Theorem grp1inv 13524

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 13523	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
5	3, 4	grpinvf 13464	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
6	2, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
7		snexg 4239	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
8		opexg 4285	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
9	8	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
10		opexg 4285	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
11	9, 10	mpancom 422	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
12		snexg 4239	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
14	1	grpbaseg 13044	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
15	7, 13, 14	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
16	15, 15	feq23d 5436	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀)))
17	6, 16	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
18		fsng 5771	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19	18	anidms 397	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
20		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
21		restidsing 5029	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
22		xpsng 5773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	22	anidms 397	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
24	21, 23	eqtr2id 2252	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
25	24	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
26	20, 25	eqtrd 2239	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
27	26	ex 115	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
28	19, 27	sylbid 150	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
29	17, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773  {csn 3638  {cpr 3639  ⟨cop 3641   I cid 4348   × cxp 4686   ↾ cres 4690  ⟶wf 5281  ‘cfv 5285  ndxcnx 12914  Basecbs 12917  +_gcplusg 12994  Grpcgrp 13417  inv_gcminusg 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-addass 8057  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltadd 8071

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142  df-inn 9067  df-2 9125  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-plusg 13007  df-0g 13175  df-mgm 13273  df-sgrp 13319  df-mnd 13334  df-grp 13420  df-minusg 13421

This theorem is referenced by: (None)