Theorem fsn2 5587

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsn2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsn2	⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5267	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹 Fn {𝐴})
2		fsn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	snid 3551	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
4		funfvex 5431	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5218	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
6	3, 5	mpan2 421	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
7	1, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8		elex 2692	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
9	8	adantr 274	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
10		ffvelrn 5546	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
11	3, 10	mpan2 421	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
12		dffn3 5278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
13	12	biimpi 119	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14		imadmrn 4886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15		fndm 5217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
16	15	imaeq2d 4876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
17	14, 16	syl5eqr 2184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18		fnsnfv 5473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
19	3, 18	mpan2 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
20	17, 19	eqtr4d 2173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
21		feq3 5252	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
23	13, 22	mpbid 146	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
25	11, 24	jca 304	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
26		snssi 3659	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
27		fss 5279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ∧ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
28	27	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ (({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
29	26, 28	sylan 281	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
30	25, 29	impbii 125	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
31		fsng 5586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
32	2, 31	mpan 420	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
33	32	anbi2d 459	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
34	30, 33	syl5bb 191	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
35	7, 9, 34	pm5.21nii 693	1 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ⊆ wss 3066  {csn 3522  ⟨cop 3525  dom cdm 4534  ran crn 4535   “ cima 4537   Fn wfn 5113  ⟶wf 5114  ‘cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fnressn  5599  fressnfv  5600  mapsnconst  6581  elixpsn  6622  en1  6686