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Theorem fouriersw 46186
Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriersw.t 𝑇 = (2 · π)
fouriersw.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fouriersw.x 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
fouriersw.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fouriersw (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑋,𝑛   𝑥,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12918 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12645 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 eqidd 2735 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
4 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
54oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1))
65oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
76fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
87, 5oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
11 ovex 7463 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V)
133, 9, 10, 12fvmptd 7022 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15 2z 12646 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
17 nnz 12631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17zmulcld 12725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
19 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 12724 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
2120zcnd 12720 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
22 fouriersw.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ ℝ
2322recni 11272 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11278 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
2625sincld 16162 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
27 0red 11261 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
28 2re 12337 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 1red 11259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
3231, 30resubcld 11688 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ∈ ℝ)
3320zred 12719 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℝ)
34 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
35 2t1e2 12426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
3635oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
37 2m1e1 12389 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
3836, 37eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((2 · 1) − 1)
3934, 38breqtri 5172 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((2 · 1) − 1)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 1) − 1))
4118zred 12719 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
42 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
43 0le2 12365 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
45 nnge1 12291 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
4630, 42, 29, 44, 45lemul2ad 12205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑘))
4731, 41, 30, 46lesub1dd 11876 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1))
4827, 32, 33, 40, 47ltletrd 11418 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑘) − 1))
4927, 48gtned 11393 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ≠ 0)
5026, 21, 49divcld 12040 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
52 picn 26515 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → π ∈ ℂ)
54 4cn 12348 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
56 4ne0 12371 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ≠ 0)
5853, 55, 57divcld 12040 . . . . . . . . 9 (⊤ → (π / 4) ∈ ℂ)
59 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
60 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
62 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
63 mulcl 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6462, 52, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
66 nnne0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
67 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
68 pipos 26516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
6967, 68gtneii 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
7162, 65, 66, 70mulne0d 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠ 0)
7261, 64, 71divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / (𝑛 · π)) ∈ ℂ)
7323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
7574sincld 16162 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
7672, 75mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
7760, 76ifcld 4576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
7859, 77fmpti 7131 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ)
80 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
81 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘))
82 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
8382oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π)))
84 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
8584fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
8683, 85oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
8781, 86ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
89 c0ex 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
90 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ V
9189, 90ifex 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
9380, 88, 10, 92fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (𝑘 / 2) ∈ ℕ)
96 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
97 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
98 nndivdvds 16295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
9996, 97, 98sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
10095, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∥ 𝑘)
101100iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = 0)
10294, 101eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
1031023adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
104 fouriersw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
105 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
106105renegcli 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℝ
107105, 106ifcli 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
109104, 108fmpti 7131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:ℝ⟶ℝ
110 fouriersw.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (2 · π)
111 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112111breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π))
113112ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114113cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
115104, 114eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
117 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇))
118 pire 26514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π ∈ ℝ
11928, 118remulcli 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · π) ∈ ℝ
120110, 119eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑇 ∈ ℝ
121120recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 ∈ ℂ
122121mullidi 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 · 𝑇) = 𝑇
123122eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑇 = (1 · 𝑇)
124123oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
125124oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
126117, 125eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
128 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
129 2pos 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 2
13028, 118, 129, 68mulgt0ii 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < (2 · π)
131110eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · π) = 𝑇
132130, 131breqtri 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 𝑇
133120, 132elrpii 13034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 ∈ ℝ+
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
135 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ)
136 modcyc 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
137128, 134, 135, 136syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
138127, 137eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
139138breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π))
140139ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
142120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
144116, 140, 143, 108fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
145104fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
146107, 145mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
147144, 146eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
148 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
149 snfi 9081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {0} ∈ Fin
150 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
151 0xr 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ*
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
153118rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 π ∈ ℝ*
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → π ∈ ℝ*)
155 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
157 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
158118renegcli 11567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ∈ ℝ
159158rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -π ∈ ℝ*
160 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 < π)
161159, 153, 160mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 < π)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < π)
163152, 154, 156, 157, 162eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
164 negpilt0 45230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -π < 0
165158, 67, 164ltleii 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ≤ 0
166 iooss1 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
167159, 165, 166mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
168167sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
169104reseq1i 5995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π))
170 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℝ
171 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
173 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
174133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
175 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
176 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
177151, 153, 176mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
178175, 173, 177ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
179118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
180120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
181168, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
182 pirp 26517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 π ∈ ℝ+
183 2timesgt 45238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 π < (2 · π)
185184, 131breqtri 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π < 𝑇
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
187173, 179, 180, 181, 186lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
188 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
189173, 174, 178, 187, 188syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
190189, 181eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
191190iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
192191mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
193169, 172, 1923eqtrri 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
194193oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π)))
195 reelprrecn 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
197 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
198 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
199198tgioo2 24838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200197, 199eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
202 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
203196, 201, 202dvmptconst 45870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
204203mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
205 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ℝ ⊆ ℝ
206 ax-resscn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ℝ ⊆ ℂ
207 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
208109, 206, 207mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝐹:ℝ⟶ℂ
209 dvresioo 45876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
210205, 208, 209mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
211194, 204, 2103eqtr3i 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
212211dmeqi 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
213 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
21489, 213dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (0(,)π)
215212, 214eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π)
216 ssdmres 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π))
217215, 216mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
218217sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
219168, 218elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
