Theorem fvmptg 5505

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2140	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2152	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2147	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2863	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 3999	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2161	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5503	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃*wmo 2001  {copab 3996   ↦ cmpt 3997  ‘cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  fvmpt  5506  fvmpts  5507  fvmpt3  5508  fvmpt2  5512  f1mpt  5680  caofinvl  6012  1stvalg  6048  2ndvalg  6049  brtpos2  6156  rdgon  6291  frec0g  6302  freccllem  6307  frecfcllem  6309  frecsuclem  6311  sucinc  6349  sucinc2  6350  omcl  6365  oeicl  6366  oav2  6367  omv2  6369  fvdiagfn  6595  djulclr  6942  djurclr  6943  djulcl  6944  djurcl  6945  djulclb  6948  omp1eomlem  6987  ctmlemr  7001  nnnninf  7031  cardval3ex  7058  ceilqval  10110  frec2uzzd  10204  frec2uzsucd  10205  monoord2  10281  iseqf1olemqval  10291  iseqf1olemqk  10298  seq3f1olemqsum  10304  seq3f1oleml  10307  seq3f1o  10308  seq3distr  10317  ser3le  10322  hashinfom  10556  hashennn  10558  cjval  10649  reval  10653  imval  10654  cvg1nlemcau  10788  cvg1nlemres  10789  absval  10805  resqrexlemglsq  10826  resqrexlemga  10827  climmpt  11101  climle  11135  climcvg1nlem  11150  summodclem3  11181  summodclem2a  11182  zsumdc  11185  fsum3  11188  fsumcl2lem  11199  sumsnf  11210  isumadd  11232  fsumrev  11244  fsumshft  11245  fsummulc2  11249  iserabs  11276  isumlessdc  11297  divcnv  11298  trireciplem  11301  trirecip  11302  expcnvap0  11303  expcnvre  11304  expcnv  11305  explecnv  11306  geolim  11312  geolim2  11313  geo2lim  11317  geoisum  11318  geoisumr  11319  geoisum1  11320  geoisum1c  11321  cvgratz  11333  mertenslem2  11337  mertensabs  11338  eftvalcn  11400  efval  11404  efcvgfsum  11410  ege2le3  11414  efcj  11416  eftlub  11433  efgt1p2  11438  eflegeo  11444  sinval  11445  cosval  11446  tanvalap  11451  eirraplem  11519  phival  11925  crth  11936  phimullem  11937  ennnfonelemj0  11950  ennnfonelem0  11954  strnfvnd  12018  topnvalg  12171  toponsspwpwg  12228  tgval  12257  cldval  12307  ntrfval  12308  clsfval  12309  neifval  12348  neival  12351  ismet  12552  isxmet  12553  divcnap  12763  mulc1cncf  12784  djucllem  13178  nnsf  13374  peano3nninf  13376  nninfalllemn  13377  nninfself  13384  nninfsellemeqinf  13387  dceqnconst  13423