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Theorem fouriersw 45610
Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriersw.t 𝑇 = (2 · π)
fouriersw.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fouriersw.x 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
fouriersw.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fouriersw (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑋,𝑛   𝑥,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12890 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12618 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
4 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
54oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1))
65oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
76fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
87, 5oveq12d 7433 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
11 ovex 7448 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V)
133, 9, 10, 12fvmptd 7007 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15 2z 12619 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
17 nnz 12604 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17zmulcld 12697 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
19 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 12696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
2120zcnd 12692 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
22 fouriersw.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ ℝ
2322recni 11253 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11259 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
2625sincld 16101 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
27 0red 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
28 2re 12311 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 1red 11240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11269 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
3231, 30resubcld 11667 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ∈ ℝ)
3320zred 12691 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℝ)
34 0lt1 11761 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
35 2t1e2 12400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
3635oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
37 2m1e1 12363 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
3836, 37eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((2 · 1) − 1)
3934, 38breqtri 5168 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((2 · 1) − 1)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 1) − 1))
4118zred 12691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
42 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
43 0le2 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
45 nnge1 12265 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
4630, 42, 29, 44, 45lemul2ad 12179 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑘))
4731, 41, 30, 46lesub1dd 11855 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1))
4827, 32, 33, 40, 47ltletrd 11399 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑘) − 1))
4927, 48gtned 11374 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ≠ 0)
5026, 21, 49divcld 12015 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
52 picn 26388 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → π ∈ ℂ)
54 4cn 12322 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
56 4ne0 12345 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ≠ 0)
5853, 55, 57divcld 12015 . . . . . . . . 9 (⊤ → (π / 4) ∈ ℂ)
59 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
60 0cnd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
62 nncn 12245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
63 mulcl 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6462, 52, 63sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
66 nnne0 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
67 0re 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
68 pipos 26389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
6967, 68gtneii 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
7162, 65, 66, 70mulne0d 11891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠ 0)
7261, 64, 71divcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / (𝑛 · π)) ∈ ℂ)
7323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
7574sincld 16101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
7672, 75mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
7760, 76ifcld 4571 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
7859, 77fmpti 7117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ)
80 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
81 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘))
82 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
8382oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π)))
84 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
8584fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
8683, 85oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
8781, 86ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
89 c0ex 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
90 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ V
9189, 90ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
9380, 88, 10, 92fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (𝑘 / 2) ∈ ℕ)
96 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
97 2nn 12310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
98 nndivdvds 16234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
9996, 97, 98sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
10095, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∥ 𝑘)
101100iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = 0)
10294, 101eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
1031023adant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
104 fouriersw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
105 1re 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
106105renegcli 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℝ
107105, 106ifcli 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
109104, 108fmpti 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:ℝ⟶ℝ
110 fouriersw.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (2 · π)
111 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112111breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π))
113112ifbid 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114113cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
115104, 114eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
117 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇))
118 pire 26387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π ∈ ℝ
11928, 118remulcli 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · π) ∈ ℝ
120110, 119eqeltri 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑇 ∈ ℝ
121120recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 ∈ ℂ
122121mullidi 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 · 𝑇) = 𝑇
123122eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑇 = (1 · 𝑇)
124123oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
125124oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
126117, 125eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
128 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
129 2pos 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 2
13028, 118, 129, 68mulgt0ii 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < (2 · π)
131110eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · π) = 𝑇
132130, 131breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 𝑇
133120, 132elrpii 13004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 ∈ ℝ+
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
135 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ)
136 modcyc 13898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
137128, 134, 135, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
138127, 137eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
139138breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π))
140139ifbid 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
142120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
144116, 140, 143, 108fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
145104fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
146107, 145mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
147144, 146eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
148 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
149 snfi 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {0} ∈ Fin
150 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
151 0xr 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ*
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
153118rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 π ∈ ℝ*
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → π ∈ ℝ*)
155 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
157 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
158118renegcli 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ∈ ℝ
159158rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -π ∈ ℝ*
160 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 < π)
161159, 153, 160mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 < π)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < π)
163152, 154, 156, 157, 162eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
164 negpilt0 44653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -π < 0
165158, 67, 164ltleii 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ≤ 0
166 iooss1 13386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
167159, 165, 166mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
168167sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
169104reseq1i 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π))
170 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℝ
171 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
173 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
174133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
175 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
176 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
177151, 153, 176mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
178175, 173, 177ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
179118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
180120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
181168, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
182 pirp 26390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 π ∈ ℝ+
183 2timesgt 44661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 π < (2 · π)
185184, 131breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π < 𝑇
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
187173, 179, 180, 181, 186lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
188 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
189173, 174, 178, 187, 188syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
190189, 181eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
191190iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
192191mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
193169, 172, 1923eqtrri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
194193oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π)))
195 reelprrecn 11225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
197 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
198 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
199198tgioo2 24713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200197, 199eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
202 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
203196, 201, 202dvmptconst 45294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
204203mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
205 ssid 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ℝ ⊆ ℝ
206 ax-resscn 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ℝ ⊆ ℂ
207 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
208109, 206, 207mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝐹:ℝ⟶ℂ
209 dvresioo 45300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
210205, 208, 209mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
211194, 204, 2103eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
212211dmeqi 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
213 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
21489, 213dmmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (0(,)π)
215212, 214eqtr3i 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π)
216 ssdmres 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π))
217215, 216mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
218217sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
219168, 218elind 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
220 dmres 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
221219, 220eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
222163, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
223222adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
224159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π ∈ ℝ*)
