Theorem xpdom1g 7016

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom1g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem xpdom1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6913	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 4769	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		xpcomeng 7011	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
4	3	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
5	2, 4	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
6		xpdom2g 7015	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))
7	1	brrelex2i 4770	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
8		xpcomeng 7011	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
9	7, 8	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
10		domentr 6964	. . 3 ⊢ (((𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
12		endomtr 6963	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴) ∧ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   class class class wbr 4088   × cxp 4723   ≈ cen 6906   ≼ cdom 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-en 6909  df-dom 6910

This theorem is referenced by:  xpdom1  7018  xpct  13016