MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulgt0 13316
Description: Extended real version of mulgt0 11341. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulgt0 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))

Proof of Theorem xmulgt0
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
2 simpr 483 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
31, 2anim12i 611 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵))
4 mulgt0 11341 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
54an4s 658 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
65ancoms 457 . . . . . 6 (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
7 rexmul 13304 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
87adantl 480 . . . . . 6 (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
96, 8breqtrrd 5181 . . . . 5 (((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
103, 9sylan 578 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
1110anassrs 466 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
12 0ltpnf 13156 . . . . 5 0 < +∞
13 oveq2 7432 . . . . . 6 (𝐵 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (𝐴 ·e +∞))
14 xmulpnf1 13307 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1514adantr 479 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ·e +∞) = +∞)
1613, 15sylan9eqr 2788 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
1712, 16breqtrrid 5191 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
1817adantlr 713 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
19 simplrr 776 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < 𝐵)
20 xmulasslem2 13315 . . . 4 ((0 < 𝐵𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
2119, 20sylan 578 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ 𝐵 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
22 simprl 769 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
23 elxr 13150 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ* ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2422, 23sylib 217 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2524adantr 479 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = +∞ ∨ 𝐵 = -∞))
2611, 18, 21, 25mpjao3dan 1429 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
27 oveq1 7431 . . . 4 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ·e 𝐵) = (+∞ ·e 𝐵))
28 xmulpnf2 13308 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
2928adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (+∞ ·e 𝐵) = +∞)
3027, 29sylan9eqr 2788 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → (𝐴 ·e 𝐵) = +∞)
3112, 30breqtrrid 5191 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = +∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
32 xmulasslem2 13315 . . 3 ((0 < 𝐴𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
3332ad4ant24 752 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) ∧ 𝐴 = -∞) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
34 simpll 765 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
35 elxr 13150 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3634, 35sylib 217 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
3726, 31, 33, 36mpjao3dan 1429 1 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 ·e 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3o 1083   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5153  (class class class)co 7424  cr 11157  0cc0 11158   · cmul 11163  +∞cpnf 11295  -∞cmnf 11296  *cxr 11297   < clt 11298   ·e cxmu 13145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-xmul 13148
This theorem is referenced by:  xmulge0  13317  xmulasslem3  13319
  Copyright terms: Public domain W3C validator