Theorem pmss12g 6653

Description: Subset relation for the set of partial functions. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
pmss12g	⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Proof of Theorem pmss12g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpss12 4718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐶) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
2	1	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶))
3		sstr 3155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) ∧ (𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶)) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))
4	3	expcom 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 × 𝐴) ⊆ (𝐷 × 𝐶) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
5	2, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → (𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴) → 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶)))
6	5	anim2d 335	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
7	6	adantr 274	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → ((Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴)) → (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
8		ssexg 4128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
9		ssexg 4128	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ V)
10		elpmg 6642	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
11	8, 9, 10	syl2an 287	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐷 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
12	11	an4s 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐵 × 𝐴))))
13		elpmg 6642	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
14	13	adantl 275	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷) ↔ (Fun 𝑓 ∧ 𝑓 ⊆ (𝐷 × 𝐶))))
15	7, 12, 14	3imtr4d 202	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝑓 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐶 ↑pm 𝐷)))
16	15	ssrdv 3153	1 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐷) ∧ (𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ 𝑊)) → (𝐴 ↑pm 𝐵) ⊆ (𝐶 ↑pm 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121   × cxp 4609  Fun wfun 5192  (class class class)co 5853   ↑_pm cpm 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pm 6629

This theorem is referenced by:  lmres  13042