Theorem fvmptg 5640

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2208	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2203	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2939	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 4097	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2217	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5638	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364  ∃*wmo 2046   ∈ wcel 2167  {copab 4094   ↦ cmpt 4095  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  fvmpt  5641  fvmpts  5642  fvmpt3  5643  fvmpt2  5648  f1mpt  5821  caofinvl  6164  1stvalg  6204  2ndvalg  6205  brtpos2  6313  rdgon  6448  frec0g  6459  freccllem  6464  frecfcllem  6466  frecsuclem  6468  sucinc  6507  sucinc2  6508  omcl  6523  oeicl  6524  oav2  6525  omv2  6527  fvdiagfn  6756  djulclr  7119  djurclr  7120  djulcl  7121  djurcl  7122  djulclb  7125  omp1eomlem  7164  ctmlemr  7178  nnnninf  7196  nnnninfeq  7198  cardval3ex  7256  ceilqval  10403  frec2uzzd  10497  frec2uzsucd  10498  monoord2  10583  iseqf1olemqval  10597  iseqf1olemqk  10604  seq3f1olemqsum  10610  seq3f1oleml  10613  seq3f1o  10614  seq3distr  10629  ser3le  10634  hashinfom  10875  hashennn  10877  cjval  11015  reval  11019  imval  11020  cvg1nlemcau  11154  cvg1nlemres  11155  absval  11171  resqrexlemglsq  11192  resqrexlemga  11193  climmpt  11470  climle  11504  climcvg1nlem  11519  summodclem3  11550  summodclem2a  11551  zsumdc  11554  fsum3  11557  fsumcl2lem  11568  sumsnf  11579  isumadd  11601  fsumrev  11613  fsumshft  11614  fsummulc2  11618  iserabs  11645  isumlessdc  11666  divcnv  11667  trireciplem  11670  trirecip  11671  expcnvap0  11672  expcnvre  11673  expcnv  11674  explecnv  11675  geolim  11681  geolim2  11682  geo2lim  11686  geoisum  11687  geoisumr  11688  geoisum1  11689  geoisum1c  11690  cvgratz  11702  mertenslem2  11706  mertensabs  11707  fprodmul  11761  eftvalcn  11827  efval  11831  efcvgfsum  11837  ege2le3  11841  efcj  11843  eftlub  11860  efgt1p2  11865  eflegeo  11871  sinval  11872  cosval  11873  tanvalap  11878  eirraplem  11947  phival  12394  crth  12405  phimullem  12406  ennnfonelemj0  12631  ennnfonelem0  12635  strnfvnd  12711  topnvalg  12941  tgval  12952  2idlval  14105  zrhval  14220  toponsspwpwg  14305  cldval  14382  ntrfval  14383  clsfval  14384  neifval  14423  neival  14426  ismet  14627  isxmet  14628  divcnap  14848  mulc1cncf  14872  djucllem  15493  nnsf  15699  peano3nninf  15701  nninfself  15707  nninfsellemeqinf  15710  dceqnconst  15754  dcapnconst  15755