Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmxrge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmxrge0 32932
Description: Express "sequence 𝐹 converges to plus infinity" (i.e. diverges), for a sequence of nonnegative extended real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmxrge0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
lmxrge0.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,]+∞))
lmxrge0.7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmxrge0 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑗,𝐴   𝑗,π‘˜,𝐹,π‘₯   π‘˜,𝐽,π‘₯   πœ‘,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐴(π‘˜)   𝐽(𝑗)

Proof of Theorem lmxrge0
Dummy variables π‘Ž 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmxrge0.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))
3 xrstopn 22712 . . . . . . . 8 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (TopOpenβ€˜β„*𝑠)
42, 3resstopn 22690 . . . . . . 7 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
51, 4eqtr4i 2764 . . . . . 6 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
6 letopon 22709 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
7 iccssxr 13407 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
8 resttopon 22665 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
96, 7, 8mp2an 691 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
105, 9eqeltri 2830 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
1110a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
12 nnuz 12865 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
13 1zzd 12593 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
14 lmxrge0.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ(0[,]+∞))
15 lmxrge0.7 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = 𝐴)
1611, 12, 13, 14, 15lmbrf 22764 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))))
17 0xr 11261 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
18 pnfxr 11268 . . . . 5 +∞ ∈ ℝ*
19 0lepnf 13112 . . . . 5 0 ≀ +∞
20 ubicc2 13442 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ +∞) β†’ +∞ ∈ (0[,]+∞))
2117, 18, 19, 20mp3an 1462 . . . 4 +∞ ∈ (0[,]+∞)
2221biantrur 532 . . 3 (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) ↔ (+∞ ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
2316, 22bitr4di 289 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
24 rexr 11260 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2518a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
26 ltpnf 13100 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
27 ubioc1 13377 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < +∞) β†’ +∞ ∈ (π‘₯(,]+∞))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ (π‘₯(,]+∞))
29 0ltpnf 13102 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
30 ubioc1 13377 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
3117, 18, 29, 30mp3an 1462 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ (0(,]+∞)
3228, 31jctir 522 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (+∞ ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
33 elin 3965 . . . . . . . 8 (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (+∞ ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ +∞ ∈ (0(,]+∞)))
3432, 33sylibr 233 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
3534ad2antlr 726 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
36 letop 22710 . . . . . . . . . . 11 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
37 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (0[,]+∞) ∈ V
38 iocpnfordt 22719 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
39 iocpnfordt 22719 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
40 inopn 22401 . . . . . . . . . . . 12 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (π‘₯(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
4136, 38, 39, 40mp3an 1462 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
42 elrestr 17374 . . . . . . . . . . 11 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0[,]+∞) ∈ V ∧ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )) β†’ (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
4336, 37, 41, 42mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
44 inss2 4230 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞)
45 iocssicc 13414 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4644, 45sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0[,]+∞)
47 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0[,]+∞) ↔ ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
4846, 47mpbi 229 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))
49 incom 4202 . . . . . . . . . . 11 ((0[,]+∞) ∩ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) = (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5048, 49eqtr3i 2763 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = (((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∩ (0[,]+∞))
5143, 50, 53eltr4i 2847 . . . . . . . . 9 ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽
5251a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ∈ 𝐽)
53 eleq2 2823 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ (+∞ ∈ π‘Ž ↔ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5453adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (+∞ ∈ π‘Ž ↔ +∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))))
5554biimprd 247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ +∞ ∈ π‘Ž))
56 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5756rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
58 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž)
59 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
6058, 59eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
61 elin 3965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ↔ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ∧ 𝐴 ∈ (0(,]+∞)))
6261simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
64 elioc1 13366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)))
6518, 64mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞) ↔ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)))
6665biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞)) β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞))
6766simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞)) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6857, 63, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) ∧ 𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ π‘₯ < 𝐴)
6968ex 414 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (𝐴 ∈ π‘Ž β†’ π‘₯ < 𝐴))
7069ralimdva 3168 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
7170reximdva 3169 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑙 β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘—) = (β„€β‰₯β€˜π‘™))
7372raleqdv 3326 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑙 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴))
7473cbvrexvw 3236 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 ↔ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴)
7571, 74syl6ibr 252 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
7655, 75imim12d 81 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘Ž = ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)))
7752, 76rspcimdv 3603 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)))
7877imp 408 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ (+∞ ∈ ((π‘₯(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
7935, 78mpd 15 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)
8079ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
8180ralrimdva 3155 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
82 simplll 774 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ πœ‘)
83 simpllr 775 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ 𝐽)
84 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ +∞ ∈ π‘Ž)
851pnfneige0 32931 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
8683, 84, 85syl2anc 585 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
87 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)
88 r19.29r 3117 . . . . . . . 8 ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
89 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ πœ‘)
90 uznnssnn 12879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 ∈ β„• β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘™) βŠ† β„•)
9190ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (β„€β‰₯β€˜π‘™) βŠ† β„•)
92 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™))
9391, 92sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
9489, 93jca 513 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•))
95 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
96 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
97 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž)
98 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9998rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
10014ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ (0[,]+∞))
10115, 100eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (0[,]+∞))
1027, 101sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
104 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ π‘₯ < 𝐴)
105 pnfge 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ ℝ* β†’ 𝐴 ≀ +∞)
106103, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ≀ +∞)
10765biimpar 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ +∞)) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
10899, 103, 104, 106, 107syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (π‘₯(,]+∞))
11097, 109sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ π‘₯ < 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž)
111110ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (π‘₯ < 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž))
11294, 95, 96, 111syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)) β†’ (π‘₯ < 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ π‘Ž))
113112ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) ∧ 𝑙 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
114113reximdva 3169 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
11574, 114biimtrid 241 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
116115expimpd 455 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
117116rexlimdva 3156 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
11888, 117syl5 34 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž))
119118imp 408 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† π‘Ž ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)
12082, 86, 87, 119syl12anc 836 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴) ∧ +∞ ∈ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)
121120exp31 421 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
122121ralrimdva 3155 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴 β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž)))
12381, 122impbid 211 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝐽 (+∞ ∈ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘™ ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘™)𝐴 ∈ π‘Ž) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
12423, 123bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐹(β‡π‘‘β€˜π½)+∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)π‘₯ < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  β„€β‰₯cuz 12822  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327   β†Ύs cress 17173   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  ordTopcordt 17445  β„*𝑠cxrs 17446  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  β‡π‘‘clm 22730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-lm 22733
This theorem is referenced by:  lmdvglim  32934
  Copyright terms: Public domain W3C validator