MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulgt0 13266
Description: Extended real version of mulgt0 11295. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulgt0 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulgt0
StepHypRef Expression
1 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
2 simpr 483 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
31, 2anim12i 611 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต))
4 mulgt0 11295 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
54an4s 656 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
65ancoms 457 . . . . . 6 (((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
7 rexmul 13254 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
87adantl 480 . . . . . 6 (((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
96, 8breqtrrd 5175 . . . . 5 (((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
103, 9sylan 578 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
1110anassrs 466 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
12 0ltpnf 13106 . . . . 5 0 < +โˆž
13 oveq2 7419 . . . . . 6 (๐ต = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe +โˆž))
14 xmulpnf1 13257 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1514adantr 479 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1613, 15sylan9eqr 2792 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = +โˆž)
1712, 16breqtrrid 5185 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
1817adantlr 711 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
19 simplrr 774 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐ต)
20 xmulasslem2 13265 . . . 4 ((0 < ๐ต โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
2119, 20sylan 578 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
22 simprl 767 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
23 elxr 13100 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
2422, 23sylib 217 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
2524adantr 479 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
2611, 18, 21, 25mpjao3dan 1429 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
27 oveq1 7418 . . . 4 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (+โˆž ยทe ๐ต))
28 xmulpnf2 13258 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
2928adantl 480 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
3027, 29sylan9eqr 2792 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = +โˆž)
3112, 30breqtrrid 5185 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
32 xmulasslem2 13265 . . 3 ((0 < ๐ด โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
3332ad4ant24 750 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
34 simpll 763 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
35 elxr 13100 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
3634, 35sylib 217 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
3726, 31, 33, 36mpjao3dan 1429 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆจ w3o 1084   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11249  -โˆžcmnf 11250  โ„*cxr 11251   < clt 11252   ยทe cxmu 13095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-xmul 13098
This theorem is referenced by:  xmulge0  13267  xmulasslem3  13269
  Copyright terms: Public domain W3C validator