Theorem cncfmptid 14776

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptid	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptid

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3188	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
3		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3181	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑇)
6	5	fmpttd 5714	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥):𝑆⟶𝑇)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
9		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
10		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11		simprll 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	9, 10, 11, 11	fvmptd3 5652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑧)
14		simprlr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
15	9, 13, 14, 14	fvmptd3 5652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
16	12, 15	oveq12d 5937	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
17	16	fveq2d 5559	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
18	17	breq1d 4040	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
19	18	exbiri 382	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) < 𝑤)))
20	6, 8, 19	elcncf1di 14758	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
21	1, 2, 20	mp2and 433	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   < clt 8056   − cmin 8192  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144  –cn→ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  idcncf  14780  expcncf  14788  hovercncf  14825  dvcnp2cntop  14878