225151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
226155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
227 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
228159, 153, 227mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → -π < 𝑥)
229228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π < 𝑥)
230 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ)
231 neqne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0)
232231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 0)
233 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → ¬ 0 < 𝑥)
234226, 230, 232, 233lttri5d 44672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 < 0)
235224, 225, 226, 229, 234eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
23667, 118, 68ltleii 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ≤ π
237 iooss2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
238153, 236, 237mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
239238sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
240104reseq1i 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0))
241 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ⊆ ℝ
242 resmpt 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
243241, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
244118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
245 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
246133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
247245, 246modcld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
248245, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
249522timesi 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2 · π) = (π + π)
250110, 249eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 𝑇 = (π + π)
251250oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
252 negpicn 26391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -π ∈ ℂ
253252, 52, 52addassi 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
254253eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + (π + π)) = ((-π + π) + π)
25552negidi 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π + -π) = 0
25652, 252, 255addcomli 11431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + π) = 0
257256oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (0 + π)
25852addlidi 11427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0 + π) = π
259257, 258eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π + π) + π) = π
260251, 254, 2593eqtrri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π = (-π + 𝑇)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
262158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
263120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
264239, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
265262, 245, 263, 264ltadd1dd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
266261, 265eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
267244, 248, 266ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 + 𝑇))
268 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
269158, 120readdcli 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + 𝑇) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) ∈ ℝ)
27168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
272271, 260breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (-π + 𝑇))
273268, 270, 248, 272, 265lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
274268, 248, 273ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
275245recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
276121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
277275, 276addcomd 11441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥))
278 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
279159, 151, 278mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
280 ltaddneg 11454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
281245, 120, 280sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
282279, 281mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)
283277, 282eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
284274, 283jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))
285 modid2 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
286248, 133, 285sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
287284, 286mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
288125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
289133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+)
290 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ)
291141, 289, 290, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
292288, 291eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
293245, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
294287, 293eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
295267, 294breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
296244, 247, 295lensymd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
297296iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
298297mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
299240, 243, 2983eqtrri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
300299oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
301 iooretop 24676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
302301, 199eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
303302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
304202negcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ℂ)
305196, 303, 304dvmptconst 45294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
306305mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
307 dvresioo 45300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
308205, 208, 307mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
309300, 306, 3083eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
310309dmeqi 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
311 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
31289, 311dmmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (-π(,)0)
313310, 312eqtr3i 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
314 ssdmres 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0))
315313, 314mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
316315sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
317239, 316elind 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
318317, 220eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
319235, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
320223, 319pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
321150, 320sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
322 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
323322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
324321, 323condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 = 0)
325 velsn 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
326324, 325sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ {0})
327326ssriv 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}
328 ssfi 9192 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({0} ∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}) → ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin)
329149, 327, 328mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin
330 inss1 4225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π)
331220, 330eqsstri 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π)
332 ioosscn 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ⊆ ℂ
333331, 332sstri 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ)
335 dvf 25830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
336 fresin 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ)
337 ffdm 6748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))))
338335, 336, 337mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))
339338simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
340339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ)
341159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π ∈ ℝ*)
342151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
343 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)π) ⊆ ℝ
344331sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
345343, 344sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
346345adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
347344, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
348347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π < 𝑥)
349 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
350341, 342, 346, 348, 349eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
351 elun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
352350, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
353 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
354 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ)
355345adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
356 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → ¬ 𝑥 < 0)
357354, 355, 356nltled 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ≤ 𝑥)
358 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
359205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
360 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
361208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
362 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
363 mnfxr 11296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -∞ ∈ ℝ*
364363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
365362mnfltd 13131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ < 0)
366360, 364, 362, 365lptioo2 45010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)))
367 incom 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-∞(,)0) ⊆ ℝ
369 df-ss 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370368, 369mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371367, 370eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372371fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373366, 372eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374 pnfxr 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 +∞ ∈ ℝ*
375374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
376362ltpnfd 13128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 < +∞)
377360, 362, 375, 376lptioo1 45011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)))
378 incom 4198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)+∞) ⊆ ℝ
380 df-ss 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381379, 380mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382378, 381eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383382fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384377, 383eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
386 mnfle 13141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π ∈ ℝ* → -∞ ≤ -π)
387159, 386ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -∞ ≤ -π
388 iooss1 13386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
389363, 387, 388mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
391 ioosscn 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-∞(,)0) ⊆ ℂ
392390, 391sstrdi 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ ℂ)
393 0cnd 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
394385, 392, 304, 393constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0))
395 resabs1 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
396389, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
397299, 396eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0))
398397oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0)
399 fssres 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
400208, 368, 399mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ
401400a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
402391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (-∞(,)0) ⊆ ℂ)
403 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
404 0le0 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 ≤ 0
405 elioc2 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
406159, 67, 405mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))
40767, 164, 404, 406mpbir3an 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (-π(,]0)
408198cnfldtop 24694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
409 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-∞(,]0) ∈ V
410 resttop 23058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top)
411408, 409, 410mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top
412159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -π ∈ ℝ*)
413 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
414387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -∞ ≤ -π)
415364, 412, 362, 360, 413, 414, 362iocopn 44896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)))
416415mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
417199oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0))
418 iocssre 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
419363, 67, 418mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
420195elexi 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ℝ ∈ V
421 restabs 23063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
422408, 419, 420, 421mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