220 dmres 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
221219, 220eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
222163, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
223222adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
224159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π ∈ ℝ*)
225151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
226155ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
227 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
228159, 153, 227mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → -π < 𝑥)
229228ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π < 𝑥)
230 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ)
231 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0)
232231ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 0)
233 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → ¬ 0 < 𝑥)
234226, 230, 232, 233lttri5d 45249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 < 0)
235224, 225, 226, 229, 234eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
23667, 118, 68ltleii 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ≤ π
237 iooss2 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
238153, 236, 237mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
239238sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
240104reseq1i 5995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0))
241 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ⊆ ℝ
242 resmpt 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
243241, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
244118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
245 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
246133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
247245, 246modcld 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
248245, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
249522timesi 12401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2 · π) = (π + π)
250110, 249eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 𝑇 = (π + π)
251250oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
252 negpicn 26518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -π ∈ ℂ
253252, 52, 52addassi 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
254253eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + (π + π)) = ((-π + π) + π)
25552negidi 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π + -π) = 0
25652, 252, 255addcomli 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + π) = 0
257256oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (0 + π)
25852addlidi 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0 + π) = π
259257, 258eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π + π) + π) = π
260251, 254, 2593eqtrri 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π = (-π + 𝑇)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
262158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
263120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
264239, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
265262, 245, 263, 264ltadd1dd 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
266261, 265eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
267244, 248, 266ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 + 𝑇))
268 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
269158, 120readdcli 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + 𝑇) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) ∈ ℝ)
27168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
272271, 260breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (-π + 𝑇))
273268, 270, 248, 272, 265lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
274268, 248, 273ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
275245recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
276121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
277275, 276addcomd 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥))
278 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
279159, 151, 278mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
280 ltaddneg 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
281245, 120, 280sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
282279, 281mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)
283277, 282eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
284274, 283jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))
285 modid2 13934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
286248, 133, 285sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
287284, 286mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
288125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
289133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+)
290 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ)
291141, 289, 290, 136syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
292288, 291eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
293245, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
294287, 293eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
295267, 294breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
296244, 247, 295lensymd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
297296iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
298297mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
299240, 243, 2983eqtrri 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
300299oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
301 iooretop 24801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
302301, 199eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
303302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
304202negcld 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ℂ)
305196, 303, 304dvmptconst 45870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
306305mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
307 dvresioo 45876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
308205, 208, 307mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
309300, 306, 3083eqtr3i 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
310309dmeqi 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
311 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
31289, 311dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (-π(,)0)
313310, 312eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
314 ssdmres 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0))
315313, 314mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
316315sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
317239, 316elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
318317, 220eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
319235, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
320223, 319pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
321150, 320sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
322 eldifn 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
323322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
324321, 323condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 = 0)
325 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
326324, 325sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ {0})
327326ssriv 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}
328 ssfi 9211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({0} ∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}) → ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin)
329149, 327, 328mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin
330 inss1 4244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π)
331220, 330eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π)
332 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ⊆ ℂ
333331, 332sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ)
335 dvf 25956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
336 fresin 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ)
337 ffdm 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))))
338335, 336, 337mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))
339338simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
340339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ)
341159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π ∈ ℝ*)
342151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
343 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)π) ⊆ ℝ
344331sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
345343, 344sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
346345adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
347344, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
348347adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π < 𝑥)
349 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
350341, 342, 346, 348, 349eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
351 elun1 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
352350, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
353 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
354 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ)
355345adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
356 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → ¬ 𝑥 < 0)
357354, 355, 356nltled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ≤ 𝑥)
358 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
359205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
360 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
361208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
362 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
363 mnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -∞ ∈ ℝ*
364363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
365362mnfltd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ < 0)
366360, 364, 362, 365lptioo2 45586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)))
367 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-∞(,)0) ⊆ ℝ
369 dfss2 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370368, 369mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371367, 370eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372371fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373366, 372eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374 pnfxr 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 +∞ ∈ ℝ*
375374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
376362ltpnfd 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 < +∞)
377360, 362, 375, 376lptioo1 45587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)))
378 incom 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)+∞) ⊆ ℝ
380 dfss2 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381379, 380mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382378, 381eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383382fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384377, 383eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
386 mnfle 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π ∈ ℝ* → -∞ ≤ -π)
387159, 386ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -∞ ≤ -π
388 iooss1 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
389363, 387, 388mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
391 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-∞(,)0) ⊆ ℂ
392390, 391sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ ℂ)
393 0cnd 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
394385, 392, 304, 393constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0))
395 resabs1 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
396389, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
397299, 396eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0))
398397oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0)
399 fssres 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
400208, 368, 399mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ
401400a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
402391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (-∞(,)0) ⊆ ℂ)
403 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
404 0le0 12364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 ≤ 0
405 elioc2 13446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
406159, 67, 405mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))
40767, 164, 404, 406mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (-π(,]0)
408198cnfldtop 24819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
409 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-∞(,]0) ∈ V
410 resttop 23183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top)
411408, 409, 410mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top
412159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -π ∈ ℝ*)
413 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
414387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -∞ ≤ -π)
