Theorem xpdom1g 6892

Description: Dominance law for Cartesian product. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 25-Mar-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpdom1g	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Proof of Theorem xpdom1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6804	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex1i 4706	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		xpcomeng 6887	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
4	3	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
5	2, 4	sylan2 286	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴))
6		xpdom2g 6891	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵))
7	1	brrelex2i 4707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
8		xpcomeng 6887	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
9	7, 8	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶))
10		domentr 6850	. . 3 ⊢ (((𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐶 × 𝐵) ∧ (𝐶 × 𝐵) ≈ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶))
12		endomtr 6849	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐶) ≈ (𝐶 × 𝐴) ∧ (𝐶 × 𝐴) ≼ (𝐵 × 𝐶)) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))
13	5, 11, 12	syl2anc 411	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐴 × 𝐶) ≼ (𝐵 × 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   class class class wbr 4033   × cxp 4661   ≈ cen 6797   ≼ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-en 6800  df-dom 6801

This theorem is referenced by:  xpdom1  6894  xpct  12613