Theorem sstrd 3252

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		sstr 3250	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sstrid  3253  sstrdi  3254  rabssrabd  3329  ssdif2d  3362  tfisi  4714  funss  5376  fssxp  5535  fvmptssdm  5767  suppssov1  6272  suppssfvg  6476  tposss  6490  tfrlem1  6552  tfrlemibfn  6572  tfr1onlembfn  6588  tfr1onlemubacc  6590  tfr1onlemres  6593  tfrcllembfn  6601  tfrcllemubacc  6603  tfrcllemres  6606  ecinxp  6857  undifdc  7197  sbthlem1  7240  seqsplitg  10878  iseqf1olemnab  10890  seqf1oglem2a  10907  fiubm  11223  swrdval2  11371  isumss  12106  prodssdc  12304  ennnfoneleminc  13250  strsetsid  13333  strleund  13404  strext  13406  imasaddvallemg  13583  subsubm  13742  subsubg  13954  subgintm  13955  subsubrng  14464  subsubrg  14495  lssintclm  14662  lspss  14677  lspun  14680  lsslsp  14707  ntrss  15114  neiint  15140  neiss  15145  restopnb  15176  iscnp4  15213  blssps  15422  blss  15423  xmettx  15505  tgqioo  15550  rescncf  15576  suplociccreex  15619  suplociccex  15620  dvbss  15680  dvbsssg  15681  dvfgg  15683  dvidsslem  15688  dvconstss  15693  dvcnp2cntop  15694  dvcn  15695  dvaddxxbr  15696  dvmulxxbr  15697  dvcoapbr  15702