415364, 412, 362, 360, 413, 414, 362iocopn 45472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)))
416415mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
417199oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0))
418 iocssre 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
419363, 67, 418mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
420195elexi 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ℝ ∈ V
421 restabs 23188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
422408, 419, 420, 421mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
423417, 422eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
424416, 423eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
425 isopn3i 23105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0))
426411, 424, 425mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)
427 mnflt0 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -∞ < 0
428 ioounsn 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0))
429363, 151, 427, 428mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0)
430429eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0})
431430oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
432431fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))
433 ioounsn 13513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π < 0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0))
434159, 151, 164, 433mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)
435434eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0})
436432, 435fveq12i 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
437426, 436eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
438407, 437eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})))
440401, 390, 402, 198, 403, 439limcres 25935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
441440mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
442398, 441eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
443394, 442eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
444 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
445 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℂ
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
447444, 446, 202, 393constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0))
448 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π ∈ ℝ → π < +∞)
449 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (π < +∞ → π ≤ +∞))
450153, 374, 449mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π < +∞ → π ≤ +∞)
451118, 448, 450mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 π ≤ +∞
452 iooss2 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
453374, 451, 452mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)
454 resabs1 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π)))
455453, 454ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
456193, 455eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
457456oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0)
458 fssres 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
459208, 379, 458mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
461453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
462 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)+∞) ⊆ ℂ
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)+∞) ⊆ ℂ)
464 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
465 elico2 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π)))
46667, 153, 465mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π))
46767, 404, 68, 466mpbir3an 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (0[,)π)
468 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)+∞) ∈ V
469 resttop 23183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top)
470408, 468, 469mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top
471153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ∈ ℝ*)
472 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
473451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ≤ +∞)
474362, 471, 375, 360, 472, 473icoopn 45477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
475474mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
476199oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞))
477 rge0ssre 13492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
478 restabs 23188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
479408, 477, 420, 478mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
480476, 479eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
481475, 480eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
482 isopn3i 23105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π))
483470, 481, 482mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)
484 0ltpnf 13161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 0 < +∞
485 snunioo1 45464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞))
486151, 374, 484, 485mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞)
487486eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0})
488487oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
489488fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))
490 snunioo1 45464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π))
491151, 153, 68, 490mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)
492491eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0})
493489, 492fveq12i 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
494483, 493eqtr3i 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
495467, 494eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})))
497460, 461, 463, 198, 464, 496limcres 25935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
498497mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
499457, 498eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
500447, 499eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 1 ∈ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
501 neg1lt0 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -1 < 0
502106, 67, 105lttri 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
503501, 34, 502mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 < 1
504106, 503ltneii 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -1 ≠ 1
505504a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ≠ 1)
506198, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505jumpncnp 45853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⊤ → ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
507506mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0)
508206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ)
509208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
510205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ)
511 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
512220, 511eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
513512sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514199, 198dvcnp2 25969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
515508, 509, 510, 513, 514syl31anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
516507, 515mto 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
518358, 517eqneltrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
519518necon2ai 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ≠ 0)
520519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ≠ 0)
521354, 355, 357, 520leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 < 𝑥)
522344, 163sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
523 elun2 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
525353, 521, 524syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
526352, 525pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
527 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)0) ∈ V
528 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ∈ V
529527, 528unipr 4928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪ (0(,)π))
530526, 529eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 {(-π(,)0), (0(,)π)})
531530ssriv 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)}
532531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)})
533 ineq2 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)))
534 retop 24797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
535 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ℝ D 𝐹) ∈ V
536535resex 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
537536dmex 7931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
538534, 537pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V)
539318ssriv 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
540 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)
541301, 539, 5403pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))
542 restopnb 23198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
543538, 541, 542mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
544301, 543mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
545 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0)
546539, 540ssini 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))
547545, 546eqssi 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
548199oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
549331, 343sstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ
550 restabs 23188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
551408, 549, 420, 550mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
552548, 551eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
553544, 547, 5523eltr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
554533, 553eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
555554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
556 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = (-π(,)0) → 𝑥 ≠ (-π(,)0))
557 elprn1 45588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠ (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
558556, 557sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
559 ineq2 4221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)))
560221ssriv 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
561 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ (0(,)π)
562197, 560, 5613pm3.2i 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))
563 restopnb 23198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
564538, 562, 563mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
565197, 564mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
566 inss2 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π)
567560, 561ssini 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π))
568566, 567eqssi 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π)
569565, 568, 5523eltr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
570559, 569eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
571558, 570syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
572555, 571pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
573572adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
574 ssid 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℂ ⊆ ℂ
575574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
576392, 393, 575constcncfg 45827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
577576mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
579 reseq2 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)))
580 resabs1 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
581238, 580ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
582581, 309eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
583579, 582eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
584533, 547eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (-π(,)0))
585584oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ))
586578, 583, 5853eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
587586adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
588446, 393, 575constcncfg 45827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
589588mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)
590589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
591 reseq2 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)))
592 resabs1 6026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
593167, 592ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
594593, 211eqtr4i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
595591, 594eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
596559, 568eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (0(,)π))
597596oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ))
598590, 595, 5973eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
599558, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
600587, 599pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
601600adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
602334, 340, 532, 573, 601cncfuni 45841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ))
603602mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)
