Theorem lmxrge0 34654

Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrstopn 23556	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	resstopn 23534	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
5	1, 4	eqtr4i 2789	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6		letopon 23553	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		iccssxr 13588	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		resttopon 23509	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
10	5, 9	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12		nnuz 13031	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13		1zzd 12754	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmxrge0.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15		lmxrge0.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 23608	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))))
17		0xr 11383	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		pnfxr 11390	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		0lepnf 13289	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
20		ubicc2 13623	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1491	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
22	21	biantrur 540	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
23	16, 22	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
24		rexr 11382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26		ltpnf 13276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27		ubioc1 13557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29		0ltpnf 13278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
30		ubioc1 13557	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1491	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
32	28, 31	jctir 530	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33		elin 4096	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
34	32, 33	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
35	34	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36		letop 23554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37		ovex 7476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
38		iocpnfordt 23563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39		iocpnfordt 23563	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40		inopn 23247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42		elrestr 17628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44		inss2 4137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45		iocssicc 13595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
46	44, 45	sstri 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47		sseqin2 4123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
48	46, 47	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49		incom 4109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
50	48, 49	eqtr3i 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
51	43, 50, 5	3eltr4i 2877	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53		eleq2 2853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
54	53	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
55	54	biimprd 251	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	56	rexrd 11386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ 𝑎)
59		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
60	58, 59	eleqtrd 2866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61		elin 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
62	61	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
63	60, 62	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64		elioc1 13545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
65	18, 64	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
66	65	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
67	66	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
68	57, 63, 67	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
69	68	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝐴 ∈ 𝑎 → 𝑥 < 𝐴))
70	69	ralimdva 3178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
71	70	reximdva 3179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
72		fveq2 6908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑙))
73	72	raleqdv 3323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
74	73	cbvrexvw 3245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴)
75	71, 74	imbitrrdi 255	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
76	55, 75	imim12d 82	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
77	52, 76	rspcimdv 3570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
78	77	imp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
79	35, 78	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
80	79	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
81	80	ralrimdva 3166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
82		simplll 787	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
84		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
85	1	pnfneige0 34653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
86	83, 84, 85	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
88		r19.29r 3130	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
89		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝜑)
90		uznnssnn 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
91	90	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
92		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙))
93	91, 92	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
94	89, 93	jca 521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
95		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
99	98	rexrd 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
100	14	ffvelcdmda 7108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
101	15, 100	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
102	7, 101	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103	102	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105		pnfge 13286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
106	103, 105	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
107	65	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109	108	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
110	97, 109	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑎)
111	110	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 851	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
113	112	ralimdva 3178	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
114	113	reximdva 3179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
115	74, 114	biimtrid 245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
116	115	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
117	116	rexlimdva 3167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
118	88, 117	syl5 35	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
119	118	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 850	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
121	120	exp31 425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
122	121	ralrimdva 3166	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
123	81, 122	impbid 215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
124	23, 123	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228  +∞cpnf 11367  ℝ^*cxr 11369   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℕcn 12362  ℤ_≥cuz 12992  (,]cioc 13504  [,]cicc 13506   ↾_s cress 17437   ↾_t crest 17620  TopOpenctopn 17621  ordTopcordt 17700  ℝ^*_𝑠cxrs 17701  Topctop 23241  TopOnctopon 23258  ⇝_𝑡clm 23574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8745  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fi 9430  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-rest 17622  df-topn 17623  df-topgen 17643  df-ordt 17702  df-xrs 17703  df-ps 18769  df-tsr 18770  df-top 23242  df-topon 23259  df-bases 23294  df-lm 23577

This theorem is used by:  lmdvglim  34656