Theorem sstrd 3152

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		sstr 3150	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3122  df-ss 3129

This theorem is referenced by:  sstrid  3153  sstrdi  3154  ssdif2d  3261  tfisi  4564  funss  5207  fssxp  5355  fvmptssdm  5570  suppssfv  6046  suppssov1  6047  tposss  6214  tfrlem1  6276  tfrlemibfn  6296  tfr1onlembfn  6312  tfr1onlemubacc  6314  tfr1onlemres  6317  tfrcllembfn  6325  tfrcllemubacc  6327  tfrcllemres  6330  ecinxp  6576  undifdc  6889  sbthlem1  6922  iseqf1olemnab  10423  fiubm  10741  isumss  11332  prodssdc  11530  ennnfoneleminc  12344  strsetsid  12427  strleund  12483  ntrss  12759  neiint  12785  neiss  12790  restopnb  12821  iscnp4  12858  blssps  13067  blss  13068  xmettx  13150  tgqioo  13187  rescncf  13208  suplociccreex  13242  suplociccex  13243  dvbss  13294  dvbsssg  13295  dvfgg  13297  dvcnp2cntop  13303  dvcn  13304  dvaddxxbr  13305  dvmulxxbr  13306  dvcoapbr  13311