Theorem fsn2 5851

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsn2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsn2	⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5508	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹 Fn {𝐴})
2		fsn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	snid 3720	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
4		funfvex 5687	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5458	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
6	3, 5	mpan2 425	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
7	1, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8		elex 2825	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
10		ffvelcdm 5810	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
11	3, 10	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
12		dffn3 5519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
13	12	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14		imadmrn 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15		fndm 5455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
16	15	imaeq2d 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
17	14, 16	eqtr3id 2279	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18		fnsnfv 5736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
19	3, 18	mpan2 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
20	17, 19	eqtr4d 2268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
21		feq3 5493	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
23	13, 22	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
25	11, 24	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
26		snssi 3838	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
27		fss 5521	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ∧ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
28	27	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
29	26, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
30	25, 29	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
31		fsng 5850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
32	2, 31	mpan 424	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
33	32	anbi2d 464	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
34	30, 33	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
35	7, 9, 34	pm5.21nii 712	1 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211  {csn 3689  ⟨cop 3692  dom cdm 4749  ran crn 4750   “ cima 4752   Fn wfn 5347  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fsn2g  5852  fnressn  5870  fressnfv  5871  mapsnconst  6929  elixpsn  6970  en1  7039