604 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) = (-π(,)+∞))
605604reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)))
606 iooss2 13419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞))
607374, 451, 606mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)
608 resabs2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
609607, 608ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
610605, 609eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
611 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → 𝑥 = -π)
612610, 611oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
613252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → -π ∈ ℂ)
614311, 392, 393, 613constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π))
615614mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π)
616309oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π)
617335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
618158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ∈ ℝ)
619151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
620164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π < 0)
621315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
622236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ≤ π)
623617, 618, 619, 620, 621, 471, 622limcresioolb 45598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
624623mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
625616, 624eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
626615, 625eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
627626ne0ii 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅)
629612, 628eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
630629adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
631 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
632159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ*)
633153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → π ∈ ℝ*)
634 icossre 13464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
635158, 153, 634mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,)π) ⊆ ℝ
636635sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
637636adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ℝ)
638158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ)
639 icogelb 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → -π ≤ 𝑥)
640159, 153, 639mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → -π ≤ 𝑥)
641640adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ≤ 𝑥)
642 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π)
643642adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ≠ -π)
644638, 637, 641, 643leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π < 𝑥)
645 icoltub 45460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → 𝑥 < π)
646159, 153, 645mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 < π)
647646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 < π)
648632, 633, 637, 644, 647eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
649631, 648sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
650 eldifn 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
651650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
652649, 651eldifd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
653 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) = (0(,)+∞))
654653reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)))
655654, 358oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
656213, 446, 393, 393constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0))
657656mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0)
658 resres 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)))
659 iooin 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)))
660159, 153, 151, 374, 659mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞))
661165iftruei 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ 0, 0, -π) = 0
662451iftruei 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ +∞, π, +∞) = π
663661, 662oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) = (0(,)π)
664660, 663eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π)
665664reseq2i 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
666211eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
667658, 665, 6663eqtrri 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))
668667oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
669657, 668eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
670669ne0ii 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅)
672655, 671eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
673652, 324, 6723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
674630, 673pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
675 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)π))
676675reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)))
677 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
678676, 677oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π))
679 iooss1 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π))
680363, 387, 679mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)
681 resabs2 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
682680, 681ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
683682oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
684678, 683eqtrdi 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
685213, 446, 393, 53constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π))
686685mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π)
687211oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π)
688118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → π ∈ ℝ)
68968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 < π)
690217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
691165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ≤ 0)
692617, 619, 688, 689, 690, 412, 691limcresiooub 45597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
693692mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
694687, 693eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
695686, 694eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
696695ne0ii 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅
697696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅)
698684, 697eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
699698adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
700159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈ ℝ*)
701153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ*)
702 negpitopissre 26596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,]π) ⊆ ℝ
703 eldifi 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
704702, 703sselid 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ ℝ)
705704adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ)
706159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*)
707153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → π ∈ ℝ*)
708 iocgtlb 45454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → -π < 𝑥)
709706, 707, 703, 708syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π < 𝑥)
710709adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥)
711118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ)
712 iocleub 45455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → 𝑥 ≤ π)
713706, 707, 703, 712syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ≤ π)
714713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π)
715 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π = 𝑥 → π = 𝑥)
716715eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π = 𝑥𝑥 = π)
717716necon3bi 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = π → π ≠ 𝑥)
718717adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥)
719705, 711, 714, 718leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π)
720700, 701, 705, 710, 719eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
721 eldifn 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
722721adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
723720, 722eldifd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
724 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)0))
725724reseq2d 5999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)))
726725, 358oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
727311, 392, 393, 393constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0))
728727mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0)
729 resres 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)))
730 iooin 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)))
731159, 153, 363, 151, 730mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))
732 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (-π ∈ ℝ → -∞ < -π)
733158, 732ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -∞ < -π
734 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈ ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞))
735363, 159, 734mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞)
736733, 735mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ -π ≤ -∞
737736iffalsei 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ -∞, -∞, -π) = -π
738 xrltnle 11325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0))
739151, 153, 738mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0)
74068, 739mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ π ≤ 0
741740iffalsei 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ 0, π, 0) = 0
742737, 741oveq12i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) = (-π(,)0)
743731, 742eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0)
744743reseq2i 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
745309eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
746729, 744, 7453eqtrri 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))
747746oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
748728, 747eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
749748ne0ii 4349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅
750749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅)
751726, 750eqnetrd 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
752723, 324, 7513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
753699, 752pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
754 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755 ioosscn 13445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ
756755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
757 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ℂ)
75823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ)
759754, 756, 757, 758constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
760 ioossioc 45444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ (0(,]π)
761760sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
762761iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
763208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
764 modcl 13909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
76522, 133, 764mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
76622, 765resubcli 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767766rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768767a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
76922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
770 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772151, 153, 771mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773770, 772elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774769, 773ltsubrpd 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
776775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
777363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈ ℝ*)
778 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
779 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
780363, 767, 779mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
781766, 778, 780mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))
782781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
783763, 768, 769, 774, 776, 777, 782limcresiooub 45597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
784 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
785151, 153, 784mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
786208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
787775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
788786, 787feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
789 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
790789, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
791790adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
792789adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
793133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
794792, 793modcld 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
795765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
79722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
