Theorem fsn2 5703

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsn2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsn2	⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5377	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹 Fn {𝐴})
2		fsn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	snid 3635	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
4		funfvex 5544	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5328	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
6	3, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
7	1, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8		elex 2760	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
10		ffvelcdm 5662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
11	3, 10	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
12		dffn3 5388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
13	12	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14		imadmrn 4992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15		fndm 5327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
16	15	imaeq2d 4982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
17	14, 16	eqtr3id 2234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18		fnsnfv 5588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
19	3, 18	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
20	17, 19	eqtr4d 2223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
21		feq3 5362	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
23	13, 22	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
25	11, 24	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
26		snssi 3748	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
27		fss 5389	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ∧ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
28	27	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
29	26, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
30	25, 29	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
31		fsng 5702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
32	2, 31	mpan 424	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
33	32	anbi2d 464	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
34	30, 33	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
35	7, 9, 34	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   ⊆ wss 3141  {csn 3604  ⟨cop 3607  dom cdm 4638  ran crn 4639   “ cima 4641   Fn wfn 5223  ⟶wf 5224  ‘cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236

This theorem is referenced by:  fnressn  5715  fressnfv  5716  mapsnconst  6708  elixpsn  6749  en1  6813