Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | nnuz 12813 |
. . . . . . 7
β’ β =
(β€β₯β1) |
2 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . 7
β’ (β€
β 1 β β€) |
3 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β (π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = (π β β β¦ ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1)))) |
4 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β (2 Β· π) = (2 Β· π)) |
5 | 4 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β ((2 Β· π) β 1) = ((2 Β· π) β 1)) |
6 | 5 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β (((2 Β· π) β 1) Β· π) = (((2 Β· π) β 1) Β· π)) |
7 | 6 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π = π β (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) = (sinβ(((2 Β·
π) β 1) Β·
π))) |
8 | 7, 5 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) = ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1))) |
9 | 8 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β β β§ π = π) β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) = ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1))) |
10 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β π β
β) |
11 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . 10
β’
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) β V |
12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) β V) |
13 | 3, 9, 10, 12 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β ((π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))βπ) = ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) |
14 | 13 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’
((β€ β§ π
β β) β ((π
β β β¦ ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))βπ) = ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) |
15 | | 2z 12542 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ 2 β
β€ |
16 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β 2 β
β€) |
17 | | nnz 12527 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β π β
β€) |
18 | 16, 17 | zmulcld 12620 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β (2
Β· π) β
β€) |
19 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β 1 β
β€) |
20 | 18, 19 | zsubcld 12619 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1)
β β€) |
21 | 20 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1)
β β) |
22 | | fouriersw.x |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π β β |
23 | 22 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π β β |
24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β π β
β) |
25 | 21, 24 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β (((2
Β· π) β 1)
Β· π) β
β) |
26 | 25 | sincld 16019 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π))
β β) |
27 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β 0 β
β) |
28 | | 2re 12234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 2 β
β |
29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β 2 β
β) |
30 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β 1 β
β) |
31 | 29, 30 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β (2
Β· 1) β β) |
32 | 31, 30 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β ((2
Β· 1) β 1) β β) |
33 | 20 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1)
β β) |
34 | | 0lt1 11684 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 0 <
1 |
35 | | 2t1e2 12323 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (2
Β· 1) = 2 |
36 | 35 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((2
Β· 1) β 1) = (2 β 1) |
37 | | 2m1e1 12286 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (2
β 1) = 1 |
38 | 36, 37 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 1 = ((2
Β· 1) β 1) |
39 | 34, 38 | breqtri 5135 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 0 <
((2 Β· 1) β 1) |
40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β 0 <
((2 Β· 1) β 1)) |
41 | 18 | zred 12614 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β (2
Β· π) β
β) |
42 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β π β
β) |
43 | | 0le2 12262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 0 β€
2 |
44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β 0 β€
2) |
45 | | nnge1 12188 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β 1 β€
π) |
46 | 30, 42, 29, 44, 45 | lemul2ad 12102 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β (2
Β· 1) β€ (2 Β· π)) |
47 | 31, 41, 30, 46 | lesub1dd 11778 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β ((2
Β· 1) β 1) β€ ((2 Β· π) β 1)) |
48 | 27, 32, 33, 40, 47 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β 0 <
((2 Β· π) β
1)) |
49 | 27, 48 | gtned 11297 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1) β
0) |
50 | 26, 21, 49 | divcld 11938 |
. . . . . . . 8
β’ (π β β β
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) β
β) |
51 | 50 | adantl 483 |
. . . . . . 7
β’
((β€ β§ π
β β) β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) β
β) |
52 | | picn 25832 |
. . . . . . . . . . 11
β’ Ο
β β |
53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β€
β Ο β β) |
54 | | 4cn 12245 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 4 β
β |
55 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β€
β 4 β β) |
56 | | 4ne0 12268 |
. . . . . . . . . . 11
β’ 4 β
0 |
57 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β€
β 4 β 0) |
58 | 53, 55, 57 | divcld 11938 |
. . . . . . . . 9
β’ (β€
β (Ο / 4) β β) |
59 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))) = (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))) |
60 | | 0cnd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β 0 β
β) |
61 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β 4 β
β) |
62 | | nncn 12168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β π β
β) |
63 | | mulcl 11142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β (π
Β· Ο) β β) |
64 | 62, 52, 63 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (π Β· Ο) β
β) |
65 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β Ο
β β) |
66 | | nnne0 12194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β π β 0) |
67 | | 0re 11164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
β |
68 | | pipos 25833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 <
Ο |
69 | 67, 68 | gtneii 11274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ Ο β
0 |
70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β Ο β
0) |
71 | 62, 65, 66, 70 | mulne0d 11814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (π Β· Ο) β
0) |
72 | 61, 64, 71 | divcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (4 /
(π Β· Ο)) β
β) |
73 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β π β
β) |
74 | 62, 73 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (π Β· π) β β) |
75 | 74 | sincld 16019 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β
(sinβ(π Β·
π)) β
β) |
76 | 72, 75 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))) β
β) |
77 | 60, 76 | ifcld 4537 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) β
β) |
78 | 59, 77 | fmpti 7065 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))):ββΆβ |
79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (β€
β (π β β
β¦ if(2 β₯ π, 0,
((4 / (π Β· Ο))
Β· (sinβ(π
Β· π))))):ββΆβ) |
80 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))) = (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))) |
81 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β (2 β₯ π β 2 β₯ π)) |
82 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (π Β· Ο) = (π Β· Ο)) |
83 | 82 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (4 / (π Β· Ο)) = (4 / (π Β· Ο))) |
84 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (π Β· π) = (π Β· π)) |
85 | 84 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (sinβ(π Β· π)) = (sinβ(π Β· π))) |
86 | 83, 85 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))) = ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))) |
87 | 81, 86 | ifbieq2d 4517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
88 | 87 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ π = π) β if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
89 | | c0ex 11156 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 0 β
V |
90 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))) β
V |
91 | 89, 90 | ifex 4541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) β
V |
92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) β
V) |
93 | 80, 88, 10, 92 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))βπ) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
94 | 93 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β
((π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))βπ) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
95 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β
(π / 2) β
β) |
96 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β
π β
β) |
97 | | 2nn 12233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 2 β
β |
98 | | nndivdvds 16152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ 2 β
β) β (2 β₯ π β (π / 2) β β)) |
99 | 96, 97, 98 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β (2
β₯ π β (π / 2) β
β)) |
100 | 95, 99 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β 2
β₯ π) |
101 | 100 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) = 0) |
102 | 94, 101 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β β β§ (π / 2) β β) β
((π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))βπ) = 0) |
103 | 102 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((β€ β§ π
β β β§ (π /
2) β β) β ((π β β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))βπ) = 0) |
104 | | fouriersw.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ πΉ = (π₯ β β β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
105 | | 1re 11162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 1 β
β |
106 | 105 | renegcli 11469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ -1 β
β |
107 | 105, 106 | ifcli 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) β
β |
108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ β β β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) β
β) |
109 | 104, 108 | fmpti 7065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ πΉ:ββΆβ |
110 | | fouriersw.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ π = (2 Β·
Ο) |
111 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ = π¦ β (π₯ mod π) = (π¦ mod π)) |
112 | 111 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = π¦ β ((π₯ mod π) < Ο β (π¦ mod π) < Ο)) |
113 | 112 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = π¦ β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = if((π¦ mod π) < Ο, 1, -1)) |
114 | 113 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ β β β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) = (π¦ β β β¦ if((π¦ mod π) < Ο, 1, -1)) |
115 | 104, 114 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ πΉ = (π¦ β β β¦ if((π¦ mod π) < Ο, 1, -1)) |
116 | 115 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ β β β πΉ = (π¦ β β β¦ if((π¦ mod π) < Ο, 1, -1))) |
117 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π¦ = (π₯ + π) β (π¦ mod π) = ((π₯ + π) mod π)) |
118 | | pire 25831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ Ο
β β |
119 | 28, 118 | remulcli 11178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (2
Β· Ο) β β |
120 | 110, 119 | eqeltri 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ π β β |
121 | 120 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ π β β |
122 | 121 | mulid2i 11167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (1
Β· π) = π |
123 | 122 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ π = (1 Β· π) |
124 | 123 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π₯ + π) = (π₯ + (1 Β· π)) |
125 | 124 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ + π) mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π) |
126 | 117, 125 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π¦ = (π₯ + π) β (π¦ mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π)) |
127 | 126 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β (π¦ mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π)) |
128 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β π₯ β β) |
129 | | 2pos 12263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ 0 <
2 |
130 | 28, 118, 129, 68 | mulgt0ii 11295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ 0 < (2
Β· Ο) |
131 | 110 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (2
Β· Ο) = π |
132 | 130, 131 | breqtri 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ 0 <
π |
133 | 120, 132 | elrpii 12925 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ π β
β+ |
134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β π β
β+) |
135 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β 1 β β€) |
136 | | modcyc 13818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β β β§ π β β+
β§ 1 β β€) β ((π₯ + (1 Β· π)) mod π) = (π₯ mod π)) |
137 | 128, 134,
135, 136 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β ((π₯ + (1 Β· π)) mod π) = (π₯ mod π)) |
138 | 127, 137 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β (π¦ mod π) = (π₯ mod π)) |
139 | 138 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β ((π¦ mod π) < Ο β (π₯ mod π) < Ο)) |
140 | 139 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π₯ β β β§ π¦ = (π₯ + π)) β if((π¦ mod π) < Ο, 1, -1) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
141 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β β β π₯ β
β) |
142 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β β β π β
β) |
143 | 141, 142 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ β β β (π₯ + π) β β) |
144 | 116, 140,
143, 108 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ β β β (πΉβ(π₯ + π)) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
145 | 104 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π₯ β β β§ if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) β β) β
(πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
146 | 107, 145 | mpan2 690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π₯ β β β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
147 | 144, 146 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ β β β (πΉβ(π₯ + π)) = (πΉβπ₯)) |
148 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) = ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) |
149 | | snfi 8995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ {0}
β Fin |
150 | | eldifi 4091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ β ((-Ο(,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯
β (-Ο(,)Ο)) |
151 | | 0xr 11209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ 0 β
β* |
152 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β 0 β
β*) |
153 | 118 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ Ο
β β* |
154 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β Ο β
β*) |
155 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β (-Ο(,)Ο) β
π₯ β
β) |
156 | 155 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β π₯ β
β) |
157 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β 0 < π₯) |
158 | 118 | renegcli 11469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ -Ο
β β |
159 | 158 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ -Ο
β β* |
160 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((-Ο
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (-Ο(,)Ο)) β
π₯ <
Ο) |
161 | 159, 153,
160 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β (-Ο(,)Ο) β
π₯ <
Ο) |
162 | 161 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β π₯ < Ο) |
163 | 152, 154,
156, 157, 162 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β π₯ β
(0(,)Ο)) |
164 | | negpilt0 43588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ -Ο
< 0 |
165 | 158, 67, 164 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ -Ο
β€ 0 |
166 | | iooss1 13306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((-Ο
β β* β§ -Ο β€ 0) β (0(,)Ο) β
(-Ο(,)Ο)) |
167 | 159, 165,
166 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(0(,)Ο) β (-Ο(,)Ο) |
168 | 167 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ β
(-Ο(,)Ο)) |
169 | 104 | reseq1i 5938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (πΉ βΎ (0(,)Ο)) = ((π₯ β β β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) βΎ
(0(,)Ο)) |
170 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(0(,)Ο) β β |
171 | | resmpt 5996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
((0(,)Ο) β β β ((π₯ β β β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) βΎ (0(,)Ο)) =
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1,
-1))) |
172 | 170, 171 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π₯ β β β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) βΎ (0(,)Ο)) =
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1,
-1)) |
173 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ β
β) |
174 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π β
β+) |
175 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β 0
β β) |
176 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (0(,)Ο)) β 0
< π₯) |
177 | 151, 153,
176 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β 0 <
π₯) |
178 | 175, 173,
177 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β 0 β€
π₯) |
179 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β Ο
β β) |
180 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π β
β) |
181 | 168, 161 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ < Ο) |
182 | | pirp 25834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ Ο
β β+ |
183 | | 2timesgt 43596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (Ο
β β+ β Ο < (2 Β· Ο)) |
184 | 182, 183 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ Ο <
(2 Β· Ο) |
185 | 184, 131 | breqtri 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ Ο <
π |
186 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β Ο
< π) |
187 | 173, 179,
180, 181, 186 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ < π) |
188 | | modid 13808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (((π₯ β β β§ π β β+)
β§ (0 β€ π₯ β§ π₯ < π)) β (π₯ mod π) = π₯) |
189 | 173, 174,
178, 187, 188 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β (π₯ mod π) = π₯) |
190 | 189, 181 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β (π₯ mod π) < Ο) |
191 | 190 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = 1) |
192 | 191 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) = (π₯ β (0(,)Ο) β¦
1) |
193 | 169, 172,
192 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 1) =
(πΉ βΎ
(0(,)Ο)) |
194 | 193 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β
D (π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 1)) = (β D (πΉ
βΎ (0(,)Ο))) |
195 | | reelprrecn 11150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ β
β {β, β} |
196 | 195 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β β β {β, β}) |
197 | | iooretop 24145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
(0(,)Ο) β (topGenβran (,)) |
198 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
(TopOpenββfld) =
(TopOpenββfld) |
199 | 198 | tgioo2 24182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
(topGenβran (,)) = ((TopOpenββfld)
βΎt β) |
200 | 197, 199 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(0(,)Ο) β ((TopOpenββfld)
βΎt β) |
201 | 200 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β (0(,)Ο) β ((TopOpenββfld)
βΎt β)) |
202 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β 1 β β) |
203 | 196, 201,
202 | dvmptconst 44230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β (β D (π₯ β
(0(,)Ο) β¦ 1)) = (π₯
β (0(,)Ο) β¦ 0)) |
204 | 203 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β
D (π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 1)) = (π₯ β
(0(,)Ο) β¦ 0) |
205 | | ssid 3971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ β
β β |
206 | | ax-resscn 11115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ β
β β |
207 | | fss 6690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((πΉ:ββΆβ β§
β β β) β πΉ:ββΆβ) |
208 | 109, 206,
207 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ πΉ:ββΆβ |
209 | | dvresioo 44236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((β
β β β§ πΉ:ββΆβ) β (β D
(πΉ βΎ (0(,)Ο))) =
((β D πΉ) βΎ
(0(,)Ο))) |
210 | 205, 208,
209 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β
D (πΉ βΎ (0(,)Ο))) =
((β D πΉ) βΎ
(0(,)Ο)) |
211 | 194, 204,
210 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0) =
((β D πΉ) βΎ
(0(,)Ο)) |
212 | 211 | dmeqi 5865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ dom
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) = dom ((β D πΉ) βΎ (0(,)Ο)) |
213 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0) =
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) |
214 | 89, 213 | dmmpti 6650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ dom
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) = (0(,)Ο) |
215 | 212, 214 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(0(,)Ο)) = (0(,)Ο) |
216 | | ssdmres 5965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
((0(,)Ο) β dom (β D πΉ) β dom ((β D πΉ) βΎ (0(,)Ο)) =
(0(,)Ο)) |
217 | 215, 216 | mpbir 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(0(,)Ο) β dom (β D πΉ) |
218 | 217 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ β dom (β D πΉ)) |
219 | 168, 218 | elind 4159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ β ((-Ο(,)Ο) β©
dom (β D πΉ))) |
220 | | dmres 5964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) = ((-Ο(,)Ο) β© dom (β D πΉ)) |
221 | 219, 220 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
222 | 163, 221 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§ 0
< π₯) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
223 | 222 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ 0 <
π₯) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
224 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β -Ο β
β*) |
225 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β 0 β
β*) |
226 | 155 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β π₯ β
β) |
227 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((-Ο
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (-Ο(,)Ο)) β
-Ο < π₯) |
228 | 159, 153,
227 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β (-Ο(,)Ο) β
-Ο < π₯) |
229 | 228 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β -Ο <
π₯) |
230 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β 0 β
β) |
231 | | neqne 2952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (Β¬
π₯ = 0 β π₯ β 0) |
232 | 231 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β π₯ β 0) |
233 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β Β¬ 0 <
π₯) |
234 | 226, 230,
232, 233 | lttri5d 43607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β π₯ < 0) |
