Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmxrge0 33489
Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
lmxrge0.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,]+∞))
lmxrge0.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmxrge0 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑗,𝐴   𝑗,π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐽,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐴(π‘˜)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables π‘Ž 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 eqid 2727 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrstopn 23099 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopOpenβ€˜β„*𝑠)
42, 3resstopn 23077 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
51, 4eqtr4i 2758 . . . . . 6 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
6 letopon 23096 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
7 iccssxr 13431 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
8 resttopon 23052 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
105, 9eqeltri 2824 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
12 nnuz 12887 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
13 1zzd 12615 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
14 lmxrge0.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,]+∞))
15 lmxrge0.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 23151 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))))
17 0xr 11283 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
18 pnfxr 11290 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 0lepnf 13136 . . . . 5 0 ≀ +∞
20 ubicc2 13466 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ +∞) β†’ +∞ ∈ (0[,]+∞))
2117, 18, 19, 20mp3an 1458 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
2221biantrur 530 . . 3 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
2316, 22bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
24 rexr 11282 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
26 ltpnf 13124 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
27 ubioc1 13401 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < +∞) β†’ +∞ ∈ (π‘₯(,]+∞))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ (π‘₯(,]+∞))
29 0ltpnf 13126 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
30 ubioc1 13401 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
3117, 18, 29, 30mp3an 1458 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0(,]+∞)
3228, 31jctir 520 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (+∞ ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33 elin 3960 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
3534ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36 letop 23097 . . . . . . . . . . 11 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
37 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ V
38 iocpnfordt 23106 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
39 iocpnfordt 23106 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
40 inopn 22788 . . . . . . . . . . . 12 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (π‘₯(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
4136, 38, 39, 40mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
42 elrestr 17401 . . . . . . . . . . 11 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
4336, 37, 41, 42mp3an 1458 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
44 inss2 4225 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞)
45 iocssicc 13438 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4644, 45sstri 3987 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0[,]+∞)
47 sseqin2 4211 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
4846, 47mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49 incom 4197 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5048, 49eqtr3i 2757 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5143, 50, 53eltr4i 2841 . . . . . . . . 9 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53 eleq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ (+∞ ∈ π‘Ž ↔ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5453adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (+∞ ∈ π‘Ž ↔ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5554biimprd 247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ +∞ ∈ π‘Ž))
56 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5756rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
58 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž)
59 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
6058, 59eleqtrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61 elin 3960 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
6261simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
64 elioc1 13390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)))
6518, 64mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)))
6665biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞))
6766simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞)) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6857, 63, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6968ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Ž β†’ π‘₯ < 𝐴))
7069ralimdva 3162 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
7170reximdva 3163 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
72 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘™))
7372raleqdv 3320 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
7473cbvrexvw 3230 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴)
7571, 74imbitrrdi 251 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
7655, 75imim12d 81 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)))
7752, 76rspcimdv 3597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)))
7877imp 406 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
7935, 78mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)
8079ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
8180ralrimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
82 simplll 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ πœ‘)
83 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
84 simpr 484 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ +∞ ∈ π‘Ž)
851pnfneige0 33488 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
8683, 84, 85syl2anc 583 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
87 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)
88 r19.29r 3111 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
89 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ πœ‘)
90 uznnssnn 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘™) βŠ† β„•)
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘™) βŠ† β„•)
92 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™))
9391, 92sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9489, 93jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
95 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
96 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
98 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9998rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
10014ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
10115, 100eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
1027, 101sselid 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
104 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ < 𝐴)
105 pnfge 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ 𝐴 ≀ +∞)
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ +∞)
10765biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
11097, 109sseldd 3979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž)
111110ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (π‘₯ < 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž))
11294, 95, 96, 111syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯ < 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž))
113112ralimdva 3162 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
114113reximdva 3163 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
11574, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
116115expimpd 453 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
117116rexlimdva 3150 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
11888, 117syl5 34 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
119118imp 406 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)
12082, 86, 87, 119syl12anc 836 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)
121120exp31 419 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
122121ralrimdva 3149 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
12381, 122impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
12423, 123bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131  +∞cpnf 11267  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„€β‰₯cuz 12844  (,]cioc 13349  [,]cicc 13351   β†Ύs cress 17200   β†Ύt crest 17393  TopOpenctopn 17394  ordTopcordt 17472  β„*𝑠cxrs 17473  Topctop 22782  TopOnctopon 22799  β‡π‘‘clm 23117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fi 9426  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-rest 17395  df-topn 17396  df-topgen 17416  df-ordt 17474  df-xrs 17475  df-ps 18549  df-tsr 18550  df-top 22783  df-topon 22800  df-bases 22836  df-lm 23120
This theorem is referenced by:  lmdvglim  33491
  Copyright terms: Public domain W3C validator