ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimaxq GIF version

Theorem fimaxq 10200
Description: A finite set of rational numbers has a maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2022.)
Assertion
Ref Expression
fimaxq ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fimaxq
StepHypRef Expression
1 qssre 9084 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
2 sstr 3031 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3 ltso 7542 . . . . . . 7 < Or ℝ
4 sopo 4131 . . . . . . 7 ( < Or ℝ → < Po ℝ)
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6 < Po ℝ
6 poss 4116 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Po ℝ → < Po 𝐴))
72, 5, 6mpisyl 1380 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ ℚ ⊆ ℝ) → < Po 𝐴)
81, 7mpan2 416 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℚ → < Po 𝐴)
983ad2ant1 964 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → < Po 𝐴)
10 simpl1 946 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℚ)
11 simprl 498 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥𝐴)
1210, 11sseldd 3024 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℚ)
13 simprr 499 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
1410, 13sseldd 3024 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℚ)
15 qtri3or 9619 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
1612, 14, 15syl2anc 403 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
1716ralrimivva 2455 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥))
18 simp2 944 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
19 simp3 945 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
209, 17, 18, 19fimax2gtri 6597 . 2 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦)
21 simpll1 982 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝐴 ⊆ ℚ)
22 simpr 108 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2321, 22sseldd 3024 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℚ)
24 qre 9079 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℚ → 𝑦 ∈ ℝ)
2523, 24syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 simplr 497 . . . . . . 7 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐴)
2721, 26sseldd 3024 . . . . . 6 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℚ)
28 qre 9079 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
2927, 28syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3025, 29lenltd 7580 . . . 4 ((((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
3130ralbidva 2376 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
3231rexbidva 2377 . 2 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦))
3320, 32mpbird 165 1 ((𝐴 ⊆ ℚ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  w3o 923  w3a 924  wcel 1438  wne 2255  wral 2359  wrex 2360  wss 2997  c0 3284   class class class wbr 3837   Po wpo 4112   Or wor 4113  Fincfn 6437  cr 7328   < clt 7501  cle 7502  cq 9073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-z 8721  df-q 9074  df-rp 9104
This theorem is referenced by:  zfz1iso  10211
  Copyright terms: Public domain W3C validator