235 | 224, 225,
226, 229, 234 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β π₯ β
(-Ο(,)0)) |
236 | 67, 118, 68 | ltleii 11285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ 0 β€
Ο |
237 | | iooss2 13307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((Ο
β β* β§ 0 β€ Ο) β (-Ο(,)0) β
(-Ο(,)Ο)) |
238 | 153, 236,
237 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(-Ο(,)0) β (-Ο(,)Ο) |
239 | 238 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β
(-Ο(,)Ο)) |
240 | 104 | reseq1i 5938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (πΉ βΎ (-Ο(,)0)) = ((π₯ β β β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) βΎ
(-Ο(,)0)) |
241 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(-Ο(,)0) β β |
242 | | resmpt 5996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((-Ο(,)0) β β β ((π₯ β β β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) βΎ (-Ο(,)0)) =
(π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1,
-1))) |
243 | 241, 242 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π₯ β β β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) βΎ (-Ο(,)0)) =
(π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1,
-1)) |
244 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β Ο
β β) |
245 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β
β) |
246 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π β
β+) |
247 | 245, 246 | modcld 13787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π₯ mod π) β β) |
248 | 245, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π₯ + π) β β) |
249 | 52 | 2timesi 12298 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (2
Β· Ο) = (Ο + Ο) |
250 | 110, 249 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ π = (Ο +
Ο) |
251 | 250 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (-Ο +
π) = (-Ο + (Ο +
Ο)) |
252 | | negpicn 25835 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ -Ο
β β |
253 | 252, 52, 52 | addassi 11172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((-Ο +
Ο) + Ο) = (-Ο + (Ο + Ο)) |
254 | 253 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (-Ο +
(Ο + Ο)) = ((-Ο + Ο) + Ο) |
255 | 52 | negidi 11477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (Ο +
-Ο) = 0 |
256 | 52, 252, 255 | addcomli 11354 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (-Ο +
Ο) = 0 |
257 | 256 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((-Ο +
Ο) + Ο) = (0 + Ο) |
258 | 52 | addid2i 11350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (0 +
Ο) = Ο |
259 | 257, 258 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ ((-Ο +
Ο) + Ο) = Ο |
260 | 251, 254,
259 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ Ο =
(-Ο + π) |
261 | 260 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β Ο
= (-Ο + π)) |
262 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β -Ο
β β) |
263 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π β
β) |
264 | 239, 228 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β -Ο
< π₯) |
265 | 262, 245,
263, 264 | ltadd1dd 11773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(-Ο + π) < (π₯ + π)) |
266 | 261, 265 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β Ο
< (π₯ + π)) |
267 | 244, 248,
266 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β Ο
β€ (π₯ + π)) |
268 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β 0
β β) |
269 | 158, 120 | readdcli 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (-Ο +
π) β
β |
270 | 269 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(-Ο + π) β
β) |
271 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β 0
< Ο) |
272 | 271, 260 | breqtrdi 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β 0
< (-Ο + π)) |
273 | 268, 270,
248, 272, 265 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β 0
< (π₯ + π)) |
274 | 268, 248,
273 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β 0
β€ (π₯ + π)) |
275 | 245 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β
β) |
276 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π β
β) |
277 | 275, 276 | addcomd 11364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π₯ + π) = (π + π₯)) |
278 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ π₯ β (-Ο(,)0)) β
π₯ < 0) |
279 | 159, 151,
278 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ < 0) |
280 | | ltaddneg 11377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π₯ β β β§ π β β) β (π₯ < 0 β (π + π₯) < π)) |
281 | 245, 120,
280 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π₯ < 0 β (π + π₯) < π)) |
282 | 279, 281 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π + π₯) < π) |
283 | 277, 282 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π₯ + π) < π) |
284 | 274, 283 | jca 513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β (0
β€ (π₯ + π) β§ (π₯ + π) < π)) |
285 | | modid2 13810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (((π₯ + π) β β β§ π β β+) β (((π₯ + π) mod π) = (π₯ + π) β (0 β€ (π₯ + π) β§ (π₯ + π) < π))) |
286 | 248, 133,
285 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(((π₯ + π) mod π) = (π₯ + π) β (0 β€ (π₯ + π) β§ (π₯ + π) < π))) |
287 | 284, 286 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
((π₯ + π) mod π) = (π₯ + π)) |
288 | 125 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β β β ((π₯ + π) mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π)) |
289 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β β β π β
β+) |
290 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β β β 1 β
β€) |
291 | 141, 289,
290, 136 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β β β ((π₯ + (1 Β· π)) mod π) = (π₯ mod π)) |
292 | 288, 291 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β β β ((π₯ + π) mod π) = (π₯ mod π)) |
293 | 245, 292 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
((π₯ + π) mod π) = (π₯ mod π)) |
294 | 287, 293 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
(π₯ + π) = (π₯ mod π)) |
295 | 267, 294 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β Ο
β€ (π₯ mod π)) |
296 | 244, 247,
295 | lensymd 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β Β¬
(π₯ mod π) < Ο) |
297 | 296 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = -1) |
298 | 297 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦
if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) = (π₯ β (-Ο(,)0) β¦
-1) |
299 | 240, 243,
298 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ -1)
= (πΉ βΎ
(-Ο(,)0)) |
300 | 299 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (β
D (π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ -1)) = (β D (πΉ βΎ (-Ο(,)0))) |
301 | | iooretop 24145 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(-Ο(,)0) β (topGenβran (,)) |
302 | 301, 199 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(-Ο(,)0) β ((TopOpenββfld)
βΎt β) |
303 | 302 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β (-Ο(,)0) β ((TopOpenββfld)
βΎt β)) |
304 | 202 | negcld 11506 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β -1 β β) |
305 | 196, 303,
304 | dvmptconst 44230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β (β D (π₯ β
(-Ο(,)0) β¦ -1)) = (π₯ β (-Ο(,)0) β¦
0)) |
306 | 305 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (β
D (π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ -1)) = (π₯ β
(-Ο(,)0) β¦ 0) |
307 | | dvresioo 44236 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((β
β β β§ πΉ:ββΆβ) β (β D
(πΉ βΎ (-Ο(,)0))) =
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)0))) |
308 | 205, 208,
307 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (β
D (πΉ βΎ (-Ο(,)0)))
= ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)0)) |
309 | 300, 306,
308 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0) =
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)0)) |
310 | 309 | dmeqi 5865 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ dom
(π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0) = dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)0)) |
311 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0) =
(π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0) |
312 | 89, 311 | dmmpti 6650 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ dom
(π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0) = (-Ο(,)0) |
313 | 310, 312 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)0)) = (-Ο(,)0) |
314 | | ssdmres 5965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
((-Ο(,)0) β dom (β D πΉ) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)0)) =
(-Ο(,)0)) |
315 | 313, 314 | mpbir 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(-Ο(,)0) β dom (β D πΉ) |
316 | 315 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β dom (β D πΉ)) |
317 | 239, 316 | elind 4159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β ((-Ο(,)Ο) β©
dom (β D πΉ))) |
318 | 317, 220 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
319 | 235, 318 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β§ Β¬ 0
< π₯) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
320 | 223, 319 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β (-Ο(,)Ο) β§
Β¬ π₯ = 0) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
321 | 150, 320 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = 0) β π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
322 | | eldifn 4092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ β ((-Ο(,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
323 | 322 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = 0) β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
324 | 321, 323 | condan 817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β ((-Ο(,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯ =
0) |
325 | | velsn 4607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β {0} β π₯ = 0) |
326 | 324, 325 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ β ((-Ο(,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯
β {0}) |
327 | 326 | ssriv 3953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((-Ο(,)Ο) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) β
{0} |
328 | | ssfi 9124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (({0}
β Fin β§ ((-Ο(,)Ο) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) β {0})
β ((-Ο(,)Ο) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) β
Fin) |
329 | 149, 327,
328 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((-Ο(,)Ο) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) β
Fin |
330 | | inss1 4193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
((-Ο(,)Ο) β© dom (β D πΉ)) β (-Ο(,)Ο) |
331 | 220, 330 | eqsstri 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β (-Ο(,)Ο) |
332 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(-Ο(,)Ο) β β |
333 | 331, 332 | sstri 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β β |
334 | 333 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (β€
β dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β β) |
335 | | dvf 25287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (β
D πΉ):dom (β D πΉ)βΆβ |
336 | | fresin 6716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((β
D πΉ):dom (β D πΉ)βΆβ β
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)):(dom (β D πΉ) β©
(-Ο(,)Ο))βΆβ) |
337 | | ffdm 6703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)):(dom (β D πΉ) β© (-Ο(,)Ο))βΆβ
β (((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)):dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))βΆβ
β§ dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β (dom (β D πΉ) β© (-Ο(,)Ο)))) |
338 | 335, 336,
337 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)):dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))βΆβ
β§ dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β (dom (β D πΉ) β© (-Ο(,)Ο))) |
339 | 338 | simpli 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)):dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))βΆβ |
340 | 339 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (β€
β ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)):dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))βΆβ) |
341 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β -Ο
β β*) |
342 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β 0 β
β*) |
343 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(-Ο(,)Ο) β β |
344 | 331 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
π₯ β
(-Ο(,)Ο)) |
345 | 343, 344 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
π₯ β
β) |
346 | 345 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β π₯ β
β) |
347 | 344, 228 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
-Ο < π₯) |
348 | 347 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β -Ο <
π₯) |
349 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β π₯ < 0) |
350 | 341, 342,
346, 348, 349 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β π₯ β
(-Ο(,)0)) |
351 | | elun1 4141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β π₯ β ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο))) |
352 | 350, 351 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
π₯ < 0) β π₯ β ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο))) |
353 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β
π₯ β dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
354 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β 0
β β) |
355 | 345 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β
π₯ β
β) |
356 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β
Β¬ π₯ <
0) |
357 | 354, 355,
356 | nltled 11312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β 0
β€ π₯) |
358 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π₯ = 0 β π₯ = 0) |
359 | 205 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β β β β) |
360 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(topGenβran (,)) = (topGenβran (,)) |
361 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β πΉ:ββΆβ) |
362 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β 0 β β) |
363 | | mnfxr 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ -β
β β* |
364 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β -β β β*) |
365 | 362 | mnfltd 13052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β -β < 0) |
366 | 360, 364,
362, 365 | lptioo2 43946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β 0 β ((limPtβ(topGenβran
(,)))β(-β(,)0))) |
367 | | incom 4166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (β
β© (-β(,)0)) = ((-β(,)0) β© β) |
368 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
(-β(,)0) β β |
369 | | df-ss 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
((-β(,)0) β β β ((-β(,)0) β© β) =
(-β(,)0)) |
370 | 368, 369 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
((-β(,)0) β© β) = (-β(,)0) |
371 | 367, 370 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(-β(,)0) = (β β© (-β(,)0)) |
372 | 371 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
((limPtβ(topGenβran (,)))β(-β(,)0)) =
((limPtβ(topGenβran (,)))β(β β©
(-β(,)0))) |
373 | 366, 372 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β 0 β ((limPtβ(topGenβran (,)))β(β β©
(-β(,)0)))) |
374 | | pnfxr 11216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ +β
β β* |
375 | 374 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β +β β β*) |
376 | 362 | ltpnfd 13049 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β 0 < +β) |
377 | 360, 362,
375, 376 | lptioo1 43947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β 0 β ((limPtβ(topGenβran
(,)))β(0(,)+β))) |
378 | | incom 4166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (β
β© (0(,)+β)) = ((0(,)+β) β© β) |
379 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
(0(,)+β) β β |
380 | | df-ss 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
((0(,)+β) β β β ((0(,)+β) β© β) =
(0(,)+β)) |
381 | 379, 380 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
((0(,)+β) β© β) = (0(,)+β) |
382 | 378, 381 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(0(,)+β) = (β β© (0(,)+β)) |
383 | 382 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
((limPtβ(topGenβran (,)))β(0(,)+β)) =
((limPtβ(topGenβran (,)))β(β β©
(0(,)+β))) |
384 | 377, 383 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β 0 β ((limPtβ(topGenβran (,)))β(β β©
(0(,)+β)))) |
385 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ -1)
= (π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ -1) |
386 | | mnfle 13062 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (-Ο
β β* β -β β€ -Ο) |
387 | 159, 386 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ -β
β€ -Ο |
388 | | iooss1 13306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
((-β β β* β§ -β β€ -Ο) β
(-Ο(,)0) β (-β(,)0)) |
389 | 363, 387,
388 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
(-Ο(,)0) β (-β(,)0) |
390 | 389 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (β€
β (-Ο(,)0) β (-β(,)0)) |
391 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(-β(,)0) β β |
392 | 390, 391 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β (-Ο(,)0) β β) |
393 | | 0cnd 11155 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β 0 β β) |
394 | 385, 392,
304, 393 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β -1 β ((π₯ β
(-Ο(,)0) β¦ -1) limβ 0)) |
395 | | resabs1 5972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
((-Ο(,)0) β (-β(,)0) β ((πΉ βΎ (-β(,)0)) βΎ
(-Ο(,)0)) = (πΉ βΎ
(-Ο(,)0))) |
396 | 389, 395 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((πΉ βΎ (-β(,)0)) βΎ
(-Ο(,)0)) = (πΉ βΎ
(-Ο(,)0)) |
397 | 299, 396 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ -1)
= ((πΉ βΎ
(-β(,)0)) βΎ (-Ο(,)0)) |
398 | 397 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π₯ β (-Ο(,)0) β¦ -1)
limβ 0) = (((πΉ βΎ (-β(,)0)) βΎ
(-Ο(,)0)) limβ 0) |
399 | | fssres 6713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((πΉ:ββΆβ β§
(-β(,)0) β β) β (πΉ βΎ
(-β(,)0)):(-β(,)0)βΆβ) |
400 | 208, 368,
399 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (πΉ βΎ
(-β(,)0)):(-β(,)0)βΆβ |
401 | 400 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β (πΉ βΎ
(-β(,)0)):(-β(,)0)βΆβ) |
402 | 391 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β (-β(,)0) β β) |
403 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
((TopOpenββfld) βΎt
((-β(,)0) βͺ {0})) = ((TopOpenββfld)
βΎt ((-β(,)0) βͺ {0})) |
404 | | 0le0 12261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ 0 β€
0 |
405 | | elioc2 13334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β) β (0 β (-Ο(,]0)
β (0 β β β§ -Ο < 0 β§ 0 β€ 0))) |
406 | 159, 67, 405 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (0 β
(-Ο(,]0) β (0 β β β§ -Ο < 0 β§ 0 β€
0)) |
407 | 67, 164, 404, 406 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ 0 β
(-Ο(,]0) |
408 | 198 | cnfldtop 24163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(TopOpenββfld) β Top |
409 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(-β(,]0) β V |
410 | | resttop 22527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(((TopOpenββfld) β Top β§ (-β(,]0)
β V) β ((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)) β Top) |
411 | 408, 409,
410 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)) β Top |
412 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (β€
β -Ο β β*) |
413 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
((topGenβran (,)) βΎt (-β(,]0)) =
((topGenβran (,)) βΎt (-β(,]0)) |
414 | 387 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (β€
β -β β€ -Ο) |
415 | 364, 412,
362, 360, 413, 414, 362 | iocopn 43832 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (β€
β (-Ο(,]0) β ((topGenβran (,)) βΎt
(-β(,]0))) |
416 | 415 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(-Ο(,]0) β ((topGenβran (,)) βΎt
(-β(,]0)) |
417 | 199 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’
((topGenβran (,)) βΎt (-β(,]0)) =
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt (-β(,]0)) |
418 | | iocssre 13351 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’
((-β β β* β§ 0 β β) β
(-β(,]0) β β) |
419 | 363, 67, 418 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
(-β(,]0) β β |
420 | 195 | elexi 3467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ β
β V |
421 | | restabs 22532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
(((TopOpenββfld) β Top β§ (-β(,]0)
β β β§ β β V) β
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt (-β(,]0)) = ((TopOpenββfld)
βΎt (-β(,]0))) |
422 | 408, 419,
420, 421 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt (-β(,]0)) = ((TopOpenββfld)
βΎt (-β(,]0)) |
423 | 417, 422 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
((topGenβran (,)) βΎt (-β(,]0)) =
((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)) |
424 | 416, 423 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
(-Ο(,]0) β ((TopOpenββfld)
βΎt (-β(,]0)) |
425 | | isopn3i 22449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
((((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)) β Top β§ (-Ο(,]0) β
((TopOpenββfld) βΎt (-β(,]0)))
β ((intβ((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)))β(-Ο(,]0)) = (-Ο(,]0)) |
426 | 411, 424,
425 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)))β(-Ο(,]0)) = (-Ο(,]0) |
427 | | mnflt0 13053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ -β
< 0 |
428 | | ioounsn 13401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’
((-β β β* β§ 0 β β*
β§ -β < 0) β ((-β(,)0) βͺ {0}) =
(-β(,]0)) |
429 | 363, 151,
427, 428 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
((-β(,)0) βͺ {0}) = (-β(,]0) |
430 | 429 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’
(-β(,]0) = ((-β(,)0) βͺ {0}) |
431 | 430 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)) = ((TopOpenββfld) βΎt
((-β(,)0) βͺ {0})) |
432 | 431 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
(intβ((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0))) = (intβ((TopOpenββfld)
βΎt ((-β(,)0) βͺ {0}))) |
433 | | ioounsn 13401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((-Ο
β β* β§ 0 β β* β§ -Ο <
0) β ((-Ο(,)0) βͺ {0}) = (-Ο(,]0)) |
434 | 159, 151,
164, 433 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
((-Ο(,)0) βͺ {0}) = (-Ο(,]0) |
435 | 434 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
(-Ο(,]0) = ((-Ο(,)0) βͺ {0}) |
436 | 432, 435 | fveq12i 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
(-β(,]0)))β(-Ο(,]0)) =
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
((-β(,)0) βͺ {0})))β((-Ο(,)0) βͺ {0})) |
437 | 426, 436 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’
(-Ο(,]0) = ((intβ((TopOpenββfld)
βΎt ((-β(,)0) βͺ {0})))β((-Ο(,)0) βͺ
{0})) |
438 | 407, 437 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ 0 β
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
((-β(,)0) βͺ {0})))β((-Ο(,)0) βͺ {0})) |
439 | 438 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β 0 β ((intβ((TopOpenββfld)
βΎt ((-β(,)0) βͺ {0})))β((-Ο(,)0) βͺ
{0}))) |
440 | 401, 390,