423417, 422eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
424416, 423eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
425 isopn3i 22980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0))
426411, 424, 425mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)
427 mnflt0 13132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -∞ < 0
428 ioounsn 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0))
429363, 151, 427, 428mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0)
430429eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0})
431430oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
432431fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))
433 ioounsn 13481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π < 0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0))
434159, 151, 164, 433mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)
435434eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0})
436432, 435fveq12i 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
437426, 436eqtr3i 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
438407, 437eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})))
440401, 390, 402, 198, 403, 439limcres 25809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
441440mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
442398, 441eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
443394, 442eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
444 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
445 ioosscn 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℂ
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
447444, 446, 202, 393constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0))
448 ltpnf 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π ∈ ℝ → π < +∞)
449 xrltle 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (π < +∞ → π ≤ +∞))
450153, 374, 449mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π < +∞ → π ≤ +∞)
451118, 448, 450mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 π ≤ +∞
452 iooss2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
453374, 451, 452mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)
454 resabs1 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π)))
455453, 454ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
456193, 455eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
457456oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0)
458 fssres 6758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
459208, 379, 458mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
461453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
462 ioosscn 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)+∞) ⊆ ℂ
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)+∞) ⊆ ℂ)
464 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
465 elico2 13415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π)))
46667, 153, 465mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π))
46767, 404, 68, 466mpbir3an 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (0[,)π)
468 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)+∞) ∈ V
469 resttop 23058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top)
470408, 468, 469mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top
471153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ∈ ℝ*)
472 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
473451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ≤ +∞)
474362, 471, 375, 360, 472, 473icoopn 44901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
475474mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
476199oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞))
477 rge0ssre 13460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
478 restabs 23063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
479408, 477, 420, 478mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
480476, 479eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
481475, 480eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
482 isopn3i 22980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π))
483470, 481, 482mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)
484 0ltpnf 13129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 0 < +∞
485 snunioo1 44888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞))
486151, 374, 484, 485mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞)
487486eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0})
488487oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
489488fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))
490 snunioo1 44888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π))
491151, 153, 68, 490mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)
492491eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0})
493489, 492fveq12i 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
494483, 493eqtr3i 2758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
495467, 494eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})))
497460, 461, 463, 198, 464, 496limcres 25809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
498497mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
499457, 498eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
500447, 499eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 1 ∈ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
501 neg1lt0 12354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -1 < 0
502106, 67, 105lttri 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
503501, 34, 502mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 < 1
504106, 503ltneii 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -1 ≠ 1
505504a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ≠ 1)
506198, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505jumpncnp 45277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⊤ → ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
507506mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0)
508206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ)
509208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
510205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ)
511 inss2 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
512220, 511eqsstri 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
513512sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514199, 198dvcnp2 25843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
515508, 509, 510, 513, 514syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
516507, 515mto 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
518358, 517eqneltrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
519518necon2ai 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ≠ 0)
520519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ≠ 0)
521354, 355, 357, 520leneltd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 < 𝑥)
522344, 163sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
523 elun2 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
525353, 521, 524syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
526352, 525pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
527 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)0) ∈ V
528 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ∈ V
529527, 528unipr 4921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪ (0(,)π))
530526, 529eleqtrrdi 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 {(-π(,)0), (0(,)π)})
531530ssriv 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)}
532531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)})
533 ineq2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)))
534 retop 24672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
535 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ℝ D 𝐹) ∈ V
536535resex 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
537536dmex 7912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
538534, 537pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V)
539318ssriv 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
540 ssid 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)
541301, 539, 5403pm3.2i 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))
542 restopnb 23073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
543538, 541, 542mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
544301, 543mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
545 inss2 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0)
546539, 540ssini 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))
547545, 546eqssi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
548199oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
549331, 343sstri 3988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ
550 restabs 23063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
551408, 549, 420, 550mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
552548, 551eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
553544, 547, 5523eltr4i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
554533, 553eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
555554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
556 neqne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = (-π(,)0) → 𝑥 ≠ (-π(,)0))
557 elprn1 45012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠ (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
558556, 557sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
559 ineq2 4203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)))
560221ssriv 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
561 ssid 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ (0(,)π)
562197, 560, 5613pm3.2i 1337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))
563 restopnb 23073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
564538, 562, 563mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
565197, 564mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
566 inss2 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π)
567560, 561ssini 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π))
568566, 567eqssi 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π)
569565, 568, 5523eltr4i 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
570559, 569eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
571558, 570syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
572555, 571pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
573572adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
574 ssid 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℂ ⊆ ℂ
575574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
576392, 393, 575constcncfg 45251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
577576mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
579 reseq2 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)))
580 resabs1 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
581238, 580ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
582581, 309eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
583579, 582eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
584533, 547eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (-π(,)0))
585584oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ))
586578, 583, 5853eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
587586adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
588446, 393, 575constcncfg 45251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
589588mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)
590589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
591 reseq2 5975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)))
592 resabs1 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
593167, 592ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
594593, 211eqtr4i 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
595591, 594eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
596559, 568eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (0(,)π))
597596oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ))
598590, 595, 5973eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
599558, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
600587, 599pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
601600adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
602334, 340, 532, 573, 601cncfuni 45265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ))
603602mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)
604 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) = (-π(,)+∞))
605604reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)))
606 iooss2 13387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞))
607374, 451, 606mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)
608 resabs2 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
609607, 608ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
610605, 609eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
611 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → 𝑥 = -π)
612610, 611oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
613252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → -π ∈ ℂ)
614311, 392, 393, 613constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π))
