Theorem lmxrge0 31305

Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		eqid 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrstopn 21813	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	resstopn 21791	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
5	1, 4	eqtr4i 2824	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6		letopon 21810	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		iccssxr 12808	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		resttopon 21766	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
10	5, 9	eqeltri 2886	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12		nnuz 12269	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13		1zzd 12001	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmxrge0.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15		lmxrge0.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 21865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))))
17		0xr 10677	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		pnfxr 10684	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		0lepnf 12515	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
20		ubicc2 12843	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1458	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
22	21	biantrur 534	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
23	16, 22	syl6bbr 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
24		rexr 10676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26		ltpnf 12503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27		ubioc1 12778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29		0ltpnf 12505	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
30		ubioc1 12778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1458	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
32	28, 31	jctir 524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33		elin 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
34	32, 33	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
35	34	ad2antlr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36		letop 21811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37		ovex 7168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
38		iocpnfordt 21820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39		iocpnfordt 21820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40		inopn 21504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42		elrestr 16694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44		inss2 4156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45		iocssicc 12815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
46	44, 45	sstri 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47		sseqin2 4142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
48	46, 47	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49		incom 4128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
50	48, 49	eqtr3i 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
51	43, 50, 5	3eltr4i 2903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53		eleq2 2878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
54	53	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
55	54	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	56	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ 𝑎)
59		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
60	58, 59	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61		elin 3897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
62	61	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64		elioc1 12768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
65	18, 64	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
66	65	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
67	66	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
68	57, 63, 67	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
69	68	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝐴 ∈ 𝑎 → 𝑥 < 𝐴))
70	69	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
71	70	reximdva 3233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
72		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑙))
73	72	raleqdv 3364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
74	73	cbvrexvw 3397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴)
75	71, 74	syl6ibr 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
76	55, 75	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
77	52, 76	rspcimdv 3561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
78	77	imp 410	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
79	35, 78	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
80	79	ex 416	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
81	80	ralrimdva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
82		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
84		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
85	1	pnfneige0 31304	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
86	83, 84, 85	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
88		r19.29r 3217	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
89		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝜑)
90		uznnssnn 12283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
91	90	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
92		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙))
93	91, 92	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
94	89, 93	jca 515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
95		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
99	98	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
100	14	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
101	15, 100	eqeltrrd 2891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
102	7, 101	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105		pnfge 12513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
107	65	biimpar 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109	108	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
110	97, 109	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑎)
111	110	ex 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
113	112	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
114	113	reximdva 3233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
115	74, 114	syl5bi 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
116	115	expimpd 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
117	116	rexlimdva 3243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
118	88, 117	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
119	118	imp 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
121	120	exp31 423	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
122	121	ralrimdva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
123	81, 122	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
124	23, 123	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661  ℝ^*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  ℤ_≥cuz 12231  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729   ↾_s cress 16476   ↾_t crest 16686  TopOpenctopn 16687  ordTopcordt 16764  ℝ^*_𝑠cxrs 16765  Topctop 21498  TopOnctopon 21515  ⇝_𝑡clm 21831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-rest 16688  df-topn 16689  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-xrs 16767  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-lm 21834

This theorem is referenced by:  lmdvglim  31307