402, 198, 403, 439 | limcres 25266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (β€
β (((πΉ βΎ
(-β(,)0)) βΎ (-Ο(,)0)) limβ 0) = ((πΉ βΎ (-β(,)0))
limβ 0)) |
441 | 440 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((πΉ βΎ (-β(,)0)) βΎ
(-Ο(,)0)) limβ 0) = ((πΉ βΎ (-β(,)0))
limβ 0) |
442 | 398, 441 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π₯ β (-Ο(,)0) β¦ -1)
limβ 0) = ((πΉ βΎ (-β(,)0))
limβ 0) |
443 | 394, 442 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β -1 β ((πΉ
βΎ (-β(,)0)) limβ 0)) |
444 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 1) =
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 1) |
445 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(0(,)Ο) β β |
446 | 445 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (β€
β (0(,)Ο) β β) |
447 | 444, 446,
202, 393 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (β€
β 1 β ((π₯ β
(0(,)Ο) β¦ 1) limβ 0)) |
448 | | ltpnf 13048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (Ο
β β β Ο < +β) |
449 | | xrltle 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((Ο
β β* β§ +β β β*) β
(Ο < +β β Ο β€ +β)) |
450 | 153, 374,
449 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (Ο
< +β β Ο β€ +β) |
451 | 118, 448,
450 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ Ο β€
+β |
452 | | iooss2 13307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’
((+β β β* β§ Ο β€ +β) β
(0(,)Ο) β (0(,)+β)) |
453 | 374, 451,
452 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
(0(,)Ο) β (0(,)+β) |
454 | | resabs1 5972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
((0(,)Ο) β (0(,)+β) β ((πΉ βΎ (0(,)+β)) βΎ (0(,)Ο))
= (πΉ βΎ
(0(,)Ο))) |
455 | 453, 454 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((πΉ βΎ (0(,)+β)) βΎ
(0(,)Ο)) = (πΉ βΎ
(0(,)Ο)) |
456 | 193, 455 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 1) =
((πΉ βΎ (0(,)+β))
βΎ (0(,)Ο)) |
457 | 456 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π₯ β (0(,)Ο) β¦ 1)
limβ 0) = (((πΉ βΎ (0(,)+β)) βΎ (0(,)Ο))
limβ 0) |
458 | | fssres 6713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((πΉ:ββΆβ β§
(0(,)+β) β β) β (πΉ βΎ
(0(,)+β)):(0(,)+β)βΆβ) |
459 | 208, 379,
458 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (πΉ βΎ
(0(,)+β)):(0(,)+β)βΆβ |
460 | 459 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β (πΉ βΎ
(0(,)+β)):(0(,)+β)βΆβ) |
461 | 453 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β (0(,)Ο) β (0(,)+β)) |
462 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
(0(,)+β) β β |
463 | 462 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β (0(,)+β) β β) |
464 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’
((TopOpenββfld) βΎt
((0(,)+β) βͺ {0})) = ((TopOpenββfld)
βΎt ((0(,)+β) βͺ {0})) |
465 | | elico2 13335 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ ((0
β β β§ Ο β β*) β (0 β
(0[,)Ο) β (0 β β β§ 0 β€ 0 β§ 0 <
Ο))) |
466 | 67, 153, 465 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (0 β
(0[,)Ο) β (0 β β β§ 0 β€ 0 β§ 0 <
Ο)) |
467 | 67, 404, 68, 466 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ 0 β
(0[,)Ο) |
468 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(0[,)+β) β V |
469 | | resttop 22527 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(((TopOpenββfld) β Top β§ (0[,)+β)
β V) β ((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)) β Top) |
470 | 408, 468,
469 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)) β Top |
471 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (β€
β Ο β β*) |
472 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
((topGenβran (,)) βΎt (0[,)+β)) =
((topGenβran (,)) βΎt (0[,)+β)) |
473 | 451 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (β€
β Ο β€ +β) |
474 | 362, 471,
375, 360, 472, 473 | icoopn 43837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (β€
β (0[,)Ο) β ((topGenβran (,)) βΎt
(0[,)+β))) |
475 | 474 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
(0[,)Ο) β ((topGenβran (,)) βΎt
(0[,)+β)) |
476 | 199 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’
((topGenβran (,)) βΎt (0[,)+β)) =
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt (0[,)+β)) |
477 | | rge0ssre 13380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
(0[,)+β) β β |
478 | | restabs 22532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
(((TopOpenββfld) β Top β§ (0[,)+β)
β β β§ β β V) β
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt (0[,)+β)) = ((TopOpenββfld)
βΎt (0[,)+β))) |
479 | 408, 477,
420, 478 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt (0[,)+β)) = ((TopOpenββfld)
βΎt (0[,)+β)) |
480 | 476, 479 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
((topGenβran (,)) βΎt (0[,)+β)) =
((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)) |
481 | 475, 480 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
(0[,)Ο) β ((TopOpenββfld)
βΎt (0[,)+β)) |
482 | | isopn3i 22449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
((((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)) β Top β§ (0[,)Ο) β
((TopOpenββfld) βΎt (0[,)+β)))
β ((intβ((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)))β(0[,)Ο)) = (0[,)Ο)) |
483 | 470, 481,
482 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)))β(0[,)Ο)) = (0[,)Ο) |
484 | | 0ltpnf 13050 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ 0 <
+β |
485 | | snunioo1 43824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((0
β β* β§ +β β β* β§ 0
< +β) β ((0(,)+β) βͺ {0}) =
(0[,)+β)) |
486 | 151, 374,
484, 485 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’
((0(,)+β) βͺ {0}) = (0[,)+β) |
487 | 486 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’
(0[,)+β) = ((0(,)+β) βͺ {0}) |
488 | 487 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)) = ((TopOpenββfld) βΎt
((0(,)+β) βͺ {0})) |
489 | 488 | fveq2i 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
(intβ((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β))) = (intβ((TopOpenββfld)
βΎt ((0(,)+β) βͺ {0}))) |
490 | | snunioo1 43824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ 0 <
Ο) β ((0(,)Ο) βͺ {0}) = (0[,)Ο)) |
491 | 151, 153,
68, 490 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’
((0(,)Ο) βͺ {0}) = (0[,)Ο) |
492 | 491 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’
(0[,)Ο) = ((0(,)Ο) βͺ {0}) |
493 | 489, 492 | fveq12i 6853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
(0[,)+β)))β(0[,)Ο)) =
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
((0(,)+β) βͺ {0})))β((0(,)Ο) βͺ {0})) |
494 | 483, 493 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’
(0[,)Ο) = ((intβ((TopOpenββfld)
βΎt ((0(,)+β) βͺ {0})))β((0(,)Ο) βͺ
{0})) |
495 | 467, 494 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ 0 β
((intβ((TopOpenββfld) βΎt
((0(,)+β) βͺ {0})))β((0(,)Ο) βͺ {0})) |
496 | 495 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (β€
β 0 β ((intβ((TopOpenββfld)
βΎt ((0(,)+β) βͺ {0})))β((0(,)Ο) βͺ
{0}))) |
497 | 460, 461,
463, 198, 464, 496 | limcres 25266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (β€
β (((πΉ βΎ
(0(,)+β)) βΎ (0(,)Ο)) limβ 0) = ((πΉ βΎ (0(,)+β))
limβ 0)) |
498 | 497 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((πΉ βΎ (0(,)+β)) βΎ
(0(,)Ο)) limβ 0) = ((πΉ βΎ (0(,)+β))
limβ 0) |
499 | 457, 498 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π₯ β (0(,)Ο) β¦ 1)
limβ 0) = ((πΉ βΎ (0(,)+β))
limβ 0) |
500 | 447, 499 | eleqtrdi 2848 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β 1 β ((πΉ βΎ
(0(,)+β)) limβ 0)) |
501 | | neg1lt0 12277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ -1 <
0 |
502 | 106, 67, 105 | lttri 11288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((-1 <
0 β§ 0 < 1) β -1 < 1) |
503 | 501, 34, 502 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ -1 <
1 |
504 | 106, 503 | ltneii 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ -1 β
1 |
505 | 504 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (β€
β -1 β 1) |
506 | 198, 359,
360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505 | jumpncnp 44213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (β€
β Β¬ πΉ β
(((topGenβran (,)) CnP
(TopOpenββfld))β0)) |
507 | 506 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ Β¬
πΉ β
(((topGenβran (,)) CnP
(TopOpenββfld))β0) |
508 | 206 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (0 β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β β β β) |
509 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (0 β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β πΉ:ββΆβ) |
510 | 205 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (0 β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β β β β) |
511 | | inss2 4194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
((-Ο(,)Ο) β© dom (β D πΉ)) β dom (β D πΉ) |
512 | 220, 511 | eqsstri 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β dom (β D πΉ) |
513 | 512 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (0 β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β 0 β dom (β D πΉ)) |
514 | 199, 198 | dvcnp2 25300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((β β β β§ πΉ:ββΆβ β§ β
β β) β§ 0 β dom (β D πΉ)) β πΉ β (((topGenβran (,)) CnP
(TopOpenββfld))β0)) |
515 | 508, 509,
510, 513, 514 | syl31anc 1374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (0 β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β πΉ
β (((topGenβran (,)) CnP
(TopOpenββfld))β0)) |
516 | 507, 515 | mto 196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ Β¬ 0
β dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) |
517 | 516 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π₯ = 0 β Β¬ 0 β dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
518 | 358, 517 | eqneltrd 2858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ = 0 β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
519 | 518 | necon2ai 2974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
π₯ β 0) |
520 | 519 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β
π₯ β 0) |
521 | 354, 355,
357, 520 | leneltd 11316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β 0
< π₯) |
522 | 344, 163 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
0 < π₯) β π₯ β
(0(,)Ο)) |
523 | | elun2 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β π₯ β ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο))) |
524 | 522, 523 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
0 < π₯) β π₯ β ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο))) |
525 | 353, 521,
524 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β§
Β¬ π₯ < 0) β
π₯ β ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο))) |
526 | 352, 525 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
π₯ β ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο))) |
527 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-Ο(,)0) β V |
528 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(0(,)Ο) β V |
529 | 527, 528 | unipr 4888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ βͺ {(-Ο(,)0), (0(,)Ο)} = ((-Ο(,)0) βͺ
(0(,)Ο)) |
530 | 526, 529 | eleqtrrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
π₯ β βͺ {(-Ο(,)0), (0(,)Ο)}) |
531 | 530 | ssriv 3953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β βͺ {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} |
532 | 531 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (β€
β dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β βͺ {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)}) |
533 | | ineq2 4171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯) =
(dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (-Ο(,)0))) |
534 | | retop 24141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(topGenβran (,)) β Top |
535 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (β
D πΉ) β
V |
536 | 535 | resex 5990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β V |
537 | 536 | dmex 7853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β V |
538 | 534, 537 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((topGenβran (,)) β Top β§ dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
V) |
539 | 318 | ssriv 3953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(-Ο(,)0) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) |
540 | | ssid 3971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(-Ο(,)0) β (-Ο(,)0) |
541 | 301, 539,
540 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((-Ο(,)0) β (topGenβran (,)) β§ (-Ο(,)0) β dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β§ (-Ο(,)0) β (-Ο(,)0)) |
542 | | restopnb 22542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((topGenβran (,)) β Top β§ dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
V) β§ ((-Ο(,)0) β (topGenβran (,)) β§ (-Ο(,)0) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β§ (-Ο(,)0) β (-Ο(,)0))) β ((-Ο(,)0)
β (topGenβran (,)) β (-Ο(,)0) β ((topGenβran (,))
βΎt dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))))) |
543 | 538, 541,
542 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((-Ο(,)0) β (topGenβran (,)) β (-Ο(,)0) β
((topGenβran (,)) βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)))) |
544 | 301, 543 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(-Ο(,)0) β ((topGenβran (,)) βΎt dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
545 | | inss2 4194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (-Ο(,)0)) β (-Ο(,)0) |
546 | 539, 540 | ssini 4196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(-Ο(,)0) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β©
(-Ο(,)0)) |
547 | 545, 546 | eqssi 3965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (-Ο(,)0)) = (-Ο(,)0) |
548 | 199 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((topGenβran (,)) βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) =
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
549 | 331, 343 | sstri 3958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β β |
550 | | restabs 22532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(((TopOpenββfld) β Top β§ dom ((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
β β β§ β β V) β
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) =
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
551 | 408, 549,
420, 550 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(((TopOpenββfld) βΎt β)
βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) =
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
552 | 548, 551 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) = ((topGenβran (,)) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
553 | 544, 547,
552 | 3eltr4i 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (-Ο(,)0)) β
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
554 | 533, 553 | eqeltrdi 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯)
β ((TopOpenββfld) βΎt dom ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
555 | 554 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β§ π₯ =
(-Ο(,)0)) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β© π₯) β
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
556 | | neqne 2952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (Β¬
π₯ = (-Ο(,)0) β
π₯ β
(-Ο(,)0)) |
557 | | elprn1 43948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β§ π₯ β
(-Ο(,)0)) β π₯ =
(0(,)Ο)) |
558 | 556, 557 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β§ Β¬ π₯ =
(-Ο(,)0)) β π₯ =
(0(,)Ο)) |
559 | | ineq2 4171 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯) =
(dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (0(,)Ο))) |
560 | 221 | ssriv 3953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(0(,)Ο) β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) |
561 | | ssid 3971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(0(,)Ο) β (0(,)Ο) |
562 | 197, 560,
561 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((0(,)Ο) β (topGenβran (,)) β§ (0(,)Ο) β dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β§ (0(,)Ο) β (0(,)Ο)) |
563 | | restopnb 22542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((topGenβran (,)) β Top β§ dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β
V) β§ ((0(,)Ο) β (topGenβran (,)) β§ (0(,)Ο) β dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β§ (0(,)Ο) β (0(,)Ο))) β ((0(,)Ο) β
(topGenβran (,)) β (0(,)Ο) β ((topGenβran (,))
βΎt dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))))) |
564 | 538, 562,
563 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((0(,)Ο) β (topGenβran (,)) β (0(,)Ο) β
((topGenβran (,)) βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)))) |
565 | 197, 564 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(0(,)Ο) β ((topGenβran (,)) βΎt dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
566 | | inss2 4194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (0(,)Ο)) β (0(,)Ο) |
567 | 560, 561 | ssini 4196 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(0(,)Ο) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β©
(0(,)Ο)) |
568 | 566, 567 | eqssi 3965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (0(,)Ο)) = (0(,)Ο) |
569 | 565, 568,
552 | 3eltr4i 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© (0(,)Ο)) β ((TopOpenββfld)
βΎt dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
570 | 559, 569 | eqeltrdi 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯)
β ((TopOpenββfld) βΎt dom ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
571 | 558, 570 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β§ Β¬ π₯ =
(-Ο(,)0)) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β© π₯) β
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
572 | 555, 571 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β© π₯) β
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
573 | 572 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((β€ β§ π₯
β {(-Ο(,)0), (0(,)Ο)}) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β© π₯) β
((TopOpenββfld) βΎt dom ((β D
πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
574 | | ssid 3971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ β
β β |
575 | 574 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β β β β) |
576 | 392, 393,
575 | constcncfg 44187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β (π₯ β
(-Ο(,)0) β¦ 0) β ((-Ο(,)0)βcnββ)) |
577 | 576 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0)
β ((-Ο(,)0)βcnββ) |
578 | 577 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0)
β ((-Ο(,)0)βcnββ)) |
579 | | reseq2 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ π₯)
= (((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-Ο(,)0))) |
580 | | resabs1 5972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((-Ο(,)0) β (-Ο(,)Ο) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-Ο(,)0)) = ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)0))) |
581 | 238, 580 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-Ο(,)0)) = ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)0)) |
582 | 581, 309 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-Ο(,)0)) = (π₯ β (-Ο(,)0) β¦
0) |
583 | 579, 582 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ π₯)
= (π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0)) |
584 | 533, 547 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯) =
(-Ο(,)0)) |
585 | 584 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β ((dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯)βcnββ) = ((-Ο(,)0)βcnββ)) |
586 | 578, 583,
585 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = (-Ο(,)0) β (((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ π₯)
β ((dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β© π₯)βcnββ)) |
587 | 586 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β§ π₯ =
(-Ο(,)0)) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ π₯) β ((dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β©
π₯)βcnββ)) |
588 | 446, 393,
575 | constcncfg 44187 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β (π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) β ((0(,)Ο)βcnββ)) |
589 | 588 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0)
β ((0(,)Ο)βcnββ) |
590 | 589 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0)
β ((0(,)Ο)βcnββ)) |
591 | | reseq2 5937 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ π₯)
= (((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)Ο))) |
592 | | resabs1 5972 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((0(,)Ο) β (-Ο(,)Ο) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ
(0(,)Ο)) = ((β D πΉ) βΎ (0(,)Ο))) |
593 | 167, 592 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)Ο)) = ((β D πΉ) βΎ (0(,)Ο)) |
594 | 593, 211 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)Ο)) = (π₯ β (0(,)Ο) β¦
0) |
595 | 591, 594 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ π₯)
= (π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0)) |
596 | 559, 568 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯) =
(0(,)Ο)) |
597 | 596 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β ((dom
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β© π₯)βcnββ) = ((0(,)Ο)βcnββ)) |
598 | 590, 595,
597 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = (0(,)Ο) β (((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ π₯)
β ((dom ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β© π₯)βcnββ)) |
599 | 558, 598 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β§ Β¬ π₯ =
(-Ο(,)0)) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ π₯) β ((dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β©
π₯)βcnββ)) |
600 | 587, 599 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β {(-Ο(,)0),
(0(,)Ο)} β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ π₯) β ((dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β©
π₯)βcnββ)) |
601 | 600 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
((β€ β§ π₯
β {(-Ο(,)0), (0(,)Ο)}) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ π₯) β ((dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) β©
π₯)βcnββ)) |
602 | 334, 340,
532, 573, 601 | cncfuni 44201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (β€
β ((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))βcnββ)) |
603 | 602 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) β (dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))βcnββ) |
604 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = -Ο β (π₯(,)+β) =
(-Ο(,)+β)) |
605 | 604 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = -Ο β (((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β)) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-Ο(,)+β))) |
606 | | iooss2 13307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((+β β β* β§ Ο β€ +β) β
(-Ο(,)Ο) β (-Ο(,)+β)) |
607 | 374, 451,
606 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-Ο(,)Ο) β (-Ο(,)+β) |
608 | | resabs2 5974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((-Ο(,)Ο) β (-Ο(,)+β) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-Ο(,)+β)) = ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
609 | 607, 608 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-Ο(,)+β)) = ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) |
610 | 605, 609 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = -Ο β (((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β)) =
((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) |
611 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = -Ο β π₯ = -Ο) |
612 | 610, 611 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = -Ο β ((((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) limβ -Ο)) |
613 | 252 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β -Ο β β) |
614 | 311, 392,
393, 613 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β 0 β ((π₯ β
(-Ο(,)0) β¦ 0) limβ -Ο)) |
615 | 614 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ 0 β
((π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0) limβ -Ο) |
616 | 309 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0)
limβ -Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)0)) limβ
-Ο) |
617 | 335 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β (β D πΉ):dom
(β D πΉ)βΆβ) |
618 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β -Ο β β) |
619 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β 0 β β*) |
620 | 164 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β -Ο < 0) |
621 | 315 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β (-Ο(,)0) β dom (β D πΉ)) |
622 | 236 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β 0 β€ Ο) |
623 | 617, 618,
619, 620, 621, 471, 622 | limcresioolb 43958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β (((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)0)) limβ -Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ -Ο)) |
624 | 623 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)0)) limβ -Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ -Ο) |
625 | 616, 624 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0)
limβ -Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ -Ο) |
626 | 615, 625 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) limβ -Ο) |
627 | 626 | ne0ii 4302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) limβ -Ο) β
β
|
628 | 627 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = -Ο β (((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ -Ο) β β
) |
629 | 612, 628 | eqnetrd 3012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = -Ο β ((((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯)
β β
) |
630 | 629 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ π₯ =
-Ο) β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯)
β β
) |
631 | | eldifi 4091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯
β (-Ο[,)Ο)) |
632 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
-Ο β β*) |
633 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
Ο β β*) |
634 | | icossre 13352 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((-Ο
β β β§ Ο β β*) β (-Ο[,)Ο)
β β) |
635 | 158, 153,
634 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(-Ο[,)Ο) β β |
636 | 635 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β (-Ο[,)Ο) β
π₯ β
β) |
637 | 636 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
π₯ β
β) |
638 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
-Ο β β) |
639 | | icogelb 13322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((-Ο
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (-Ο[,)Ο)) β
-Ο β€ π₯) |
640 | 159, 153,
639 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (-Ο[,)Ο) β
-Ο β€ π₯) |
641 | 640 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
-Ο β€ π₯) |
642 | | neqne 2952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (Β¬
π₯ = -Ο β π₯ β -Ο) |
643 | 642 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
π₯ β
-Ο) |
644 | 638, 637,
641, 643 | leneltd 11316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
-Ο < π₯) |
645 | | icoltub 43820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((-Ο
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (-Ο[,)Ο)) β
π₯ <
Ο) |
646 | 159, 153,
645 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β (-Ο[,)Ο) β
π₯ <
Ο) |
647 | 646 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
π₯ <
Ο) |
648 | 632, 633,
637, 644, 647 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β (-Ο[,)Ο) β§
Β¬ π₯ = -Ο) β
π₯ β
(-Ο(,)Ο)) |
649 | 631, 648 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = -Ο) β π₯ β (-Ο(,)Ο)) |
650 | | eldifn 4092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
651 | 650 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = -Ο) β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
652 | 649, 651 | eldifd 3926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = -Ο) β π₯ β ((-Ο(,)Ο) β dom ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
653 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = 0 β (π₯(,)+β) =
(0(,)+β)) |
654 | 653 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = 0 β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β)) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)+β))) |
655 | 654, 358 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = 0 β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯) =
((((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)+β)) limβ
0)) |
656 | 213, 446,
393, 393 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β 0 β ((π₯ β
(0(,)Ο) β¦ 0) limβ 0)) |
657 | 656 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ 0 β
((π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) limβ 0) |
658 | | resres 5955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)+β)) = ((β D πΉ) βΎ ((-Ο(,)Ο) β©
(0(,)+β))) |
659 | | iooin 13305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((-Ο
β β* β§ Ο β β*) β§ (0
β β* β§ +β β β*)) β
((-Ο(,)Ο) β© (0(,)+β)) = (if(-Ο β€ 0, 0, -Ο)(,)if(Ο
β€ +β, Ο, +β))) |
660 | 159, 153,
151, 374, 659 | mp4an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((-Ο(,)Ο) β© (0(,)+β)) = (if(-Ο β€ 0, 0,
-Ο)(,)if(Ο β€ +β, Ο, +β)) |
661 | 165 | iftruei 4498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ if(-Ο
β€ 0, 0, -Ο) = 0 |
662 | 451 | iftruei 4498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ if(Ο
β€ +β, Ο, +β) = Ο |
663 | 661, 662 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (if(-Ο
β€ 0, 0, -Ο)(,)if(Ο β€ +β, Ο, +β)) =
(0(,)Ο) |
664 | 660, 663 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((-Ο(,)Ο) β© (0(,)+β)) = (0(,)Ο) |
665 | 664 | reseq2i 5939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((β
D πΉ) βΎ
((-Ο(,)Ο) β© (0(,)+β))) = ((β D πΉ) βΎ (0(,)Ο)) |
666 | 211 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((β
D πΉ) βΎ (0(,)Ο)) =
(π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) |
667 | 658, 665,
666 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)+β)) |
668 | 667 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0)
limβ 0) = ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ
(0(,)+β)) limβ 0) |
669 | 657, 668 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
((((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)+β)) limβ
0) |
670 | 669 | ne0ii 4302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
((((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (0(,)+β)) limβ 0) β
β
|
671 | 670 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = 0 β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (0(,)+β)) limβ 0) β β
) |
672 | 655, 671 | eqnetrd 3012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = 0 β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯)
β β
) |
673 | 652, 324,
672 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = -Ο) β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯)
β β
) |
674 | 630, 673 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ β ((-Ο[,)Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (π₯(,)+β))
limβ π₯)
β β
) |
675 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = Ο β (-β(,)π₯) =
(-β(,)Ο)) |
676 | 675 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = Ο β (((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯)) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)Ο))) |
677 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = Ο β π₯ = Ο) |
678 | 676, 677 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = Ο β ((((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯))
limβ π₯) =
((((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)Ο)) limβ
Ο)) |
679 | | iooss1 13306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((-β β β* β§ -β β€ -Ο) β
(-Ο(,)Ο) β (-β(,)Ο)) |
680 | 363, 387,
679 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-Ο(,)Ο) β (-β(,)Ο) |
681 | | resabs2 5974 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((-Ο(,)Ο) β (-β(,)Ο) β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)Ο)) = ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
682 | 680, 681 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)Ο)) = ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) |
683 | 682 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
((((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)Ο)) limβ Ο)
= (((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) limβ Ο) |
684 | 678, 683 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = Ο β ((((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯))
limβ π₯) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) limβ Ο)) |
685 | 213, 446,
393, 53 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β 0 β ((π₯ β
(0(,)Ο) β¦ 0) limβ Ο)) |
686 | 685 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ 0 β
((π₯ β (0(,)Ο)
β¦ 0) limβ Ο) |
687 | 211 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0)
limβ Ο) = (((β D πΉ) βΎ (0(,)Ο)) limβ
Ο) |
688 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β Ο β β) |
689 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β 0 < Ο) |
690 | 217 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β (0(,)Ο) β dom (β D πΉ)) |
691 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (β€
β -Ο β€ 0) |
692 | 617, 619,
688, 689, 690, 412, 691 | limcresiooub 43957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β (((β D πΉ)
βΎ (0(,)Ο)) limβ Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ Ο)) |
693 | 692 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((β D πΉ)
βΎ (0(,)Ο)) limβ Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ Ο) |
694 | 687, 693 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (0(,)Ο) β¦ 0)
limβ Ο) = (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ Ο) |
695 | 686, 694 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) limβ Ο) |
696 | 695 | ne0ii 4302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) limβ Ο) β
β
|
697 | 696 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = Ο β (((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
limβ Ο) β β
) |
698 | 684, 697 | eqnetrd 3012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = Ο β ((((β D
πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯))
limβ π₯)
β β
) |
699 | 698 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ π₯ =
Ο) β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ
(-β(,)π₯))
limβ π₯)
β β
) |
700 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β -Ο β
β*) |
701 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β Ο β
β*) |
702 | | negpitopissre 25912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(-Ο(,]Ο) β β |
703 | | eldifi 4091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯
β (-Ο(,]Ο)) |
704 | 702, 703 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯
β β) |
705 | 704 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β π₯ β β) |
706 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β -Ο β β*) |
707 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β Ο β β*) |
708 | | iocgtlb 43814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((-Ο
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (-Ο(,]Ο)) β
-Ο < π₯) |
709 | 706, 707,
703, 708 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β -Ο < π₯) |
710 | 709 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β -Ο < π₯) |
711 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β Ο β
β) |
712 | | iocleub 43815 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((-Ο
β β* β§ Ο β β* β§ π₯ β (-Ο(,]Ο)) β
π₯ β€
Ο) |
713 | 706, 707,
703, 712 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β π₯
β€ Ο) |
714 | 713 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β π₯ β€ Ο) |
715 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Ο =
π₯ β Ο = π₯) |
716 | 715 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (Ο =
π₯ β π₯ = Ο) |
717 | 716 | necon3bi 2971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (Β¬
π₯ = Ο β Ο β
π₯) |
718 | 717 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β Ο β π₯) |
719 | 705, 711,
714, 718 | leneltd 11316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β π₯ < Ο) |
720 | 700, 701,
705, 710, 719 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β π₯ β (-Ο(,)Ο)) |
721 | | eldifn 4092 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
722 | 721 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β Β¬ π₯ β dom ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))) |
723 | 720, 722 | eldifd 3926 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β π₯ β ((-Ο(,)Ο) β dom ((β
D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)))) |
724 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = 0 β (-β(,)π₯) =
(-β(,)0)) |
725 | 724 | reseq2d 5942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π₯ = 0 β (((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯)) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)0))) |
726 | 725, 358 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = 0 β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯))
limβ π₯) =
((((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)0)) limβ
0)) |
727 | 311, 392,
393, 393 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β 0 β ((π₯ β
(-Ο(,)0) β¦ 0) limβ 0)) |
728 | 727 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ 0 β
((π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0) limβ 0) |
729 | | resres 5955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)0)) = ((β D πΉ) βΎ ((-Ο(,)Ο) β©
(-β(,)0))) |
730 | | iooin 13305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((-Ο
β β* β§ Ο β β*) β§
(-β β β* β§ 0 β β*))
β ((-Ο(,)Ο) β© (-β(,)0)) = (if(-Ο β€ -β,
-β, -Ο)(,)if(Ο β€ 0, Ο, 0))) |
731 | 159, 153,
363, 151, 730 | mp4an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((-Ο(,)Ο) β© (-β(,)0)) = (if(-Ο β€ -β,
-β, -Ο)(,)if(Ο β€ 0, Ο, 0)) |
732 | | mnflt 13051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (-Ο
β β β -β < -Ο) |
733 | 158, 732 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ -β
< -Ο |
734 | | xrltnle 11229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
((-β β β* β§ -Ο β
β*) β (-β < -Ο β Β¬ -Ο β€
-β)) |
735 | 363, 159,
734 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (-β
< -Ο β Β¬ -Ο β€ -β) |
736 | 733, 735 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ Β¬
-Ο β€ -β |
737 | 736 | iffalsei 4501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ if(-Ο
β€ -β, -β, -Ο) = -Ο |
738 | | xrltnle 11229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((0
β β* β§ Ο β β*) β (0
< Ο β Β¬ Ο β€ 0)) |
739 | 151, 153,
738 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (0 <
Ο β Β¬ Ο β€ 0) |
740 | 68, 739 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ Β¬
Ο β€ 0 |
741 | 740 | iffalsei 4501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ if(Ο
β€ 0, Ο, 0) = 0 |
742 | 737, 741 | oveq12i 7374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (if(-Ο
β€ -β, -β, -Ο)(,)if(Ο β€ 0, Ο, 0)) =
(-Ο(,)0) |
743 | 731, 742 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((-Ο(,)Ο) β© (-β(,)0)) = (-Ο(,)0) |
744 | 743 | reseq2i 5939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((β
D πΉ) βΎ
((-Ο(,)Ο) β© (-β(,)0))) = ((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)0)) |
745 | 309 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((β
D πΉ) βΎ (-Ο(,)0)) =
(π₯ β (-Ο(,)0)
β¦ 0) |
746 | 729, 744,
745 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0) =
(((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)0)) |
747 | 746 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π₯ β (-Ο(,)0) β¦ 0)
limβ 0) = ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ
(-β(,)0)) limβ 0) |
748 | 728, 747 | eleqtri 2836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ 0 β
((((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)0)) limβ
0) |
749 | 748 | ne0ii 4302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
((((β D πΉ)
βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ (-β(,)0)) limβ 0) β
β
|
750 | 749 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ = 0 β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)0)) limβ 0) β β
) |
751 | 726, 750 | eqnetrd 3012 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π₯ = 0 β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯))
limβ π₯)
β β
) |
752 | 723, 324,
751 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β§ Β¬ π₯ = Ο) β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο))
βΎ (-β(,)π₯))
limβ π₯)
β β
) |
753 | 699, 752 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π₯ β ((-Ο(,]Ο) β
dom ((β D πΉ) βΎ
(-Ο(,)Ο))) β ((((β D πΉ) βΎ (-Ο(,)Ο)) βΎ
(-β(,)π₯))
limβ π₯)
β β
) |
754 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1) = (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1) |
755 | | ioosscn 13333 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β (π mod π))(,)π) β β |
756 | 755 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β ((π β (π mod π))(,)π) β β) |
757 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β 1 β
β) |
758 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β π β β) |
759 | 754, 756,
757, 758 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β 1 β ((π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1) limβ π)) |
760 | | ioossioc 43804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(0(,)Ο) β (0(,]Ο) |
761 | 760 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (π mod π) β (0(,]Ο)) |
762 | 761 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) =
1) |
763 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β πΉ:ββΆβ) |
764 | | modcl 13785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π β β β§ π β β+)
β (π mod π) β
β) |
765 | 22, 133, 764 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π mod π) β β |
766 | 22, 765 | resubcli 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (π mod π)) β β |
767 | 766 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β (π mod π)) β
β* |
768 | 767 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (π β (π mod π)) β
β*) |
769 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β π β β) |
770 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (π mod π) β β) |
771 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ (π mod π) β (0(,)Ο)) β 0 < (π mod π)) |
772 | 151, 153,
771 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β 0 < (π mod π)) |
773 | 770, 772 | elrpd 12961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (π mod π) β
β+) |
774 | 769, 773 | ltsubrpd 12996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (π β (π mod π)) < π) |
775 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β (π mod π))(,)π) β β |
776 | 775 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β ((π β (π mod π))(,)π) β β) |
777 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β -β β
β*) |
778 | | mnflt 13051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β (π mod π)) β β β -β <
(π β (π mod π))) |
779 | | xrltle 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((-β β β* β§ (π β (π mod π)) β β*) β
(-β < (π β
(π mod π)) β -β β€ (π β (π mod π)))) |
780 | 363, 767,
779 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (-β
< (π β (π mod π)) β -β β€ (π β (π mod π))) |
781 | 766, 778,
780 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ -β
β€ (π β (π mod π)) |
782 | 781 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β -β β€
(π β (π mod π))) |
783 | 763, 768,
769, 774, 776, 777, 782 | limcresiooub 43957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β ((πΉ βΎ ((π β (π mod π))(,)π)) limβ π) = ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
784 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ (π mod π) β (0(,)Ο)) β (π mod π) < Ο) |
785 | 151, 153,
784 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (π mod π) < Ο) |
786 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) < Ο β πΉ:ββΆβ) |
787 | 775 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) < Ο β ((π β (π mod π))(,)π) β β) |
788 | 786, 787 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) < Ο β (πΉ βΎ ((π β (π mod π))(,)π)) = (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ (πΉβπ₯))) |
789 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β π₯ β β) |
790 | 789, 107,
145 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
791 | 790 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
792 | 789 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β π₯ β β) |
793 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β π β
β+) |
794 | 792, 793 | modcld 13787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (π₯ mod π) β β) |
795 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (π mod π) β β) |
796 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β Ο β
β) |
797 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β π β β) |
798 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β π β
β+) |
799 | | ioossico 13362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β (π mod π))(,)π) β ((π β (π mod π))[,)π) |
800 | 799 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β π₯ β ((π β (π mod π))[,)π)) |
801 | 797, 798,
800 | ltmod 43953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β (π₯ mod π) < (π mod π)) |
802 | 801 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (π₯ mod π) < (π mod π)) |
803 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (π mod π) < Ο) |
804 | 794, 795,
796, 802, 803 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (π₯ mod π) < Ο) |
805 | 804 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = 1) |
806 | 791, 805 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) β (πΉβπ₯) = 1) |
807 | 806 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) < Ο β (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ (πΉβπ₯)) = (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1)) |
808 | 788, 807 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) < Ο β (πΉ βΎ ((π β (π mod π))(,)π)) = (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1)) |
809 | 785, 808 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β (πΉ βΎ ((π β (π mod π))(,)π)) = (π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1)) |
