ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  grp1inv GIF version

Theorem grp1inv 12853
Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
grp1.m 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
Assertion
Ref Expression
grp1inv (𝐼𝑉 → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv
StepHypRef Expression
1 grp1.m . . . . 5 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
21grp1 12852 . . . 4 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Grp)
3 eqid 2177 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4 eqid 2177 . . . . 5 (invg𝑀) = (invg𝑀)
53, 4grpinvf 12797 . . . 4 (𝑀 ∈ Grp → (invg𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
62, 5syl 14 . . 3 (𝐼𝑉 → (invg𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
7 snexg 4181 . . . . 5 (𝐼𝑉 → {𝐼} ∈ V)
8 opexg 4224 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
98anidms 397 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
10 opexg 4224 . . . . . . 7 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
119, 10mpancom 422 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
12 snexg 4181 . . . . . 6 (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
1311, 12syl 14 . . . . 5 (𝐼𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
141grpbaseg 12551 . . . . 5 (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
157, 13, 14syl2anc 411 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
1615, 15feq23d 5356 . . 3 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀)))
176, 16mpbird 167 . 2 (𝐼𝑉 → (invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
18 fsng 5684 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
1918anidms 397 . . 3 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
20 simpr 110 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
21 restidsing 4958 . . . . . . 7 ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
22 xpsng 5686 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐼𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
2322anidms 397 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
2421, 23eqtr2id 2223 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
2524adantr 276 . . . . 5 ((𝐼𝑉 ∧ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
2620, 25eqtrd 2210 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
2726ex 115 . . 3 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
2819, 27sylbid 150 . 2 (𝐼𝑉 → ((invg𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
2917, 28mpd 13 1 (𝐼𝑉 → (invg𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  {csn 3591  {cpr 3592  cop 3594   I cid 4284   × cxp 4620  cres 4624  wf 5207  cfv 5211  ndxcnx 12429  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Grpcgrp 12754  invgcminusg 12755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-addass 7891  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-ltxr 7974  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-grp 12757  df-minusg 12758
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator