Theorem sstrd 3252

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		sstr 3250	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sstrid  3253  sstrdi  3254  rabssrabd  3329  ssdif2d  3362  tfisi  4714  funss  5376  fssxp  5535  fvmptssdm  5767  suppssov1  6272  suppssfvg  6476  tposss  6490  tfrlem1  6552  tfrlemibfn  6572  tfr1onlembfn  6588  tfr1onlemubacc  6590  tfr1onlemres  6593  tfrcllembfn  6601  tfrcllemubacc  6603  tfrcllemres  6606  ecinxp  6857  undifdc  7197  sbthlem1  7240  seqsplitg  10875  iseqf1olemnab  10887  seqf1oglem2a  10904  fiubm  11220  swrdval2  11368  isumss  12102  prodssdc  12300  ennnfoneleminc  13246  strsetsid  13329  strleund  13400  strext  13402  imasaddvallemg  13612  subsubm  13780  subsubg  13998  subgintm  13999  subsubrng  14445  subsubrg  14476  lssintclm  14644  lspss  14659  lspun  14662  lsslsp  14689  ntrss  15096  neiint  15122  neiss  15127  restopnb  15158  iscnp4  15195  blssps  15404  blss  15405  xmettx  15487  tgqioo  15532  rescncf  15558  suplociccreex  15601  suplociccex  15602  dvbss  15662  dvbsssg  15663  dvfgg  15665  dvidsslem  15670  dvconstss  15675  dvcnp2cntop  15676  dvcn  15677  dvaddxxbr  15678  dvmulxxbr  15679  dvcoapbr  15684