MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xmulgt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xmulgt0 13208
Description: Extended real version of mulgt0 11237. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xmulgt0 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))

Proof of Theorem xmulgt0
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ 0 < ๐ด)
2 simpr 486 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < ๐ต)
31, 2anim12i 614 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต))
4 mulgt0 11237 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
54an4s 659 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
65ancoms 460 . . . . . 6 (((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
7 rexmul 13196 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
87adantl 483 . . . . . 6 (((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยท ๐ต))
96, 8breqtrrd 5134 . . . . 5 (((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
103, 9sylan 581 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
1110anassrs 469 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
12 0ltpnf 13048 . . . . 5 0 < +โˆž
13 oveq2 7366 . . . . . 6 (๐ต = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (๐ด ยทe +โˆž))
14 xmulpnf1 13199 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1514adantr 482 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด ยทe +โˆž) = +โˆž)
1613, 15sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = +โˆž)
1712, 16breqtrrid 5144 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
1817adantlr 714 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = +โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
19 simplrr 777 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < ๐ต)
20 xmulasslem2 13207 . . . 4 ((0 < ๐ต โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
2119, 20sylan 581 . . 3 (((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง ๐ต = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
22 simprl 770 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„*)
23 elxr 13042 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„* โ†” (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
2422, 23sylib 217 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
2524adantr 482 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆจ ๐ต = +โˆž โˆจ ๐ต = -โˆž))
2611, 18, 21, 25mpjao3dan 1432 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
27 oveq1 7365 . . . 4 (๐ด = +โˆž โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = (+โˆž ยทe ๐ต))
28 xmulpnf2 13200 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
2928adantl 483 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (+โˆž ยทe ๐ต) = +โˆž)
3027, 29sylan9eqr 2795 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ (๐ด ยทe ๐ต) = +โˆž)
3112, 30breqtrrid 5144 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด = +โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
32 xmulasslem2 13207 . . 3 ((0 < ๐ด โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
3332ad4ant24 753 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โˆง ๐ด = -โˆž) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
34 simpll 766 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„*)
35 elxr 13042 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„* โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
3634, 35sylib 217 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆจ ๐ด = +โˆž โˆจ ๐ด = -โˆž))
3726, 31, 33, 36mpjao3dan 1432 1 (((๐ด โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„* โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด ยทe ๐ต))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ w3o 1087   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  โ„cr 11055  0cc0 11056   ยท cmul 11061  +โˆžcpnf 11191  -โˆžcmnf 11192  โ„*cxr 11193   < clt 11194   ยทe cxmu 13037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-xmul 13040
This theorem is referenced by:  xmulge0  13209  xmulasslem3  13211
  Copyright terms: Public domain W3C validator