Theorem sstrd 3194

Description: Subclass transitivity deduction. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3		sstr 3192	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐶)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sstrid  3195  sstrdi  3196  ssdif2d  3303  tfisi  4624  funss  5278  fssxp  5428  fvmptssdm  5649  suppssfv  6135  suppssov1  6136  tposss  6313  tfrlem1  6375  tfrlemibfn  6395  tfr1onlembfn  6411  tfr1onlemubacc  6413  tfr1onlemres  6416  tfrcllembfn  6424  tfrcllemubacc  6426  tfrcllemres  6429  ecinxp  6678  undifdc  6994  sbthlem1  7032  seqsplitg  10598  iseqf1olemnab  10610  seqf1oglem2a  10627  fiubm  10937  isumss  11573  prodssdc  11771  ennnfoneleminc  12653  strsetsid  12736  strleund  12806  strext  12808  imasaddvallemg  13017  subsubm  13185  subsubg  13403  subgintm  13404  subsubrng  13846  subsubrg  13877  lssintclm  14016  lspss  14031  lspun  14034  lsslsp  14061  ntrss  14439  neiint  14465  neiss  14470  restopnb  14501  iscnp4  14538  blssps  14747  blss  14748  xmettx  14830  tgqioo  14875  rescncf  14901  suplociccreex  14944  suplociccex  14945  dvbss  15005  dvbsssg  15006  dvfgg  15008  dvidsslem  15013  dvconstss  15018  dvcnp2cntop  15019  dvcn  15020  dvaddxxbr  15021  dvmulxxbr  15022  dvcoapbr  15027