798133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
799 ioossico 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800799sseli 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801797, 798, 800ltmod 45593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802801adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
804794, 795, 796, 802, 803lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
805804iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
806791, 805eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
807806mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808788, 807eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809785, 808syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810809oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
811783, 810eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
812759, 762, 8113eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
813 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
814 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ
815814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
816815, 206sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℂ)
81723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℂ)
818813, 816, 304, 817constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
819818mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋)
820819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
821 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822 lbioc 45465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 0 ∈ (0(,]π)
823822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈ (0(,]π))
824821, 823eqneltrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
825824iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
826208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
827814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
828826, 827feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
829827sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
830829, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
831118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
832133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
833829, 832modcld 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
83422, 118resubcli 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 − π) ∈ ℝ
835834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ)
836120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
837835, 836readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ)
838 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
839838, 836readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
84022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
841834rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 − π) ∈ ℝ*
842841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
843840rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
844 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
845 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥)
846842, 843, 844, 845syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥)
847835, 838, 836, 846ltadd1dd 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
848837, 839, 840, 847ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
849848adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
850250oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π + π))
85152, 52addcli 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π + π) ∈ ℂ
852 subadd23 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π)))
85323, 52, 851, 852mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π))
85452, 52pncan3oi 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π + π) − π) = π
855854oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 + ((π + π) − π)) = (𝑋 + π)
856850, 853, 8553eqtri 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π)
857856oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋)
858 pncan2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝑋 + π) − 𝑋) = π)
85923, 52, 858mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋 + π) − 𝑋) = π
860857, 859eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
861860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
862839, 840resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
863 modabs2 13941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
864862, 133, 863sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
865133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
866 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
867837, 840resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
86868, 860breqtri 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
869868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
870866, 867, 862, 869, 848lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
871866, 862, 870ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
872840, 836readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
874842, 843, 844, 873syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
875838, 840, 836, 874ltadd1dd 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876839, 872, 840, 875ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋))
877 pncan2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇)
87823, 121, 877mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇
879876, 878breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)
880 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
881862, 865, 871, 879, 880syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
882864, 881eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883882adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885884adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886862, 865modcld 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887886recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ)
888887addridd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
889888adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
890885, 889eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891890oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892 modaddabs 13945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893862, 840, 865, 892syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894893adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895883, 891, 8943eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896143recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
89723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
898896, 897npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇))
899122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑇) = 𝑇)
900899oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇))
901898, 900eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇)))
902901oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
903838, 902syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
904903adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
905 1zzd 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
906829, 832, 905, 136syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
907895, 904, 9063eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
908849, 861, 9073brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
909831, 833, 908ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
910831, 833, 909lensymd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
911910iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
912830, 911eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
913912mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1))
914828, 913eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
915914oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
916841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
91722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
918 ltsubrp 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋)
91922, 182, 918mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 − π) < 𝑋
920919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) < 𝑋)
921 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − π))
922 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π)))
923363, 841, 922mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))
924834, 921, 923mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -∞ ≤ (𝑋 − π)
925924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → -∞ ≤ (𝑋 − π))
926361, 916, 917, 920, 815, 364, 925limcresiooub 45597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
927926mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
928915, 927eqtr2di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
929820, 825, 9283eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
930929adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
931153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
932120rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ∈ ℝ*
933932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
934765rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
937765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938 pm4.56 990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939938biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940 olc 868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941940adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈ ℝ*)
943153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈ ℝ*)
944765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ)
946765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947 modge0 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
94822, 133, 947mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
949948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
950 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
951945, 946, 949, 950leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952951adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
954942, 943, 944, 952, 953eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π))
955954orcd 873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956941, 955pm2.61dane 3026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957939, 956nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
958936, 937, 957nltled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
959 modlt 13916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
96022, 133, 959mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962931, 933, 935, 958, 961elicod 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
963 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
964963, 816, 202, 817constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
965964mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋)
966965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
967 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
968 ubioc1 13436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → π ∈ (0(,]π))
969151, 153, 68, 968mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ (0(,]π)
970967, 969eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
971970iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
972361, 815feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
973972mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
974838, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
975974adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
976 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
977967eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇))
978977oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
979978oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980979adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981976, 980eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982981, 801syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
984982, 983breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
985984iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
986975, 985eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
987986mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1))
988973, 987eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
989988oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
990989, 927eqtr2di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
991966, 971, 9903eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
992991adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
993153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ*)
994932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
995765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ)
997 icogelb 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
998153, 932, 997mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
999998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1000 neqne 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
