Theorem pmss12g 6523

Description: Subset relation for the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
pmss12g	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Proof of Theorem pmss12g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpss12 4606	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
2	1	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
3		sstr 3071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶)) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))
4	3	expcom 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
6	5	anim2d 333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
7	6	adantr 272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
8		ssexg 4027	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
9		ssexg 4027	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10		elpmg 6512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
11	8, 9, 10	syl2an 285	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
12	11	an4s 560	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
13		elpmg 6512	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
14	13	adantl 273	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
15	7, 12, 14	3imtr4d 202	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷)))
16	15	ssrdv 3069	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 1463  Vcvv 2657   ⊆ wss 3037   × cxp 4497  Fun wfun 5075  (class class class)co 5728   ↑_pm cpm 6497

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pm 6499

This theorem is referenced by:  lmres  12259