Theorem xpdom2g 7096

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom2g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4768	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐴))
2		xpeq1 4768	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐶 × 𝐵))
3	1, 2	breq12d 4127	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵) ↔ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))))
5		vex 2818	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	xpdom2 7095	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵))
7	4, 6	vtoclg 2877	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
8	7	imp 124	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114   × cxp 4752   ≼ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fv 5365  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  xpdom1g  7097