Proof of Theorem xmulgt0
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) → 0
< 𝐴) | 
| 2 |  | simpr 484 | . . . . . 6
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐵) → 0
< 𝐵) | 
| 3 | 1, 2 | anim12i 613 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) | 
| 4 |  | mulgt0 11339 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 <
𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵)) | 
| 5 | 4 | an4s 660 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 <
𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵)) | 
| 6 | 5 | ancoms 458 | . . . . . 6
⊢ (((0 <
𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 · 𝐵)) | 
| 7 |  | rexmul 13314 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)) | 
| 8 | 7 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ (((0 <
𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵)) | 
| 9 | 6, 8 | breqtrrd 5170 | . . . . 5
⊢ (((0 <
𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 10 | 3, 9 | sylan 580 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 11 | 10 | anassrs 467 | . . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 <
𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 12 |  | 0ltpnf 13165 | . . . . 5
⊢ 0 <
+∞ | 
| 13 |  | oveq2 7440 | . . . . . 6
⊢ (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e
+∞)) | 
| 14 |  | xmulpnf1 13317 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) →
(𝐴 ·e
+∞) = +∞) | 
| 15 | 14 | adantr 480 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e +∞) =
+∞) | 
| 16 | 13, 15 | sylan9eqr 2798 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞) | 
| 17 | 12, 16 | breqtrrid 5180 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 18 | 17 | adantlr 715 | . . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 <
𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 19 |  | simplrr 777 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝐵) | 
| 20 |  | xmulasslem2 13325 | . . . 4
⊢ ((0 <
𝐵 ∧ 𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 21 | 19, 20 | sylan 580 | . . 3
⊢
(((((𝐴 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 <
𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 22 |  | simprl 770 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈
ℝ*) | 
| 23 |  | elxr 13159 | . . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ ℝ*
↔ (𝐵 ∈ ℝ
∨ 𝐵 = +∞ ∨
𝐵 =
-∞)) | 
| 24 | 22, 23 | sylib 218 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) | 
| 25 | 24 | adantr 480 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞)) | 
| 26 | 11, 18, 21, 25 | mpjao3dan 1433 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 27 |  | oveq1 7439 | . . . 4
⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞
·e 𝐵)) | 
| 28 |  | xmulpnf2 13318 | . . . . 5
⊢ ((𝐵 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐵) →
(+∞ ·e 𝐵) = +∞) | 
| 29 | 28 | adantl 481 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (+∞ ·e
𝐵) =
+∞) | 
| 30 | 27, 29 | sylan9eqr 2798 | . . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞) | 
| 31 | 12, 30 | breqtrrid 5180 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 32 |  | xmulasslem2 13325 | . . 3
⊢ ((0 <
𝐴 ∧ 𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 33 | 32 | ad4ant24 754 | . 2
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) | 
| 34 |  | simpll 766 | . . 3
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈
ℝ*) | 
| 35 |  | elxr 13159 | . . 3
⊢ (𝐴 ∈ ℝ*
↔ (𝐴 ∈ ℝ
∨ 𝐴 = +∞ ∨
𝐴 =
-∞)) | 
| 36 | 34, 35 | sylib 218 | . 2
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞)) | 
| 37 | 26, 31, 33, 36 | mpjao3dan 1433 | 1
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ*
∧ 0 < 𝐴) ∧
(𝐵 ∈
ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵)) |