615614mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π)
616309oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π)
617335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
618158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ∈ ℝ)
619151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
620164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π < 0)
621315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
622236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ≤ π)
623617, 618, 619, 620, 621, 471, 622limcresioolb 45022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
624623mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
625616, 624eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
626615, 625eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
627626ne0ii 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅)
629612, 628eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
630629adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
631 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
632159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ*)
633153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → π ∈ ℝ*)
634 icossre 13432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
635158, 153, 634mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,)π) ⊆ ℝ
636635sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
637636adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ℝ)
638158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ)
639 icogelb 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → -π ≤ 𝑥)
640159, 153, 639mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → -π ≤ 𝑥)
641640adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ≤ 𝑥)
642 neqne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π)
643642adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ≠ -π)
644638, 637, 641, 643leneltd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π < 𝑥)
645 icoltub 44884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → 𝑥 < π)
646159, 153, 645mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 < π)
647646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 < π)
648632, 633, 637, 644, 647eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
649631, 648sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
650 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
651650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
652649, 651eldifd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
653 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) = (0(,)+∞))
654653reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)))
655654, 358oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
656213, 446, 393, 393constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0))
657656mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0)
658 resres 5993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)))
659 iooin 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)))
660159, 153, 151, 374, 659mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞))
661165iftruei 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ 0, 0, -π) = 0
662451iftruei 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ +∞, π, +∞) = π
663661, 662oveq12i 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) = (0(,)π)
664660, 663eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π)
665664reseq2i 5977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
666211eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
667658, 665, 6663eqtrri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))
668667oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
669657, 668eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
670669ne0ii 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅)
672655, 671eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
673652, 324, 6723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
674630, 673pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
675 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)π))
676675reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)))
677 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
678676, 677oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π))
679 iooss1 13386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π))
680363, 387, 679mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)
681 resabs2 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
682680, 681ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
683682oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
684678, 683eqtrdi 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
685213, 446, 393, 53constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π))
686685mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π)
687211oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π)
688118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → π ∈ ℝ)
68968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 < π)
690217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
691165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ≤ 0)
692617, 619, 688, 689, 690, 412, 691limcresiooub 45021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
693692mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
694687, 693eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
695686, 694eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
696695ne0ii 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅
697696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅)
698684, 697eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
699698adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
700159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈ ℝ*)
701153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ*)
702 negpitopissre 26468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,]π) ⊆ ℝ
703 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
704702, 703sselid 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ ℝ)
705704adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ)
706159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*)
707153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → π ∈ ℝ*)
708 iocgtlb 44878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → -π < 𝑥)
709706, 707, 703, 708syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π < 𝑥)
710709adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥)
711118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ)
712 iocleub 44879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → 𝑥 ≤ π)
713706, 707, 703, 712syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ≤ π)
714713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π)
715 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π = 𝑥 → π = 𝑥)
716715eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π = 𝑥𝑥 = π)
717716necon3bi 2963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = π → π ≠ 𝑥)
718717adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥)
719705, 711, 714, 718leneltd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π)
720700, 701, 705, 710, 719eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
721 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
722721adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
723720, 722eldifd 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
724 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)0))
725724reseq2d 5980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)))
726725, 358oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
727311, 392, 393, 393constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0))
728727mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0)
729 resres 5993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)))
730 iooin 13385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)))
731159, 153, 363, 151, 730mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))
732 mnflt 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (-π ∈ ℝ → -∞ < -π)
733158, 732ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -∞ < -π
734 xrltnle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈ ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞))
735363, 159, 734mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞)
736733, 735mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ -π ≤ -∞
737736iffalsei 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ -∞, -∞, -π) = -π
738 xrltnle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0))
739151, 153, 738mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0)
74068, 739mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ π ≤ 0
741740iffalsei 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ 0, π, 0) = 0
742737, 741oveq12i 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) = (-π(,)0)
743731, 742eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0)
744743reseq2i 5977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
745309eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
746729, 744, 7453eqtrri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))
747746oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
748728, 747eleqtri 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
749748ne0ii 4334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅
750749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅)
751726, 750eqnetrd 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
752723, 324, 7513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
753699, 752pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
754 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755 ioosscn 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ
756755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
757 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ℂ)
75823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ)
759754, 756, 757, 758constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
760 ioossioc 44868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ (0(,]π)
761760sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
762761iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
763208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
764 modcl 13865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
76522, 133, 764mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
76622, 765resubcli 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767766rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768767a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
76922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
770 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772151, 153, 771mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773770, 772elrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774769, 773ltsubrpd 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
776775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
777363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈ ℝ*)
778 mnflt 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
779 xrltle 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
780363, 767, 779mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
781766, 778, 780mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))
782781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
783763, 768, 769, 774, 776, 777, 782limcresiooub 45021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
784 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
785151, 153, 784mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
786208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
787775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
788786, 787feqresmpt 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
789 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
790789, 107, 145sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
791790adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
792789adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
793133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
794792, 793modcld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
795765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
79722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
798133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
799 ioossico 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800799sseli 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801797, 798, 800ltmod 45017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802801adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
804794, 795, 796, 802, 803lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
805804iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
806791, 805eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
807806mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808788, 807eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809785, 808syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810809oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
811783, 810eqtr3d 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
812759, 762, 8113eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
813 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
814 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ
815814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
816815, 206sstrdi 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℂ)
81723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℂ)
818813, 816, 304, 817constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
819818mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋)
820819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
821 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822 lbioc 44889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 0 ∈ (0(,]π)
823822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈ (0(,]π))
824821, 823eqneltrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
825824iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
826208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
827814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
828826, 827feqresmpt 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
829827sselda 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
830829, 107, 145sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
831118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
832133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
833829, 832modcld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
83422, 118resubcli 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 − π) ∈ ℝ
835834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ)
836120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
837835, 836readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ)
838 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
839838, 836readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
84022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
841834rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 − π) ∈ ℝ*
842841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
843840rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
844 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
845 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥)
846842, 843, 844, 845syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥)
847835, 838, 836, 846ltadd1dd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
848837, 839, 840, 847ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
849848adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
850250oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π + π))
85152, 52addcli 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π + π) ∈ ℂ
852 subadd23 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π)))
85323, 52, 851, 852mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π))
85452, 52pncan3oi 11501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π + π) − π) = π
855854oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 + ((π + π) − π)) = (𝑋 + π)
856850, 853, 8553eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π)
857856oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋)
858 pncan2 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝑋 + π) − 𝑋) = π)
85923, 52, 858mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋 + π) − 𝑋) = π
860857, 859eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
861860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
862839, 840resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
863 modabs2 13897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
864862, 133, 863sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
865133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
866 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
867837, 840resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
86868, 860breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
869868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
870866, 867, 862, 869, 848lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
871866, 862, 870ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
872840, 836readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
874842, 843, 844, 873syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
875838, 840, 836, 874ltadd1dd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876839, 872, 840, 875ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋))
877 pncan2 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇)
87823, 121, 877mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇
879876, 878breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)
880 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
881862, 865, 871, 879, 880syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
882864, 881eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883882adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885884adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886862, 865modcld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887886recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ)
888887addridd 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
889888adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
890885, 889eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891890oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892 modaddabs 13901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893862, 840, 865, 892syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894893adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895883, 891, 8943eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896143recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
89723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
898896, 897npcand 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇))
899122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑇) = 𝑇)
900899oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇))
901898, 900eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇)))
902901oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
903838, 902syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
904903adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
905 1zzd 12618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
906829, 832, 905, 136syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
907895, 904, 9063eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
908849, 861, 9073brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
909831, 833, 908ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
910831, 833, 909lensymd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
911910iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
912830, 911eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
913912mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1))
914828, 913eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
915914oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
916841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
91722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
918 ltsubrp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋)
91922, 182, 918mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 − π) < 𝑋
920919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) < 𝑋)
921 mnflt 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − π))
922 xrltle 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π)))
923363, 841, 922mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))
924834, 921, 923mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -∞ ≤ (𝑋 − π)
925924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → -∞ ≤ (𝑋 − π))
926361, 916, 917, 920, 815, 364, 925limcresiooub 45021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
927926mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
928915, 927eqtr2di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
929820, 825, 9283eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
930929adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
931153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
932120rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ∈ ℝ*
933932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
934765rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
937765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938 pm4.56 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939938biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940 olc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941940adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈ ℝ*)
943153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈ ℝ*)
944765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ)
946765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947 modge0 13871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
94822, 133, 947mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
949948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
950 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
951945, 946, 949, 950leneltd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952951adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
954942, 943, 944, 952, 953eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π))
955954orcd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956941, 955pm2.61dane 3025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957939, 956nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
958936, 937, 957nltled 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
959 modlt 13872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
96022, 133, 959mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962931, 933, 935, 958, 961elicod 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
963 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
964963, 816, 202, 817constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
965964mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋)
966965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
967 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
968 ubioc1 13404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → π ∈ (0(,]π))
969151, 153, 68, 968mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ (0(,]π)
970967, 969eqeltrdi 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
971970iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
972361, 815feqresmpt 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
973972mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
974838, 107, 145sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
975974adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
976 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
977967eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇))
978977oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
979978oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980979adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981976, 980eleqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982981, 801syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
984982, 983breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
985984iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
986975, 985eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
987986mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1))
988973, 987eqtr2id 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
989988oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
990989, 927eqtr2di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
991966, 971, 9903eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
992991adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
993153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ*)
994932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
995765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ)
997 icogelb 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
998153, 932, 997mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
999998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1000 neqne 2944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
10011000adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1002996, 995, 999, 1001leneltd 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1003960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004993, 994, 995, 1002, 1003eliood 44874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
1005 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
10071006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
10081007, 206sstrdi 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
1009 neg1cn 12351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ ℂ
10101009a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ)
101123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
10121005, 1008, 1010, 1011constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
1013151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
1014118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1015934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1017153, 932, 1016mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
10181013, 1014, 1015, 1017gtnelioc 44867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
10191018iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
10201006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1021361, 1020feqresmpt 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
10221021mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
