Theorem lmxrge0 34122

Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrstopn 23157	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	resstopn 23135	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
5	1, 4	eqtr4i 2763	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6		letopon 23154	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		iccssxr 13351	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		resttopon 23110	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
10	5, 9	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12		nnuz 12795	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13		1zzd 12527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmxrge0.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15		lmxrge0.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 23209	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))))
17		0xr 11184	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		pnfxr 11191	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		0lepnf 13052	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
20		ubicc2 13386	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1464	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
22	21	biantrur 530	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
23	16, 22	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
24		rexr 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26		ltpnf 13039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27		ubioc1 13320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29		0ltpnf 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
30		ubioc1 13320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1464	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
32	28, 31	jctir 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33		elin 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
35	34	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36		letop 23155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37		ovex 7394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
38		iocpnfordt 23164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39		iocpnfordt 23164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40		inopn 22848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42		elrestr 17353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44		inss2 4191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45		iocssicc 13358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
46	44, 45	sstri 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47		sseqin2 4176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
48	46, 47	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49		incom 4162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
50	48, 49	eqtr3i 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
51	43, 50, 5	3eltr4i 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53		eleq2 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
55	54	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56		simp-5r 786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	56	rexrd 11187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ 𝑎)
59		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
60	58, 59	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61		elin 3918	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
62	61	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64		elioc1 13308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
65	18, 64	mpan2 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
66	65	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
67	66	simp2d 1144	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
68	57, 63, 67	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
69	68	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝐴 ∈ 𝑎 → 𝑥 < 𝐴))
70	69	ralimdva 3149	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
71	70	reximdva 3150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
72		fveq2 6835	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑙))
73	72	raleqdv 3297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
74	73	cbvrexvw 3216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴)
75	71, 74	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
76	55, 75	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
77	52, 76	rspcimdv 3567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
78	77	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
79	35, 78	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
80	79	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
81	80	ralrimdva 3137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
82		simplll 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
84		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
85	1	pnfneige0 34121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
86	83, 84, 85	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
88		r19.29r 3101	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
89		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝜑)
90		uznnssnn 12813	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
91	90	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
92		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙))
93	91, 92	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
94	89, 93	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
95		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
99	98	rexrd 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
100	14	ffvelcdmda 7031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
101	15, 100	eqeltrrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
102	7, 101	sselid 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103	102	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105		pnfge 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
107	65	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109	108	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
110	97, 109	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑎)
111	110	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
113	112	ralimdva 3149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
114	113	reximdva 3150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
115	74, 114	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
116	115	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
117	116	rexlimdva 3138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
118	88, 117	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
119	118	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 837	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
121	120	exp31 419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
122	121	ralrimdva 3137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
123	81, 122	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
124	23, 123	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  Vcvv 3441   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5099  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℕcn 12150  ℤ_≥cuz 12756  (,]cioc 13267  [,]cicc 13269   ↾_s cress 17162   ↾_t crest 17345  TopOpenctopn 17346  ordTopcordt 17425  ℝ^*_𝑠cxrs 17426  Topctop 22842  TopOnctopon 22859  ⇝_𝑡clm 23175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-rest 17347  df-topn 17348  df-topgen 17368  df-ordt 17427  df-xrs 17428  df-ps 18494  df-tsr 18495  df-top 22843  df-topon 22860  df-bases 22895  df-lm 23178

This theorem is referenced by:  lmdvglim  34124