Theorem fimaxq 11286

Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxq	⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qssre 10040	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
2		sstr 3256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		ltso 8404	. . . . . . 7 ⊢ < Or ℝ
4		sopo 4458	. . . . . . 7 ⊢ ( < Or ℝ → < Po ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ < Po ℝ
6		poss 4443	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po 𝐴))
7	2, 5, 6	mpisyl 1496	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → < Po 𝐴)
8	1, 7	mpan2 429	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℚ → < Po 𝐴)
9	8	3ad2ant1 1049	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Po 𝐴)
10		simpl1 1031	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℚ)
11		simprl 535	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑥 ∈ ℚ)
13		simprr 537	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
14	10, 13	sseldd 3249	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ∈ ℚ)
15		qtri3or 10686	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
16	12, 14, 15	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)) → (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
17	16	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥))
18		simp2 1029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
19		simp3 1030	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
20	9, 17, 18, 19	fimax2gtri 7206	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
21		simpll1 1067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℚ)
22		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
23	21, 22	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℚ)
24		qre 10035	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
27	21, 26	sseldd 3249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℚ)
28		qre 10035	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
29	27, 28	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	25, 29	lenltd 8446	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
31	30	ralbidva 2546	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
32	31	rexbidva 2547	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
33	20, 32	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1008   ∧ w3a 1009   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4130   Po wpo 4439   Or wor 4440  Fincfn 7022  ℝcr 8179   < clt 8361   ≤ cle 8362  ℚcq 10029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-q 10030  df-rp 10066

This theorem is used by:  fiubm  11287  zfz1iso  11309  ballotfilemfc0  13284  ballotfilemfcc  13285