ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq GIF version

Theorem fimaxq 10566
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9415 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
2 sstr 3100 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ltso 7835 . . . . . . 7 < Or ℝ
4 sopo 4230 . . . . . . 7 ( < Or ℝ → < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 < Po ℝ
6 poss 4215 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po 𝐴))
72, 5, 6mpisyl 1422 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → < Po 𝐴)
81, 7mpan2 421 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℚ → < Po 𝐴)
983ad2ant1 1002 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Po 𝐴)
10 simpl1 984 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℚ)
11 simprl 520 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3093 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℚ)
13 simprr 521 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
1410, 13sseldd 3093 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℚ)
15 qtri3or 10013 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
1612, 14, 15syl2anc 408 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
1716ralrimivva 2512 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
18 simp2 982 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simp3 983 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
209, 17, 18, 19fimax2gtri 6788 . 2 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
21 simpll1 1020 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℚ)
22 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2321, 22sseldd 3093 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℚ)
24 qre 9410 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
2523, 24syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 simplr 519 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
2721, 26sseldd 3093 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℚ)
28 qre 9410 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
2927, 28syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3025, 29lenltd 7873 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
3130ralbidva 2431 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
3231rexbidva 2432 . 2 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
3320, 32mpbird 166 1 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  w3o 961  w3a 962  wcel 1480  wne 2306  wral 2414  wrex 2415  wss 3066  c0 3358   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   Or wor 4212  Fincfn 6627  cr 7612   < clt 7793  cle 7794  cq 9404
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435
This theorem is referenced by:  zfz1iso  10577
  Copyright terms: Public domain W3C validator