Theorem pmss12g 6412

Description: Subset relation for the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
pmss12g	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Proof of Theorem pmss12g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpss12 4533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
2	1	ancoms 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
3		sstr 3031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶)) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))
4	3	expcom 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
6	5	anim2d 330	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
7	6	adantr 270	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
8		ssexg 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
9		ssexg 3970	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10		elpmg 6401	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
11	8, 9, 10	syl2an 283	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
12	11	an4s 555	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
13		elpmg 6401	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
14	13	adantl 271	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
15	7, 12, 14	3imtr4d 201	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷)))
16	15	ssrdv 3029	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∈ wcel 1438  Vcvv 2619   ⊆ wss 2997   × cxp 4426  Fun wfun 4996  (class class class)co 5634   ↑_pm cpm 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pm 6388

This theorem is referenced by: (None)