Theorem grp1inv 12828

Description: The inverse function of the trivial group. (Contributed by FL, 21-Jun-2010.) (Revised by AV, 26-Aug-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
grp1.m	⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}

Assertion

Ref	Expression
grp1inv	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Proof of Theorem grp1inv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grp1.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = {⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}
2	1	grp1 12827	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Grp)
3		eqid 2171	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
4		eqid 2171	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑀) = (invg‘𝑀)
5	3, 4	grpinvf 12772	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Grp → (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
6	2, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀))
7		snexg 4171	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} ∈ V)
8		opexg 4214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
9	8	anidms 395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V)
10		opexg 4214	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
11	9, 10	mpancom 420	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V)
12		snexg 4171	. . . . . 6 ⊢ (⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩ ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V)
14	1	grpbaseg 12530	. . . . 5 ⊢ (({𝐼} ∈ V ∧ {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V) → {𝐼} = (Base‘𝑀))
15	7, 13, 14	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝐼} = (Base‘𝑀))
16	15, 15	feq23d 5345	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀):(Base‘𝑀)⟶(Base‘𝑀)))
17	6, 16	mpbird 166	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼})
18		fsng 5673	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19	18	anidms 395	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} ↔ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
20		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
21		restidsing 4948	. . . . . . 7 ⊢ ( I ↾ {𝐼}) = ({𝐼} × {𝐼})
22		xpsng 5675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	22	anidms 395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ({𝐼} × {𝐼}) = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
24	21, 23	eqtr2id 2217	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
25	24	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → {⟨𝐼, 𝐼⟩} = ( I ↾ {𝐼}))
26	20, 25	eqtrd 2204	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩}) → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))
27	26	ex 114	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀) = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
28	19, 27	sylbid 149	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((invg‘𝑀):{𝐼}⟶{𝐼} → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼})))
29	17, 28	mpd 13	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (invg‘𝑀) = ( I ↾ {𝐼}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1349   ∈ wcel 2142  Vcvv 2731  {csn 3584  {cpr 3585  ⟨cop 3587   I cid 4274   × cxp 4610   ↾ cres 4614  ⟶wf 5196  ‘cfv 5200  ndxcnx 12417  Basecbs 12420  +_gcplusg 12484  Grpcgrp 12730  inv_gcminusg 12731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-coll 4105  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870  ax-1cn 7871  ax-1re 7872  ax-icn 7873  ax-addcl 7874  ax-addrcl 7875  ax-mulcl 7876  ax-addcom 7878  ax-addass 7880  ax-i2m1 7883  ax-0lt1 7884  ax-0id 7886  ax-rnegex 7887  ax-pre-ltirr 7890  ax-pre-ltadd 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-nel 2437  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-nul 3416  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-int 3833  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-riota 5813  df-ov 5860  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-ltxr 7963  df-inn 8883  df-2 8941  df-ndx 12423  df-slot 12424  df-base 12426  df-plusg 12497  df-0g 12620  df-mgm 12632  df-sgrp 12665  df-mnd 12675  df-grp 12733  df-minusg 12734

This theorem is referenced by: (None)