10011000adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1002996, 995, 999, 1001leneltd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1003960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004993, 994, 995, 1002, 1003eliood 45450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
1005 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
10071006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
10081007, 206sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
1009 neg1cn 12377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ ℂ
10101009a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ)
101123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
10121005, 1008, 1010, 1011constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
1013151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
1014118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1015934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1017153, 932, 1016mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
10181013, 1014, 1015, 1017gtnelioc 45443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
10191018iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
10201006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1021361, 1020feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
10221021mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
1023 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
10241023, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
10251024adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1026118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
1027133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
10281023, 1027modcld 13911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10291028adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
103022, 118readdcli 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 + π) ∈ ℝ
10311030recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + π) ∈ ℂ
10321031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ)
103323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
1034765recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ
10351034a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ)
10361032, 1033, 1035nnncan2d 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋))
10371036, 859eqtr2di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10381030, 765resubcli 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
10411038rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
104322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
10441043rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1045 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10471042, 1044, 1045, 1046syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10481039, 1023, 1040, 1047ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10491037, 1048eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10501023recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051 sub31 45240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10521050, 1033, 1035, 1051syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10531049, 1052breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10541053adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10551043, 1023resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
1056 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1057 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
10581042, 1044, 1045, 1057syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
10591023, 1043posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋𝑥)))
10601058, 1059mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋𝑥))
10611056, 1055, 1060ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋𝑥))
10621043, 1039resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
10641039, 1023, 1043, 1047ltsub2dd 11873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1065 sub31 45240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)))
106623, 1031, 1034, 1065mp3an 1460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))
1067859oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
10681066, 1067eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1069 ltsubrp 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇))
1070765, 182, 1069mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)
1071765, 118resubcli 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈ ℝ
10721071, 765, 120lttri 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇)
10731070, 960, 1072mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇
10741068, 1073eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10751074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10761055, 1062, 1063, 1064, 1075lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < 𝑇)
1077 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑋𝑥) ∧ (𝑋𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10781055, 1027, 1061, 1076, 1077syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10791078oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10801079oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
1081765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10821081, 1055resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
1083118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈ ℝ)
10841052, 1082eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
108568a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π)
10861056, 1083, 1084, 1085, 1049lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10871086, 1052breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10881056, 1082, 1087ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10891043, 1040resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
10901023, 1043, 1040, 1058ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1091 nncan 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
109223, 1034, 1091mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
10931092, 960eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10941093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10951084, 1089, 1063, 1090, 1094lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10961052, 1095eqbrtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)
1097 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10981082, 1027, 1088, 1096, 1097syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10991080, 1098eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100 modsubmodmod 13967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11011043, 1055, 1027, 1100syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11021033, 1050nncand 11622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋𝑥)) = 𝑥)
11031102oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
11041099, 1101, 11033eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11051104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11061054, 1105breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11071017, 1106sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11081026, 1029, 1107ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
11091026, 1029, 1108lensymd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
11101109iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
11111025, 1110eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
11121111mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
11131022, 1112eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
11141113oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋))
1115208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11161041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
111722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1118 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119 ltaddsublt 11887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11201117, 1014, 1118, 1119syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11211017, 1120mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈ ℝ*)
1123 mnflt 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1124 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1125363, 1041, 1124mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11261038, 1123, 1125mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))
11271126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11281115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127limcresiooub 45597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11291114, 1128eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
11301012, 1019, 11293eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11311004, 1130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1132992, 1131pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1133962, 1132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1134930, 1133pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1135812, 1134pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1136 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
11381137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
11391138, 206sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
11401136, 1139, 202, 817constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
11411140mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋)
11421141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
1143104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
1144 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
11451144breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
11461145ifbid 4553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11471146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
1149105, 106ifcli 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
11501149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
11511143, 1147, 1148, 1150fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1152 icoltub 45460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1153151, 153, 1152mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
11541153iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
11551151, 1154eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = 1)
1156361, 1138feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
11571156mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1158 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11591158, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11601159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
11621158, 1161resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1163133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1164 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
11651161rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1166118, 765resubcli 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
116722, 1166readdcli 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
11681167rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
11691168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))
1171 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
11721165, 1169, 1170, 1171syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
11731161, 1158posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
11741172, 1173mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
11751164, 1162, 1174ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
1176118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈ ℝ)
1177120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11781167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
11791178, 1161resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1180 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11811165, 1169, 1170, 1180syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11821158, 1178, 1161, 1181ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
11831166recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1184 pncan2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)))
118523, 1183, 1184mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))
1186 subge02 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π))
1187118, 765, 1186mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)
1188948, 1187mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π
11891185, 1188eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π
11901189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π)
11911162, 1179, 1176, 1182, 1190ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < π)
1192185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇)
11931162, 1176, 1177, 1191, 1192lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
1194 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11951162, 1163, 1175, 1193, 1194syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11961195oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
11971196oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1198765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
11991198, 1162readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
