Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmxrge0 31269
Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmxrge0 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 eqid 2822 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrstopn 21811 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
42, 3resstopn 21789 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51, 4eqtr4i 2848 . . . . . 6 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6 letopon 21808 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7 iccssxr 12808 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 resttopon 21764 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
105, 9eqeltri 2910 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12 nnuz 12269 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
13 1zzd 12001 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14 lmxrge0.6 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15 lmxrge0.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 21863 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))))
17 0xr 10677 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
18 pnfxr 10684 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 0lepnf 12515 . . . . 5 0 ≤ +∞
20 ubicc2 12843 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
2117, 18, 19, 20mp3an 1458 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
2221biantrur 534 . . 3 (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
2316, 22syl6bbr 292 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
24 rexr 10676 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26 ltpnf 12503 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27 ubioc1 12778 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29 0ltpnf 12505 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
30 ubioc1 12778 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
3117, 18, 29, 30mp3an 1458 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0(,]+∞)
3228, 31jctir 524 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33 elin 3924 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
3432, 33sylibr 237 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
3534ad2antlr 726 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36 letop 21809 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37 ovex 7173 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ V
38 iocpnfordt 21818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39 iocpnfordt 21818 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40 inopn 21502 . . . . . . . . . . . 12 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
4136, 38, 39, 40mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42 elrestr 16693 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
4336, 37, 41, 42mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45 iocssicc 12815 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4644, 45sstri 3951 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47 sseqin2 4166 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
4846, 47mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49 incom 4152 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5048, 49eqtr3i 2847 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5143, 50, 53eltr4i 2927 . . . . . . . . 9 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53 eleq2 2902 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5453adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5554biimprd 251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴𝑎)
59 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
6058, 59eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61 elin 3924 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
6261simplbi 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64 elioc1 12768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
6518, 64mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
6665biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞))
6766simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
6857, 63, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
6968ex 416 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝐴𝑎𝑥 < 𝐴))
7069ralimdva 3169 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
7170reximdva 3260 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
72 fveq2 6652 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑙))
7372raleqdv 3392 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
7473cbvrexvw 3425 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴)
7571, 74syl6ibr 255 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
7655, 75imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)))
7752, 76rspcimdv 3588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)))
7877imp 410 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
7935, 78mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)
8079ex 416 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
8180ralrimdva 3179 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
82 simplll 774 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎𝐽)
84 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
851pnfneige0 31268 . . . . . . 7 ((𝑎𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
8683, 84, 85syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87 simplr 768 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)
88 r19.29r 3243 . . . . . . . 8 ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
89 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝜑)
90 uznnssnn 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
92 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑙))
9391, 92sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9489, 93jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ))
95 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9998rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10014ffvelrnda 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
10115, 100eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
1027, 101sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105 pnfge 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
10765biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
11097, 109sseldd 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴𝑎)
111110ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴𝐴𝑎))
11294, 95, 96, 111syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝑥 < 𝐴𝐴𝑎))
113112ralimdva 3169 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
114113reximdva 3260 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
11574, 114syl5bi 245 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
116115expimpd 457 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
117116rexlimdva 3270 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
11888, 117syl5 34 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
119118imp 410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)
12082, 86, 87, 119syl12anc 835 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)
121120exp31 423 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
122121ralrimdva 3179 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
12381, 122impbid 215 . 2 (𝜑 → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
12423, 123bitrd 282 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wral 3130  wrex 3131  Vcvv 3469  cin 3907  wss 3908   class class class wbr 5042  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cn 11625  cuz 12231  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729  s cress 16475  t crest 16685  TopOpenctopn 16686  ordTopcordt 16763  *𝑠cxrs 16764  Topctop 21496  TopOnctopon 21513  𝑡clm 21829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-rest 16687  df-topn 16688  df-topgen 16708  df-ordt 16765  df-xrs 16766  df-ps 17801  df-tsr 17802  df-top 21497  df-topon 21514  df-bases 21549  df-lm 21832
This theorem is referenced by:  lmdvglim  31271
  Copyright terms: Public domain W3C validator