Theorem xpdom2g 7082

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom2g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Proof of Theorem xpdom2g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpeq1 4762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐴) = (𝐶 × 𝐴))
2		xpeq1 4762	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝑥 × 𝐵) = (𝐶 × 𝐵))
3	1, 2	breq12d 4121	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵) ↔ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
4	3	imbi2d 230	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵)) ↔ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))))
5		vex 2815	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
6	5	xpdom2 7081	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝑥 × 𝐴) ≼ (𝑥 × 𝐵))
7	4, 6	vtoclg 2874	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝐴 ≼ 𝐵 → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵)))
8	7	imp 124	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108   × cxp 4746   ≼ cdom 6973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fv 5359  df-dom 6976

This theorem is referenced by:  xpdom1g  7083