Theorem xmulgt0 12664

Description: Extended real version of mulgt0 10707. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xmulgt0	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
3	1, 2	anim12i 615	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
4		mulgt0 10707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
5	4	an4s 659	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	5	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
7		rexmul 12652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
8	7	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
9	6, 8	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
10	3, 9	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
11	10	anassrs 471	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
12		0ltpnf 12505	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
13		oveq2 7143	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
14		xmulpnf1 12655	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
15	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
16	13, 15	sylan9eqr 2855	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
17	12, 16	breqtrrid 5068	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
18	17	adantlr 714	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
19		simplrr 777	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝐵)
20		xmulasslem2 12663	. . . 4 ⊢ ((0 < 𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
21	19, 20	sylan 583	. . 3 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
22		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23		elxr 12499	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
24	22, 23	sylib 221	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
25	24	adantr 484	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
26	11, 18, 21, 25	mpjao3dan 1428	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
27		oveq1 7142	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
28		xmulpnf2 12656	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
29	28	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
30	27, 29	sylan9eqr 2855	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
31	12, 30	breqtrrid 5068	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
32		xmulasslem2 12663	. . 3 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
33	32	ad4ant24 753	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
34		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35		elxr 12499	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
36	34, 35	sylib 221	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
37	26, 31, 33, 36	mpjao3dan 1428	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ w3o 1083   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ·_e cxmu 12494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-xmul 12497

This theorem is referenced by:  xmulge0  12665  xmulasslem3  12667