Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq GIF version

Theorem fimaxq 10566
 Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9415 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
2 sstr 3100 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ltso 7835 . . . . . . 7 < Or ℝ
4 sopo 4230 . . . . . . 7 ( < Or ℝ → < Po ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6 < Po ℝ
6 poss 4215 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po 𝐴))
72, 5, 6mpisyl 1422 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → < Po 𝐴)
81, 7mpan2 421 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℚ → < Po 𝐴)
983ad2ant1 1002 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Po 𝐴)
10 simpl1 984 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℚ)
11 simprl 520 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3093 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℚ)
13 simprr 521 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
1410, 13sseldd 3093 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℚ)
15 qtri3or 10013 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
1612, 14, 15syl2anc 408 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
1716ralrimivva 2512 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
18 simp2 982 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simp3 983 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
209, 17, 18, 19fimax2gtri 6788 . 2 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
21 simpll1 1020 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℚ)
22 simpr 109 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2321, 22sseldd 3093 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℚ)
24 qre 9410 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
2523, 24syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 simplr 519 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
2721, 26sseldd 3093 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℚ)
28 qre 9410 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
2927, 28syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3025, 29lenltd 7873 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
3130ralbidva 2431 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
3231rexbidva 2432 . 2 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
3320, 32mpbird 166 1 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 961   ∧ w3a 962   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ∀wral 2414  ∃wrex 2415   ⊆ wss 3066  ∅c0 3358   class class class wbr 3924   Po wpo 4211   Or wor 4212  Fincfn 6627  ℝcr 7612   < clt 7793   ≤ cle 7794  ℚcq 9404 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-er 6422  df-en 6628  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-q 9405  df-rp 9435 This theorem is referenced by:  zfz1iso  10577
 Copyright terms: Public domain W3C validator