Theorem fvmptg 5592

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2189	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2184	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2912	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 4066	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2198	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  ∃*wmo 2027   ∈ wcel 2148  {copab 4063   ↦ cmpt 4064  ‘cfv 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224

This theorem is referenced by:  fvmpt  5593  fvmpts  5594  fvmpt3  5595  fvmpt2  5599  f1mpt  5771  caofinvl  6104  1stvalg  6142  2ndvalg  6143  brtpos2  6251  rdgon  6386  frec0g  6397  freccllem  6402  frecfcllem  6404  frecsuclem  6406  sucinc  6445  sucinc2  6446  omcl  6461  oeicl  6462  oav2  6463  omv2  6465  fvdiagfn  6692  djulclr  7047  djurclr  7048  djulcl  7049  djurcl  7050  djulclb  7053  omp1eomlem  7092  ctmlemr  7106  nnnninf  7123  nnnninfeq  7125  cardval3ex  7183  ceilqval  10305  frec2uzzd  10399  frec2uzsucd  10400  monoord2  10476  iseqf1olemqval  10486  iseqf1olemqk  10493  seq3f1olemqsum  10499  seq3f1oleml  10502  seq3f1o  10503  seq3distr  10512  ser3le  10517  hashinfom  10757  hashennn  10759  cjval  10853  reval  10857  imval  10858  cvg1nlemcau  10992  cvg1nlemres  10993  absval  11009  resqrexlemglsq  11030  resqrexlemga  11031  climmpt  11307  climle  11341  climcvg1nlem  11356  summodclem3  11387  summodclem2a  11388  zsumdc  11391  fsum3  11394  fsumcl2lem  11405  sumsnf  11416  isumadd  11438  fsumrev  11450  fsumshft  11451  fsummulc2  11455  iserabs  11482  isumlessdc  11503  divcnv  11504  trireciplem  11507  trirecip  11508  expcnvap0  11509  expcnvre  11510  expcnv  11511  explecnv  11512  geolim  11518  geolim2  11519  geo2lim  11523  geoisum  11524  geoisumr  11525  geoisum1  11526  geoisum1c  11527  cvgratz  11539  mertenslem2  11543  mertensabs  11544  fprodmul  11598  eftvalcn  11664  efval  11668  efcvgfsum  11674  ege2le3  11678  efcj  11680  eftlub  11697  efgt1p2  11702  eflegeo  11708  sinval  11709  cosval  11710  tanvalap  11715  eirraplem  11783  phival  12212  crth  12223  phimullem  12224  ennnfonelemj0  12401  ennnfonelem0  12405  strnfvnd  12481  topnvalg  12699  tgval  12710  toponsspwpwg  13492  cldval  13569  ntrfval  13570  clsfval  13571  neifval  13610  neival  13613  ismet  13814  isxmet  13815  divcnap  14025  mulc1cncf  14046  djucllem  14522  nnsf  14724  peano3nninf  14726  nninfself  14732  nninfsellemeqinf  14735  dceqnconst  14777  dcapnconst  14778