ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsn2 GIF version

Theorem fsn2 5455
Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
fsn2.1 𝐴 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fsn2 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2
StepHypRef Expression
1 ffn 5147 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐹 Fn {𝐴})
2 fsn2.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
32snid 3470 . . . 4 𝐴 ∈ {𝐴}
4 funfvex 5306 . . . . 5 ((Fun 𝐹𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝐴) ∈ V)
54funfni 5100 . . . 4 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹𝐴) ∈ V)
63, 5mpan2 416 . . 3 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹𝐴) ∈ V)
71, 6syl 14 . 2 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ V)
8 elex 2630 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ V)
98adantr 270 . 2 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}) → (𝐹𝐴) ∈ V)
10 ffvelrn 5416 . . . . . 6 ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
113, 10mpan2 416 . . . . 5 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹𝐴) ∈ 𝐵)
12 dffn3 5156 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
1312biimpi 118 . . . . . . 7 (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14 imadmrn 4771 . . . . . . . . . 10 (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15 fndm 5099 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
1615imaeq2d 4761 . . . . . . . . . 10 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
1714, 16syl5eqr 2134 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18 fnsnfv 5347 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
193, 18mpan2 416 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
2017, 19eqtr4d 2123 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)})
21 feq3 5133 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 = {(𝐹𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
2220, 21syl 14 . . . . . . 7 (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
2313, 22mpbid 145 . . . . . 6 (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)})
241, 23syl 14 . . . . 5 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)})
2511, 24jca 300 . . . 4 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
26 snssi 3576 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵)
27 fss 5157 . . . . . 6 ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ∧ {(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
2827ancoms 264 . . . . 5 (({(𝐹𝐴)} ⊆ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
2926, 28sylan 277 . . . 4 (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
3025, 29impbii 124 . . 3 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}))
31 fsng 5454 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
322, 31mpan 415 . . . 4 ((𝐹𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
3332anbi2d 452 . . 3 ((𝐹𝐴) ∈ V → (((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹𝐴)}) ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
3430, 33syl5bb 190 . 2 ((𝐹𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩})))
357, 9, 34pm5.21nii 655 1 (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹𝐴) ∈ 𝐵𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹𝐴)⟩}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438  Vcvv 2619  wss 2997  {csn 3441  cop 3444  dom cdm 4428  ran crn 4429  cima 4431   Fn wfn 4997  wf 4998  cfv 5002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-v 2621  df-sbc 2839  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010
This theorem is referenced by:  fnressn  5467  fressnfv  5468  mapsnconst  6431  en1  6496
  Copyright terms: Public domain W3C validator