Theorem fouriersw 45610

Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fouriersw.t	⊢ 𝑇 = (2 · π)
fouriersw.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fouriersw.x	⊢ 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
fouriersw.y	⊢ 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
fouriersw	⊢ (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑋,𝑛   𝑥,𝑋   𝑘,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12890	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12618	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3		eqidd 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
4		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
5	4	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1))
6	5	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
7	6	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
8	7, 5	oveq12d 7433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
10		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
11		ovex 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V)
13	3, 9, 10, 12	fvmptd 7007	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
14	13	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15		2z 12619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
17		nnz 12604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
18	16, 17	zmulcld 12697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
19		1zzd 12618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
20	18, 19	zsubcld 12696	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
21	20	zcnd 12692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
22		fouriersw.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑋 ∈ ℝ
23	22	recni 11253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑋 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
25	21, 24	mulcld 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
26	25	sincld 16101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
27		0red 11242	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
28		2re 12311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30		1red 11240	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
31	29, 30	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
32	31, 30	resubcld 11667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ∈ ℝ)
33	20	zred 12691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℝ)
34		0lt1 11761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 1
35		2t1e2 12400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 · 1) = 2
36	35	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
37		2m1e1 12363	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (2 − 1) = 1
38	36, 37	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = ((2 · 1) − 1)
39	34, 38	breqtri 5168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < ((2 · 1) − 1)
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 1) − 1))
41	18	zred 12691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
42		nnre 12244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
43		0le2 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ≤ 2
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
45		nnge1 12265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
46	30, 42, 29, 44, 45	lemul2ad 12179	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑘))
47	31, 41, 30, 46	lesub1dd 11855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1))
48	27, 32, 33, 40, 47	ltletrd 11399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑘) − 1))
49	27, 48	gtned 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ≠ 0)
50	26, 21, 49	divcld 12015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
51	50	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
52		picn 26388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℂ
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → π ∈ ℂ)
54		4cn 12322	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 4 ∈ ℂ)
56		4ne0 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ 0
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → 4 ≠ 0)
58	53, 55, 57	divcld 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → (π / 4) ∈ ℂ)
59		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
60		0cnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
61	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
62		nncn 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
63		mulcl 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
64	62, 52, 63	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
65	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
66		nnne0 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
67		0re 11241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ℝ
68		pipos 26389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < π
69	67, 68	gtneii 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ π ≠ 0
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
71	62, 65, 66, 70	mulne0d 11891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠ 0)
72	61, 64, 71	divcld 12015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 / (𝑛 · π)) ∈ ℂ)
73	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
74	62, 73	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
75	74	sincld 16101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
76	72, 75	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
77	60, 76	ifcld 4571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
78	59, 77	fmpti 7117	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ)
80		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
81		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘))
82		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
83	82	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π)))
84		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
85	84	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
86	83, 85	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
87	81, 86	ifbieq2d 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
88	87	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
89		c0ex 11233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 ∈ V
90		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ V
91	89, 90	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
93	80, 88, 10, 92	fvmptd 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
95		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (𝑘 / 2) ∈ ℕ)
96		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
97		2nn 12310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
98		nndivdvds 16234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
99	96, 97, 98	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
100	95, 99	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∥ 𝑘)
101	100	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = 0)
102	94, 101	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
103	102	3adant1 1128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
104		fouriersw.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
105		1re 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
106	105	renegcli 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ -1 ∈ ℝ
107	105, 106	ifcli 4572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
109	104, 108	fmpti 7117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ
110		fouriersw.t	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇 = (2 · π)
111		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112	111	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π))
113	112	ifbid 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114	113	cbvmptv 5256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
115	104, 114	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116	115	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
117		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇))
118		pire 26387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ π ∈ ℝ
119	28, 118	remulcli 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
120	110, 119	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
121	120	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
122	121	mullidi 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 · 𝑇) = 𝑇
123	122	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇)
124	123	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
125	124	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
126	117, 125	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
128		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
129		2pos 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 < 2
130	28, 118, 129, 68	mulgt0ii 11372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 < (2 · π)
131	110	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (2 · π) = 𝑇
132	130, 131	breqtri 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 < 𝑇
133	120, 132	elrpii 13004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ+
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
135		1zzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ)
136		modcyc 13898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
137	128, 134, 135, 136	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
138	127, 137	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
139	138	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π))
140	139	ifbid 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
141		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
142	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
143	141, 142	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
144	116, 140, 143, 108	fvmptd 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
145	104	fvmpt2 7011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
146	107, 145	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
147	144, 146	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
148		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
149		snfi 9063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {0} ∈ Fin
150		eldifi 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
151		0xr 11286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ∈ ℝ*
152	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
153	118	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ π ∈ ℝ*
154	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → π ∈ ℝ*)
155		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
156	155	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
157		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
158	118	renegcli 11546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ -π ∈ ℝ
159	158	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ -π ∈ ℝ*
160		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 < π)
161	159, 153, 160	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 < π)
162	161	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < π)
163	152, 154, 156, 157, 162	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
164		negpilt0 44653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ -π < 0
165	158, 67, 164	ltleii 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ -π ≤ 0
166		iooss1 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
167	159, 165, 166	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
168	167	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
169	104	reseq1i 5976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π))
170		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
171		resmpt 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
172	170, 171	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
173		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
174	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
175		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
176		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
177	151, 153, 176	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
178	175, 173, 177	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
179	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
180	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
181	168, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
182		pirp 26390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ π ∈ ℝ+
183		2timesgt 44661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
184	182, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ π < (2 · π)
185	184, 131	breqtri 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ π < 𝑇
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
187	173, 179, 180, 181, 186	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
188		modid 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
189	173, 174, 178, 187, 188	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
190	189, 181	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
191	190	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
192	191	mpteq2ia 5246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
193	169, 172, 192	3eqtrri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
194	193	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π)))
195		reelprrecn 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
197		iooretop 24676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
198		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
199	198	tgioo2 24713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200	197, 199	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
202		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
203	196, 201, 202	dvmptconst 45294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
204	203	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
205		ssid 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ℝ ⊆ ℝ
206		ax-resscn 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
207		fss 6734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
208	109, 206, 207	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ 𝐹:ℝ⟶ℂ
209		dvresioo 45300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
210	205, 208, 209	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
211	194, 204, 210	3eqtr3i 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
212	211	dmeqi 5902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
213		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
214	89, 213	dmmpti 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (0(,)π)