12001161, 1161resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) ∈ ℝ)
12011198, 1200readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) ∈ ℝ)
120223subidi 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋𝑋) = 0
12031202oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
12041034addridi 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
12051203, 1204eqtr2i 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
1206948, 1205breqtri 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
12071206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)))
12081161, 1158, 1161, 1172ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) < (𝑥𝑋))
12091200, 1162, 1198, 1208ltadd2dd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12101164, 1201, 1199, 1207, 1209lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12111164, 1199, 1210ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12121162, 1179, 1198, 1182ltadd2dd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
12131185oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12141034, 52pncan3i 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π
12151213, 1214eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π
12161212, 1215breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12171199, 1176, 1177, 1216, 1192lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
1218 modid 13932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12191199, 1163, 1211, 1217, 1218syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12201197, 1219eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221 modaddabs 13945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
12221161, 1162, 1163, 1221syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
122323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
12241158recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
12251223, 1224pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
12261225oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
12271220, 1222, 12263eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12281227adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12291216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12301228, 1229eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12311153, 1230sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12321231iftrued 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
12331160, 1232eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = 1)
12341233mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
12351157, 1234eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))))
12361235oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1237208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
12381168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
12391166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ)
12421240, 1241posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12431153, 1242mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12441239, 1243elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
12451148, 1244ltaddrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12461137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1247374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈ ℝ*)
1248 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
12501168, 374, 1249mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12511167, 1248, 1250mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
12521251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12531237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252limcresioolb 45598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12541236, 1253eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
12551142, 1155, 12543eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1256153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ*)
1257932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
1258934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈ ℝ*)
1260153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → π ∈ ℝ*)
1261934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1263765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈ ℝ)
12651263, 1264ltnled 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)))
12661265ibir 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12671266adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12681259, 1260, 1261, 1262, 1267elicod 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1269 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
12701268, 1269condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1271960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
12721256, 1257, 1258, 1270, 1271elicod 13433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
1273 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274 ioossre 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
12751274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
12761275, 206sstrdi 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
12771273, 1276, 304, 817constlimc 45579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
12781277mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋)
12791278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
1280 1ex 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ V
1281106elexi 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ V
12821280, 1281ifex 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
12831146, 104, 1282fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
128422, 1283ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
12851284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1286118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1287765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
12881286, 1287, 998lensymd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
12891288iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
12901285, 1289eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
1291361, 1275feqresmpt 6977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
12921291mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1293 elioore 13413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12941293, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
12951294adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1296118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈ ℝ)
129722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12981293, 1297resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1299133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1300 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
13011297rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1302120, 765resubcli 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
130322, 1302readdcli 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
13041303rexri 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
13051304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))
1307 ioogtlb 45447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
13081301, 1305, 1306, 1307syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
13091297, 1293posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
13101308, 1309mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
13111300, 1298, 1310ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
13121303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
13131312, 1297resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1315 iooltub 45462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13161301, 1305, 1306, 1315syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13171293, 1312, 1297, 1316ltsub1dd 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
13181302recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1319 pncan2 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
132023, 1318, 1319mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))
1321 subge02 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇))
1322120, 765, 1321mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)
1323948, 1322mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇
13241320, 1323eqbrtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇
13251324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇)
13261298, 1313, 1314, 1317, 1325ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
13271298, 1299, 1311, 1326, 1194syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
13281327oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13291328oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1330 readdcl 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1331765, 1298, 1330sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1332765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13341332, 1298, 1333, 1310addgegt0d 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13351300, 1331, 1334ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13361298, 1313, 1332, 1317ltadd2dd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
13371320oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13381034, 121pncan3i 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
13391337, 1338eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇
13401336, 1339breqtrdi 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
13411331, 1299, 1335, 1340, 1218syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13421329, 1341eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
13431297, 1298, 1299, 1221syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
134423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
13451293recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13461344, 1345pncan3d 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
13471346oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
13481342, 1343, 13473eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13491348adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13501331adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
13511349, 1350eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13541298, 1310elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ+)
13551332, 1354ltaddrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13561355adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13571296, 1352, 1350, 1353, 1356lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13581296, 1350, 1357ltled 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13591358, 1349breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
13601296, 1351, 1359lensymd 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
13611360iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
13621295, 1361eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = -1)
13631362mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
13641292, 1363eqtr2id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))))
13651364oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1366208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
136722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
13681304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
13691302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1370960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1371120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
13721287, 1371posdifd 11847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13731370, 1372mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13741369, 1373elrpd 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
13751367, 1374ltaddrpd 13107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13761274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1377374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → +∞ ∈ ℝ*)
1378 ltpnf 13159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1379 xrltle 13187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
13801304, 374, 1379mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13811303, 1378, 1380mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
13821381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13831366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382limcresioolb 45598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13841365, 1383eqtr2d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
13851279, 1290, 13843eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13861272, 1385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13871255, 1386pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
1388 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
1389110, 104, 1388sqwvfoura 46183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
13901389eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13911390mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1393110, 104, 1392sqwvfourb 46184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
