Theorem xpdom2g 6835

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom2g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐴))
2		xpeq1 4642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐶 × 𝐵))
3	1, 2	breq12d 4018	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵) ↔ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))))
5		vex 2742	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	xpdom2 6834	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵))
7	4, 6	vtoclg 2799	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
8	7	imp 124	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005   × cxp 4626   ≼ cdom 6742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fv 5226  df-dom 6745

This theorem is referenced by:  xpdom1g  6836