Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmxrge0 30812
Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmxrge0 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
2 eqid 2795 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
3 xrstopn 21500 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
42, 3resstopn 21478 . . . . . . 7 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51, 4eqtr4i 2822 . . . . . 6 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6 letopon 21497 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7 iccssxr 12669 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8 resttopon 21453 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
96, 7, 8mp2an 688 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
105, 9eqeltri 2879 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12 nnuz 12130 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
13 1zzd 11862 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14 lmxrge0.6 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15 lmxrge0.7 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 21552 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))))
17 0xr 10534 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
18 pnfxr 10541 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 0lepnf 12377 . . . . 5 0 ≤ +∞
20 ubicc2 12703 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
2117, 18, 19, 20mp3an 1453 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
2221biantrur 531 . . 3 (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
2316, 22syl6bbr 290 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
24 rexr 10533 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26 ltpnf 12365 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27 ubioc1 12640 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29 0ltpnf 12367 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
30 ubioc1 12640 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
3117, 18, 29, 30mp3an 1453 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0(,]+∞)
3228, 31jctir 521 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33 elin 4090 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
3432, 33sylibr 235 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
3534ad2antlr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36 letop 21498 . . . . . . . . . . 11 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37 ovex 7048 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ V
38 iocpnfordt 21507 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39 iocpnfordt 21507 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40 inopn 21191 . . . . . . . . . . . 12 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
4136, 38, 39, 40mp3an 1453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42 elrestr 16531 . . . . . . . . . . 11 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
4336, 37, 41, 42mp3an 1453 . . . . . . . . . 10 (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44 inss2 4126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45 iocssicc 12675 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4644, 45sstri 3898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47 sseqin2 4112 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
4846, 47mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49 incom 4099 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5048, 49eqtr3i 2821 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5143, 50, 53eltr4i 2896 . . . . . . . . 9 ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53 eleq2 2871 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5453adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5554biimprd 249 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴𝑎)
59 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
6058, 59eleqtrd 2885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61 elin 4090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
6261simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64 elioc1 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
6518, 64mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)))
6665biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞))
6766simp2d 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
6857, 63, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) ∧ 𝐴𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
6968ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝐴𝑎𝑥 < 𝐴))
7069ralimdva 3144 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
7170reximdva 3237 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
72 fveq2 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 → (ℤ𝑗) = (ℤ𝑙))
7372raleqdv 3375 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴))
7473cbvrexv 3404 . . . . . . . . . 10 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴)
7571, 74syl6ibr 253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
7655, 75imim12d 81 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)))
7752, 76rspcimdv 3560 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)))
7877imp 407 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
7935, 78mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)
8079ex 413 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
8180ralrimdva 3156 . . 3 (𝜑 → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
82 simplll 771 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83 simpllr 772 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎𝐽)
84 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
851pnfneige0 30811 . . . . . . 7 ((𝑎𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
8683, 84, 85syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87 simplr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)
88 r19.29r 3219 . . . . . . . 8 ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
89 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝜑)
90 uznnssnn 12144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
9190ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (ℤ𝑙) ⊆ ℕ)
92 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑙))
9391, 92sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
9489, 93jca 512 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝜑𝑘 ∈ ℕ))
95 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
9998rexrd 10537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
10014ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (0[,]+∞))
10115, 100eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
1027, 101sseldi 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105 pnfge 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ +∞)
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
10765biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ*𝑥 < 𝐴𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109108adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
11097, 109sseldd 3890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴𝑎)
111110ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴𝐴𝑎))
11294, 95, 96, 111syl21anc 834 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑙)) → (𝑥 < 𝐴𝐴𝑎))
113112ralimdva 3144 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
114113reximdva 3237 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
11574, 114syl5bi 243 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
116115expimpd 454 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
117116rexlimdva 3247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
11888, 117syl5 34 . . . . . . 7 (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎))
119118imp 407 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)
12082, 86, 87, 119syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝜑𝑎𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)
121120exp31 420 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
122121ralrimdva 3156 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎)))
12381, 122impbid 213 . 2 (𝜑 → (∀𝑎𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑙)𝐴𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
12423, 123bitrd 280 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝑥 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  cin 3858  wss 3859   class class class wbr 4962  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384  +∞cpnf 10518  *cxr 10520   < clt 10521  cle 10522  cn 11486  cuz 12093  (,]cioc 12589  [,]cicc 12591  s cress 16313  t crest 16523  TopOpenctopn 16524  ordTopcordt 16601  *𝑠cxrs 16602  Topctop 21185  TopOnctopon 21202  𝑡clm 21518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-pm 8259  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-rest 16525  df-topn 16526  df-topgen 16546  df-ordt 16603  df-xrs 16604  df-ps 17639  df-tsr 17640  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-lm 21521
This theorem is referenced by:  lmdvglim  30814
  Copyright terms: Public domain W3C validator