215	212, 214	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π)
216		ssdmres 6003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π))
217	215, 216	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
218	217	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
219	168, 218	elind 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
220		dmres 6002	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
221	219, 220	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
222	163, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
223	222	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
224	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π ∈ ℝ*)
225	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
226	155	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
227		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
228	159, 153, 227	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) → -π < 𝑥)
229	228	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π < 𝑥)
230		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ)
231		neqne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0)
232	231	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 0)
233		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → ¬ 0 < 𝑥)
234	226, 230, 232, 233	lttri5d 44672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 < 0)
235	224, 225, 226, 229, 234	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
236	67, 118, 68	ltleii 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 0 ≤ π
237		iooss2 13387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
238	153, 236, 237	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
239	238	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
240	104	reseq1i 5976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0))
241		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (-π(,)0) ⊆ ℝ
242		resmpt 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
243	241, 242	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
244	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
245		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
246	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
247	245, 246	modcld 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
248	245, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
249	52	2timesi 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (2 · π) = (π + π)
250	110, 249	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ 𝑇 = (π + π)
251	250	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
252		negpicn 26391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ -π ∈ ℂ
253	252, 52, 52	addassi 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
254	253	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (-π + (π + π)) = ((-π + π) + π)
255	52	negidi 11554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (π + -π) = 0
256	52, 252, 255	addcomli 11431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (-π + π) = 0
257	256	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((-π + π) + π) = (0 + π)
258	52	addlidi 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (0 + π) = π
259	257, 258	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((-π + π) + π) = π
260	251, 254, 259	3eqtrri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ π = (-π + 𝑇)
261	260	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
262	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
263	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
264	239, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
265	262, 245, 263, 264	ltadd1dd 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
266	261, 265	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
267	244, 248, 266	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 + 𝑇))
268		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
269	158, 120	readdcli 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (-π + 𝑇) ∈ ℝ
270	269	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) ∈ ℝ)
271	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
272	271, 260	breqtrdi 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (-π + 𝑇))
273	268, 270, 248, 272, 265	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
274	268, 248, 273	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
275	245	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
276	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
277	275, 276	addcomd 11441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥))
278		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
279	159, 151, 278	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
280		ltaddneg 11454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
281	245, 120, 280	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
282	279, 281	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)
283	277, 282	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
284	274, 283	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))
285		modid2 13890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
286	248, 133, 285	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
287	284, 286	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
288	125	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
289	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+)
290		1zzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ)
291	141, 289, 290, 136	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
292	288, 291	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
293	245, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
294	287, 293	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
295	267, 294	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
296	244, 247, 295	lensymd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
297	296	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
298	297	mpteq2ia 5246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
299	240, 243, 298	3eqtrri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
300	299	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
301		iooretop 24676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
302	301, 199	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
303	302	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
304	202	negcld 11583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ℂ)
305	196, 303, 304	dvmptconst 45294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
306	305	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
307		dvresioo 45300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
308	205, 208, 307	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
309	300, 306, 308	3eqtr3i 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
310	309	dmeqi 5902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
311		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
312	89, 311	dmmpti 6694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (-π(,)0)
313	310, 312	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
314		ssdmres 6003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0))
315	313, 314	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
316	315	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
317	239, 316	elind 4191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
318	317, 220	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
319	235, 318	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
320	223, 319	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
321	150, 320	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
322		eldifn 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
323	322	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
324	321, 323	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 = 0)
325		velsn 4641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
326	324, 325	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ {0})
327	326	ssriv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}
328		ssfi 9192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({0} ∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}) → ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin)
329	149, 327, 328	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin
330		inss1 4225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π)
331	220, 330	eqsstri 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π)
332		ioosscn 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℂ
333	331, 332	sstri 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ
334	333	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ)
335		dvf 25830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
336		fresin 6761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ)
337		ffdm 6748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))))
338	335, 336, 337	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))
339	338	simpli 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
340	339	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ)
341	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π ∈ ℝ*)
342	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
343		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
344	331	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
345	343, 344	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
346	345	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
347	344, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
348	347	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π < 𝑥)
349		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
350	341, 342, 346, 348, 349	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
351		elun1 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
352	350, 351	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
353		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
354		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ)
355	345	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
356		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → ¬ 𝑥 < 0)
357	354, 355, 356	nltled 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ≤ 𝑥)
358		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
359	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
360		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
361	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
362		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
363		mnfxr 11296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
364	363	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
365	362	mnfltd 13131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → -∞ < 0)
366	360, 364, 362, 365	lptioo2 45010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)))
367		incom 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (-∞(,)0) ⊆ ℝ
369		df-ss 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370	368, 369	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371	367, 370	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372	371	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373	366, 372	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374		pnfxr 11293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
375	374	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
376	362	ltpnfd 13128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → 0 < +∞)
377	360, 362, 375, 376	lptioo1 45011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)))
378		incom 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ ℝ
380		df-ss 3962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381	379, 380	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382	378, 381	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383	382	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384	377, 383	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
386		mnfle 13141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (-π ∈ ℝ* → -∞ ≤ -π)
387	159, 386	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ -∞ ≤ -π
388		iooss1 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
389	363, 387, 388	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)
390	389	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⊤ → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
391		ioosscn 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (-∞(,)0) ⊆ ℂ
392	390, 391	sstrdi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → (-π(,)0) ⊆ ℂ)
393		0cnd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
394	385, 392, 304, 393	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) limℂ 0))
395		resabs1 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
396	389, 395	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
397	299, 396	eqtr4i 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0))
398	397	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) limℂ 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) limℂ 0)
399		fssres 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
400	208, 368, 399	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ
401	400	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
402	391	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → (-∞(,)0) ⊆ ℂ)
403		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
404		0le0 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ 0 ≤ 0
405		elioc2 13414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
406	159, 67, 405	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))
407	67, 164, 404, 406	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 ∈ (-π(,]0)
408	198	cnfldtop 24694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
409		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (-∞(,]0) ∈ V
410		resttop 23058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top)
411	408, 409, 410	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top
412	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⊤ → -π ∈ ℝ*)
413		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
414	387	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⊤ → -∞ ≤ -π)
415	364, 412, 362, 360, 413, 414, 362	iocopn 44896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⊤ → (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)))
416	415	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
417	199	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0))
418		iocssre 13431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
