Theorem grp1inv 13381

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 13380	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4		eqid 2204	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
5	3, 4	grpinvf 13321	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
6	2, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
7		snexg 4227	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
8		opexg 4271	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
9	8	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
10		opexg 4271	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
11	9, 10	mpancom 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
12		snexg 4227	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
14	1	grpbaseg 12901	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
16	15, 15	feq23d 5420	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀)))
17	6, 16	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
18		fsng 5752	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19	18	anidms 397	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
21		restidsing 5014	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
22		xpsng 5754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	22	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
24	21, 23	eqtr2id 2250	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
25	24	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
26	20, 25	eqtrd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
27	26	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
28	19, 27	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
29	17, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771  {csn 3632  {cpr 3633  ⟨cop 3635   I cid 4334   × cxp 4672   ↾ cres 4676  ⟶wf 5266  ‘cfv 5270  ndxcnx 12771  Basecbs 12774  +_gcplusg 12851  Grpcgrp 13274  inv_gcminusg 13275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-plusg 12864  df-0g 13032  df-mgm 13130  df-sgrp 13176  df-mnd 13191  df-grp 13277  df-minusg 13278

This theorem is referenced by: (None)