Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmxrge0 30812
 Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmxrge0 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 eqid 2795 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrstopn 21500 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
42, 3resstopn 21478 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51, 4eqtr4i 2822 . . . . . 6 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6 letopon 21497 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7 iccssxr 12669 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 resttopon 21453 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
96, 7, 8mp2an 688 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
105, 9eqeltri 2879 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12 nnuz 12130 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
13 1zzd 11862 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14 lmxrge0.6 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15 lmxrge0.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 21552 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))))
17 0xr 10534 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
18 pnfxr 10541 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 0lepnf 12377 . . . . 5 0 ≤ +∞
20 ubicc2 12703 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
2117, 18, 19, 20mp3an 1453 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
2221biantrur 531 . . 3 (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
2316, 22syl6bbr 290 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
24 rexr 10533 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26 ltpnf 12365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27 ubioc1 12640 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29 0ltpnf 12367 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
30 ubioc1 12640 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
3117, 18, 29, 30mp3an 1453 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0(,]+∞)
3228, 31jctir 521 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33 elin 4090 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
3432, 33sylibr 235 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
3534ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36 letop 21498 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37 ovex 7048 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ V
38 iocpnfordt 21507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39 iocpnfordt 21507 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40 inopn 21191 . . . . . . . . . . . 12 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
4136, 38, 39, 40mp3an 1453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42 elrestr 16531 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
4336, 37, 41, 42mp3an 1453 . . . . . . . . . 10 (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44 inss2 4126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45 iocssicc 12675 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4644, 45sstri 3898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47 sseqin2 4112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
4846, 47mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49 incom 4099 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5048, 49eqtr3i 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5143, 50, 53eltr4i 2896 . . . . . . . . 9 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53 eleq2 2871 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5554biimprd 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴𝑎)
59 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
6058, 59eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61 elin 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
6261simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64 elioc1 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
6518, 64mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
6665biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞))
6766simp2d 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
6857, 63, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
6968ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝐴𝑎𝑥 < 𝐴))
7069ralimdva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
7170reximdva 3237 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
72 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑙))
7372raleqdv 3375 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
7473cbvrexv 3404 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴)
7571, 74syl6ibr 253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
7655, 75imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)))
7752, 76rspcimdv 3560 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)))
7877imp 407 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
7935, 78mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)
8079ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
8180ralrimdva 3156 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
82 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎𝐽)
84 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
851pnfneige0 30811 . . . . . . 7 ((𝑎𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
8683, 84, 85syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87 simplr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)
88 r19.29r 3219 . . . . . . . 8 ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
89 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝜑)
90 uznnssnn 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
9190ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑙))
9391, 92sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9489, 93jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ))
95 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9998rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10014ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
10115, 100eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
1027, 101sseldi 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105 pnfge 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
10765biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109108adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
11097, 109sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴𝑎)
111110ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴𝐴𝑎))
11294, 95, 96, 111syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝑥 < 𝐴𝐴𝑎))
113112ralimdva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
114113reximdva 3237 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
11574, 114syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
116115expimpd 454 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
117116rexlimdva 3247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
11888, 117syl5 34 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
119118imp 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)
12082, 86, 87, 119syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)
121120exp31 420 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
122121ralrimdva 3156 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
12381, 122impbid 213 . 2 (𝜑 → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
12423, 123bitrd 280 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  ∃wrex 3106  Vcvv 3437   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859   class class class wbr 4962  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016  ℝcr 10382  0cc0 10383  1c1 10384  +∞cpnf 10518  ℝ*cxr 10520   < clt 10521   ≤ cle 10522  ℕcn 11486  ℤ≥cuz 12093  (,]cioc 12589  [,]cicc 12591   ↾s cress 16313   ↾t crest 16523  TopOpenctopn 16524  ordTopcordt 16601  ℝ*𝑠cxrs 16602  Topctop 21185  TopOnctopon 21202  ⇝𝑡clm 21518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-rest 16525  df-topn 16526  df-topgen 16546  df-ordt 16603  df-xrs 16604  df-ps 17639  df-tsr 17640  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-lm 21521 This theorem is referenced by:  lmdvglim  30814
 Copyright terms: Public domain W3C validator