419	363, 67, 418	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (-∞(,]0) ⊆ ℝ
420	195	elexi 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ℝ ∈ V
421		restabs 23063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
422	408, 419, 420, 421	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
423	417, 422	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
424	416, 423	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
425		isopn3i 22980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0))
426	411, 424, 425	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)
427		mnflt0 13132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ -∞ < 0
428		ioounsn 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0))
429	363, 151, 427, 428	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0)
430	429	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0})
431	430	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
432	431	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))
433		ioounsn 13481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π < 0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0))
434	159, 151, 164, 433	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)
435	434	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0})
436	432, 435	fveq12i 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
437	426, 436	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
438	407, 437	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
439	438	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})))
440	401, 390, 402, 198, 403, 439	limcres 25809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⊤ → (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0))
441	440	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0)
442	398, 441	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0)
443	394, 442	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0))
444		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
445		ioosscn 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
446	445	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
447	444, 446, 202, 393	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) limℂ 0))
448		ltpnf 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (π ∈ ℝ → π < +∞)
449		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (π < +∞ → π ≤ +∞))
450	153, 374, 449	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (π < +∞ → π ≤ +∞)
451	118, 448, 450	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ π ≤ +∞
452		iooss2 13387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
453	374, 451, 452	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)
454		resabs1 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π)))
455	453, 454	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
456	193, 455	eqtr4i 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
457	456	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) limℂ 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) limℂ 0)
458		fssres 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
459	208, 379, 458	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ
460	459	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
461	453	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
462		ioosscn 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ ℂ
463	462	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → (0(,)+∞) ⊆ ℂ)
464		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
465		elico2 13415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π)))
466	67, 153, 465	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π))
467	67, 404, 68, 466	mpbir3an 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 ∈ (0[,)π)
468		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (0[,)+∞) ∈ V
469		resttop 23058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top)
470	408, 468, 469	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top
471	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ*)
472		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
473	451	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⊤ → π ≤ +∞)
474	362, 471, 375, 360, 472, 473	icoopn 44901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⊤ → (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
475	474	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
476	199	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞))
477		rge0ssre 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
478		restabs 23063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
479	408, 477, 420, 478	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
480	476, 479	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
481	475, 480	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
482		isopn3i 22980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π))
483	470, 481, 482	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)
484		0ltpnf 13129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ 0 < +∞
485		snunioo1 44888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞))
486	151, 374, 484, 485	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞)
487	486	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0})
488	487	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
489	488	fveq2i 6895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))
490		snunioo1 44888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π))
491	151, 153, 68, 490	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)
492	491	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0})
493	489, 492	fveq12i 6898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
494	483, 493	eqtr3i 2758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
495	467, 494	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
496	495	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})))
497	460, 461, 463, 198, 464, 496	limcres 25809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⊤ → (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0))
498	497	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0)
499	457, 498	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0)
500	447, 499	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0))
501		neg1lt0 12354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ -1 < 0
502	106, 67, 105	lttri 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
503	501, 34, 502	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ -1 < 1
504	106, 503	ltneii 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ -1 ≠ 1
505	504	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⊤ → -1 ≠ 1)
506	198, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505	jumpncnp 45277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⊤ → ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
507	506	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0)
508	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ)
509	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
510	205	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ)
511		inss2 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
512	220, 511	eqsstri 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
513	512	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514	199, 198	dvcnp2 25843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
515	508, 509, 510, 513, 514	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
516	507, 515	mto 196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
517	516	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
518	358, 517	eqneltrd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
519	518	necon2ai 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ≠ 0)
520	519	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ≠ 0)
521	354, 355, 357, 520	leneltd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 < 𝑥)
522	344, 163	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
523		elun2 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
524	522, 523	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
525	353, 521, 524	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
526	352, 525	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
527		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)0) ∈ V
528		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (0(,)π) ∈ V
529	527, 528	unipr 4921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∪ {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪ (0(,)π))
530	526, 529	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ∪ {(-π(,)0), (0(,)π)})
531	530	ssriv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ∪ {(-π(,)0), (0(,)π)}
532	531	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ∪ {(-π(,)0), (0(,)π)})
533		ineq2 4203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)))
534		retop 24672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
535		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (ℝ D 𝐹) ∈ V
536	535	resex 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
537	536	dmex 7912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
538	534, 537	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V)
539	318	ssriv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
540		ssid 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)
541	301, 539, 540	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))
542		restopnb 23073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
543	538, 541, 542	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
544	301, 543	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
545		inss2 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0)
546	539, 540	ssini 4228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))
547	545, 546	eqssi 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
548	199	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
549	331, 343	sstri 3988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ
550		restabs 23063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
551	408, 549, 420, 550	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
552	548, 551	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
553	544, 547, 552	3eltr4i 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
554	533, 553	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
555	554	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
556		neqne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑥 = (-π(,)0) → 𝑥 ≠ (-π(,)0))
557		elprn1 45012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠ (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
558	556, 557	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
559		ineq2 4203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)))
560	221	ssriv 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
561		ssid 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0(,)π)
562	197, 560, 561	3pm3.2i 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))
563		restopnb 23073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
564	538, 562, 563	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
565	197, 564	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
566		inss2 4226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π)
567	560, 561	ssini 4228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π))
568	566, 567	eqssi 3995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π)
569	565, 568, 552	3eltr4i 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
570	559, 569	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
571	558, 570	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
572	555, 571	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
573	572	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
574		ssid 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
575	574	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
576	392, 393, 575	constcncfg 45251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
577	576	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)
578	577	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
579		reseq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)))
580		resabs1 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
581	238, 580	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
582	581, 309	eqtr4i 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
583	579, 582	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
584	533, 547	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (-π(,)0))
585	584	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ))
586	578, 583, 585	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
587	586	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
588	446, 393, 575	constcncfg 45251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
589	588	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)
590	589	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
591		reseq2 5975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)))
592		resabs1 6010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
593	167, 592	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
594	593, 211	eqtr4i 2759	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
595	591, 594	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
596	559, 568	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (0(,)π))
597	596	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ))
598	590, 595, 597	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
599	558, 598	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
600	587, 599	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
601	600	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
602	334, 340, 532, 573, 601	cncfuni 45265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ))
603	602	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)
604		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) = (-π(,)+∞))
605	604	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)))
606		iooss2 13387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞))
607	374, 451, 606	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)
608		resabs2 6012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
609	607, 608	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
610	605, 609	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
611		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = -π → 𝑥 = -π)
