Theorem fsn2 5873

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsn2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsn2	⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5528	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹 Fn {𝐴})
2		fsn2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
3	2	snid 3736	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
4		funfvex 5707	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
5	4	funfni 5478	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
6	3, 5	mpan2 429	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
7	1, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
8		elex 2833	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
9	8	adantr 276	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}) → (𝐹‘𝐴) ∈ V)
10		ffvelcdm 5832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
11	3, 10	mpan2 429	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
12		dffn3 5539	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
13	12	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
14		imadmrn 5131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
15		fndm 5475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
16	15	imaeq2d 5121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
17	14, 16	eqtr3id 2285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
18		fnsnfv 5756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
19	3, 18	mpan2 429	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
20	17, 19	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
21		feq3 5513	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
23	13, 22	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
24	1, 23	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
25	11, 24	jca 306	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
26		snssi 3854	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
27		fss 5541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ∧ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
28	27	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
29	26, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
30	25, 29	impbii 126	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
31		fsng 5872	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (𝐹‘𝐴) ∈ V) → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
32	2, 31	mpan 428	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
33	32	anbi2d 468	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
34	30, 33	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ V → (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})))
35	7, 9, 34	pm5.21nii 716	1 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  {csn 3705  ⟨cop 3708  dom cdm 4769  ran crn 4770   “ cima 4772   Fn wfn 5367  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fsn2g  5874  fnressn  5892  fressnfv  5893  mapsnconst  6966  elixpsn  7007  en1  7076