MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0ltpnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0ltpnf 13044
Description: Zero is less than plus infinity. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
0ltpnf 0 < +∞

Proof of Theorem 0ltpnf
StepHypRef Expression
1 0re 11158 . 2 0 ∈ ℝ
2 ltpnf 13042 . 2 (0 ∈ ℝ → 0 < +∞)
31, 2ax-mp 5 1 0 < +∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11051  0cc0 11052  +∞cpnf 11187   < clt 11190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addrcl 11113  ax-rnegex 11123  ax-cnre 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-xp 5640  df-pnf 11192  df-xr 11194  df-ltxr 11195
This theorem is referenced by:  xmulgt0  13203  reltxrnmnf  13262  hashneq0  14265  hashge2el2dif  14380  sgnpnf  14979  pnfnei  22574  0bdop  30938  xlt2addrd  31666  xnn0gt0  31677  xrge0mulc1cn  32525  pnfneige0  32535  lmxrge0  32536  mbfposadd  36128  ftc1anclem5  36158  fourierdlem111  44465  fouriersw  44479
  Copyright terms: Public domain W3C validator