612	610, 611	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π))
613	252	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → -π ∈ ℂ)
614	311, 392, 393, 613	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ -π))
615	614	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ -π)
616	309	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) limℂ -π)
617	335	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
618	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → -π ∈ ℝ)
619	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
620	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → -π < 0)
621	315	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
622	236	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → 0 ≤ π)
623	617, 618, 619, 620, 621, 471, 622	limcresioolb 45022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π))
624	623	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π)
625	616, 624	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π)
626	615, 625	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π)
627	626	ne0ii 4334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π) ≠ ∅
628	627	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ -π) ≠ ∅)
629	612, 628	eqnetrd 3004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
630	629	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
631		eldifi 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
632	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ*)
633	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → π ∈ ℝ*)
634		icossre 13432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
635	158, 153, 634	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π[,)π) ⊆ ℝ
636	635	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
637	636	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ℝ)
638	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ)
639		icogelb 13402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π[,)π)) → -π ≤ 𝑥)
640	159, 153, 639	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,)π) → -π ≤ 𝑥)
641	640	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ≤ 𝑥)
642		neqne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ 𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π)
643	642	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ≠ -π)
644	638, 637, 641, 643	leneltd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π < 𝑥)
645		icoltub 44884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π[,)π)) → 𝑥 < π)
646	159, 153, 645	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 < π)
647	646	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 < π)
648	632, 633, 637, 644, 647	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
649	631, 648	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
650		eldifn 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
651	650	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
652	649, 651	eldifd 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
653		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) = (0(,)+∞))
654	653	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)))
655	654, 358	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0))
656	213, 446, 393, 393	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ 0))
657	656	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ 0)
658		resres 5993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)))
659		iooin 13385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)))
660	159, 153, 151, 374, 659	mp4an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞))
661	165	iftruei 4532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ if(-π ≤ 0, 0, -π) = 0
662	451	iftruei 4532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ if(π ≤ +∞, π, +∞) = π
663	661, 662	oveq12i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) = (0(,)π)
664	660, 663	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π)
665	664	reseq2i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
666	211	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
667	658, 665, 666	3eqtrri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))
668	667	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0)
669	657, 668	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0)
670	669	ne0ii 4334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0) ≠ ∅
671	670	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0) ≠ ∅)
672	655, 671	eqnetrd 3004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
673	652, 324, 672	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
674	630, 673	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
675		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)π))
676	675	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)))
677		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = π → 𝑥 = π)
678	676, 677	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) limℂ π))
679		iooss1 13386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π))
680	363, 387, 679	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)
681		resabs2 6012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
682	680, 681	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
683	682	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π)
684	678, 683	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π))
685	213, 446, 393, 53	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ π))
686	685	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ π)
687	211	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) limℂ π)
688	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ)
689	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → 0 < π)
690	217	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
691	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⊤ → -π ≤ 0)
692	617, 619, 688, 689, 690, 412, 691	limcresiooub 45021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π))
693	692	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π)
694	687, 693	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π)
695	686, 694	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π)
696	695	ne0ii 4334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π) ≠ ∅
697	696	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) limℂ π) ≠ ∅)
698	684, 697	eqnetrd 3004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
699	698	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
700	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈ ℝ*)
701	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ*)
702		negpitopissre 26468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-π(,]π) ⊆ ℝ
703		eldifi 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
704	702, 703	sselid 3977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ ℝ)
705	704	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ)
706	159	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*)
707	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → π ∈ ℝ*)
708		iocgtlb 44878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,]π)) → -π < 𝑥)
709	706, 707, 703, 708	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π < 𝑥)
710	709	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥)
711	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ)
712		iocleub 44879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,]π)) → 𝑥 ≤ π)
713	706, 707, 703, 712	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ≤ π)
714	713	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π)
715		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (π = 𝑥 → π = 𝑥)
716	715	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (π = 𝑥 → 𝑥 = π)
717	716	necon3bi 2963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 𝑥 = π → π ≠ 𝑥)
718	717	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥)
719	705, 711, 714, 718	leneltd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π)
720	700, 701, 705, 710, 719	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
721		eldifn 4124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
722	721	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
723	720, 722	eldifd 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
724		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)0))
725	724	reseq2d 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)))
726	725, 358	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0))
727	311, 392, 393, 393	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ 0))
728	727	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ 0)
729		resres 5993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)))
730		iooin 13385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)))
731	159, 153, 363, 151, 730	mp4an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))
732		mnflt 13130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (-π ∈ ℝ → -∞ < -π)
733	158, 732	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ -∞ < -π
734		xrltnle 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈ ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞))
735	363, 159, 734	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞)
736	733, 735	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ¬ -π ≤ -∞
737	736	iffalsei 4535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ if(-π ≤ -∞, -∞, -π) = -π
738		xrltnle 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0))
739	151, 153, 738	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0)
740	68, 739	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ¬ π ≤ 0
741	740	iffalsei 4535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ if(π ≤ 0, π, 0) = 0
742	737, 741	oveq12i 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) = (-π(,)0)
743	731, 742	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0)
744	743	reseq2i 5977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
745	309	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
746	729, 744, 745	3eqtrri 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))
747	746	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) limℂ 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0)
748	728, 747	eleqtri 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0)
749	748	ne0ii 4334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0) ≠ ∅
750	749	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0) ≠ ∅)
751	726, 750	eqnetrd 3004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
752	723, 324, 751	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
753	699, 752	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) limℂ 𝑥) ≠ ∅)
754		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755		ioosscn 13413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ
756	755	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
757		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ℂ)
758	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ)
759	754, 756, 757, 758	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋))
760		ioossioc 44868	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0(,]π)
761	760	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
762	761	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
763	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
764		modcl 13865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
765	22, 133, 764	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
766	22, 765	resubcli 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767	766	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768	767	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
769	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
770		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772	151, 153, 771	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773	770, 772	elrpd 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774	769, 773	ltsubrpd 13075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
776	775	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
777	363	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈ ℝ*)
778		mnflt 13130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
779		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
780	363, 767, 779	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
781	766, 778, 780	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))
782	781	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
783	763, 768, 769, 774, 776, 777, 782	limcresiooub 45021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
784		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
785	151, 153, 784	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
786	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
787	775	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
788	786, 787	feqresmpt 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)))
789		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
790	789, 107, 145	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
791	790	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
792	789	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
793	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
794	792, 793	modcld 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
795	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
797	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
798	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
799		ioossico 13442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800	799	sseli 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801	797, 798, 800	ltmod 45017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802	801	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
804	794, 795, 796, 802, 803	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
805	804	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
806	791, 805	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = 1)
807	806	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808	788, 807	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809	785, 808	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810	809	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋))
811	783, 810	eqtr3d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋))
812	759, 762, 811	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
813		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
814		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ
815	814	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
816	815, 206	sstrdi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℂ)
817	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ ℂ)
818	813, 816, 304, 817	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋))
819	818	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋)
820	819	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋))
821		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822		lbioc 44889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ¬ 0 ∈ (0(,]π)
823	822	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈ (0(,]π))
824	821, 823	eqneltrd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
825	824	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
826	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
827	814	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
828	826, 827	feqresmpt 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)))
829	827	sselda 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
830	829, 107, 145	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
831	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
832	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
833	829, 832	modcld 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
834	22, 118	resubcli 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑋 − π) ∈ ℝ
835	834	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ)
836	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
837	835, 836	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ)
838		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
839	838, 836	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
840	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
841	834	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑋 − π) ∈ ℝ*
842	841	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
843	840	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
844		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
845		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑋 − π) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥)
846	842, 843, 844, 845	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥)
847	835, 838, 836, 846	ltadd1dd 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
848	837, 839, 840, 847	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
849	848	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
850	250	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π + π))
851	52, 52	addcli 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (π + π) ∈ ℂ
852		subadd23 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π)))
853	23, 52, 851, 852	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π))
854	52, 52	pncan3oi 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((π + π) − π) = π
855	854	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑋 + ((π + π) − π)) = (𝑋 + π)
856	850, 853, 855	3eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π)
857	856	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋)
858		pncan2 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝑋 + π) − 𝑋) = π)
859	23, 52, 858	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑋 + π) − 𝑋) = π
860	857, 859	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
861	860	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
862	839, 840	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
863		modabs2 13897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
864	862, 133, 863	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
865	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
866		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
867	837, 840	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
868	68, 860	breqtri 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
869	868	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
870	866, 867, 862, 869, 848	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
871	866, 862, 870	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
872	840, 836	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((𝑋 − π) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
874	842, 843, 844, 873	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
875	838, 840, 836, 874	ltadd1dd 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876	839, 872, 840, 875	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋))
877		pncan2 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇)
878	23, 121, 877	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇
879	876, 878	breqtrdi 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)
880		modid 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
881	862, 865, 871, 879, 880	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
882	864, 881	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883	882	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885	884	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886	862, 865	modcld 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887	886	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ)
888	887	addridd 11439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
889	888	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
890	885, 889	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891	890	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892		modaddabs 13901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893	862, 840, 865, 892	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894	893	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895	883, 891, 894	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896	143	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
897	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
898	896, 897	npcand 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇))
899	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑇) = 𝑇)
900	899	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇))
901	898, 900	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇)))
902	901	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
903	838, 902	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
904	903	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
905		1zzd 12618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
906	829, 832, 905, 136	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
907	895, 904, 906	3eqtrrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
908	849, 861, 907	3brtr4d 5175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
909	831, 833, 908	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
910	831, 833, 909	lensymd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
911	910	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
912	830, 911	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = -1)
913	912	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1))
914	828, 913	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
915	914	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
916	841	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
917	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
918		ltsubrp 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋)
919	22, 182, 918	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑋 − π) < 𝑋
920	919	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑋 − π) < 𝑋)
921		mnflt 13130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 − π) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − π))
922		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π)))
923	363, 841, 922	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))
924	834, 921, 923	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -∞ ≤ (𝑋 − π)
925	924	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → -∞ ≤ (𝑋 − π))
926	361, 916, 917, 920, 815, 364, 925	limcresiooub 45021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
927	926	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
928	915, 927	eqtr2di 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋))
929	820, 825, 928	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
930	929	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
931	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
932	120	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ*
933	932	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
934	765	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935	934	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
937	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938		pm4.56 987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939	938	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940		olc 867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941	940	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈ ℝ*)
943	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈ ℝ*)
944	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ)
946	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947		modge0 13871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
948	22, 133, 947	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
949	948	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
950		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
951	945, 946, 949, 950	leneltd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952	951	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
954	942, 943, 944, 952, 953	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π))
955	954	orcd 872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956	941, 955	pm2.61dane 3025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957	939, 956	nsyl 140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
958	936, 937, 957	nltled 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
959		modlt 13872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
960	22, 133, 959	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961	960	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962	931, 933, 935, 958, 961	elicod 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
963		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
964	963, 816, 202, 817	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋))
965	964	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋)
966	965	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋))
967		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
968		ubioc1 13404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → π ∈ (0(,]π))
969	151, 153, 68, 968	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ π ∈ (0(,]π)
970	967, 969	eqeltrdi 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
971	970	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
972	361, 815	feqresmpt 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)))
973	972	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥))
974	838, 107, 145	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
975	974	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
976		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
977	967	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇))
978	977	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
979	978	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980	979	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981	976, 980	eleqtrd 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982	981, 801	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
984	982, 983	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
985	984	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
986	975, 985	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = 1)
987	986	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1))
988	973, 987	eqtr2id 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
989	988	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
990	989, 927	eqtr2di 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋))
991	966, 971, 990	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
992	991	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
993	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ*)
994	932	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
995	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ)
997		icogelb 13402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
998	153, 932, 997	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
999	998	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1000		neqne 2944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1001	1000	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1002	996, 995, 999, 1001	leneltd 11393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1003	960	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004	993, 994, 995, 1002, 1003	eliood 44874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
1005		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
1007	1006	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1008	1007, 206	sstrdi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
1009		neg1cn 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -1 ∈ ℂ
1010	1009	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ)
1011	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
1012	1005, 1008, 1010, 1011	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋))
1013	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
1014	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1015	934	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((π ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1017	153, 932, 1016	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1018	1013, 1014, 1015, 1017	gtnelioc 44867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
1019	1018	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
1020	1006	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⊤ → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1021	361, 1020	feqresmpt 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⊤ → (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)))
1022	1021	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥))
1023		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
1024	1023, 107, 145	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1025	1024	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1026	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