1023 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
10241023, 107, 145sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
10251024adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1026118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
1027133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
10281023, 1027modcld 13867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10291028adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
103022, 118readdcli 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 + π) ∈ ℝ
10311030recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + π) ∈ ℂ
10321031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ)
103323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
1034765recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ
10351034a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ)
10361032, 1033, 1035nnncan2d 11631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋))
10371036, 859eqtr2di 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10381030, 765resubcli 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
10411038rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
104322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
10441043rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1045 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10471042, 1044, 1045, 1046syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10481039, 1023, 1040, 1047ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10491037, 1048eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10501023recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051 sub31 44663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10521050, 1033, 1035, 1051syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10531049, 1052breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10541053adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10551043, 1023resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
1056 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1057 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
10581042, 1044, 1045, 1057syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
10591023, 1043posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋𝑥)))
10601058, 1059mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋𝑥))
10611056, 1055, 1060ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋𝑥))
10621043, 1039resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
10641039, 1023, 1043, 1047ltsub2dd 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1065 sub31 44663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)))
106623, 1031, 1034, 1065mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))
1067859oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
10681066, 1067eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1069 ltsubrp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇))
1070765, 182, 1069mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)
1071765, 118resubcli 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈ ℝ
10721071, 765, 120lttri 11365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇)
10731070, 960, 1072mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇
10741068, 1073eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10751074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10761055, 1062, 1063, 1064, 1075lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < 𝑇)
1077 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑋𝑥) ∧ (𝑋𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10781055, 1027, 1061, 1076, 1077syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10791078oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10801079oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
1081765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10821081, 1055resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
1083118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈ ℝ)
10841052, 1082eqeltrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
108568a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π)
10861056, 1083, 1084, 1085, 1049lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10871086, 1052breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10881056, 1082, 1087ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10891043, 1040resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
10901023, 1043, 1040, 1058ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1091 nncan 11514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
109223, 1034, 1091mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
10931092, 960eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10941093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10951084, 1089, 1063, 1090, 1094lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10961052, 1095eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)
1097 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10981082, 1027, 1088, 1096, 1097syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10991080, 1098eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100 modsubmodmod 13922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11011043, 1055, 1027, 1100syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11021033, 1050nncand 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋𝑥)) = 𝑥)
11031102oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
11041099, 1101, 11033eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11051104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11061054, 1105breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11071017, 1106sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11081026, 1029, 1107ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
11091026, 1029, 1108lensymd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
11101109iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
11111025, 1110eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
11121111mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
11131022, 1112eqtr2id 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
11141113oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋))
1115208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11161041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
111722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1118 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119 ltaddsublt 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11201117, 1014, 1118, 1119syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11211017, 1120mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈ ℝ*)
1123 mnflt 13130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1124 xrltle 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1125363, 1041, 1124mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11261038, 1123, 1125mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))
11271126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11281115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127limcresiooub 45021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11291114, 1128eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
11301012, 1019, 11293eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11311004, 1130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1132992, 1131pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1133962, 1132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1134930, 1133pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1135812, 1134pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1136 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
11381137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
11391138, 206sstrdi 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
11401136, 1139, 202, 817constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
11411140mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋)
11421141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
1143104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
1144 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
11451144breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
11461145ifbid 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11471146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
1149105, 106ifcli 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
11501149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
11511143, 1147, 1148, 1150fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1152 icoltub 44884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1153151, 153, 1152mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
11541153iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
11551151, 1154eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = 1)
1156361, 1138feqresmpt 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
11571156mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1158 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11591158, 107, 145sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11601159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
11621158, 1161resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1163133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1164 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
11651161rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1166118, 765resubcli 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
116722, 1166readdcli 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
11681167rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
11691168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))
1171 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
11721165, 1169, 1170, 1171syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
11731161, 1158posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
11741172, 1173mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
11751164, 1162, 1174ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
1176118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈ ℝ)
1177120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11781167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
11791178, 1161resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1180 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11811165, 1169, 1170, 1180syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11821158, 1178, 1161, 1181ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
11831166recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1184 pncan2 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)))
118523, 1183, 1184mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))
1186 subge02 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π))
1187118, 765, 1186mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)
1188948, 1187mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π
11891185, 1188eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π
11901189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π)
11911162, 1179, 1176, 1182, 1190ltletrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < π)
1192185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇)
11931162, 1176, 1177, 1191, 1192lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
1194 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11951162, 1163, 1175, 1193, 1194syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11961195oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
11971196oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1198765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
11991198, 1162readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
12001161, 1161resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) ∈ ℝ)
12011198, 1200readdcld 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) ∈ ℝ)
120223subidi 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋𝑋) = 0
12031202oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
12041034addridi 11426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
12051203, 1204eqtr2i 2757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
1206948, 1205breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
12071206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)))
12081161, 1158, 1161, 1172ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) < (𝑥𝑋))
12091200, 1162, 1198, 1208ltadd2dd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12101164, 1201, 1199, 1207, 1209lelttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12111164, 1199, 1210ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12121162, 1179, 1198, 1182ltadd2dd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
12131185oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12141034, 52pncan3i 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π
12151213, 1214eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π
12161212, 1215breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12171199, 1176, 1177, 1216, 1192lttrd 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
1218 modid 13888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12191199, 1163, 1211, 1217, 1218syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12201197, 1219eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221 modaddabs 13901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
