Theorem breq12d 4101

Description: Equality deduction for a binary relation. (Contributed by NM, 8-Feb-1996.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
breq1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
breq12d.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
breq12d	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Proof of Theorem breq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		breq12d.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝐷)
3		breq12 4093	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝐶 = 𝐷) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   class class class wbr 4088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-un 3204  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089

This theorem is referenced by:  breq123d  4102  3brtr3d  4119  3brtr4d  4120  pocl  4400  csbcnvg  4914  cnvpom  5279  sbcfung  5350  isoeq1  5941  isocnv  5951  isotr  5956  caovordig  6187  caovordg  6189  caovord2d  6191  caovord  6193  ofrfval  6243  ofrval  6245  ofrfval2  6251  caofref  6259  fundmeng  6981  xpsneng  7005  xpcomeng  7011  xpdom2g  7015  phplem3g  7041  php5  7043  php5dom  7048  exmidpw2en  7103  exmidapne  7478  nqtri3or  7615  ltsonq  7617  ltanqg  7619  ltmnqg  7620  lt2addnq  7623  lt2mulnq  7624  prarloclemarch  7637  ltrnqg  7639  ltnnnq  7642  prarloclemlt  7712  addlocprlemgt  7753  mullocprlem  7789  addextpr  7840  recexprlemss1l  7854  recexprlemss1u  7855  recexpr  7857  caucvgprlemcanl  7863  cauappcvgprlemm  7864  cauappcvgprlemdisj  7870  cauappcvgprlemloc  7871  cauappcvgprlemladdru  7875  cauappcvgprlemladdrl  7876  cauappcvgprlem1  7878  cauappcvgprlemlim  7880  cauappcvgpr  7881  caucvgprlemnkj  7885  caucvgprlemnbj  7886  caucvgprlemdisj  7893  caucvgprlemloc  7894  caucvgprlemcl  7895  caucvgprlemladdrl  7897  caucvgprlem1  7898  caucvgpr  7901  caucvgprprlemell  7904  caucvgprprlemcbv  7906  caucvgprprlemval  7907  caucvgprprlemnkeqj  7909  caucvgprprlemopl  7916  caucvgprprlemlol  7917  caucvgprprlemloc  7922  caucvgprprlemclphr  7924  caucvgprprlemexb  7926  caucvgprprlem1  7928  lttrsr  7981  ltposr  7982  ltsosr  7983  ltasrg  7989  aptisr  7998  mulextsr1lem  7999  mulextsr1  8000  caucvgsrlemcau  8012  caucvgsrlemgt1  8014  caucvgsrlemoffcau  8017  caucvgsrlemoffres  8019  caucvgsr  8021  axpre-ltirr  8101  axpre-ltadd  8105  axpre-mulgt0  8106  axpre-mulext  8107  axcaucvglemcau  8117  axcaucvglemres  8118  ltadd2  8598  ltadd1  8608  leadd2  8610  reapval  8755  reapmul1  8774  remulext2  8779  apreim  8782  apirr  8784  apsym  8785  apcotr  8786  apadd1  8787  apadd2  8788  apneg  8790  mulext1  8791  mulext2  8792  apti  8801  apsub1  8821  subap0  8822  apmul1  8967  apmul2  8968  apdivmuld  8992  ltmul2  9035  lemul2  9036  ltdiv1  9047  ltdiv2  9066  ledivdiv  9069  lediv2  9070  negiso  9134  div4p1lem1div2  9397  qapne  9872  nn0ledivnn  10001  xleadd1  10109  xltadd1  10110  xltadd2  10111  xsubge0  10115  xleaddadd  10121  qtri3or  10499  frecfzennn  10687  monoord  10746  monoord2  10747  leexp1a  10855  bernneq  10921  apexp1  10979  nn0le2msqd  10980  faclbnd  11002  faclbnd3  11004  faclbnd6  11005  facubnd  11006  fihashdom  11065  zfz1isolemiso  11102  cjap  11466  cvg1nlemcau  11544  cvg1nlemres  11545  resqrexlemlo  11573  resqrexlemcalc3  11576  absext  11623  xrnegiso  11822  xrminltinf  11832  fsumabs  12025  cvgratnnlemnexp  12084  cvgratnnlemmn  12085  fprodle  12200  addmodlteqALT  12419  nn0seqcvgd  12612  algcvg  12619  algcvga  12622  eucalgcvga  12629  qnumgt0  12769  pcprendvds2  12863  pcpremul  12865  pcadd2  12913  2expltfac  13011  ctinfomlemom  13047  gsumfzval  13473  mplsubgfilemcl  14712  ispsmet  15046  psmettri2  15051  ismet  15067  isxmet  15068  xmettri2  15084  blvalps  15111  blval  15112  comet  15222  bdxmet  15224  dvef  15450  cxplt  15639  rpcxple2  15641  rpcxplt2  15642  cxplt3  15643  apcxp2  15662  ltexp2  15664  logbleb  15684  logblt  15685  lgsdilem  15755  2lgslem1a2  15815  apdifflemr  16651  apdiff  16652