1027	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1028	1023, 1027	modcld 13867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1029	1028	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1030	22, 118	readdcli 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑋 + π) ∈ ℝ
1031	1030	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 + π) ∈ ℂ
1032	1031	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ)
1033	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
1034	765	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ
1035	1034	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ)
1036	1032, 1033, 1035	nnncan2d 11631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋))
1037	1036, 859	eqtr2di 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1038	1030, 765	resubcli 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
1039	1038	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040	766	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1041	1038	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
1042	1041	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
1043	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
1044	1043	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1045		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
1047	1042, 1044, 1045, 1046	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
1048	1039, 1023, 1040, 1047	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1049	1037, 1048	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1050	1023	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051		sub31 44663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1052	1050, 1033, 1035, 1051	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1053	1049, 1052	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1054	1053	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1055	1043, 1023	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − 𝑥) ∈ ℝ)
1056		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1057		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
1058	1042, 1044, 1045, 1057	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
1059	1023, 1043	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋 − 𝑥)))
1060	1058, 1059	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋 − 𝑥))
1061	1056, 1055, 1060	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋 − 𝑥))
1062	1043, 1039	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
1064	1039, 1023, 1043, 1047	ltsub2dd 11852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − 𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1065		sub31 44663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)))
1066	23, 1031, 1034, 1065	mp3an 1458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))
1067	859	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1068	1066, 1067	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1069		ltsubrp 13037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇))
1070	765, 182, 1069	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)
1071	765, 118	resubcli 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈ ℝ
1072	1071, 765, 120	lttri 11365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇)
1073	1070, 960, 1072	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇
1074	1068, 1073	eqbrtri 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
1075	1074	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
1076	1055, 1062, 1063, 1064, 1075	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − 𝑥) < 𝑇)
1077		modid 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑋 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑋 − 𝑥) ∧ (𝑋 − 𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇) = (𝑋 − 𝑥))
1078	1055, 1027, 1061, 1076, 1077	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇) = (𝑋 − 𝑥))
1079	1078	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1080	1079	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇))
1081	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1082	1081, 1055	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) ∈ ℝ)
1083	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈ ℝ)
1084	1052, 1082	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1085	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π)
1086	1056, 1083, 1084, 1085, 1049	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1087	1086, 1052	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1088	1056, 1082, 1087	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1089	1043, 1040	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1090	1023, 1043, 1040, 1058	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1091		nncan 11514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
1092	23, 1034, 1091	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
1093	1092, 960	eqbrtri 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
1094	1093	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
1095	1084, 1089, 1063, 1090, 1094	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
1096	1052, 1095	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) < 𝑇)
1097		modid 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1098	1082, 1027, 1088, 1096, 1097	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)))
1099	1080, 1098	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100		modsubmodmod 13922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇))
1101	1043, 1055, 1027, 1100	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇))
1102	1033, 1050	nncand 11601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) = 𝑥)
1103	1102	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
1104	1099, 1101, 1103	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
1105	1104	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
1106	1054, 1105	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
1107	1017, 1106	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
1108	1026, 1029, 1107	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
1109	1026, 1029, 1108	lensymd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
1110	1109	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
1111	1025, 1110	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = -1)
1112	1111	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
1113	1022, 1112	eqtr2id 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
1114	1113	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1115	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
1116	1041	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
1117	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1118		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119		ltaddsublt 11866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
1120	1117, 1014, 1118, 1119	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
1121	1017, 1120	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122	363	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈ ℝ*)
1123		mnflt 13130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1124		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1125	363, 1041, 1124	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1126	1038, 1123, 1125	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))
1127	1126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1128	1115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127	limcresiooub 45021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1129	1114, 1128	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋))
1130	1012, 1019, 1129	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1131	1004, 1130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1132	992, 1131	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1133	962, 1132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1134	930, 1133	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋))
1135	812, 1134	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)
1136		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
1138	1137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1139	1138, 206	sstrdi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
1140	1136, 1139, 202, 817	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋))
1141	1140	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋)
1142	1141	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋))
1143	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
1144		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
1145	1144	breq1d 5153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
1146	1145	ifbid 4548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1147	1146	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1148	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
1149	105, 106	ifcli 4572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
1150	1149	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
1151	1143, 1147, 1148, 1150	fvmptd 7007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1152		icoltub 44884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1153	151, 153, 1152	mp3an12 1448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1154	1153	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
1155	1151, 1154	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) = 1)
1156	361, 1138	feqresmpt 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
1157	1156	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥))
1158		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1159	1158, 107, 145	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1160	1159	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1161	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
1162	1158, 1161	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ)
1163	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1164		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
1165	1161	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1166	118, 765	resubcli 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
1167	22, 1166	readdcli 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
1168	1167	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
1169	1168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))
1171		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
1172	1165, 1169, 1170, 1171	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
1173	1161, 1158	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥 − 𝑋)))
1174	1172, 1173	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥 − 𝑋))
1175	1164, 1162, 1174	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑋))
1176	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈ ℝ)
1177	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1178	1167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1179	1178, 1161	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1180		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
1181	1165, 1169, 1170, 1180	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
1182	1158, 1178, 1161, 1181	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
1183	1166	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1184		pncan2 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)))
1185	23, 1183, 1184	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))
1186		subge02 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π))
1187	118, 765, 1186	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)
1188	948, 1187	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π
1189	1185, 1188	eqbrtri 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π
1190	1189	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π)
1191	1162, 1179, 1176, 1182, 1190	ltletrd 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < π)
1192	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇)
1193	1162, 1176, 1177, 1191, 1192	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < 𝑇)
1194		modid 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥 − 𝑋) ∧ (𝑥 − 𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇) = (𝑥 − 𝑋))
1195	1162, 1163, 1175, 1193, 1194	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇) = (𝑥 − 𝑋))
1196	1195	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1197	1196	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇))
1198	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1199	1198, 1162	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ)
1200	1161, 1161	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 − 𝑋) ∈ ℝ)
1201	1198, 1200	readdcld 11268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) ∈ ℝ)
1202	23	subidi 11556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑋 − 𝑋) = 0
1203	1202	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
1204	1034	addridi 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
1205	1203, 1204	eqtr2i 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋))
1206	948, 1205	breqtri 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋))
1207	1206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)))
1208	1161, 1158, 1161, 1172	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 − 𝑋) < (𝑥 − 𝑋))
1209	1200, 1162, 1198, 1208	ltadd2dd 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1210	1164, 1201, 1199, 1207, 1209	lelttrd 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1211	1164, 1199, 1210	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1212	1162, 1179, 1198, 1182	ltadd2dd 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
1213	1185	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇)))
1214	1034, 52	pncan3i 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π
1215	1213, 1214	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π
1216	1212, 1215	breqtrdi 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < π)
1217	1199, 1176, 1177, 1216, 1192	lttrd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < 𝑇)
1218		modid 13888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1219	1199, 1163, 1211, 1217, 1218	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1220	1197, 1219	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221		modaddabs 13901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇))
1222	1161, 1162, 1163, 1221	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇))
1223	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
1224	1158	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
1225	1223, 1224	pncan3d 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) = 𝑥)