810 | 809 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β ((πΉ βΎ ((π β (π mod π))(,)π)) limβ π) = ((π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1) limβ π)) |
811 | 783, 810 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) = ((π₯ β ((π β (π mod π))(,)π) β¦ 1) limβ π)) |
812 | 759, 762,
811 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π mod π) β (0(,)Ο) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
813 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1) |
814 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β Ο)(,)π) β
β |
815 | 814 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β ((π β
Ο)(,)π) β
β) |
816 | 815, 206 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β ((π β
Ο)(,)π) β
β) |
817 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β π β
β) |
818 | 813, 816,
304, 817 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β -1 β ((π₯ β
((π β Ο)(,)π) β¦ -1)
limβ π)) |
819 | 818 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ -1 β
((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1)
limβ π) |
820 | 819 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) = 0 β -1 β ((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1) limβ π)) |
821 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) = 0 β (π mod π) = 0) |
822 | | lbioc 43825 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ Β¬ 0
β (0(,]Ο) |
823 | 822 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) = 0 β Β¬ 0 β
(0(,]Ο)) |
824 | 821, 823 | eqneltrd 2858 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) = 0 β Β¬ (π mod π) β (0(,]Ο)) |
825 | 824 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) = 0 β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) =
-1) |
826 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) = 0 β πΉ:ββΆβ) |
827 | 814 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) = 0 β ((π β Ο)(,)π) β β) |
828 | 826, 827 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) = 0 β (πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ (πΉβπ₯))) |
829 | 827 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β π₯ β β) |
830 | 829, 107,
145 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
831 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β Ο β
β) |
832 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β π β
β+) |
833 | 829, 832 | modcld 13787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (π₯ mod π) β β) |
834 | 22, 118 | resubcli 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π β Ο) β
β |
835 | 834 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (π β Ο) β
β) |
836 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π β β) |
837 | 835, 836 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((π β Ο) + π) β β) |
838 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π₯ β β) |
839 | 838, 836 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (π₯ + π) β β) |
840 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π β β) |
841 | 834 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π β Ο) β
β* |
842 | 841 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (π β Ο) β
β*) |
843 | 840 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π β
β*) |
844 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π₯ β ((π β Ο)(,)π)) |
845 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π β Ο) β
β* β§ π
β β* β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (π β Ο) < π₯) |
846 | 842, 843,
844, 845 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (π β Ο) < π₯) |
847 | 835, 838,
836, 846 | ltadd1dd 11773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((π β Ο) + π) < (π₯ + π)) |
848 | 837, 839,
840, 847 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (((π β Ο) + π) β π) < ((π₯ + π) β π)) |
849 | 848 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (((π β Ο) + π) β π) < ((π₯ + π) β π)) |
850 | 250 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β Ο) + π) = ((π β Ο) + (Ο +
Ο)) |
851 | 52, 52 | addcli 11168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (Ο +
Ο) β β |
852 | | subadd23 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π β β β§ Ο
β β β§ (Ο + Ο) β β) β ((π β Ο) + (Ο + Ο)) = (π + ((Ο + Ο) β
Ο))) |
853 | 23, 52, 851, 852 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π β Ο) + (Ο + Ο))
= (π + ((Ο + Ο)
β Ο)) |
854 | 52, 52 | pncan3oi 11424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((Ο +
Ο) β Ο) = Ο |
855 | 854 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π + ((Ο + Ο) β Ο))
= (π +
Ο) |
856 | 850, 853,
855 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β Ο) + π) = (π + Ο) |
857 | 856 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β Ο) + π) β π) = ((π + Ο) β π) |
858 | | pncan2 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β β β§ Ο
β β) β ((π
+ Ο) β π) =
Ο) |
859 | 23, 52, 858 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π + Ο) β π) = Ο |
860 | 857, 859 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ Ο =
(((π β Ο) + π) β π) |
861 | 860 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β Ο = (((π β Ο) + π) β π)) |
862 | 839, 840 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((π₯ + π) β π) β β) |
863 | | modabs2 13817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((((π₯ + π) β π) β β β§ π β β+) β
((((π₯ + π) β π) mod π) mod π) = (((π₯ + π) β π) mod π)) |
864 | 862, 133,
863 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((((π₯ + π) β π) mod π) mod π) = (((π₯ + π) β π) mod π)) |
865 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π β
β+) |
866 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β 0 β β) |
867 | 837, 840 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (((π β Ο) + π) β π) β β) |
868 | 68, 860 | breqtri 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ 0 <
(((π β Ο) + π) β π) |
869 | 868 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β 0 < (((π β Ο) + π) β π)) |
870 | 866, 867,
862, 869, 848 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β 0 < ((π₯ + π) β π)) |
871 | 866, 862,
870 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β 0 β€ ((π₯ + π) β π)) |
872 | 840, 836 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (π + π) β β) |
873 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (((π β Ο) β
β* β§ π
β β* β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β π₯ < π) |
874 | 842, 843,
844, 873 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β π₯ < π) |
875 | 838, 840,
836, 874 | ltadd1dd 11773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (π₯ + π) < (π + π)) |
876 | 839, 872,
840, 875 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((π₯ + π) β π) < ((π + π) β π)) |
877 | | pncan2 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β β β§ π β β) β ((π + π) β π) = π) |
878 | 23, 121, 877 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π + π) β π) = π |
879 | 876, 878 | breqtrdi 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((π₯ + π) β π) < π) |
880 | | modid 13808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(((((π₯ + π) β π) β β β§ π β β+) β§ (0 β€
((π₯ + π) β π) β§ ((π₯ + π) β π) < π)) β (((π₯ + π) β π) mod π) = ((π₯ + π) β π)) |
881 | 862, 865,
871, 879, 880 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (((π₯ + π) β π) mod π) = ((π₯ + π) β π)) |
882 | 864, 881 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((π₯ + π) β π) = ((((π₯ + π) β π) mod π) mod π)) |
883 | 882 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((π₯ + π) β π) = ((((π₯ + π) β π) mod π) mod π)) |
884 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π mod π) = 0 β ((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π)) = ((((π₯ + π) β π) mod π) + 0)) |
885 | 884 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π)) = ((((π₯ + π) β π) mod π) + 0)) |
886 | 862, 865 | modcld 13787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (((π₯ + π) β π) mod π) β β) |
887 | 886 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (((π₯ + π) β π) mod π) β β) |
888 | 887 | addid1d 11362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((((π₯ + π) β π) mod π) + 0) = (((π₯ + π) β π) mod π)) |
889 | 888 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((((π₯ + π) β π) mod π) + 0) = (((π₯ + π) β π) mod π)) |
890 | 885, 889 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (((π₯ + π) β π) mod π) = ((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π))) |
891 | 890 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((((π₯ + π) β π) mod π) mod π) = (((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π)) mod π)) |
892 | | modaddabs 13821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((((π₯ + π) β π) β β β§ π β β β§ π β β+) β
(((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π)) mod π) = ((((π₯ + π) β π) + π) mod π)) |
893 | 862, 840,
865, 892 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π)) mod π) = ((((π₯ + π) β π) + π) mod π)) |
894 | 893 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (((((π₯ + π) β π) mod π) + (π mod π)) mod π) = ((((π₯ + π) β π) + π) mod π)) |
895 | 883, 891,
894 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((π₯ + π) β π) = ((((π₯ + π) β π) + π) mod π)) |
896 | 143 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β β β (π₯ + π) β β) |
897 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β β β π β
β) |
898 | 896, 897 | npcand 11523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β β β (((π₯ + π) β π) + π) = (π₯ + π)) |
899 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β β β (1
Β· π) = π) |
900 | 899 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β β β (π₯ + (1 Β· π)) = (π₯ + π)) |
901 | 898, 900 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β β β (((π₯ + π) β π) + π) = (π₯ + (1 Β· π))) |
902 | 901 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β β β ((((π₯ + π) β π) + π) mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π)) |
903 | 838, 902 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β ((((π₯ + π) β π) + π) mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π)) |
904 | 903 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((((π₯ + π) β π) + π) mod π) = ((π₯ + (1 Β· π)) mod π)) |
905 | | 1zzd 12541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β 1 β β€) |
906 | 829, 832,
905, 136 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((π₯ + (1 Β· π)) mod π) = (π₯ mod π)) |
907 | 895, 904,
906 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (π₯ mod π) = ((π₯ + π) β π)) |
908 | 849, 861,
907 | 3brtr4d 5142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β Ο < (π₯ mod π)) |
909 | 831, 833,
908 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β Ο β€ (π₯ mod π)) |
910 | 831, 833,
909 | lensymd 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β Β¬ (π₯ mod π) < Ο) |
911 | 910 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = -1) |
912 | 830, 911 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) = 0 β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (πΉβπ₯) = -1) |
913 | 912 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) = 0 β (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ (πΉβπ₯)) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1)) |
914 | 828, 913 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) = 0 β (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1) = (πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π))) |
915 | 914 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) = 0 β ((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1) limβ π) = ((πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) limβ π)) |
916 | 841 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β (π β Ο)
β β*) |
917 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β π β
β) |
918 | | ltsubrp 12958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β β β§ Ο
β β+) β (π β Ο) < π) |
919 | 22, 182, 918 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π β Ο) < π |
920 | 919 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β (π β Ο)
< π) |
921 | | mnflt 13051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π β Ο) β β
β -β < (π
β Ο)) |
922 | | xrltle 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((-β β β* β§ (π β Ο) β β*)
β (-β < (π
β Ο) β -β β€ (π β Ο))) |
923 | 363, 841,
922 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (-β
< (π β Ο)
β -β β€ (π
β Ο)) |
924 | 834, 921,
923 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -β
β€ (π β
Ο) |
925 | 924 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β -β β€ (π
β Ο)) |
926 | 361, 916,
917, 920, 815, 364, 925 | limcresiooub 43957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β ((πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) limβ π) = ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
927 | 926 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) limβ π) = ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) |
928 | 915, 927 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) = 0 β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) = ((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ -1) limβ π)) |
929 | 820, 825,
928 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) = 0 β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
930 | 929 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ (π mod π) = 0) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
931 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β Ο β
β*) |
932 | 120 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ π β
β* |
933 | 932 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β π β
β*) |
934 | 765 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π mod π) β
β* |
935 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β (π mod π) β
β*) |
936 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β Ο β
β) |
937 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β (π mod π) β β) |
938 | | pm4.56 988 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β Β¬ ((π mod π) β (0(,)Ο) β¨ (π mod π) = 0)) |
939 | 938 | biimpi 215 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β Β¬ ((π mod π) β (0(,)Ο) β¨ (π mod π) = 0)) |
940 | | olc 867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) = 0 β ((π mod π) β (0(,)Ο) β¨ (π mod π) = 0)) |
941 | 940 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) = 0) β ((π mod π) β (0(,)Ο) β¨ (π mod π) = 0)) |
942 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β 0 β
β*) |
943 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β Ο β
β*) |
944 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β (π mod π) β β) |
945 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π mod π) β 0 β 0 β
β) |
946 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π mod π) β 0 β (π mod π) β β) |
947 | | modge0 13791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β β β§ π β β+)
β 0 β€ (π mod π)) |
948 | 22, 133, 947 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ 0 β€
(π mod π) |
949 | 948 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π mod π) β 0 β 0 β€ (π mod π)) |
950 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π mod π) β 0 β (π mod π) β 0) |
951 | 945, 946,
949, 950 | leneltd 11316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π mod π) β 0 β 0 < (π mod π)) |
952 | 951 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β 0 < (π mod π)) |
953 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β (π mod π) < Ο) |
954 | 942, 943,
944, 952, 953 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β (π mod π) β (0(,)Ο)) |
955 | 954 | orcd 872 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) < Ο β§ (π mod π) β 0) β ((π mod π) β (0(,)Ο) β¨ (π mod π) = 0)) |
956 | 941, 955 | pm2.61dane 3033 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) < Ο β ((π mod π) β (0(,)Ο) β¨ (π mod π) = 0)) |
957 | 939, 956 | nsyl 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β Β¬ (π mod π) < Ο) |
958 | 936, 937,
957 | nltled 11312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β Ο β€ (π mod π)) |
959 | | modlt 13792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β β β§ π β β+)
β (π mod π) < π) |
960 | 22, 133, 959 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π mod π) < π |
961 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β (π mod π) < π) |
962 | 931, 933,
935, 958, 961 | elicod 13321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β (π mod π) β (Ο[,)π)) |
963 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1) |
964 | 963, 816,
202, 817 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (β€
β 1 β ((π₯ β
((π β Ο)(,)π) β¦ 1)
limβ π)) |
965 | 964 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ 1 β
((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1)
limβ π) |
966 | 965 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) = Ο β 1 β ((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1) limβ π)) |
967 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) = Ο β (π mod π) = Ο) |
968 | | ubioc1 13324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ 0 <
Ο) β Ο β (0(,]Ο)) |
969 | 151, 153,
68, 968 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ Ο
β (0(,]Ο) |
970 | 967, 969 | eqeltrdi 2846 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) = Ο β (π mod π) β (0(,]Ο)) |
971 | 970 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) = Ο β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) =
1) |
972 | 361, 815 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (β€
β (πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ (πΉβπ₯))) |
973 | 972 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ (πΉβπ₯)) |
974 | 838, 107,
145 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
975 | 974 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
976 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β π₯ β ((π β Ο)(,)π)) |
977 | 967 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π mod π) = Ο β Ο = (π mod π)) |
978 | 977 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π mod π) = Ο β (π β Ο) = (π β (π mod π))) |
979 | 978 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π mod π) = Ο β ((π β Ο)(,)π) = ((π β (π mod π))(,)π)) |
980 | 979 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β ((π β Ο)(,)π) = ((π β (π mod π))(,)π)) |
981 | 976, 980 | eleqtrd 2840 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β π₯ β ((π β (π mod π))(,)π)) |
982 | 981, 801 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (π₯ mod π) < (π mod π)) |
983 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (π mod π) = Ο) |
984 | 982, 983 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (π₯ mod π) < Ο) |
985 | 984 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = 1) |
986 | 975, 985 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) = Ο β§ π₯ β ((π β Ο)(,)π)) β (πΉβπ₯) = 1) |
987 | 986 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π mod π) = Ο β (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ (πΉβπ₯)) = (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1)) |
988 | 973, 987 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) = Ο β (π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1) = (πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π))) |
989 | 988 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) = Ο β ((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1) limβ π) = ((πΉ βΎ ((π β Ο)(,)π)) limβ π)) |
990 | 989, 927 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) = Ο β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) = ((π₯ β ((π β Ο)(,)π) β¦ 1) limβ π)) |
991 | 966, 971,
990 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) = Ο β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
992 | 991 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ (π mod π) = Ο) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
993 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β Ο β
β*) |
994 | 932 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β π β
β*) |
995 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β (π mod π) β β) |
996 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β Ο β
β) |
997 | | icogelb 13322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((Ο
β β* β§ π β β* β§ (π mod π) β (Ο[,)π)) β Ο β€ (π mod π)) |
998 | 153, 932,
997 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β Ο β€ (π mod π)) |
999 | 998 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β Ο β€ (π mod π)) |
1000 | | neqne 2952 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Β¬
(π mod π) = Ο β (π mod π) β Ο) |
1001 | 1000 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β (π mod π) β Ο) |
1002 | 996, 995,
999, 1001 | leneltd 11316 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β Ο < (π mod π)) |
1003 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β (π mod π) < π) |
1004 | 993, 994,
995, 1002, 1003 | eliood 43810 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β (π mod π) β (Ο(,)π)) |
1005 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1) = (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1) |
1006 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β β |
1007 | 1006 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β β) |
1008 | 1007, 206 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β β) |
1009 | | neg1cn 12274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -1 β
β |
1010 | 1009 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β -1 β β) |
1011 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β π β β) |
1012 | 1005, 1008, 1010, 1011 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β -1 β ((π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1) limβ π)) |
1013 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β 0 β
β*) |
1014 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β Ο β
β) |
1015 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (π mod π) β
β*) |
1016 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((Ο
β β* β§ π β β* β§ (π mod π) β (Ο(,)π)) β Ο < (π mod π)) |
1017 | 153, 932,
1016 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β Ο < (π mod π)) |
1018 | 1013, 1014, 1015, 1017 | gtnelioc 43803 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β Β¬ (π mod π) β (0(,]Ο)) |
1019 | 1018 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) =
-1) |
1020 | 1006 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (β€
β (((π + Ο) β
(π mod π))(,)π) β β) |
1021 | 361, 1020 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (β€
β (πΉ βΎ (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) = (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ (πΉβπ₯))) |
1022 | 1021 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (πΉ βΎ (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) = (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ (πΉβπ₯)) |