12221161, 1162, 1163, 1221syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
122323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
12241158recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
12251223, 1224pncan3d 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
12261225oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
12271220, 1222, 12263eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12281227adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12291216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12301228, 1229eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12311153, 1230sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12321231iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
12331160, 1232eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = 1)
12341233mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
12351157, 1234eqtr2id 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))))
12361235oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1237208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
12381168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
12391166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ)
12421240, 1241posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12431153, 1242mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12441239, 1243elrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
12451148, 1244ltaddrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12461137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1247374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈ ℝ*)
1248 ltpnf 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249 xrltle 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
12501168, 374, 1249mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12511167, 1248, 1250mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
12521251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12531237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252limcresioolb 45022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12541236, 1253eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
12551142, 1155, 12543eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1256153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ*)
1257932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
1258934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈ ℝ*)
1260153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → π ∈ ℝ*)
1261934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1263765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈ ℝ)
12651263, 1264ltnled 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)))
12661265ibir 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12671266adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12681259, 1260, 1261, 1262, 1267elicod 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1269 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
12701268, 1269condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1271960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
12721256, 1257, 1258, 1270, 1271elicod 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
1273 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274 ioossre 13412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
12751274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
12761275, 206sstrdi 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
12771273, 1276, 304, 817constlimc 45003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
12781277mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋)
12791278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
1280 1ex 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ V
1281106elexi 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ V
12821280, 1281ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
12831146, 104, 1282fvmpt 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
128422, 1283ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
12851284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1286118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1287765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
12881286, 1287, 998lensymd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
12891288iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
12901285, 1289eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
1291361, 1275feqresmpt 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
12921291mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1293 elioore 13381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12941293, 107, 145sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
12951294adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1296118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈ ℝ)
129722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12981293, 1297resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1299133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1300 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
13011297rexrd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1302120, 765resubcli 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
130322, 1302readdcli 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
13041303rexri 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
13051304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))
1307 ioogtlb 44871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
13081301, 1305, 1306, 1307syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
13091297, 1293posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
13101308, 1309mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
13111300, 1298, 1310ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
13121303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
13131312, 1297resubcld 11667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1315 iooltub 44886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13161301, 1305, 1306, 1315syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13171293, 1312, 1297, 1316ltsub1dd 11851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
13181302recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1319 pncan2 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
132023, 1318, 1319mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))
1321 subge02 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇))
1322120, 765, 1321mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)
1323948, 1322mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇
13241320, 1323eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇
13251324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇)
13261298, 1313, 1314, 1317, 1325ltletrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
13271298, 1299, 1311, 1326, 1194syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
13281327oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13291328oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1330 readdcl 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1331765, 1298, 1330sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1332765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13341332, 1298, 1333, 1310addgegt0d 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13351300, 1331, 1334ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13361298, 1313, 1332, 1317ltadd2dd 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
13371320oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13381034, 121pncan3i 11562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
13391337, 1338eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇
13401336, 1339breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
13411331, 1299, 1335, 1340, 1218syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13421329, 1341eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
13431297, 1298, 1299, 1221syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
134423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
13451293recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13461344, 1345pncan3d 11599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
13471346oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
13481342, 1343, 13473eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13491348adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13501331adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
13511349, 1350eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13541298, 1310elrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ+)
13551332, 1354ltaddrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13561355adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13571296, 1352, 1350, 1353, 1356lelttrd 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13581296, 1350, 1357ltled 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13591358, 1349breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
13601296, 1351, 1359lensymd 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
13611360iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
13621295, 1361eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = -1)
13631362mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
13641292, 1363eqtr2id 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))))
13651364oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1366208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
136722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
13681304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
13691302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1370960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1371120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
13721287, 1371posdifd 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13731370, 1372mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13741369, 1373elrpd 13040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
13751367, 1374ltaddrpd 13076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13761274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1377374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → +∞ ∈ ℝ*)
1378 ltpnf 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1379 xrltle 13155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
13801304, 374, 1379mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13811303, 1378, 1380mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
13821381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13831366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382limcresioolb 45022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13841365, 1383eqtr2d 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
13851279, 1290, 13843eltr4d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13861272, 1385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13871255, 1386pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
1388 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
1389110, 104, 1388sqwvfoura 45607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
13901389eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13911390mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1393110, 104, 1392sqwvfourb 45608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
13941393eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13951394mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1396 nnnn0 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1397 0red 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1398 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)
13991398fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14001396, 1397, 1399syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14011400oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
140274coscld 16102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
14031402mul02d 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14041401, 1403eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1405 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 / (𝑛 · π)) ∈ V
140689, 1405ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V
1407 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14081407fvmpt2 7011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14091406, 1408mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14101409oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14111404, 1410oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
141260, 72ifcld 4571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ ℂ)
14131412, 75mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
14141413addlidd 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1415 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = 0)
14161415oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
141775mul02d 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14181416, 1417sylan9eqr 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1419 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = 0)