1226	1225	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
1227	1220, 1222, 1226	3eqtrrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1228	1227	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1229	1216	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < π)
1230	1228, 1229	eqbrtrd 5165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
1231	1153, 1230	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
1232	1231	iftrued 4533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
1233	1160, 1232	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = 1)
1234	1233	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
1235	1157, 1234	eqtr2id 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))))
1236	1235	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋))
1237	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
1238	1168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1239	1166	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ)
1242	1240, 1241	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇))))
1243	1153, 1242	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇)))
1244	1239, 1243	elrpd 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
1245	1148, 1244	ltaddrpd 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
1246	1137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1247	374	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈ ℝ*)
1248		ltpnf 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
1250	1168, 374, 1249	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
1251	1167, 1248, 1250	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
1252	1251	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
1253	1237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252	limcresioolb 45022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
1254	1236, 1253	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋))
1255	1142, 1155, 1254	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
1256	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ*)
1257	932	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
1258	934	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259	151	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈ ℝ*)
1260	153	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → π ∈ ℝ*)
1261	934	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262	948	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1263	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈ ℝ)
1265	1263, 1264	ltnled 11386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)))
1266	1265	ibir 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1267	1266	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1268	1259, 1260, 1261, 1262, 1267	elicod 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1269		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1270	1268, 1269	condan 817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1271	960	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1272	1256, 1257, 1258, 1270, 1271	elicod 13401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
1273		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274		ioossre 13412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
1275	1274	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1276	1275, 206	sstrdi 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
1277	1273, 1276, 304, 817	constlimc 45003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋))
1278	1277	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋)
1279	1278	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋))
1280		1ex 11235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ V
1281	106	elexi 3490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -1 ∈ V
1282	1280, 1281	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
1283	1146, 104, 1282	fvmpt 7000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1284	22, 1283	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
1285	1284	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1286	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1287	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1288	1286, 1287, 998	lensymd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
1289	1288	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
1290	1285, 1289	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹‘𝑋) = -1)
1291	361, 1275	feqresmpt 6963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)))
1292	1291	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥))
1293		elioore 13381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1294	1293, 107, 145	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1295	1294	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1296	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈ ℝ)
1297	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
1298	1293, 1297	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ)
1299	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1300		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
1301	1297	rexrd 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1302	120, 765	resubcli 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
1303	22, 1302	readdcli 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
1304	1303	rexri 11297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
1305	1304	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))
1307		ioogtlb 44871	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
1308	1301, 1305, 1306, 1307	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
1309	1297, 1293	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥 − 𝑋)))
1310	1308, 1309	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥 − 𝑋))
1311	1300, 1298, 1310	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑋))
1312	1303	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1313	1312, 1297	resubcld 11667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1314	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1315		iooltub 44886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
1316	1301, 1305, 1306, 1315	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
1317	1293, 1312, 1297, 1316	ltsub1dd 11851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
1318	1302	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1319		pncan2 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
1320	23, 1318, 1319	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))
1321		subge02 11755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇))
1322	120, 765, 1321	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)
1323	948, 1322	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇
1324	1320, 1323	eqbrtri 5164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇
1325	1324	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇)
1326	1298, 1313, 1314, 1317, 1325	ltletrd 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < 𝑇)
1327	1298, 1299, 1311, 1326, 1194	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇) = (𝑥 − 𝑋))
1328	1327	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1329	1328	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇))
1330		readdcl 11216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ)
1331	765, 1298, 1330	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ)
1332	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333	948	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1334	1332, 1298, 1333, 1310	addgegt0d 11812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1335	1300, 1331, 1334	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1336	1298, 1313, 1332, 1317	ltadd2dd 11398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
1337	1320	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
1338	1034, 121	pncan3i 11562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
1339	1337, 1338	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇
1340	1336, 1339	breqtrdi 5184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < 𝑇)
1341	1331, 1299, 1335, 1340, 1218	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1342	1329, 1341	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1343	1297, 1298, 1299, 1221	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇))
1344	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
1345	1293	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
1346	1344, 1345	pncan3d 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) = 𝑥)
1347	1346	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
1348	1342, 1343, 1347	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
1349	1348	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
1350	1331	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ)
1351	1349, 1350	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352	765	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353	998	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1354	1298, 1310	elrpd 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ+)
1355	1332, 1354	ltaddrpd 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1356	1355	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1357	1296, 1352, 1350, 1353, 1356	lelttrd 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1358	1296, 1350, 1357	ltled 11387	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)))
1359	1358, 1349	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
1360	1296, 1351, 1359	lensymd 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
1361	1360	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
1362	1295, 1361	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = -1)
1363	1362	mpteq2dva 5243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
1364	1292, 1363	eqtr2id 2781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))))
1365	1364	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋))
1366	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
1367	22	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1368	1304	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1369	1302	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1370	960	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1371	120	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
1372	1287, 1371	posdifd 11826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
1373	1370, 1372	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
1374	1369, 1373	elrpd 13040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
1375	1367, 1374	ltaddrpd 13076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
1376	1274	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1377	374	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → +∞ ∈ ℝ*)
1378		ltpnf 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1379		xrltle 13155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
1380	1304, 374, 1379	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
1381	1303, 1378, 1380	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
1382	1381	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
1383	1366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382	limcresioolb 45022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
1384	1365, 1383	eqtr2d 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋))
1385	1279, 1290, 1384	3eltr4d 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
1386	1272, 1385	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋))
1387	1255, 1386	pm2.61i 182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)
1388		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
1389	110, 104, 1388	sqwvfoura 45607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
1390	1389	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1391	1390	mpteq2ia 5246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1392		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1393	110, 104, 1392	sqwvfourb 45608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
1394	1393	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1395	1394	mpteq2ia 5246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1396		nnnn0 12504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1397		0red 11242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1398		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)
1399	1398	fvmpt2 7011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
1400	1396, 1397, 1399	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
1401	1400	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
1402	74	coscld 16102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
1403	1402	mul02d 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1404	1401, 1403	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1405		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (4 / (𝑛 · π)) ∈ V
1406	89, 1405	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V
1407		eqid 2728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
1408	1407	fvmpt2 7011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
1409	1406, 1408	mpan2 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
1410	1409	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1411	1404, 1410	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1412	60, 72	ifcld 4571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ ℂ)
1413	1412, 75	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
1414	1413	addlidd 11440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1415		iftrue 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = 0)
1416	1415	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1417	75	mul02d 11437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1418	1416, 1417	sylan9eqr 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1419		iftrue 4531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = 0)
1420	1419	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∥ 𝑛 → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1421	1420	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1422	1418, 1421	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1423		iffalse 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (4 / (𝑛 · π)))