1023 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π₯ β β) |
1024 | 1023, 107, 145 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
1025 | 1024 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
1026 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β Ο β
β) |
1027 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π β
β+) |
1028 | 1023, 1027 | modcld 13787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π₯ mod π) β β) |
1029 | 1028 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β (π₯ mod π) β β) |
1030 | 22, 118 | readdcli 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π + Ο) β
β |
1031 | 1030 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π + Ο) β
β |
1032 | 1031 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π + Ο) β β) |
1033 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π β β) |
1034 | 765 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π mod π) β β |
1035 | 1034 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π mod π) β β) |
1036 | 1032, 1033, 1035 | nnncan2d 11554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (((π + Ο) β (π mod π)) β (π β (π mod π))) = ((π + Ο) β π)) |
1037 | 1036, 859 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β Ο = (((π + Ο) β (π mod π)) β (π β (π mod π)))) |
1038 | 1030, 765 | resubcli 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π + Ο) β (π mod π)) β β |
1039 | 1038 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π + Ο) β (π mod π)) β β) |
1040 | 766 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β (π mod π)) β β) |
1041 | 1038 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π + Ο) β (π mod π)) β
β* |
1042 | 1041 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π + Ο) β (π mod π)) β
β*) |
1043 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π β β) |
1044 | 1043 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π β
β*) |
1045 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) |
1046 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((((π + Ο) β (π mod π)) β β* β§ π β β*
β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β ((π + Ο) β (π mod π)) < π₯) |
1047 | 1042, 1044, 1045, 1046 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π + Ο) β (π mod π)) < π₯) |
1048 | 1039, 1023, 1040, 1047 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (((π + Ο) β (π mod π)) β (π β (π mod π))) < (π₯ β (π β (π mod π)))) |
1049 | 1037, 1048 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β Ο < (π₯ β (π β (π mod π)))) |
1050 | 1023 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π₯ β β) |
1051 | | sub31 43598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π₯ β β β§ π β β β§ (π mod π) β β) β (π₯ β (π β (π mod π))) = ((π mod π) β (π β π₯))) |
1052 | 1050, 1033, 1035, 1051 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π₯ β (π β (π mod π))) = ((π mod π) β (π β π₯))) |
1053 | 1049, 1052 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β Ο < ((π mod π) β (π β π₯))) |
1054 | 1053 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((Ο
< (π mod π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β Ο < ((π mod π) β (π β π₯))) |
1055 | 1043, 1023 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β π₯) β β) |
1056 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 β β) |
1057 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((((π + Ο) β (π mod π)) β β* β§ π β β*
β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β π₯ < π) |
1058 | 1042, 1044, 1045, 1057 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π₯ < π) |
1059 | 1023, 1043 | posdifd 11749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π₯ < π β 0 < (π β π₯))) |
1060 | 1058, 1059 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 < (π β π₯)) |
1061 | 1056, 1055, 1060 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 β€ (π β π₯)) |
1062 | 1043, 1039 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β ((π + Ο) β (π mod π))) β β) |
1063 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β π β β) |
1064 | 1039, 1023, 1043, 1047 | ltsub2dd 11775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β π₯) < (π β ((π + Ο) β (π mod π)))) |
1065 | | sub31 43598 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π β β β§ (π + Ο) β β β§
(π mod π) β β) β (π β ((π + Ο) β (π mod π))) = ((π mod π) β ((π + Ο) β π))) |
1066 | 23, 1031,
1034, 1065 | mp3an 1462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ (π β ((π + Ο) β (π mod π))) = ((π mod π) β ((π + Ο) β π)) |
1067 | 859 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π mod π) β ((π + Ο) β π)) = ((π mod π) β Ο) |
1068 | 1066, 1067 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ (π β ((π + Ο) β (π mod π))) = ((π mod π) β Ο) |
1069 | | ltsubrp 12958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ (((π mod π) β β β§ Ο β
β+) β ((π mod π) β Ο) < (π mod π)) |
1070 | 765, 182,
1069 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((π mod π) β Ο) < (π mod π) |
1071 | 765, 118 | resubcli 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
β’ ((π mod π) β Ο) β
β |
1072 | 1071, 765, 120 | lttri 11288 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
β’ ((((π mod π) β Ο) < (π mod π) β§ (π mod π) < π) β ((π mod π) β Ο) < π) |
1073 | 1070, 960, 1072 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π mod π) β Ο) < π |
1074 | 1068, 1073 | eqbrtri 5131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π β ((π + Ο) β (π mod π))) < π |
1075 | 1074 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β ((π + Ο) β (π mod π))) < π) |
1076 | 1055, 1062, 1063, 1064, 1075 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β π₯) < π) |
1077 | | modid 13808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((((π β π₯) β β β§ π β β+) β§ (0 β€
(π β π₯) β§ (π β π₯) < π)) β ((π β π₯) mod π) = (π β π₯)) |
1078 | 1055, 1027, 1061, 1076, 1077 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π β π₯) mod π) = (π β π₯)) |
1079 | 1078 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π mod π) β ((π β π₯) mod π)) = ((π mod π) β (π β π₯))) |
1080 | 1079 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (((π mod π) β ((π β π₯) mod π)) mod π) = (((π mod π) β (π β π₯)) mod π)) |
1081 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π mod π) β β) |
1082 | 1081, 1055 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π mod π) β (π β π₯)) β β) |
1083 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β Ο β
β) |
1084 | 1052, 1082 | eqeltrd 2838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π₯ β (π β (π mod π))) β β) |
1085 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 < Ο) |
1086 | 1056, 1083, 1084, 1085, 1049 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 < (π₯ β (π β (π mod π)))) |
1087 | 1086, 1052 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 < ((π mod π) β (π β π₯))) |
1088 | 1056, 1082, 1087 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β 0 β€ ((π mod π) β (π β π₯))) |
1089 | 1043, 1040 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β (π β (π mod π))) β β) |
1090 | 1023, 1043, 1040, 1058 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π₯ β (π β (π mod π))) < (π β (π β (π mod π)))) |
1091 | | nncan 11437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
β’ ((π β β β§ (π mod π) β β) β (π β (π β (π mod π))) = (π mod π)) |
1092 | 23, 1034,
1091 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
β’ (π β (π β (π mod π))) = (π mod π) |
1093 | 1092, 960 | eqbrtri 5131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π β (π β (π mod π))) < π |
1094 | 1093 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β (π β (π mod π))) < π) |
1095 | 1084, 1089, 1063, 1090, 1094 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π₯ β (π β (π mod π))) < π) |
1096 | 1052, 1095 | eqbrtrrd 5134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π mod π) β (π β π₯)) < π) |
1097 | | modid 13808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
(((((π mod π) β (π β π₯)) β β β§ π β β+) β§ (0 β€
((π mod π) β (π β π₯)) β§ ((π mod π) β (π β π₯)) < π)) β (((π mod π) β (π β π₯)) mod π) = ((π mod π) β (π β π₯))) |
1098 | 1082, 1027, 1088, 1096, 1097 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (((π mod π) β (π β π₯)) mod π) = ((π mod π) β (π β π₯))) |
1099 | 1080, 1098 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π mod π) β (π β π₯)) = (((π mod π) β ((π β π₯) mod π)) mod π)) |
1100 | | modsubmodmod 13842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β β β§ (π β π₯) β β β§ π β β+) β (((π mod π) β ((π β π₯) mod π)) mod π) = ((π β (π β π₯)) mod π)) |
1101 | 1043, 1055, 1027, 1100 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (((π mod π) β ((π β π₯) mod π)) mod π) = ((π β (π β π₯)) mod π)) |
1102 | 1033, 1050 | nncand 11524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β (π β (π β π₯)) = π₯) |
1103 | 1102 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π β (π β π₯)) mod π) = (π₯ mod π)) |
1104 | 1099, 1101, 1103 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β ((π mod π) β (π β π₯)) = (π₯ mod π)) |
1105 | 1104 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((Ο
< (π mod π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β ((π mod π) β (π β π₯)) = (π₯ mod π)) |
1106 | 1054, 1105 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((Ο
< (π mod π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β Ο < (π₯ mod π)) |
1107 | 1017, 1106 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β Ο < (π₯ mod π)) |
1108 | 1026, 1029, 1107 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β Ο β€ (π₯ mod π)) |
1109 | 1026, 1029, 1108 | lensymd 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β Β¬ (π₯ mod π) < Ο) |
1110 | 1109 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = -1) |
1111 | 1025, 1110 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) β (Ο(,)π) β§ π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) β (πΉβπ₯) = -1) |
1112 | 1111 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ (πΉβπ₯)) = (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1)) |
1113 | 1022, 1112 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1) = (πΉ βΎ (((π + Ο) β (π mod π))(,)π))) |
1114 | 1113 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β ((π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1) limβ π) = ((πΉ βΎ (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) limβ π)) |
1115 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β πΉ:ββΆβ) |
1116 | 1041 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β ((π + Ο) β (π mod π)) β
β*) |
1117 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β π β β) |
1118 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (π mod π) β β) |
1119 | | ltaddsublt 11789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((π β β β§ Ο
β β β§ (π mod
π) β β) β
(Ο < (π mod π) β ((π + Ο) β (π mod π)) < π)) |
1120 | 1117, 1014, 1118, 1119 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β (Ο < (π mod π) β ((π + Ο) β (π mod π)) < π)) |
1121 | 1017, 1120 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β ((π + Ο) β (π mod π)) < π) |
1122 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β -β β
β*) |
1123 | | mnflt 13051 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π + Ο) β (π mod π)) β β β -β <
((π + Ο) β (π mod π))) |
1124 | | xrltle 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
((-β β β* β§ ((π + Ο) β (π mod π)) β β*) β
(-β < ((π + Ο)
β (π mod π)) β -β β€ ((π + Ο) β (π mod π)))) |
1125 | 363, 1041, 1124 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (-β
< ((π + Ο) β
(π mod π)) β -β β€ ((π + Ο) β (π mod π))) |
1126 | 1038, 1123, 1125 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ -β
β€ ((π + Ο) β
(π mod π)) |
1127 | 1126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β -β β€ ((π + Ο) β (π mod π))) |
1128 | 1115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127 | limcresiooub 43957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β ((πΉ βΎ (((π + Ο) β (π mod π))(,)π)) limβ π) = ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
1129 | 1114, 1128 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) = ((π₯ β (((π + Ο) β (π mod π))(,)π) β¦ -1) limβ π)) |
1130 | 1012, 1019, 1129 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο(,)π) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
1131 | 1004, 1130 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ Β¬ (π mod π) = Ο) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
1132 | 992, 1131 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
1133 | 962, 1132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β§ Β¬ (π mod π) = 0) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
1134 | 930, 1133 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (Β¬
(π mod π) β (0(,)Ο) β if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π)) |
1135 | 812, 1134 | pm2.61i 182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β ((πΉ βΎ (-β(,)π)) limβ π) |
1136 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) = (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) |
1137 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β β |
1138 | 1137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β β) |
1139 | 1138, 206 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (β€
β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β β) |
1140 | 1136, 1139, 202, 817 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (β€
β 1 β ((π₯ β
(π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) limβ π)) |
1141 | 1140 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 1 β
((π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) limβ π) |
1142 | 1141 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β 1 β ((π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) limβ π)) |
1143 | 104 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β πΉ = (π₯ β β β¦ if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1))) |
1144 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π₯ = π β (π₯ mod π) = (π mod π)) |
1145 | 1144 | breq1d 5120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ = π β ((π₯ mod π) < Ο β (π mod π) < Ο)) |
1146 | 1145 | ifbid 4514 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π₯ = π β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = if((π mod π) < Ο, 1, -1)) |
1147 | 1146 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π mod π) β (0[,)Ο) β§ π₯ = π) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = if((π mod π) < Ο, 1, -1)) |
1148 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β π β β) |
1149 | 105, 106 | ifcli 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ if((π mod π) < Ο, 1, -1) β
β |
1150 | 1149 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β if((π mod π) < Ο, 1, -1) β
β) |
1151 | 1143, 1147, 1148, 1150 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (πΉβπ) = if((π mod π) < Ο, 1, -1)) |
1152 | | icoltub 43820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((0
β β* β§ Ο β β* β§ (π mod π) β (0[,)Ο)) β (π mod π) < Ο) |
1153 | 151, 153,
1152 | mp3an12 1452 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π mod π) < Ο) |
1154 | 1153 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β if((π mod π) < Ο, 1, -1) = 1) |
1155 | 1151, 1154 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (πΉβπ) = 1) |
1156 | 361, 1138 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β (πΉ βΎ (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) = (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ (πΉβπ₯))) |
1157 | 1156 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (πΉ βΎ (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) = (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ (πΉβπ₯)) |
1158 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π₯ β β) |
1159 | 1158, 107, 145 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
1160 | 1159 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) β (0[,)Ο) β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
1161 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π β β) |
1162 | 1158, 1161 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π₯ β π) β β) |
1163 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π β
β+) |
1164 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β 0 β
β) |
1165 | 1161 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π β
β*) |
1166 | 118, 765 | resubcli 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (Ο
β (π mod π)) β
β |
1167 | 22, 1166 | readdcli 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π + (Ο β (π mod π))) β β |
1168 | 1167 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π + (Ο β (π mod π))) β
β* |
1169 | 1168 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π + (Ο β (π mod π))) β
β*) |
1170 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) |
1171 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π β β*
β§ (π + (Ο β
(π mod π))) β β* β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β π < π₯) |
1172 | 1165, 1169, 1170, 1171 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π < π₯) |
1173 | 1161, 1158 | posdifd 11749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π < π₯ β 0 < (π₯ β π))) |
1174 | 1172, 1173 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β 0 < (π₯ β π)) |
1175 | 1164, 1162, 1174 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β 0 β€ (π₯ β π)) |
1176 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β Ο β
β) |
1177 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π β β) |
1178 | 1167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π + (Ο β (π mod π))) β β) |
1179 | 1178, 1161 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π + (Ο β (π mod π))) β π) β β) |
1180 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β β*
β§ (π + (Ο β
(π mod π))) β β* β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β π₯ < (π + (Ο β (π mod π)))) |
1181 | 1165, 1169, 1170, 1180 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π₯ < (π + (Ο β (π mod π)))) |
1182 | 1158, 1178, 1161, 1181 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π₯ β π) < ((π + (Ο β (π mod π))) β π)) |
1183 | 1166 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (Ο
β (π mod π)) β
β |
1184 | | pncan2 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β β β§ (Ο
β (π mod π)) β β) β
((π + (Ο β (π mod π))) β π) = (Ο β (π mod π))) |
1185 | 23, 1183,
1184 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π + (Ο β (π mod π))) β π) = (Ο β (π mod π)) |
1186 | | subge02 11678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((Ο
β β β§ (π mod
π) β β) β
(0 β€ (π mod π) β (Ο β (π mod π)) β€ Ο)) |
1187 | 118, 765,
1186 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (0 β€
(π mod π) β (Ο β (π mod π)) β€ Ο) |
1188 | 948, 1187 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (Ο
β (π mod π)) β€ Ο |
1189 | 1185, 1188 | eqbrtri 5131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π + (Ο β (π mod π))) β π) β€ Ο |
1190 | 1189 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π + (Ο β (π mod π))) β π) β€ Ο) |
1191 | 1162, 1179, 1176, 1182, 1190 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π₯ β π) < Ο) |
1192 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β Ο < π) |
1193 | 1162, 1176, 1177, 1191, 1192 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π₯ β π) < π) |
1194 | | modid 13808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π₯ β π) β β β§ π β β+) β§ (0 β€
(π₯ β π) β§ (π₯ β π) < π)) β ((π₯ β π) mod π) = (π₯ β π)) |
1195 | 1162, 1163, 1175, 1193, 1194 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π₯ β π) mod π) = (π₯ β π)) |
1196 | 1195 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1197 | 1196 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π) = (((π mod π) + (π₯ β π)) mod π)) |
1198 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π mod π) β β) |
1199 | 1198, 1162 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) β β) |
1200 | 1161, 1161 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π β π) β β) |
1201 | 1198, 1200 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π β π)) β β) |
1202 | 23 | subidi 11479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β π) = 0 |
1203 | 1202 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π mod π) + (π β π)) = ((π mod π) + 0) |
1204 | 1034 | addid1i 11349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π mod π) + 0) = (π mod π) |
1205 | 1203, 1204 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π mod π) = ((π mod π) + (π β π)) |
1206 | 948, 1205 | breqtri 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ 0 β€
((π mod π) + (π β π)) |
1207 | 1206 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β 0 β€ ((π mod π) + (π β π))) |
1208 | 1161, 1158, 1161, 1172 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π β π) < (π₯ β π)) |
1209 | 1200, 1162, 1198, 1208 | ltadd2dd 11321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π β π)) < ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1210 | 1164, 1201, 1199, 1207, 1209 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β 0 < ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1211 | 1164, 1199, 1210 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β 0 β€ ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1212 | 1162, 1179, 1198, 1182 | ltadd2dd 11321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) < ((π mod π) + ((π + (Ο β (π mod π))) β π))) |
1213 | 1185 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π mod π) + ((π + (Ο β (π mod π))) β π)) = ((π mod π) + (Ο β (π mod π))) |
1214 | 1034, 52 | pncan3i 11485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π mod π) + (Ο β (π mod π))) = Ο |
1215 | 1213, 1214 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π mod π) + ((π + (Ο β (π mod π))) β π)) = Ο |
1216 | 1212, 1215 | breqtrdi 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) < Ο) |
1217 | 1199, 1176, 1177, 1216, 1192 | lttrd 11323 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) < π) |
1218 | | modid 13808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((((π mod π) + (π₯ β π)) β β β§ π β β+) β§ (0 β€
((π mod π) + (π₯ β π)) β§ ((π mod π) + (π₯ β π)) < π)) β (((π mod π) + (π₯ β π)) mod π) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1219 | 1199, 1163, 1211, 1217, 1218 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (((π mod π) + (π₯ β π)) mod π) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1220 | 1197, 1219 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) = (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π)) |
1221 | | modaddabs 13821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ ((π β β β§ (π₯ β π) β β β§ π β β+) β (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π) = ((π + (π₯ β π)) mod π)) |
1222 | 1161, 1162, 1163, 1221 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π) = ((π + (π₯ β π)) mod π)) |
