Theorem sstrd 3247

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		sstr 3245	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3216  df-ss 3223

This theorem is referenced by:  sstrid  3248  sstrdi  3249  rabssrabd  3324  ssdif2d  3357  tfisi  4708  funss  5370  fssxp  5529  fvmptssdm  5761  suppssov1  6262  suppssfvg  6462  tposss  6476  tfrlem1  6538  tfrlemibfn  6558  tfr1onlembfn  6574  tfr1onlemubacc  6576  tfr1onlemres  6579  tfrcllembfn  6587  tfrcllemubacc  6589  tfrcllemres  6592  ecinxp  6843  undifdc  7183  sbthlem1  7226  seqsplitg  10850  iseqf1olemnab  10862  seqf1oglem2a  10879  fiubm  11191  swrdval2  11339  isumss  12073  prodssdc  12271  ennnfoneleminc  13154  strsetsid  13237  strleund  13308  strext  13310  imasaddvallemg  13520  subsubm  13688  subsubg  13906  subgintm  13907  subsubrng  14351  subsubrg  14382  lssintclm  14524  lspss  14539  lspun  14542  lsslsp  14569  ntrss  14976  neiint  15002  neiss  15007  restopnb  15038  iscnp4  15075  blssps  15284  blss  15285  xmettx  15367  tgqioo  15412  rescncf  15438  suplociccreex  15481  suplociccex  15482  dvbss  15542  dvbsssg  15543  dvfgg  15545  dvidsslem  15550  dvconstss  15555  dvcnp2cntop  15556  dvcn  15557  dvaddxxbr  15558  dvmulxxbr  15559  dvcoapbr  15564