Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmxrge0 32623
Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
lmxrge0.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,]+∞))
lmxrge0.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmxrge0 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑗,𝐴   𝑗,π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐽,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐴(π‘˜)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables π‘Ž 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 eqid 2732 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrstopn 22597 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopOpenβ€˜β„*𝑠)
42, 3resstopn 22575 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
51, 4eqtr4i 2763 . . . . . 6 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
6 letopon 22594 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
7 iccssxr 13358 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
8 resttopon 22550 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
105, 9eqeltri 2829 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
12 nnuz 12816 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
13 1zzd 12544 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
14 lmxrge0.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,]+∞))
15 lmxrge0.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 22649 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))))
17 0xr 11212 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
18 pnfxr 11219 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 0lepnf 13063 . . . . 5 0 ≀ +∞
20 ubicc2 13393 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ +∞) β†’ +∞ ∈ (0[,]+∞))
2117, 18, 19, 20mp3an 1462 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
2221biantrur 532 . . 3 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
2316, 22bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
24 rexr 11211 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
26 ltpnf 13051 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
27 ubioc1 13328 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < +∞) β†’ +∞ ∈ (π‘₯(,]+∞))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ (π‘₯(,]+∞))
29 0ltpnf 13053 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
30 ubioc1 13328 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
3117, 18, 29, 30mp3an 1462 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0(,]+∞)
3228, 31jctir 522 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (+∞ ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33 elin 3930 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
3534ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36 letop 22595 . . . . . . . . . . 11 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
37 ovex 7396 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ V
38 iocpnfordt 22604 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
39 iocpnfordt 22604 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
40 inopn 22286 . . . . . . . . . . . 12 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (π‘₯(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
4136, 38, 39, 40mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
42 elrestr 17325 . . . . . . . . . . 11 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
4336, 37, 41, 42mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
44 inss2 4195 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞)
45 iocssicc 13365 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4644, 45sstri 3957 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0[,]+∞)
47 sseqin2 4181 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
4846, 47mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49 incom 4167 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5048, 49eqtr3i 2762 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5143, 50, 53eltr4i 2846 . . . . . . . . 9 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53 eleq2 2822 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ (+∞ ∈ π‘Ž ↔ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (+∞ ∈ π‘Ž ↔ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5554biimprd 248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ +∞ ∈ π‘Ž))
56 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5756rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
58 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž)
59 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
6058, 59eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61 elin 3930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
6261simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
64 elioc1 13317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)))
6518, 64mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)))
6665biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞))
6766simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞)) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6857, 63, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6968ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Ž β†’ π‘₯ < 𝐴))
7069ralimdva 3161 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
7170reximdva 3162 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
72 fveq2 6848 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘™))
7372raleqdv 3312 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
7473cbvrexvw 3225 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴)
7571, 74syl6ibr 252 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
7655, 75imim12d 81 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)))
7752, 76rspcimdv 3573 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)))
7877imp 408 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
7935, 78mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)
8079ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
8180ralrimdva 3148 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
82 simplll 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ πœ‘)
83 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
84 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ +∞ ∈ π‘Ž)
851pnfneige0 32622 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
8683, 84, 85syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
87 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)
88 r19.29r 3116 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
89 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ πœ‘)
90 uznnssnn 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘™) βŠ† β„•)
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘™) βŠ† β„•)
92 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™))
9391, 92sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9489, 93jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
95 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
96 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
98 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9998rexrd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
10014ffvelcdmda 7041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
10115, 100eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
1027, 101sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
104 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ < 𝐴)
105 pnfge 13061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ 𝐴 ≀ +∞)
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ +∞)
10765biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
11097, 109sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž)
111110ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (π‘₯ < 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž))
11294, 95, 96, 111syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯ < 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž))
113112ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
114113reximdva 3162 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
11574, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
116115expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
117116rexlimdva 3149 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
11888, 117syl5 34 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
119118imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)
12082, 86, 87, 119syl12anc 836 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)
121120exp31 421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
122121ralrimdva 3148 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
12381, 122impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
12423, 123bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5111  βŸΆwf 6498  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  β„cr 11060  0cc0 11061  1c1 11062  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  β„•cn 12163  β„€β‰₯cuz 12773  (,]cioc 13276  [,]cicc 13278   β†Ύs cress 17124   β†Ύt crest 17317  TopOpenctopn 17318  ordTopcordt 17396  β„*𝑠cxrs 17397  Topctop 22280  TopOnctopon 22297  β‡π‘‘clm 22615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-pm 8776  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fi 9357  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-struct 17031  df-sets 17048  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-ress 17125  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-rest 17319  df-topn 17320  df-topgen 17340  df-ordt 17398  df-xrs 17399  df-ps 18470  df-tsr 18471  df-top 22281  df-topon 22298  df-bases 22334  df-lm 22618
This theorem is referenced by:  lmdvglim  32625
  Copyright terms: Public domain W3C validator