Theorem cncfmptid 15454

Description: The identity function is a continuous function on ℂ. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cncfmptid	⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑆   𝑥,𝑇

Proof of Theorem cncfmptid

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr 3245	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → 𝑇 ⊆ ℂ)
3		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑇)
4		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sseldd 3238	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑇)
6	5	fmpttd 5831	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥):𝑆⟶𝑇)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+))
9		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)
10		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑦)
11		simprll 539	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
12	9, 10, 11, 11	fvmptd3 5770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝑥 = 𝑧)
14		simprlr 540	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → 𝑧 ∈ 𝑆)
15	9, 13, 14, 14	fvmptd3 5770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
16	12, 15	oveq12d 6067	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧)) = (𝑦 − 𝑧))
17	16	fveq2d 5673	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) = (abs‘(𝑦 − 𝑧)))
18	17	breq1d 4118	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) ∧ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) < 𝑤 ↔ (abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤))
19	18	exbiri 382	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑧)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥)‘𝑧))) < 𝑤)))
20	6, 8, 19	elcncf1di 15436	. 2 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇)))
21	1, 2, 20	mp2and 433	1 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝑥) ∈ (𝑆–cn→𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124   < clt 8307   − cmin 8443  ℝ⁺crp 9985  abscabs 11678  –cn→ccncf 15427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-map 6883  df-cncf 15428

This theorem is referenced by:  idcncf  15458  expcncf  15466  hovercncf  15503  dvcnp2cntop  15556