Theorem xpdom2g 6719

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom2g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4548	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐴))
2		xpeq1 4548	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐶 × 𝐵))
3	1, 2	breq12d 3937	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵) ↔ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
4	3	imbi2d 229	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))))
5		vex 2684	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	xpdom2 6718	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵))
7	4, 6	vtoclg 2741	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
8	7	imp 123	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924   × cxp 4532   ≼ cdom 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fv 5126  df-dom 6629

This theorem is referenced by:  xpdom1g  6720