1223 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π β β) |
1224 | 1158 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β π₯ β β) |
1225 | 1223, 1224 | pncan3d 11522 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π + (π₯ β π)) = π₯) |
1226 | 1225 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β ((π + (π₯ β π)) mod π) = (π₯ mod π)) |
1227 | 1220, 1222, 1226 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β (π₯ mod π) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1228 | 1227 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β (π₯ mod π) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1229 | 1216 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) < Ο) |
1230 | 1228, 1229 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) < Ο β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β (π₯ mod π) < Ο) |
1231 | 1153, 1230 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) β (0[,)Ο) β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β (π₯ mod π) < Ο) |
1232 | 1231 | iftrued 4499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) β (0[,)Ο) β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = 1) |
1233 | 1160, 1232 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (((π mod π) β (0[,)Ο) β§ π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) β (πΉβπ₯) = 1) |
1234 | 1233 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ (πΉβπ₯)) = (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1)) |
1235 | 1157, 1234 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) = (πΉ βΎ (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))))) |
1236 | 1235 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β ((π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) limβ π) = ((πΉ βΎ (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) limβ π)) |
1237 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β πΉ:ββΆβ) |
1238 | 1168 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π + (Ο β (π mod π))) β
β*) |
1239 | 1166 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (Ο β
(π mod π)) β β) |
1240 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π mod π) β β) |
1241 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β Ο β
β) |
1242 | 1240, 1241 | posdifd 11749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β ((π mod π) < Ο β 0 < (Ο β
(π mod π)))) |
1243 | 1153, 1242 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β 0 < (Ο
β (π mod π))) |
1244 | 1239, 1243 | elrpd 12961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (Ο β
(π mod π)) β
β+) |
1245 | 1148, 1244 | ltaddrpd 12997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β π < (π + (Ο β (π mod π)))) |
1246 | 1137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β β) |
1247 | 374 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β +β β
β*) |
1248 | | ltpnf 13048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π + (Ο β (π mod π))) β β β (π + (Ο β (π mod π))) < +β) |
1249 | | xrltle 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π + (Ο β (π mod π))) β β* β§
+β β β*) β ((π + (Ο β (π mod π))) < +β β (π + (Ο β (π mod π))) β€ +β)) |
1250 | 1168, 374, 1249 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π + (Ο β (π mod π))) < +β β (π + (Ο β (π mod π))) β€ +β) |
1251 | 1167, 1248, 1250 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π + (Ο β (π mod π))) β€ +β |
1252 | 1251 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (π + (Ο β (π mod π))) β€ +β) |
1253 | 1237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252 | limcresioolb 43958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β ((πΉ βΎ (π(,)(π + (Ο β (π mod π))))) limβ π) = ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
1254 | 1236, 1253 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π) = ((π₯ β (π(,)(π + (Ο β (π mod π)))) β¦ 1) limβ π)) |
1255 | 1142, 1155, 1254 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π mod π) β (0[,)Ο) β (πΉβπ) β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
1256 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β Ο β
β*) |
1257 | 932 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β π β
β*) |
1258 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β (π mod π) β
β*) |
1259 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β 0 β
β*) |
1260 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β Ο β
β*) |
1261 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β (π mod π) β
β*) |
1262 | 948 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β 0 β€ (π mod π)) |
1263 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Β¬
Ο β€ (π mod π) β (π mod π) β β) |
1264 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Β¬
Ο β€ (π mod π) β Ο β
β) |
1265 | 1263, 1264 | ltnled 11309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (Β¬
Ο β€ (π mod π) β ((π mod π) < Ο β Β¬ Ο β€ (π mod π))) |
1266 | 1265 | ibir 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (Β¬
Ο β€ (π mod π) β (π mod π) < Ο) |
1267 | 1266 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β (π mod π) < Ο) |
1268 | 1259, 1260, 1261, 1262, 1267 | elicod 13321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β (π mod π) β (0[,)Ο)) |
1269 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β§ Β¬ Ο β€
(π mod π)) β Β¬ (π mod π) β (0[,)Ο)) |
1270 | 1268, 1269 | condan 817 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β Ο β€ (π mod π)) |
1271 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β (π mod π) < π) |
1272 | 1256, 1257, 1258, 1270, 1271 | elicod 13321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β (π mod π) β (Ο[,)π)) |
1273 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) = (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) |
1274 | | ioossre 13332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β β |
1275 | 1274 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β β) |
1276 | 1275, 206 | sstrdi 3961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (β€
β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β β) |
1277 | 1273, 1276, 304, 817 | constlimc 43939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (β€
β -1 β ((π₯ β
(π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) limβ π)) |
1278 | 1277 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ -1 β
((π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) limβ π) |
1279 | 1278 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β -1 β ((π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) limβ π)) |
1280 | | 1ex 11158 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ 1 β
V |
1281 | 106 | elexi 3467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -1 β
V |
1282 | 1280, 1281 | ifex 4541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ if((π mod π) < Ο, 1, -1) β
V |
1283 | 1146, 104, 1282 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β (πΉβπ) = if((π mod π) < Ο, 1, -1)) |
1284 | 22, 1283 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (πΉβπ) = if((π mod π) < Ο, 1, -1) |
1285 | 1284 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (πΉβπ) = if((π mod π) < Ο, 1, -1)) |
1286 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β Ο β
β) |
1287 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π mod π) β β) |
1288 | 1286, 1287, 998 | lensymd 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β Β¬ (π mod π) < Ο) |
1289 | 1288 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β if((π mod π) < Ο, 1, -1) = -1) |
1290 | 1285, 1289 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (πΉβπ) = -1) |
1291 | 361, 1275 | feqresmpt 6916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (β€
β (πΉ βΎ (π(,)(π + (π β (π mod π))))) = (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ (πΉβπ₯))) |
1292 | 1291 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (πΉ βΎ (π(,)(π + (π β (π mod π))))) = (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ (πΉβπ₯)) |
1293 | | elioore 13301 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π₯ β β) |
1294 | 1293, 107, 145 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
1295 | 1294 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β (πΉβπ₯) = if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1)) |
1296 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β Ο β
β) |
1297 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π β β) |
1298 | 1293, 1297 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π₯ β π) β β) |
1299 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π β
β+) |
1300 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β 0 β
β) |
1301 | 1297 | rexrd 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π β
β*) |
1302 | 120, 765 | resubcli 11470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
β’ (π β (π mod π)) β β |
1303 | 22, 1302 | readdcli 11177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ (π + (π β (π mod π))) β β |
1304 | 1303 | rexri 11220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π + (π β (π mod π))) β
β* |
1305 | 1304 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π + (π β (π mod π))) β
β*) |
1306 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) |
1307 | | ioogtlb 43807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β β*
β§ (π + (π β (π mod π))) β β* β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β π < π₯) |
1308 | 1301, 1305, 1306, 1307 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π < π₯) |
1309 | 1297, 1293 | posdifd 11749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π < π₯ β 0 < (π₯ β π))) |
1310 | 1308, 1309 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β 0 < (π₯ β π)) |
1311 | 1300, 1298, 1310 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β 0 β€ (π₯ β π)) |
1312 | 1303 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π + (π β (π mod π))) β β) |
1313 | 1312, 1297 | resubcld 11590 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π + (π β (π mod π))) β π) β β) |
1314 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π β β) |
1315 | | iooltub 43822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π β β*
β§ (π + (π β (π mod π))) β β* β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β π₯ < (π + (π β (π mod π)))) |
1316 | 1301, 1305, 1306, 1315 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π₯ < (π + (π β (π mod π)))) |
1317 | 1293, 1312, 1297, 1316 | ltsub1dd 11774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π₯ β π) < ((π + (π β (π mod π))) β π)) |
1318 | 1302 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (π β (π mod π)) β β |
1319 | | pncan2 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π β β β§ (π β (π mod π)) β β) β ((π + (π β (π mod π))) β π) = (π β (π mod π))) |
1320 | 23, 1318,
1319 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ ((π + (π β (π mod π))) β π) = (π β (π mod π)) |
1321 | | subge02 11678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π β β β§ (π mod π) β β) β (0 β€ (π mod π) β (π β (π mod π)) β€ π)) |
1322 | 120, 765,
1321 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ (0 β€
(π mod π) β (π β (π mod π)) β€ π) |
1323 | 948, 1322 | mpbi 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β (π mod π)) β€ π |
1324 | 1320, 1323 | eqbrtri 5131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π + (π β (π mod π))) β π) β€ π |
1325 | 1324 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π + (π β (π mod π))) β π) β€ π) |
1326 | 1298, 1313, 1314, 1317, 1325 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π₯ β π) < π) |
1327 | 1298, 1299, 1311, 1326, 1194 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π₯ β π) mod π) = (π₯ β π)) |
1328 | 1327 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1329 | 1328 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π) = (((π mod π) + (π₯ β π)) mod π)) |
1330 | | readdcl 11141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π mod π) β β β§ (π₯ β π) β β) β ((π mod π) + (π₯ β π)) β β) |
1331 | 765, 1298, 1330 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) β β) |
1332 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π mod π) β β) |
1333 | 948 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β 0 β€ (π mod π)) |
1334 | 1332, 1298, 1333, 1310 | addgegt0d 11735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β 0 < ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1335 | 1300, 1331, 1334 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β 0 β€ ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1336 | 1298, 1313, 1332, 1317 | ltadd2dd 11321 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) < ((π mod π) + ((π + (π β (π mod π))) β π))) |
1337 | 1320 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π mod π) + ((π + (π β (π mod π))) β π)) = ((π mod π) + (π β (π mod π))) |
1338 | 1034, 121 | pncan3i 11485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π mod π) + (π β (π mod π))) = π |
1339 | 1337, 1338 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π mod π) + ((π + (π β (π mod π))) β π)) = π |
1340 | 1336, 1339 | breqtrdi 5151 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) < π) |
1341 | 1331, 1299, 1335, 1340, 1218 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (((π mod π) + (π₯ β π)) mod π) = ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1342 | 1329, 1341 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) = (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π)) |
1343 | 1297, 1298, 1299, 1221 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (((π mod π) + ((π₯ β π) mod π)) mod π) = ((π + (π₯ β π)) mod π)) |
1344 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π β β) |
1345 | 1293 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β π₯ β β) |
1346 | 1344, 1345 | pncan3d 11522 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π + (π₯ β π)) = π₯) |
1347 | 1346 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π + (π₯ β π)) mod π) = (π₯ mod π)) |
1348 | 1342, 1343, 1347 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) = (π₯ mod π)) |
1349 | 1348 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) = (π₯ mod π)) |
1350 | 1331 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β ((π mod π) + (π₯ β π)) β β) |
1351 | 1349, 1350 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β (π₯ mod π) β β) |
1352 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β (π mod π) β β) |
1353 | 998 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β Ο β€ (π mod π)) |
1354 | 1298, 1310 | elrpd 12961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π₯ β π) β
β+) |
1355 | 1332, 1354 | ltaddrpd 12997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β (π mod π) < ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1356 | 1355 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β (π mod π) < ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1357 | 1296, 1352, 1350, 1353, 1356 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β Ο < ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1358 | 1296, 1350, 1357 | ltled 11310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β Ο β€ ((π mod π) + (π₯ β π))) |
1359 | 1358, 1349 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β Ο β€ (π₯ mod π)) |
1360 | 1296, 1351, 1359 | lensymd 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β Β¬ (π₯ mod π) < Ο) |
1361 | 1360 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β if((π₯ mod π) < Ο, 1, -1) = -1) |
1362 | 1295, 1361 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (((π mod π) β (Ο[,)π) β§ π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π))))) β (πΉβπ₯) = -1) |
1363 | 1362 | mpteq2dva 5210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ (πΉβπ₯)) = (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1)) |
1364 | 1292, 1363 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) = (πΉ βΎ (π(,)(π + (π β (π mod π)))))) |
1365 | 1364 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β ((π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) limβ π) = ((πΉ βΎ (π(,)(π + (π β (π mod π))))) limβ π)) |
1366 | 208 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β πΉ:ββΆβ) |
1367 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β π β β) |
1368 | 1304 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π + (π β (π mod π))) β
β*) |
1369 | 1302 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π β (π mod π)) β β) |
1370 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π mod π) < π) |
1371 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β π β β) |
1372 | 1287, 1371 | posdifd 11749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β ((π mod π) < π β 0 < (π β (π mod π)))) |
1373 | 1370, 1372 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β 0 < (π β (π mod π))) |
1374 | 1369, 1373 | elrpd 12961 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π β (π mod π)) β
β+) |
1375 | 1367, 1374 | ltaddrpd 12997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β π < (π + (π β (π mod π)))) |
1376 | 1274 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β β) |
1377 | 374 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β +β β
β*) |
1378 | | ltpnf 13048 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π + (π β (π mod π))) β β β (π + (π β (π mod π))) < +β) |
1379 | | xrltle 13075 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (((π + (π β (π mod π))) β β* β§
+β β β*) β ((π + (π β (π mod π))) < +β β (π + (π β (π mod π))) β€ +β)) |
1380 | 1304, 374, 1379 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ ((π + (π β (π mod π))) < +β β (π + (π β (π mod π))) β€ +β) |
1381 | 1303, 1378, 1380 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π + (π β (π mod π))) β€ +β |
1382 | 1381 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (π + (π β (π mod π))) β€ +β) |
1383 | 1366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382 | limcresioolb 43958 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β ((πΉ βΎ (π(,)(π + (π β (π mod π))))) limβ π) = ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
1384 | 1365, 1383 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π) = ((π₯ β (π(,)(π + (π β (π mod π)))) β¦ -1) limβ π)) |
1385 | 1279, 1290, 1384 | 3eltr4d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π mod π) β (Ο[,)π) β (πΉβπ) β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
1386 | 1272, 1385 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (Β¬
(π mod π) β (0[,)Ο) β (πΉβπ) β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π)) |
1387 | 1255, 1386 | pm2.61i 182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (πΉβπ) β ((πΉ βΎ (π(,)+β)) limβ π) |
1388 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β0
β π β
β0) |
1389 | 110, 104,
1388 | sqwvfoura 44543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β0
β (β«(-Ο(,)Ο)((πΉβπ₯) Β· (cosβ(π Β· π₯))) dπ₯ / Ο) = 0) |
1390 | 1389 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β0
β 0 = (β«(-Ο(,)Ο)((πΉβπ₯) Β· (cosβ(π Β· π₯))) dπ₯ / Ο)) |
1391 | 1390 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β0
β¦ 0) = (π β
β0 β¦ (β«(-Ο(,)Ο)((πΉβπ₯) Β· (cosβ(π Β· π₯))) dπ₯ / Ο)) |
1392 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β π β
β) |
1393 | 110, 104,
1392 | sqwvfourb 44544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β
(β«(-Ο(,)Ο)((πΉβπ₯) Β· (sinβ(π Β· π₯))) dπ₯ / Ο) = if(2 β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο)))) |
1394 | 1393 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) =
(β«(-Ο(,)Ο)((πΉβπ₯) Β· (sinβ(π Β· π₯))) dπ₯ / Ο)) |
1395 | 1394 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο)))) = (π β β β¦
(β«(-Ο(,)Ο)((πΉβπ₯) Β· (sinβ(π Β· π₯))) dπ₯ / Ο)) |
1396 | | nnnn0 12427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β π β
β0) |
1397 | | 0red 11165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β 0 β
β) |
1398 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β β0
β¦ 0) = (π β
β0 β¦ 0) |
1399 | 1398 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β β0
β§ 0 β β) β ((π β β0 β¦
0)βπ) =
0) |
1400 | 1396, 1397, 1399 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β ((π β β0
β¦ 0)βπ) =
0) |
1401 | 1400 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β (((π β β0
β¦ 0)βπ)
Β· (cosβ(π
Β· π))) = (0 Β·
(cosβ(π Β·
π)))) |
1402 | 74 | coscld 16020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β
(cosβ(π Β·
π)) β
β) |
1403 | 1402 | mul02d 11360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β (0
Β· (cosβ(π
Β· π))) =
0) |
1404 | 1401, 1403 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β (((π β β0
β¦ 0)βπ)
Β· (cosβ(π
Β· π))) =
0) |
1405 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (4 /
(π Β· Ο)) β
V |
1406 | 89, 1405 | ifex 4541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) β
V |
1407 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο)))) = (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β·
Ο)))) |
1408 | 1407 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) β V)
β ((π β β
β¦ if(2 β₯ π, 0,
(4 / (π Β·
Ο))))βπ) = if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β·
Ο)))) |
1409 | 1406, 1408 | mpan2 690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))))βπ) = if(2 β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο)))) |
1410 | 1409 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β (((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))))βπ) Β· (sinβ(π Β· π))) = (if(2 β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β· (sinβ(π Β· π)))) |
1411 | 1404, 1410 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β ((((π β β0
β¦ 0)βπ)
Β· (cosβ(π
Β· π))) + (((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))))βπ) Β· (sinβ(π Β· π)))) = (0 + (if(2 β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1412 | 60, 72 | ifcld 4537 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) β
β) |
1413 | 1412, 75 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) β
β) |
1414 | 1413 | addid2d 11363 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (0 +
(if(2 β₯ π, 0, (4 /
(π Β· Ο)))
Β· (sinβ(π
Β· π)))) = (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) |
1415 | | iftrue 4497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (2
β₯ π β if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) =
0) |
1416 | 1415 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (2
β₯ π β (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = (0 Β·
(sinβ(π Β·
π)))) |
1417 | 75 | mul02d 11360 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β (0
Β· (sinβ(π
Β· π))) =
0) |
1418 | 1416, 1417 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ 2 β₯
π) β (if(2 β₯
π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = 0) |
1419 | | iftrue 4497 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (2
β₯ π β if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) = 0) |
1420 | 1419 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (2
β₯ π β 0 = if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))) |
1421 | 1420 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ 2 β₯