14201419eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14211420adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14221418, 1421eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1423 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (4 / (𝑛 · π)))
14241423oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14251424adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1426 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14271426eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14281427adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14291425, 1428eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14301422, 1429pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14311411, 1414, 14303eqtrrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14321431mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1433109, 110, 147, 148, 329, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432fourierclim 45603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2))
1434 0nn0 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
1435 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
14361435, 1398, 89fvmpt 7000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0)
14371434, 1436ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0
14381437oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = (0 / 2)
143928recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
144067, 129gtneii 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
14411439, 1440div0i 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
14421438, 1441eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = 0
14431442oveq2i 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0)
1444202mptru 1541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14451444, 1009ifcli 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ℂ
14461149recni 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ
14471284, 1446eqeltri 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑋) ∈ ℂ
14481445, 1447addcli 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) ∈ ℂ
14491448, 1439, 1440divcli 11981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∈ ℂ
14501449subid1i 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14511443, 1450eqtri 2756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14521433, 1451breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14531452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
145479, 103, 1453sumnnodd 45009 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))))
14551454mptru 1541 . . . . . . . . . . . 12 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))
14561455simpli 483 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
1457 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1)))
1458 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑘) − 1) · π))
14591458oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)))
1460 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
14611460fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
14621459, 1461oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14631457, 1462ifbieq2d 4551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
14641463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1465 elnnz 12593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) − 1)))
146620, 48, 1465sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ)
1467 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) ∈ V
146889, 1467ifex 4575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V
14691468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V)
147080, 1464, 1466, 1469fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1471 dvdsmul1 16249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147215, 17, 1471sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147318zcnd 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
1474 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14751473, 1474npcand 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
14761475eqcomd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
14771472, 1476breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
1478 oddp1even 16315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
147920, 1478syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
14801477, 1479mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1))
14811480iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
148252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
148321, 1482mulcomd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) − 1)))
14841483oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
148554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
148669a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0)
14871485, 1482, 21, 1486, 49divdiv1d 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
14881484, 1487eqtr4d 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)))
14891488oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14901485, 1482, 1486divcld 12015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
14911490, 21, 26, 49div32d 12038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14921489, 1491eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14931470, 1481, 14923eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14941493mpteq2ia 5246 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1495 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
14961495oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑛) − 1))
14971496oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋))
14981497fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)))
14991498, 1496oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
15001499oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15011500cbvmptv 5256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15021494, 1501eqtri 2756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1503 seqeq3 13998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))))
15041502, 1503ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1505 fouriersw.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
1506110, 104, 22, 1505fourierswlem 45609 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
15071506eqcomi 2737 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = 𝑌
15081456, 1504, 15073brtr3i 5172 . . . . . . . . . 10 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌
15091508a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌)
1510 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
151161, 65, 70divcld 12015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
15121439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15131512, 62mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1514 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1515 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
15161514, 1515subcld 11596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15171513, 1516syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15181517, 73mulcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
15191518sincld 16101 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
152028a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1521 nnre 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
15221520, 1521remulcld 11269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15231522recnd 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1524 1cnd 11234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15251523, 1524subcld 11596 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1526 1red 11240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
152735, 1520eqeltrid 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
1528 1lt2 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
15291528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2)
15301529, 35breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 1))
153143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
1532 nnge1 12265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
15331526, 1521, 1520, 1531, 1532lemul2ad 12179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑛))
15341526, 1527, 1522, 1530, 1533ltletrd 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑛))
15351526, 1534gtned 11374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 1)
15361523, 1524, 1535subne0d 11605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ≠ 0)
15371519, 1525, 1536divcld 12015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) ∈ ℂ)
15381511, 1537mulcld 11259 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) ∈ ℂ)
15391510, 1538fmpti 7117 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ
15401539a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ)
15411540ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
1542 divcan6 11946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((π / 4) · (4 / π)) = 1)
154352, 69, 54, 56, 1542mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 4) · (4 / π)) = 1
15441543eqcomi 2737 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((π / 4) · (4 / π))
15451544oveq1i 7425 . . . . . . . . . . . 12 (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154650mullidd 11257 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
15481482, 1485, 1547divcld 12015 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (π / 4) ∈ ℂ)
15491548, 1490, 50mulassd 11262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15501545, 1546, 15493eqtr3a 2792 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1551 eqidd 2729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15528oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15531552adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15541492, 1467eqeltrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) ∈ V)
15551551, 1553, 10, 1554fvmptd 7007 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15561555oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15571556eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
155813, 1550, 15573eqtrd 2772 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15591558adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15601, 2, 58, 1509, 1541, 1559isermulc2 15631 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
1561 climrel 15463 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
15621561releldmi 5945 . . . . . . . 8 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15631560, 1562syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15641, 2, 14, 51, 1563isumclim2 15731 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15651564mptru 1541 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))
15661560mptru 1541 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
1567 climuni 15523 . . . . 5 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌))
15681565, 1566, 1567mp2an 691 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌)
15691568oveq2i 7426 . . 3 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
157054, 52, 69divcli 11981 . . . 4 (4 / π) ∈ ℂ
157152, 54, 56divcli 11981 . . . 4 (π / 4) ∈ ℂ
15721284, 1149eqeltri 2825 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ∈ ℝ
157367, 1572ifcli 4572 . . . . . 6 if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) ∈ ℝ
15741505, 1573eqeltri 2825 . . . . 5 𝑌 ∈ ℝ
15751574recni 11253 . . . 4 𝑌 ∈ ℂ
15761570, 1571, 1575mulassi 11250 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
15771571, 1570, 1543mulcomli 11248 . . . . 5 ((4 / π) · (π / 4)) = 1
15781577oveq1i 7425 . . . 4 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = (1 · 𝑌)
15791575mullidi 11244 . . . 4 (1 · 𝑌) = 𝑌
15801578, 1579eqtri 2756 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = 𝑌
15811569, 1576, 15803eqtr2i 2762 . 2 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌
1582 fouriersw.z . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
1583 seqeq3 13998 . . . 4 (𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15841582, 1583ax-mp 5 . . 3 seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15851584, 1566eqbrtri 5164 . 2 seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
15861581, 1585pm3.2i 470 1 (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wtru 1535  wcel 2099  wne 2936  Vcvv 3470  cdif 3942  cun 3943  cin 3944  wss 3945  c0 4319  ifcif 4525  {csn 4625  {cpr 4627   cuni 4904   class class class wbr 5143  cmpt 5226  dom cdm 5673  ran crn 5674  cres 5675  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8958  cc 11131  cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  *cxr 11272   < clt 11273  cle 11274  cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  cn 12237  2c2 12292  4c4 12294  0cn0 12497  cz 12583  +crp 13001  (,)cioo 13351  (,]cioc 13352  [,)cico 13353   mod cmo 13861  seqcseq 13993  cli 15455  Σcsu 15659  sincsin 16034  cosccos 16035  πcpi 16037  cdvds 16225  t crest 17396  TopOpenctopn 17397  topGenctg 17413  fldccnfld 21273  Topctop 22789  intcnt 22915  limPtclp 23032   CnP ccnp 23123  cnccncf 24790  citg 25541   lim climc 25785   D cdv 25786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-symdif 4239  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-t1 23212  df-haus 23213  df-cmp 23285  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-mbf 25542  df-itg1 25543  df-itg2 25544  df-ibl 25545  df-itg 25546  df-0p 25593  df-ditg 25770  df-limc 25789  df-dv 25790
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