ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsn2 GIF version

Theorem fsn2 5560
Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fsn2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fsn2 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2
StepHypRef Expression
1 ffn 5240 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐹 Fn {𝐴})
2 fsn2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
32snid 3524 . . . 4 𝐴 ∈ {𝐴}
4 funfvex 5404 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ V)
54funfni 5191 . . . 4 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹𝐴) ∈ V)
63, 5mpan2 419 . . 3 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹𝐴) ∈ V)
71, 6syl 14 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ V)
8 elex 2669 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ V)
98adantr 272 . 2 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ V)
10 ffvelrn 5519 . . . . . 6 ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
113, 10mpan2 419 . . . . 5 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
12 dffn3 5251 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
1312biimpi 119 . . . . . . 7 (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14 imadmrn 4859 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15 fndm 5190 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
1615imaeq2d 4849 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
1714, 16syl5eqr 2162 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18 fnsnfv 5446 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
193, 18mpan2 419 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
2017, 19eqtr4d 2151 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)})
21 feq3 5225 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
2220, 21syl 14 . . . . . . 7 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
2313, 22mpbid 146 . . . . . 6 (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)})
241, 23syl 14 . . . . 5 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)})
2511, 24jca 302 . . . 4 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
26 snssi 3632 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵)
27 fss 5252 . . . . . 6 ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ∧ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
2827ancoms 266 . . . . 5 (({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
2926, 28sylan 279 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
3025, 29impbii 125 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
31 fsng 5559 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
322, 31mpan 418 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
3332anbi2d 457 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
3430, 33syl5bb 191 . 2 ((𝐹𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
357, 9, 34pm5.21nii 676 1 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wcel 1463  Vcvv 2658  wss 3039  {csn 3495  cop 3498  dom cdm 4507  ran crn 4508  cima 4510   Fn wfn 5086  wf 5087  cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-v 2660  df-sbc 2881  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
This theorem is referenced by:  fnressn  5572  fressnfv  5573  mapsnconst  6554  elixpsn  6595  en1  6659
  Copyright terms: Public domain W3C validator