ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pmss12g GIF version

Theorem pmss12g 6523
Description: Subset relation for the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
pmss12g (((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑊)) → (𝐴pm 𝐵) ⊆ (𝐶pm 𝐷))

Proof of Theorem pmss12g
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpss12 4606 . . . . . . 7 ((𝐵𝐷𝐴𝐶) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
21ancoms 266 . . . . . 6 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
3 sstr 3071 . . . . . . 7 ((𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶)) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))
43expcom 115 . . . . . 6 ((𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
52, 4syl 14 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
65anim2d 333 . . . 4 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
76adantr 272 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑊)) → ((Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
8 ssexg 4027 . . . . 5 ((𝐴𝐶𝐶𝑉) → 𝐴 ∈ V)
9 ssexg 4027 . . . . 5 ((𝐵𝐷𝐷𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10 elpmg 6512 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
118, 9, 10syl2an 285 . . . 4 (((𝐴𝐶𝐶𝑉) ∧ (𝐵𝐷𝐷𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
1211an4s 560 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
13 elpmg 6512 . . . 4 ((𝐶𝑉𝐷𝑊) → (𝑓 ∈ (𝐶pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
1413adantl 273 . . 3 (((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐶pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
157, 12, 143imtr4d 202 . 2 (((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴pm 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐶pm 𝐷)))
1615ssrdv 3069 1 (((𝐴𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐶𝑉𝐷𝑊)) → (𝐴pm 𝐵) ⊆ (𝐶pm 𝐷))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wcel 1463  Vcvv 2657  wss 3037   × cxp 4497  Fun wfun 5075  (class class class)co 5728  pm cpm 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pm 6499
This theorem is referenced by:  lmres  12259
  Copyright terms: Public domain W3C validator