Theorem fvmptg 5562

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2165	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2177	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2172	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2901	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 4045	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2186	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5560	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343  ∃*wmo 2015   ∈ wcel 2136  {copab 4042   ↦ cmpt 4043  ‘cfv 5188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196

This theorem is referenced by:  fvmpt  5563  fvmpts  5564  fvmpt3  5565  fvmpt2  5569  f1mpt  5739  caofinvl  6072  1stvalg  6110  2ndvalg  6111  brtpos2  6219  rdgon  6354  frec0g  6365  freccllem  6370  frecfcllem  6372  frecsuclem  6374  sucinc  6413  sucinc2  6414  omcl  6429  oeicl  6430  oav2  6431  omv2  6433  fvdiagfn  6659  djulclr  7014  djurclr  7015  djulcl  7016  djurcl  7017  djulclb  7020  omp1eomlem  7059  ctmlemr  7073  nnnninf  7090  nnnninfeq  7092  cardval3ex  7141  ceilqval  10241  frec2uzzd  10335  frec2uzsucd  10336  monoord2  10412  iseqf1olemqval  10422  iseqf1olemqk  10429  seq3f1olemqsum  10435  seq3f1oleml  10438  seq3f1o  10439  seq3distr  10448  ser3le  10453  hashinfom  10691  hashennn  10693  cjval  10787  reval  10791  imval  10792  cvg1nlemcau  10926  cvg1nlemres  10927  absval  10943  resqrexlemglsq  10964  resqrexlemga  10965  climmpt  11241  climle  11275  climcvg1nlem  11290  summodclem3  11321  summodclem2a  11322  zsumdc  11325  fsum3  11328  fsumcl2lem  11339  sumsnf  11350  isumadd  11372  fsumrev  11384  fsumshft  11385  fsummulc2  11389  iserabs  11416  isumlessdc  11437  divcnv  11438  trireciplem  11441  trirecip  11442  expcnvap0  11443  expcnvre  11444  expcnv  11445  explecnv  11446  geolim  11452  geolim2  11453  geo2lim  11457  geoisum  11458  geoisumr  11459  geoisum1  11460  geoisum1c  11461  cvgratz  11473  mertenslem2  11477  mertensabs  11478  fprodmul  11532  eftvalcn  11598  efval  11602  efcvgfsum  11608  ege2le3  11612  efcj  11614  eftlub  11631  efgt1p2  11636  eflegeo  11642  sinval  11643  cosval  11644  tanvalap  11649  eirraplem  11717  phival  12145  crth  12156  phimullem  12157  ennnfonelemj0  12334  ennnfonelem0  12338  strnfvnd  12414  topnvalg  12568  toponsspwpwg  12660  tgval  12689  cldval  12739  ntrfval  12740  clsfval  12741  neifval  12780  neival  12783  ismet  12984  isxmet  12985  divcnap  13195  mulc1cncf  13216  djucllem  13681  nnsf  13885  peano3nninf  13887  nninfself  13893  nninfsellemeqinf  13896  dceqnconst  13938  dcapnconst  13939