Theorem breq12d 4144

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 4136	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  breq123d  4145  3brtr3d  4162  3brtr4d  4163  pocl  4450  csbcnvg  4966  cnvpom  5333  sbcfung  5404  isoeq1  6010  isocnv  6020  isotr  6025  caovordig  6258  caovordg  6260  caovord2d  6262  caovord  6264  ofrfval  6315  ofrval  6317  ofrfval2  6323  caofref  6331  fundmeng  7101  xpsneng  7126  xpcomeng  7132  xpdom2g  7136  phplem3g  7163  php5  7165  php5dom  7170  exmidpw2en  7225  papirr  7617  exmidapne  7632  nqtri3or  7769  ltsonq  7771  ltanqg  7773  ltmnqg  7774  lt2addnq  7777  lt2mulnq  7778  prarloclemarch  7791  ltrnqg  7793  ltnnnq  7796  prarloclemlt  7866  addlocprlemgt  7907  mullocprlem  7943  addextpr  7994  recexprlemss1l  8008  recexprlemss1u  8009  recexpr  8011  caucvgprlemcanl  8017  cauappcvgprlemm  8018  cauappcvgprlemdisj  8024  cauappcvgprlemloc  8025  cauappcvgprlemladdru  8029  cauappcvgprlemladdrl  8030  cauappcvgprlem1  8032  cauappcvgprlemlim  8034  cauappcvgpr  8035  caucvgprlemnkj  8039  caucvgprlemnbj  8040  caucvgprlemdisj  8047  caucvgprlemloc  8048  caucvgprlemcl  8049  caucvgprlemladdrl  8051  caucvgprlem1  8052  caucvgpr  8055  caucvgprprlemell  8058  caucvgprprlemcbv  8060  caucvgprprlemval  8061  caucvgprprlemnkeqj  8063  caucvgprprlemopl  8070  caucvgprprlemlol  8071  caucvgprprlemloc  8076  caucvgprprlemclphr  8078  caucvgprprlemexb  8080  caucvgprprlem1  8082  lttrsr  8135  ltposr  8136  ltsosr  8137  ltasrg  8143  aptisr  8152  mulextsr1lem  8153  mulextsr1  8154  caucvgsrlemcau  8166  caucvgsrlemgt1  8168  caucvgsrlemoffcau  8171  caucvgsrlemoffres  8173  caucvgsr  8175  axpre-ltirr  8255  axpre-ltadd  8259  axpre-mulgt0  8260  axpre-mulext  8261  axcaucvglemcau  8271  axcaucvglemres  8272  ltadd2  8754  ltadd1  8764  leadd2  8766  reapval  8912  reapmul1  8931  remulext2  8936  apreim  8939  apirr  8941  apsym  8942  apcotr  8943  apadd1  8944  apadd2  8945  apneg  8947  mulext1  8948  mulext2  8949  apti  8958  apsub1  8978  subap0  8979  apmul1  9126  apmul2  9127  apdivmuld  9151  ltmul2  9194  lemul2  9195  ltdiv1  9206  ltdiv2  9225  ledivdiv  9228  lediv2  9229  negiso  9293  div4p1lem1div2  9570  qapne  10054  nn0ledivnn  10184  xleadd1  10293  xltadd1  10294  xltadd2  10295  xsubge0  10299  xleaddadd  10305  qtri3or  10691  frecfzennn  10883  monoord  10942  monoord2  10943  leexp1a  11051  bernneq  11118  apexp1  11177  nn0le2msqd  11178  faclbnd  11200  faclbnd3  11202  faclbnd6  11203  facubnd  11204  fihashdom  11264  zfz1isolemiso  11312  cjap  11693  cvg1nlemcau  11771  cvg1nlemres  11772  resqrexlemlo  11800  resqrexlemcalc3  11803  absext  11850  xrnegiso  12052  xrminltinf  12062  fsumabs  12256  cvgratnnlemnexp  12315  cvgratnnlemmn  12316  fprodle  12431  addmodlteqALT  12650  nn0seqcvgd  12843  algcvg  12850  algcvga  12853  eucalgcvga  12860  qnumgt0  13002  pcprendvds2  13098  pcpremul  13100  pcadd2  13148  2expltfac  13247  ctinfomlemom  13375  gzsumfzval  13769  psrbagmax  15183  ispsmet  15566  psmettri2  15571  ismet  15587  isxmet  15588  xmettri2  15604  blvalps  15631  blval  15632  comet  15742  bdxmet  15744  dvef  15970  cxplt  16168  rpcxple2  16170  rpcxplt2  16171  cxplt3  16172  apcxp2  16191  ltexp2  16194  logbleb  16214  logblt  16215  pellexlem3  16248  ppiqltx  16298  chtqub  16313  bclbnd  16324  prmefexple  16325  bposlem5  16332  bposlem6  16333  bposlem7  16334  lgsdilem  16368  2lgslem1a2  16428  apdifflemr  17320  apdiff  17321