π) β 0 = if(2 β₯
π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))) |
1422 | 1418, 1421 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ 2 β₯
π) β (if(2 β₯
π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1423 | | iffalse 4500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (Β¬ 2
β₯ π β if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) = (4 / (π Β·
Ο))) |
1424 | 1423 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (Β¬ 2
β₯ π β (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) |
1425 | 1424 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ Β¬ 2
β₯ π) β (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) |
1426 | | iffalse 4500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (Β¬ 2
β₯ π β if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) = ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) |
1427 | 1426 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (Β¬ 2
β₯ π β ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1428 | 1427 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ Β¬ 2
β₯ π) β ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1429 | 1425, 1428 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ Β¬ 2
β₯ π) β (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1430 | 1422, 1429 | pm2.61dan 812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1431 | 1411, 1414, 1430 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) = ((((π β β0
β¦ 0)βπ)
Β· (cosβ(π
Β· π))) + (((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))))βπ) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1432 | 1431 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))))) = (π β β β¦
((((π β
β0 β¦ 0)βπ) Β· (cosβ(π Β· π))) + (((π β β β¦ if(2 β₯ π, 0, (4 / (π Β· Ο))))βπ) Β· (sinβ(π Β· π))))) |
1433 | 109, 110,
147, 148, 329, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432 | fourierclim 44539 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))) β
(((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) β (((π β β0 β¦
0)β0) / 2)) |
1434 | | 0nn0 12435 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ 0 β
β0 |
1435 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = 0 β 0 =
0) |
1436 | 1435, 1398, 89 | fvmpt 6953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (0 β
β0 β ((π β β0 β¦
0)β0) = 0) |
1437 | 1434, 1436 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β0
β¦ 0)β0) = 0 |
1438 | 1437 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β β0
β¦ 0)β0) / 2) = (0 / 2) |
1439 | 28 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 2 β
β |
1440 | 67, 129 | gtneii 11274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ 2 β
0 |
1441 | 1439, 1440 | div0i 11896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (0 / 2) =
0 |
1442 | 1438, 1441 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β β0
β¦ 0)β0) / 2) = 0 |
1443 | 1442 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) β (((π β β0 β¦
0)β0) / 2)) = (((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) + (πΉβπ)) / 2) β 0) |
1444 | 202 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ 1 β
β |
1445 | 1444, 1009 | ifcli 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) β
β |
1446 | 1149 | recni 11176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ if((π mod π) < Ο, 1, -1) β
β |
1447 | 1284, 1446 | eqeltri 2834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (πΉβπ) β β |
1448 | 1445, 1447 | addcli 11168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) β β |
1449 | 1448, 1439, 1440 | divcli 11904 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) β β |
1450 | 1449 | subid1i 11480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) β 0) = ((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) + (πΉβπ)) / 2) |
1451 | 1443, 1450 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) β (((π β β0 β¦
0)β0) / 2)) = ((if((π
mod π) β (0(,]Ο),
1, -1) + (πΉβπ)) / 2) |
1452 | 1433, 1451 | breqtri 5135 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))) β ((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) + (πΉβπ)) / 2) |
1453 | 1452 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (β€
β seq1( + , (π β
β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))) β ((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) + (πΉβπ)) / 2)) |
1454 | 79, 103,
1453 | sumnnodd 43945 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (β€
β (seq1( + , (π β
β β¦ ((π β
β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))β((2 Β· π) β 1)))) β ((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) + (πΉβπ)) / 2) β§ Ξ£π β β ((π β β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))βπ) = Ξ£π β β ((π β β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))β((2 Β· π) β 1)))) |
1455 | 1454 | mptru 1549 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (seq1( +
, (π β β β¦
((π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1)))) β
((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) β§ Ξ£π β β ((π β β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))βπ) = Ξ£π β β ((π β β β¦ if(2 β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β· (sinβ(π Β· π)))))β((2 Β· π) β 1))) |
1456 | 1455 | simpli 485 |
. . . . . . . . . . 11
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
((π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1)))) β
((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) |
1457 | | breq2 5114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β (2 β₯
π β 2 β₯ ((2
Β· π) β
1))) |
1458 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β (π Β· Ο) = (((2 Β·
π) β 1) Β·
Ο)) |
1459 | 1458 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β (4 / (π Β· Ο)) = (4 / (((2
Β· π) β 1)
Β· Ο))) |
1460 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β (π Β· π) = (((2 Β· π) β 1) Β· π)) |
1461 | 1460 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β
(sinβ(π Β·
π)) = (sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π))) |
1462 | 1459, 1461 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π))) = ((4 / (((2 Β·
π) β 1) Β·
Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)))) |
1463 | 1457, 1462 | ifbieq2d 4517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = ((2 Β· π) β 1) β if(2 β₯
π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) = if(2 β₯ ((2
Β· π) β 1), 0,
((4 / (((2 Β· π)
β 1) Β· Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π))))) |
1464 | 1463 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β β β§ π = ((2 Β· π) β 1)) β if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))) = if(2 β₯ ((2
Β· π) β 1), 0,
((4 / (((2 Β· π)
β 1) Β· Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π))))) |
1465 | | elnnz 12516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((2
Β· π) β 1)
β β β (((2 Β· π) β 1) β β€ β§ 0 < ((2
Β· π) β
1))) |
1466 | 20, 48, 1465 | sylanbrc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1)
β β) |
1467 | | ovex 7395 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((4 /
(((2 Β· π) β 1)
Β· Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π))) β V |
1468 | 89, 1467 | ifex 4541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ if(2
β₯ ((2 Β· π)
β 1), 0, ((4 / (((2 Β· π) β 1) Β· Ο)) Β·
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π))))
β V |
1469 | 1468 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β if(2
β₯ ((2 Β· π)
β 1), 0, ((4 / (((2 Β· π) β 1) Β· Ο)) Β·
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π))))
β V) |
1470 | 80, 1464,
1466, 1469 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1)) = if(2
β₯ ((2 Β· π)
β 1), 0, ((4 / (((2 Β· π) β 1) Β· Ο)) Β·
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π))))) |
1471 | | dvdsmul1 16167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((2
β β€ β§ π
β β€) β 2 β₯ (2 Β· π)) |
1472 | 15, 17, 1471 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β 2 β₯
(2 Β· π)) |
1473 | 18 | zcnd 12615 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β (2
Β· π) β
β) |
1474 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β 1 β
β) |
1475 | 1473, 1474 | npcand 11523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (((2
Β· π) β 1) + 1)
= (2 Β· π)) |
1476 | 1475 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (2
Β· π) = (((2 Β·
π) β 1) +
1)) |
1477 | 1472, 1476 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β 2 β₯
(((2 Β· π) β 1)
+ 1)) |
1478 | | oddp1even 16233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((2
Β· π) β 1)
β β€ β (Β¬ 2 β₯ ((2 Β· π) β 1) β 2 β₯ (((2 Β·
π) β 1) +
1))) |
1479 | 20, 1478 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (Β¬ 2
β₯ ((2 Β· π)
β 1) β 2 β₯ (((2 Β· π) β 1) + 1))) |
1480 | 1477, 1479 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β Β¬ 2
β₯ ((2 Β· π)
β 1)) |
1481 | 1480 | iffalsed 4502 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β if(2
β₯ ((2 Β· π)
β 1), 0, ((4 / (((2 Β· π) β 1) Β· Ο)) Β·
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π)))) =
((4 / (((2 Β· π)
β 1) Β· Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)))) |
1482 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π β β β Ο
β β) |
1483 | 21, 1482 | mulcomd 11183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β (((2
Β· π) β 1)
Β· Ο) = (Ο Β· ((2 Β· π) β 1))) |
1484 | 1483 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β (4 / (((2
Β· π) β 1)
Β· Ο)) = (4 / (Ο Β· ((2 Β· π) β 1)))) |
1485 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β 4 β
β) |
1486 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π β β β Ο β
0) |
1487 | 1485, 1482, 21, 1486, 49 | divdiv1d 11969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β ((4 /
Ο) / ((2 Β· π)
β 1)) = (4 / (Ο Β· ((2 Β· π) β 1)))) |
1488 | 1484, 1487 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (4 / (((2
Β· π) β 1)
Β· Ο)) = ((4 / Ο) / ((2 Β· π) β 1))) |
1489 | 1488 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β ((4 /
(((2 Β· π) β 1)
Β· Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π))) = (((4 / Ο) / ((2 Β· π) β 1)) Β·
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π)))) |
1490 | 1485, 1482, 1486 | divcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (4 /
Ο) β β) |
1491 | 1490, 21,
26, 49 | div32d 11961 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (((4 /
Ο) / ((2 Β· π)
β 1)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π))) = ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1)))) |
1492 | 1489, 1491 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β ((4 /
(((2 Β· π) β 1)
Β· Ο)) Β· (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π))) = ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1)))) |
1493 | 1470, 1481, 1492 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1)) = ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1494 | 1493 | mpteq2ia 5213 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β¦ ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1))) = (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1495 | | oveq2 7370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π = π β (2 Β· π) = (2 Β· π)) |
1496 | 1495 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π = π β ((2 Β· π) β 1) = ((2 Β· π) β 1)) |
1497 | 1496 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π = π β (((2 Β· π) β 1) Β· π) = (((2 Β· π) β 1) Β· π)) |
1498 | 1497 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π = π β (sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) = (sinβ(((2 Β·
π) β 1) Β·
π))) |
1499 | 1498, 1496 | oveq12d 7380 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) = ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1))) |
1500 | 1499 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β 1))) = ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1501 | 1500 | cbvmptv 5223 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) = (π β β β¦ ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1502 | 1494, 1501 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β¦ ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1))) = (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1503 | | seqeq3 13918 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β β β¦ ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1))) = (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β seq1( + , (π β β β¦ ((π β β β¦ if(2
β₯ π, 0, ((4 / (π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1)))) = seq1( +
, (π β β β¦
((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))))) |
1504 | 1502, 1503 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
((π β β β¦
if(2 β₯ π, 0, ((4 /
(π Β· Ο)) Β·
(sinβ(π Β·
π)))))β((2 Β·
π) β 1)))) = seq1( +
, (π β β β¦
((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) |
1505 | | fouriersw.y |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ π = if((π mod Ο) = 0, 0, (πΉβπ)) |
1506 | 110, 104,
22, 1505 | fourierswlem 44545 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ π = ((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) + (πΉβπ)) / 2) |
1507 | 1506 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((if((π mod π) β (0(,]Ο), 1, -1) +
(πΉβπ)) / 2) = π |
1508 | 1456, 1504, 1507 | 3brtr3i 5139 |
. . . . . . . . . 10
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) β π |
1509 | 1508 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
β’ (β€
β seq1( + , (π β
β β¦ ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) β π) |
1510 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) = (π β β β¦ ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1511 | 61, 65, 70 | divcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β (4 /
Ο) β β) |
1512 | 1439 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β 2 β
β) |
1513 | 1512, 62 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (2
Β· π) β
β) |
1514 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((2
Β· π) β β
β (2 Β· π)
β β) |
1515 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((2
Β· π) β β
β 1 β β) |
1516 | 1514, 1515 | subcld 11519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((2
Β· π) β β
β ((2 Β· π)
β 1) β β) |
1517 | 1513, 1516 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1)
β β) |
1518 | 1517, 73 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β (((2
Β· π) β 1)
Β· π) β
β) |
1519 | 1518 | sincld 16019 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β
(sinβ(((2 Β· π)
β 1) Β· π))
β β) |
1520 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β 2 β
β) |
1521 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β π β
β) |
1522 | 1520, 1521 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β (2
Β· π) β
β) |
1523 | 1522 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β (2
Β· π) β
β) |
1524 | | 1cnd 11157 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β 1 β
β) |
1525 | 1523, 1524 | subcld 11519 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1)
β β) |
1526 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β 1 β
β) |
1527 | 35, 1520 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (2
Β· 1) β β) |
1528 | | 1lt2 12331 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 1 <
2 |
1529 | 1528 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β 1 <
2) |
1530 | 1529, 35 | breqtrrdi 5152 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β 1 < (2
Β· 1)) |
1531 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β 0 β€
2) |
1532 | | nnge1 12188 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β 1 β€
π) |
1533 | 1526, 1521, 1520, 1531, 1532 | lemul2ad 12102 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β (2
Β· 1) β€ (2 Β· π)) |
1534 | 1526, 1527, 1522, 1530, 1533 | ltletrd 11322 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β β β 1 < (2
Β· π)) |
1535 | 1526, 1534 | gtned 11297 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β β β (2
Β· π) β
1) |
1536 | 1523, 1524, 1535 | subne0d 11528 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β ((2
Β· π) β 1) β
0) |
1537 | 1519, 1525, 1536 | divcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) β
β) |
1538 | 1511, 1537 | mulcld 11182 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) β
β) |
1539 | 1510, 1538 | fmpti 7065 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β
1)))):ββΆβ |
1540 | 1539 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
β’ (β€
β (π β β
β¦ ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β
1)))):ββΆβ) |
1541 | 1540 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . 9
β’
((β€ β§ π
β β) β ((π
β β β¦ ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))βπ) β
β) |
1542 | | divcan6 11869 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((Ο
β β β§ Ο β 0) β§ (4 β β β§ 4 β 0))
β ((Ο / 4) Β· (4 / Ο)) = 1) |
1543 | 52, 69, 54, 56, 1542 | mp4an 692 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((Ο /
4) Β· (4 / Ο)) = 1 |
1544 | 1543 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ 1 =
((Ο / 4) Β· (4 / Ο)) |
1545 | 1544 | oveq1i 7372 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (1
Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = (((Ο / 4) Β· (4 /
Ο)) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) |
1546 | 50 | mulid2d 11180 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β (1
Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = ((sinβ(((2 Β·
π) β 1) Β·
π)) / ((2 Β· π) β 1))) |
1547 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β 4 β
0) |
1548 | 1482, 1485, 1547 | divcld 11938 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β (Ο /
4) β β) |
1549 | 1548, 1490, 50 | mulassd 11185 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β (((Ο /
4) Β· (4 / Ο)) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = ((Ο / 4) Β· ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) |
1550 | 1545, 1546, 1549 | 3eqtr3a 2801 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) = ((Ο / 4) Β· ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) |
1551 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β (π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) = (π β β β¦ ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) |
1552 | 8 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β 1))) = ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1553 | 1552 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β β β§ π = π) β ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1554 | 1492, 1467 | eqeltrrdi 2847 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β β ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) β V) |
1555 | 1551, 1553, 10, 1554 | fvmptd 6960 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β β ((π β β β¦ ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))βπ) = ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1)))) |
1556 | 1555 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β β ((Ο /
4) Β· ((π β
β β¦ ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))βπ)) = ((Ο / 4) Β· ((4 /
Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) |
1557 | 1556 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β β ((Ο /
4) Β· ((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) = ((Ο / 4) Β·
((π β β β¦
((4 / Ο) Β· ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))βπ))) |
1558 | 13, 1550,
1557 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β β ((π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))βπ) = ((Ο / 4) Β· ((π β β β¦ ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))βπ))) |
1559 | 1558 | adantl 483 |
. . . . . . . . 9
β’
((β€ β§ π
β β) β ((π
β β β¦ ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))βπ) = ((Ο / 4) Β· ((π β β β¦ ((4 / Ο) Β·
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))βπ))) |
1560 | 1, 2, 58, 1509, 1541, 1559 | isermulc2 15549 |
. . . . . . . 8
β’ (β€
β seq1( + , (π β
β β¦ ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β ((Ο / 4) Β·
π)) |
1561 | | climrel 15381 |
. . . . . . . . 9
β’ Rel
β |
1562 | 1561 | releldmi 5908 |
. . . . . . . 8
β’ (seq1( +
, (π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β ((Ο / 4) Β·
π) β seq1( + , (π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β dom β
) |
1563 | 1560, 1562 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (β€
β seq1( + , (π β
β β¦ ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β dom β
) |
1564 | 1, 2, 14, 51, 1563 | isumclim2 15650 |
. . . . . 6
β’ (β€
β seq1( + , (π β
β β¦ ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β Ξ£π β β ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1))) |
1565 | 1564 | mptru 1549 |
. . . . 5
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β Ξ£π β β ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1)) |
1566 | 1560 | mptru 1549 |
. . . . 5
β’ seq1( + ,
(π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β ((Ο / 4) Β·
π) |
1567 | | climuni 15441 |
. . . . 5
β’ ((seq1( +
, (π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β Ξ£π β β ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β 1)) β§ seq1(
+ , (π β β
β¦ ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) β ((Ο / 4) Β·
π)) β Ξ£π β β ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β 1)) = ((Ο /
4) Β· π)) |
1568 | 1565, 1566, 1567 | mp2an 691 |
. . . 4
β’
Ξ£π β
β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)) = ((Ο / 4) Β· π) |
1569 | 1568 | oveq2i 7373 |
. . 3
β’ ((4 /
Ο) Β· Ξ£π
β β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = ((4 / Ο) Β· ((Ο
/ 4) Β· π)) |
1570 | 54, 52, 69 | divcli 11904 |
. . . 4
β’ (4 /
Ο) β β |
1571 | 52, 54, 56 | divcli 11904 |
. . . 4
β’ (Ο /
4) β β |
1572 | 1284, 1149 | eqeltri 2834 |
. . . . . . 7
β’ (πΉβπ) β β |
1573 | 67, 1572 | ifcli 4538 |
. . . . . 6
β’ if((π mod Ο) = 0, 0, (πΉβπ)) β β |
1574 | 1505, 1573 | eqeltri 2834 |
. . . . 5
β’ π β β |
1575 | 1574 | recni 11176 |
. . . 4
β’ π β β |
1576 | 1570, 1571, 1575 | mulassi 11173 |
. . 3
β’ (((4 /
Ο) Β· (Ο / 4)) Β· π) = ((4 / Ο) Β· ((Ο / 4)
Β· π)) |
1577 | 1571, 1570, 1543 | mulcomli 11171 |
. . . . 5
β’ ((4 /
Ο) Β· (Ο / 4)) = 1 |
1578 | 1577 | oveq1i 7372 |
. . . 4
β’ (((4 /
Ο) Β· (Ο / 4)) Β· π) = (1 Β· π) |
1579 | 1575 | mulid2i 11167 |
. . . 4
β’ (1
Β· π) = π |
1580 | 1578, 1579 | eqtri 2765 |
. . 3
β’ (((4 /
Ο) Β· (Ο / 4)) Β· π) = π |
1581 | 1569, 1576, 1580 | 3eqtr2i 2771 |
. 2
β’ ((4 /
Ο) Β· Ξ£π
β β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = π |
1582 | | fouriersw.z |
. . . 4
β’ π = (π β β β¦ ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β
1))) |
1583 | | seqeq3 13918 |
. . . 4
β’ (π = (π β β β¦ ((sinβ(((2
Β· π) β 1)
Β· π)) / ((2 Β·
π) β 1))) β
seq1( + , π) = seq1( + ,
(π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))))) |
1584 | 1582, 1583 | ax-mp 5 |
. . 3
β’ seq1( + ,
π) = seq1( + , (π β β β¦
((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1)))) |
1585 | 1584, 1566 | eqbrtri 5131 |
. 2
β’ seq1( + ,
π) β ((Ο / 4)
Β· π) |
1586 | 1581, 1585 | pm3.2i 472 |
1
β’ (((4 /
Ο) Β· Ξ£π
β β ((sinβ(((2 Β· π) β 1) Β· π)) / ((2 Β· π) β 1))) = π β§ seq1( + , π) β ((Ο / 4) Β· π)) |