Theorem fvmptg 5640

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2208	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2203	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2939	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 4097	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2217	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5638	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃*wmo 2046   ∈ wcel 2167  {copab 4094   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fvmpt  5641  fvmpts  5642  fvmpt3  5643  fvmpt2  5648  f1mpt  5821  caofinvl  6165  1stvalg  6209  2ndvalg  6210  brtpos2  6318  rdgon  6453  frec0g  6464  freccllem  6469  frecfcllem  6471  frecsuclem  6473  sucinc  6512  sucinc2  6513  omcl  6528  oeicl  6529  oav2  6530  omv2  6532  fvdiagfn  6761  djulclr  7124  djurclr  7125  djulcl  7126  djurcl  7127  djulclb  7130  omp1eomlem  7169  ctmlemr  7183  nnnninf  7201  nnnninfeq  7203  cardval3ex  7263  ceilqval  10415  frec2uzzd  10509  frec2uzsucd  10510  monoord2  10595  iseqf1olemqval  10609  iseqf1olemqk  10616  seq3f1olemqsum  10622  seq3f1oleml  10625  seq3f1o  10626  seq3distr  10641  ser3le  10646  hashinfom  10887  hashennn  10889  cjval  11027  reval  11031  imval  11032  cvg1nlemcau  11166  cvg1nlemres  11167  absval  11183  resqrexlemglsq  11204  resqrexlemga  11205  climmpt  11482  climle  11516  climcvg1nlem  11531  summodclem3  11562  summodclem2a  11563  zsumdc  11566  fsum3  11569  fsumcl2lem  11580  sumsnf  11591  isumadd  11613  fsumrev  11625  fsumshft  11626  fsummulc2  11630  iserabs  11657  isumlessdc  11678  divcnv  11679  trireciplem  11682  trirecip  11683  expcnvap0  11684  expcnvre  11685  expcnv  11686  explecnv  11687  geolim  11693  geolim2  11694  geo2lim  11698  geoisum  11699  geoisumr  11700  geoisum1  11701  geoisum1c  11702  cvgratz  11714  mertenslem2  11718  mertensabs  11719  fprodmul  11773  eftvalcn  11839  efval  11843  efcvgfsum  11849  ege2le3  11853  efcj  11855  eftlub  11872  efgt1p2  11877  eflegeo  11883  sinval  11884  cosval  11885  tanvalap  11890  eirraplem  11959  phival  12406  crth  12417  phimullem  12418  ennnfonelemj0  12643  ennnfonelem0  12647  strnfvnd  12723  topnvalg  12953  tgval  12964  2idlval  14134  zrhval  14249  toponsspwpwg  14342  cldval  14419  ntrfval  14420  clsfval  14421  neifval  14460  neival  14463  ismet  14664  isxmet  14665  divcnap  14885  mulc1cncf  14909  djucllem  15530  nnsf  15736  peano3nninf  15738  nninfself  15744  nninfsellemeqinf  15747  dceqnconst  15791  dcapnconst  15792