Theorem fvmptg 5781

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2250	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2245	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 3001	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 4194	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2259	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5779	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  ∃*wmo 2087   ∈ wcel 2209  {copab 4191   ↦ cmpt 4192  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvmpt  5782  fvmpts  5783  fvmpt3  5784  fvmpt2  5789  f1mpt  5977  caofinvl  6328  1stvalg  6376  2ndvalg  6377  brtpos2  6522  rdgon  6657  frec0g  6668  freccllem  6673  frecfcllem  6675  frecsuclem  6677  sucinc  6718  sucinc2  6719  omcl  6734  oeicl  6735  oav2  6736  omv2  6738  fvdiagfn  6975  djulclr  7389  djurclr  7390  djulcl  7391  djurcl  7392  djulclb  7395  omp1eomlem  7434  ctmlemr  7448  nnnninf  7466  nnnninfeq  7468  cardval3ex  7530  ceilqval  10745  frec2uzzd  10839  frec2uzsucd  10840  monoord2  10925  iseqf1olemqval  10939  iseqf1olemqk  10946  seq3f1olemqsum  10952  seq3f1oleml  10955  seq3f1o  10956  seq3distr  10971  ser3le  10976  hashinfom  11219  hashennn  11221  cjval  11612  reval  11616  imval  11617  cvg1nlemcau  11752  cvg1nlemres  11753  absval  11769  resqrexlemglsq  11790  resqrexlemga  11791  climmpt  12068  climle  12102  climcvg1nlem  12117  summodclem3  12149  summodclem2a  12150  zsumdc  12153  fsum3  12156  fsumcl2lem  12167  sumsnf  12178  isumadd  12200  fsumrev  12212  fsumshft  12213  fsummulc2  12217  iserabs  12244  isumlessdc  12265  divcnv  12266  trireciplem  12269  trirecip  12270  expcnvap0  12271  expcnvre  12272  expcnv  12273  explecnv  12274  geolim  12280  geolim2  12281  geo2lim  12285  geoisum  12286  geoisumr  12287  geoisum1  12288  geoisum1c  12289  cvgratz  12301  mertenslem2  12305  mertensabs  12306  fprodmul  12360  eftvalcn  12426  efval  12430  efcvgfsum  12436  ege2le3  12440  efcj  12442  eftlub  12459  efgt1p2  12464  eflegeo  12470  sinval  12471  cosval  12472  tanvalap  12477  eirraplem  12546  phival  12993  crth  13004  phimullem  13005  ennnfonelemj0  13294  ennnfonelem0  13298  strnfvnd  13374  topnvalg  13607  tgval  13618  2idlval  14841  zrhval  14954  toponsspwpwg  15125  cldval  15202  ntrfval  15203  clsfval  15204  neifval  15243  neival  15246  ismet  15447  isxmet  15448  divcnap  15668  mulc1cncf  15692  depindlem1  16759  djucllem  16840  nnsf  17060  peano3nninf  17062  nninfself  17068  nninfsellemeqinf  17071  dceqnconst  17122  dcapnconst  17123