1424	1423	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1425	1424	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1426		iffalse 4534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1427	1426	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑛 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1428	1427	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1429	1425, 1428	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1430	1422, 1429	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1431	1411, 1414, 1430	3eqtrrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1432	1431	mpteq2ia 5246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1433	109, 110, 147, 148, 329, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432	fourierclim 45603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2))
1434		0nn0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 0 ∈ ℕ0
1435		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 = 0 → 0 = 0)
1436	1435, 1398, 89	fvmpt 7000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0)
1437	1434, 1436	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0
1438	1437	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = (0 / 2)
1439	28	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℂ
1440	67, 129	gtneii 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ≠ 0
1441	1439, 1440	div0i 11973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 / 2) = 0
1442	1438, 1441	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = 0
1443	1442	oveq2i 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) − 0)
1444	202	mptru 1541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 1 ∈ ℂ
1445	1444, 1009	ifcli 4572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ℂ
1446	1149	recni 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ
1447	1284, 1446	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ
1448	1445, 1447	addcli 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ
1449	1448, 1439, 1440	divcli 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ
1450	1449	subid1i 11557	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) − 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2)
1451	1443, 1450	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2)
1452	1433, 1451	breqtri 5168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2)
1453	1452	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2))
1454	79, 103, 1453	sumnnodd 45009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))))
1455	1454	mptru 1541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))
1456	1455	simpli 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2)
1457		breq2 5147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1)))
1458		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑘) − 1) · π))
1459	1458	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)))
1460		oveq1 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
1461	1460	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
1462	1459, 1461	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
1463	1457, 1462	ifbieq2d 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1464	1463	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1465		elnnz 12593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) − 1)))
1466	20, 48, 1465	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ)
1467		ovex 7448	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) ∈ V
1468	89, 1467	ifex 4575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V
1469	1468	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V)
1470	80, 1464, 1466, 1469	fvmptd 7007	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1471		dvdsmul1 16249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
1472	15, 17, 1471	sylancr 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑘))
1473	18	zcnd 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
1474		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1475	1473, 1474	npcand 11600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
1476	1475	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
1477	1472, 1476	breqtrd 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
1478		oddp1even 16315	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
1479	20, 1478	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
1480	1477, 1479	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1))
1481	1480	iffalsed 4536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
1482	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
1483	21, 1482	mulcomd 11260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) − 1)))
1484	1483	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
1485	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
1486	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0)
1487	1485, 1482, 21, 1486, 49	divdiv1d 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
1488	1484, 1487	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1489	1488	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
1490	1485, 1482, 1486	divcld 12015	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
1491	1490, 21, 26, 49	div32d 12038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1492	1489, 1491	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1493	1470, 1481, 1492	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1494	1493	mpteq2ia 5246	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1495		oveq2 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
1496	1495	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑛) − 1))
1497	1496	oveq1d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋))
1498	1497	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)))
1499	1498, 1496	oveq12d 7433	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
1500	1499	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1501	1500	cbvmptv 5256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1502	1494, 1501	eqtri 2756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1503		seqeq3 13998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))))
1504	1502, 1503	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1505		fouriersw.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹‘𝑋))
1506	110, 104, 22, 1505	fourierswlem 45609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2)
1507	1506	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) = 𝑌
1508	1456, 1504, 1507	3brtr3i 5172	. . . . . . . . . 10 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌
1509	1508	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌)
1510		eqid 2728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1511	61, 65, 70	divcld 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
1512	1439	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
1513	1512, 62	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1514		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1515		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
1516	1514, 1515	subcld 11596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1517	1513, 1516	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1518	1517, 73	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
1519	1518	sincld 16101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
1520	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1521		nnre 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
1522	1520, 1521	remulcld 11269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
1523	1522	recnd 11267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1524		1cnd 11234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1525	1523, 1524	subcld 11596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1526		1red 11240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
1527	35, 1520	eqeltrid 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
1528		1lt2 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
1529	1528	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2)
1530	1529, 35	breqtrrdi 5185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 1))
1531	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
1532		nnge1 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
1533	1526, 1521, 1520, 1531, 1532	lemul2ad 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑛))
1534	1526, 1527, 1522, 1530, 1533	ltletrd 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑛))
1535	1526, 1534	gtned 11374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 1)
1536	1523, 1524, 1535	subne0d 11605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ≠ 0)
1537	1519, 1525, 1536	divcld 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) ∈ ℂ)
1538	1511, 1537	mulcld 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) ∈ ℂ)
1539	1510, 1538	fmpti 7117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ
1540	1539	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ)
1541	1540	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
1542		divcan6 11946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((π / 4) · (4 / π)) = 1)
1543	52, 69, 54, 56, 1542	mp4an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((π / 4) · (4 / π)) = 1
1544	1543	eqcomi 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 = ((π / 4) · (4 / π))
1545	1544	oveq1i 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1546	50	mullidd 11257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1547	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
1548	1482, 1485, 1547	divcld 12015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (π / 4) ∈ ℂ)
1549	1548, 1490, 50	mulassd 11262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1550	1545, 1546, 1549	3eqtr3a 2792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1551		eqidd 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1552	8	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1553	1552	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1554	1492, 1467	eqeltrrdi 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) ∈ V)
1555	1551, 1553, 10, 1554	fvmptd 7007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1556	1555	oveq2d 7431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1557	1556	eqcomd 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
1558	13, 1550, 1557	3eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
1559	1558	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
1560	1, 2, 58, 1509, 1541, 1559	isermulc2 15631	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
1561		climrel 15463	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel ⇝
1562	1561	releldmi 5945	. . . . . . . 8 ⊢ (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
1563	1560, 1562	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
1564	1, 2, 14, 51, 1563	isumclim2 15731	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1565	1564	mptru 1541	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))
1566	1560	mptru 1541	. . . . 5 ⊢ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
1567		climuni 15523	. . . . 5 ⊢ ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌))
1568	1565, 1566, 1567	mp2an 691	. . . 4 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌)
1569	1568	oveq2i 7426	. . 3 ⊢ ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
1570	54, 52, 69	divcli 11981	. . . 4 ⊢ (4 / π) ∈ ℂ
1571	52, 54, 56	divcli 11981	. . . 4 ⊢ (π / 4) ∈ ℂ
1572	1284, 1149	eqeltri 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ
1573	67, 1572	ifcli 4572	. . . . . 6 ⊢ if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ
1574	1505, 1573	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑌 ∈ ℝ
1575	1574	recni 11253	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ ℂ
1576	1570, 1571, 1575	mulassi 11250	. . 3 ⊢ (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
1577	1571, 1570, 1543	mulcomli 11248	. . . . 5 ⊢ ((4 / π) · (π / 4)) = 1
1578	1577	oveq1i 7425	. . . 4 ⊢ (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = (1 · 𝑌)
1579	1575	mullidi 11244	. . . 4 ⊢ (1 · 𝑌) = 𝑌
1580	1578, 1579	eqtri 2756	. . 3 ⊢ (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = 𝑌
1581	1569, 1576, 1580	3eqtr2i 2762	. 2 ⊢ ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌
1582		fouriersw.z	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
1583		seqeq3 13998	. . . 4 ⊢ (𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1584	1582, 1583	ax-mp 5	. . 3 ⊢ seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1585	1584, 1566	eqbrtri 5164	. 2 ⊢ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
1586	1581, 1585	pm3.2i 470	1 ⊢ (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  ⊤wtru 1535   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936  Vcvv 3470   ∖ cdif 3942   ∪ cun 3943   ∩ cin 3944   ⊆ wss 3945  ∅c0 4319  ifcif 4525  {csn 4625  {cpr 4627  ∪ cuni 4904   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5673  ran crn 5674   ↾ cres 5675  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Fincfn 8958  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  +∞cpnf 11270  -∞cmnf 11271  ℝ^*cxr 11272   < clt 11273   ≤ cle 11274   − cmin 11469  -cneg 11470   / cdiv 11896  ℕcn 12237  2c2 12292  4c4 12294  ℕ₀cn0 12497  ℤcz 12583  ℝ⁺crp 13001  (,)cioo 13351  (,]cioc 13352  [,)cico 13353   mod cmo 13861  seqcseq 13993   ⇝ cli 15455  Σcsu 15659  sincsin 16034  cosccos 16035  πcpi 16037   ∥ cdvds 16225   ↾_t crest 17396  TopOpenctopn 17397  topGenctg 17413  ℂ_fldccnfld 21273  Topctop 22789  intcnt 22915  limPtclp 23032   CnP ccnp 23123  –cn→ccncf 24790  ∫citg 25541   lim_ℂ climc 25785   D cdv 25786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cc 10453  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-symdif 4239  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8161  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8719  df-map 8841  df-pm 8842  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-dju 9919  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19018  df-cntz 19262  df-cmn 19731  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-mopn 21269  df-fbas 21270  df-fg 21271  df-cnfld 21274  df-top 22790  df-topon 22807  df-topsp 22829  df-bases 22843  df-cld 22917  df-ntr 22918  df-cls 22919  df-nei 22996  df-lp 23034  df-perf 23035  df-cn 23125  df-cnp 23126  df-t1 23212  df-haus 23213  df-cmp 23285  df-tx 23460  df-hmeo 23653  df-fil 23744  df-fm 23836  df-flim 23837  df-flf 23838  df-xms 24220  df-ms 24221  df-tms 24222  df-cncf 24792  df-ovol 25387  df-vol 25388  df-mbf 25542  df-itg1 25543  df-itg2 25544  df-ibl 25545  df-itg 25546  df-0p 25593  df-ditg 25770  df-limc 25789  df-dv 25790

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