2d 228 . . . 4 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
17 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (𝑤𝐴 ↔ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴))
18 sumeq1 10740 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶)
19 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵))
2019sumeq1d 10751 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2118, 20eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2217, 21imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
2322imbi2d 228 . . . 4 (𝑤 = (𝑥 ∪ {𝑦}) → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
24 sseq1 3047 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (𝑤𝐴𝐴𝐴))
25 sumeq1 10740 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
26 iuneq1 3743 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝐴 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵) = 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵))
2726sumeq1d 10751 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝐴 → Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
2825, 27eqeq12d 2102 . . . . . 6 (𝑤 = 𝐴 → (Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
2924, 28imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = 𝐴 → ((𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
3029imbi2d 228 . . . 4 (𝑤 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑤𝐴 → Σ𝑗𝑤 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑤 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
31 sum0 10776 . . . . . 6 Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷 = 0
32 0iun 3787 . . . . . . 7 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵) = ∅
3332sumeq1i 10748 . . . . . 6 Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷 = Σ𝑧 ∈ ∅ 𝐷
34 sum0 10776 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3531, 33, 343eqtr4ri 2119 . . . . 5 Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷
36352a1i 27 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ ∅ ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
37 ssun1 3163 . . . . . . . . 9 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦})
38 sstr 3033 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑦}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥𝐴)
3937, 38mpan 415 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴𝑥𝐴)
4039imim1i 59 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
41 fsum2d.1 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = ⟨𝑗, 𝑘⟩ → 𝐷 = 𝐶)
422ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
43 simpll 496 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝜑)
44 fsum2d.3 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
4543, 44sylan 277 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑗𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
46 fsum2d.4 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4743, 46sylan 277 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑗𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 simplrr 503 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑦𝑥)
49 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴)
50 simplrl 502 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
51 biid 169 . . . . . . . . . 10 𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 ↔ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5241, 42, 45, 47, 48, 49, 50, 51fsum2dlemstep 10824 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) ∧ (𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴) ∧ Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)
5352exp31 356 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5453a2d 26 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) → (((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5540, 54syl5 32 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥)) → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
5655expcom 114 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥) → (𝜑 → ((𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷) → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
5756a2d 26 . . . 4 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑦𝑥) → ((𝜑 → (𝑥𝐴 → Σ𝑗𝑥 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝑥 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)) → (𝜑 → ((𝑥 ∪ {𝑦}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗 ∈ (𝑥 ∪ {𝑦})({𝑗} × 𝐵)𝐷))))
589, 16, 23, 30, 36, 57findcard2s 6604 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)))
592, 58mpcom 36 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷))
601, 59mpi 15 1 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 𝑗𝐴 ({𝑗} × 𝐵)𝐷)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  cun 2997  wss 2999  c0 3286  {csn 3446  cop 3449   ciun 3730   × cxp 4436  Fincfn 6455  cc 7346  0cc0 7348  Σcsu 10738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461  ax-arch 7462  ax-caucvg 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-if 3394  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-disj 3823  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-frec 6156  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-er 6290  df-en 6456  df-dom 6457  df-fin 6458  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138  df-inn 8421  df-2 8479  df-3 8480  df-4 8481  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-q 9103  df-rp 9133  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850  df-exp 9951  df-ihash 10180  df-cj 10272  df-re 10273  df-im 10274  df-rsqrt 10427  df-abs 10428  df-clim 10663  df-isum 10739
This theorem is referenced by:  fsumxp  10826  fisumcom2  10828
  Copyright terms: Public domain W3C validator