ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvmptg GIF version

Theorem fvmptg 5325
Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmptg.1 (𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2 𝐹 = (𝑥𝐷𝐵)
Assertion
Ref Expression
fvmptg ((𝐴𝐷𝐶𝑅) → (𝐹𝐴) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2083 . 2 𝐶 = 𝐶
2 fvmptg.1 . . . 4 (𝑥 = 𝐴𝐵 = 𝐶)
32eqeq2d 2094 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵𝑦 = 𝐶))
4 eqeq1 2089 . . 3 (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶𝐶 = 𝐶))
5 moeq 2778 . . . 4 ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
65a1i 9 . . 3 (𝑥𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7 fvmptg.2 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝐷𝐵)
8 df-mpt 3867 . . . 4 (𝑥𝐷𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐷𝑦 = 𝐵)}
97, 8eqtri 2103 . . 3 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥𝐷𝑦 = 𝐵)}
103, 4, 6, 9fvopab3ig 5323 . 2 ((𝐴𝐷𝐶𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹𝐴) = 𝐶))
111, 10mpi 15 1 ((𝐴𝐷𝐶𝑅) → (𝐹𝐴) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  ∃*wmo 1944  {copab 3864  cmpt 3865  cfv 4969
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-sbc 2827  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-id 4084  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fv 4977
This theorem is referenced by:  fvmpt  5326  fvmpts  5327  fvmpt3  5328  fvmpt2  5331  f1mpt  5490  fnofval  5800  caofinvl  5812  1stvalg  5848  2ndvalg  5849  brtpos2  5948  rdgon  6083  frec0g  6094  freccllem  6099  frecfcllem  6101  frecsuclem  6103  sucinc  6138  sucinc2  6139  omcl  6154  oeicl  6155  oav2  6156  omv2  6158  fvdiagfn  6380  djulclr  6648  djurclr  6649  djulcl  6650  djurcl  6651  djulclb  6654  djur  6664  fodjuomnilemm  6706  fodjuomnilem0  6707  cardval3ex  6716  nnnninf  8645  ceilqval  9602  frec2uzzd  9696  frec2uzsucd  9697  monoord2  9771  iseqdistr  9786  serile  9790  hashinfom  10021  hashennn  10023  cjval  10106  reval  10110  imval  10111  cvg1nlemcau  10244  cvg1nlemres  10245  absval  10261  resqrexlemglsq  10282  resqrexlemga  10283  climmpt  10513  climle  10546  climcvg1nlem  10560  isumrblem  10573  phival  10969  crth  10980  phimullem  10981  djucllem  11043
  Copyright terms: Public domain W3C validator