Theorem cncfmptid 15292

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptid	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptid

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3232	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
3		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3225	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑇)
6	5	fmpttd 5795	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥):𝑆⟶𝑇)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
9		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
10		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11		simprll 537	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	9, 10, 11, 11	fvmptd3 5733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑧)
14		simprlr 538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
15	9, 13, 14, 14	fvmptd3 5733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
16	12, 15	oveq12d 6028	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
17	16	fveq2d 5636	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
18	17	breq1d 4093	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
19	18	exbiri 382	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) < 𝑤)))
20	6, 8, 19	elcncf1di 15274	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
21	1, 2, 20	mp2and 433	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013   < clt 8197   − cmin 8333  ℝ⁺crp 9866  abscabs 11529  –cn→ccncf 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-map 6810  df-cncf 15266

This theorem is referenced by:  idcncf  15296  expcncf  15304  hovercncf  15341  dvcnp2cntop  15394