Theorem lmxrge0 32533

Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrstopn 22559	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	resstopn 22537	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
5	1, 4	eqtr4i 2767	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6		letopon 22556	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		iccssxr 13347	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		resttopon 22512	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
10	5, 9	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12		nnuz 12806	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmxrge0.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15		lmxrge0.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 22611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))))
17		0xr 11202	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		pnfxr 11209	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		0lepnf 13053	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
20		ubicc2 13382	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
22	21	biantrur 531	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
23	16, 22	bitr4di 288	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
24		rexr 11201	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26		ltpnf 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27		ubioc1 13317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29		0ltpnf 13043	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
30		ubioc1 13317	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1461	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
32	28, 31	jctir 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33		elin 3926	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
34	32, 33	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
35	34	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36		letop 22557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37		ovex 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
38		iocpnfordt 22566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39		iocpnfordt 22566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40		inopn 22248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42		elrestr 17310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44		inss2 4189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45		iocssicc 13354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
46	44, 45	sstri 3953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47		sseqin2 4175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
48	46, 47	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49		incom 4161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
50	48, 49	eqtr3i 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
51	43, 50, 5	3eltr4i 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53		eleq2 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
55	54	biimprd 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	56	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ 𝑎)
59		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
60	58, 59	eleqtrd 2840	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61		elin 3926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
62	61	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64		elioc1 13306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
65	18, 64	mpan2 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
66	65	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
67	66	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
68	57, 63, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
69	68	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝐴 ∈ 𝑎 → 𝑥 < 𝐴))
70	69	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
71	70	reximdva 3165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
72		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑙))
73	72	raleqdv 3313	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
74	73	cbvrexvw 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴)
75	71, 74	syl6ibr 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
76	55, 75	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
77	52, 76	rspcimdv 3571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
78	77	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
79	35, 78	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
80	79	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
81	80	ralrimdva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
82		simplll 773	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
84		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
85	1	pnfneige0 32532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
86	83, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
88		r19.29r 3119	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
89		simp-4l 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝜑)
90		uznnssnn 12820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
91	90	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
92		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙))
93	91, 92	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
94	89, 93	jca 512	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
95		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
99	98	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
100	14	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
101	15, 100	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
102	7, 101	sselid 3942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103	102	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105		pnfge 13051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
107	65	biimpar 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109	108	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
110	97, 109	sseldd 3945	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑎)
111	110	ex 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
113	112	ralimdva 3164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
114	113	reximdva 3165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
115	74, 114	biimtrid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
116	115	expimpd 454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
117	116	rexlimdva 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
118	88, 117	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
119	118	imp 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 835	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
121	120	exp31 420	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
122	121	ralrimdva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
123	81, 122	impbid 211	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
124	23, 123	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  Vcvv 3445   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  ℤ_≥cuz 12763  (,]cioc 13265  [,]cicc 13267   ↾_s cress 17112   ↾_t crest 17302  TopOpenctopn 17303  ordTopcordt 17381  ℝ^*_𝑠cxrs 17382  Topctop 22242  TopOnctopon 22259  ⇝_𝑡clm 22577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-rest 17304  df-topn 17305  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-xrs 17384  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-lm 22580

This theorem is referenced by:  lmdvglim  32535