Theorem pmss12g 6844

Description: Subset relation for the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
pmss12g	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Proof of Theorem pmss12g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpss12 4833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
2	1	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
3		sstr 3235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶)) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))
4	3	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
6	5	anim2d 337	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
7	6	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
8		ssexg 4228	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
9		ssexg 4228	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10		elpmg 6833	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
11	8, 9, 10	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
12	11	an4s 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
13		elpmg 6833	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
14	13	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
15	7, 12, 14	3imtr4d 203	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷)))
16	15	ssrdv 3233	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200   × cxp 4723  Fun wfun 5320  (class class class)co 6018   ↑_pm cpm 6818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pm 6820

This theorem is referenced by:  lmres  14978  dvidsslem  15423