Theorem lmxrge0 33949

Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmxrge0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
lmxrge0.6	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
lmxrge0.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
lmxrge0	⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑗,𝐴   𝑗,𝑘,𝐹,𝑥   𝑘,𝐽,𝑥   𝜑,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐴(𝑘)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0

Dummy variables 𝑎 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmxrge0.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
2		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))
3		xrstopn 23102	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (TopOpen‘ℝ*𝑠)
4	2, 3	resstopn 23080	. . . . . . 7 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
5	1, 4	eqtr4i 2756	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
6		letopon 23099	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
7		iccssxr 13398	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
8		resttopon 23055	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
9	6, 7, 8	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
10	5, 9	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
12		nnuz 12843	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
13		1zzd 12571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14		lmxrge0.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶(0[,]+∞))
15		lmxrge0.7	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
16	11, 12, 13, 14, 15	lmbrf 23154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))))
17		0xr 11228	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
18		pnfxr 11235	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
19		0lepnf 13100	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ +∞
20		ubicc2 13433	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ +∞) → +∞ ∈ (0[,]+∞))
21	17, 18, 19, 20	mp3an 1463	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ (0[,]+∞)
22	21	biantrur 530	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
23	16, 22	bitr4di 289	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
24		rexr 11227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
25	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
26		ltpnf 13087	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
27		ubioc1 13367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < +∞) → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
28	24, 25, 26, 27	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ (𝑥(,]+∞))
29		0ltpnf 13089	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
30		ubioc1 13367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
31	17, 18, 29, 30	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
32	28, 31	jctir 520	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33		elin 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
34	32, 33	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
35	34	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36		letop 23100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
37		ovex 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
38		iocpnfordt 23109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
39		iocpnfordt 23109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
40		inopn 22793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (𝑥(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
41	36, 38, 39, 40	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )
42		elrestr 17398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ )) → (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
43	36, 37, 41, 42	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
44		inss2 4204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
45		iocssicc 13405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
46	44, 45	sstri 3959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞)
47		sseqin2 4189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
48	46, 47	mpbi 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49		incom 4175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0[,]+∞) ∩ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
50	48, 49	eqtr3i 2755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
51	43, 50, 5	3eltr4i 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
52	51	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53		eleq2 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
54	53	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ 𝑎 ↔ +∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
55	54	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → +∞ ∈ 𝑎))
56		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	56	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 ∈ ℝ*)
58		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ 𝑎)
59		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
60	58, 59	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61		elin 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
62	61	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
63	60, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
64		elioc1 13355	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
65	18, 64	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)))
66	65	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞))
67	66	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞)) → 𝑥 < 𝐴)
68	57, 63, 67	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) ∧ 𝐴 ∈ 𝑎) → 𝑥 < 𝐴)
69	68	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝐴 ∈ 𝑎 → 𝑥 < 𝐴))
70	69	ralimdva 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
71	70	reximdva 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
72		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (ℤ≥‘𝑗) = (ℤ≥‘𝑙))
73	72	raleqdv 3301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴))
74	73	cbvrexvw 3217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 ↔ ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴)
75	71, 74	imbitrrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
76	55, 75	imim12d 81	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 = ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) → ((+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
77	52, 76	rspcimdv 3581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)))
78	77	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → (+∞ ∈ ((𝑥(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
79	35, 78	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
80	79	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
81	80	ralrimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
82		simplll 774	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝜑)
83		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐽)
84		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → +∞ ∈ 𝑎)
85	1	pnfneige0 33948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
86	83, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
87		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)
88		r19.29r 3097	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
89		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝜑)
90		uznnssnn 12861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 ∈ ℕ → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
91	90	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (ℤ≥‘𝑙) ⊆ ℕ)
92		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙))
93	91, 92	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑘 ∈ ℕ)
94	89, 93	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ))
95		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → 𝑥 ∈ ℝ)
96		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
97		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎)
98		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
99	98	rexrd 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
100	14	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ (0[,]+∞))
101	15, 100	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
102	7, 101	sselid 3947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
103	102	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
104		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 < 𝐴)
105		pnfge 13097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)
106	103, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ≤ +∞)
107	65	biimpar 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ +∞)) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
108	99, 103, 104, 106, 107	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
109	108	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ (𝑥(,]+∞))
110	97, 109	sseldd 3950	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑎)
111	110	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
112	94, 95, 96, 111	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)) → (𝑥 < 𝐴 → 𝐴 ∈ 𝑎))
113	112	ralimdva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) ∧ 𝑙 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
114	113	reximdva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
115	74, 114	biimtrid 242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
116	115	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
117	116	rexlimdva 3135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
118	88, 117	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎))
119	118	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝑎 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴)) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
120	82, 86, 87, 119	syl12anc 836	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴) ∧ +∞ ∈ 𝑎) → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)
121	120	exp31 419	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐽) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
122	121	ralrimdva 3134	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴 → ∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎)))
123	81, 122	impbid 212	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑎 ∈ 𝐽 (+∞ ∈ 𝑎 → ∃𝑙 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑙)𝐴 ∈ 𝑎) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))
124	23, 123	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘𝐽)+∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝑥 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   class class class wbr 5110  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11212  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  ℤ_≥cuz 12800  (,]cioc 13314  [,]cicc 13316   ↾_s cress 17207   ↾_t crest 17390  TopOpenctopn 17391  ordTopcordt 17469  ℝ^*_𝑠cxrs 17470  Topctop 22787  TopOnctopon 22804  ⇝_𝑡clm 23120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fi 9369  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-rest 17392  df-topn 17393  df-topgen 17413  df-ordt 17471  df-xrs 17472  df-ps 18532  df-tsr 18533  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-lm 23123

This theorem is referenced by:  lmdvglim  33951