Theorem fvmptg 5712

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2241	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2236	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2978	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 4147	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2250	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5710	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395  ∃*wmo 2078   ∈ wcel 2200  {copab 4144   ↦ cmpt 4145  ‘cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvmpt  5713  fvmpts  5714  fvmpt3  5715  fvmpt2  5720  f1mpt  5901  caofinvl  6250  1stvalg  6294  2ndvalg  6295  brtpos2  6403  rdgon  6538  frec0g  6549  freccllem  6554  frecfcllem  6556  frecsuclem  6558  sucinc  6599  sucinc2  6600  omcl  6615  oeicl  6616  oav2  6617  omv2  6619  fvdiagfn  6848  djulclr  7224  djurclr  7225  djulcl  7226  djurcl  7227  djulclb  7230  omp1eomlem  7269  ctmlemr  7283  nnnninf  7301  nnnninfeq  7303  cardval3ex  7365  ceilqval  10536  frec2uzzd  10630  frec2uzsucd  10631  monoord2  10716  iseqf1olemqval  10730  iseqf1olemqk  10737  seq3f1olemqsum  10743  seq3f1oleml  10746  seq3f1o  10747  seq3distr  10762  ser3le  10767  hashinfom  11008  hashennn  11010  cjval  11364  reval  11368  imval  11369  cvg1nlemcau  11503  cvg1nlemres  11504  absval  11520  resqrexlemglsq  11541  resqrexlemga  11542  climmpt  11819  climle  11853  climcvg1nlem  11868  summodclem3  11899  summodclem2a  11900  zsumdc  11903  fsum3  11906  fsumcl2lem  11917  sumsnf  11928  isumadd  11950  fsumrev  11962  fsumshft  11963  fsummulc2  11967  iserabs  11994  isumlessdc  12015  divcnv  12016  trireciplem  12019  trirecip  12020  expcnvap0  12021  expcnvre  12022  expcnv  12023  explecnv  12024  geolim  12030  geolim2  12031  geo2lim  12035  geoisum  12036  geoisumr  12037  geoisum1  12038  geoisum1c  12039  cvgratz  12051  mertenslem2  12055  mertensabs  12056  fprodmul  12110  eftvalcn  12176  efval  12180  efcvgfsum  12186  ege2le3  12190  efcj  12192  eftlub  12209  efgt1p2  12214  eflegeo  12220  sinval  12221  cosval  12222  tanvalap  12227  eirraplem  12296  phival  12743  crth  12754  phimullem  12755  ennnfonelemj0  12980  ennnfonelem0  12984  strnfvnd  13060  topnvalg  13292  tgval  13303  2idlval  14474  zrhval  14589  toponsspwpwg  14704  cldval  14781  ntrfval  14782  clsfval  14783  neifval  14822  neival  14825  ismet  15026  isxmet  15027  divcnap  15247  mulc1cncf  15271  djucllem  16188  nnsf  16401  peano3nninf  16403  nninfself  16409  nninfsellemeqinf  16412  dceqnconst  16458  dcapnconst  16459