13941393eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13951394mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1396 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1397 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1398 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)
13991398fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14001396, 1397, 1399syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14011400oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
140274coscld 16163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
14031402mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14041401, 1403eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1405 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 / (𝑛 · π)) ∈ V
140689, 1405ifex 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V
1407 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14081407fvmpt2 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14091406, 1408mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14101409oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14111404, 1410oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
141260, 72ifcld 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ ℂ)
14131412, 75mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
14141413addlidd 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1415 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = 0)
14161415oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
141775mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14181416, 1417sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1419 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = 0)
14201419eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14211420adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14221418, 1421eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1423 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (4 / (𝑛 · π)))
14241423oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14251424adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1426 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14271426eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14281427adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14291425, 1428eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14301422, 1429pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14311411, 1414, 14303eqtrrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14321431mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1433109, 110, 147, 148, 329, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432fourierclim 46179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2))
1434 0nn0 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
1435 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
14361435, 1398, 89fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0)
14371434, 1436ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0
14381437oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = (0 / 2)
143928recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
144067, 129gtneii 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
14411439, 1440div0i 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
14421438, 1441eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = 0
14431442oveq2i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0)
1444202mptru 1543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14451444, 1009ifcli 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ℂ
14461149recni 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ
14471284, 1446eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑋) ∈ ℂ
14481445, 1447addcli 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) ∈ ℂ
14491448, 1439, 1440divcli 12006 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∈ ℂ
14501449subid1i 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14511443, 1450eqtri 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14521433, 1451breqtri 5172 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14531452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
145479, 103, 1453sumnnodd 45585 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))))
14551454mptru 1543 . . . . . . . . . . . 12 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))
14561455simpli 483 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
1457 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1)))
1458 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑘) − 1) · π))
14591458oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)))
1460 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
14611460fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
14621459, 1461oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14631457, 1462ifbieq2d 4556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
14641463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1465 elnnz 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) − 1)))
146620, 48, 1465sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ)
1467 ovex 7463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) ∈ V
146889, 1467ifex 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V
14691468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V)
147080, 1464, 1466, 1469fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1471 dvdsmul1 16311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147215, 17, 1471sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147318zcnd 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
1474 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14751473, 1474npcand 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
14761475eqcomd 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
14771472, 1476breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
1478 oddp1even 16377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
147920, 1478syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
14801477, 1479mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1))
14811480iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
148252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
148321, 1482mulcomd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) − 1)))
14841483oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
148554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
148669a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0)
14871485, 1482, 21, 1486, 49divdiv1d 12071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
14881484, 1487eqtr4d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)))
14891488oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14901485, 1482, 1486divcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
14911490, 21, 26, 49div32d 12063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14921489, 1491eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14931470, 1481, 14923eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14941493mpteq2ia 5250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1495 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
14961495oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑛) − 1))
14971496oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋))
14981497fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)))
14991498, 1496oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
15001499oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15011500cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15021494, 1501eqtri 2762 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1503 seqeq3 14043 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))))
15041502, 1503ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1505 fouriersw.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
1506110, 104, 22, 1505fourierswlem 46185 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
15071506eqcomi 2743 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = 𝑌
15081456, 1504, 15073brtr3i 5176 . . . . . . . . . 10 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌
15091508a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌)
1510 eqid 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
151161, 65, 70divcld 12040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
15121439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15131512, 62mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1514 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1515 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
15161514, 1515subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15171513, 1516syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15181517, 73mulcld 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
15191518sincld 16162 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
152028a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1521 nnre 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
15221520, 1521remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15231522recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1524 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15251523, 1524subcld 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1526 1red 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
152735, 1520eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
1528 1lt2 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
15291528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2)
15301529, 35breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 1))
153143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
1532 nnge1 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
15331526, 1521, 1520, 1531, 1532lemul2ad 12205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑛))
15341526, 1527, 1522, 1530, 1533ltletrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑛))
15351526, 1534gtned 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 1)
15361523, 1524, 1535subne0d 11626 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ≠ 0)
15371519, 1525, 1536divcld 12040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) ∈ ℂ)
15381511, 1537mulcld 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) ∈ ℂ)
15391510, 1538fmpti 7131 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ
15401539a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ)
15411540ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
1542 divcan6 11971 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((π / 4) · (4 / π)) = 1)
154352, 69, 54, 56, 1542mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 4) · (4 / π)) = 1
15441543eqcomi 2743 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((π / 4) · (4 / π))
15451544oveq1i 7440 . . . . . . . . . . . 12 (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154650mullidd 11276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
15481482, 1485, 1547divcld 12040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (π / 4) ∈ ℂ)
15491548, 1490, 50mulassd 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15501545, 1546, 15493eqtr3a 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1551 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15528oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15531552adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15541492, 1467eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) ∈ V)
15551551, 1553, 10, 1554fvmptd 7022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15561555oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15571556eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
155813, 1550, 15573eqtrd 2778 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15591558adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15601, 2, 58, 1509, 1541, 1559isermulc2 15690 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
1561 climrel 15524 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
15621561releldmi 5961 . . . . . . . 8 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15631560, 1562syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15641, 2, 14, 51, 1563isumclim2 15790 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15651564mptru 1543 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))
15661560mptru 1543 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
1567 climuni 15584 . . . . 5 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌))
15681565, 1566, 1567mp2an 692 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌)
15691568oveq2i 7441 . . 3 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
157054, 52, 69divcli 12006 . . . 4 (4 / π) ∈ ℂ
157152, 54, 56divcli 12006 . . . 4 (π / 4) ∈ ℂ
15721284, 1149eqeltri 2834 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ∈ ℝ
157367, 1572ifcli 4577 . . . . . 6 if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) ∈ ℝ
15741505, 1573eqeltri 2834 . . . . 5 𝑌 ∈ ℝ
15751574recni 11272 . . . 4 𝑌 ∈ ℂ
15761570, 1571, 1575mulassi 11269 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
15771571, 1570, 1543mulcomli 11267 . . . . 5 ((4 / π) · (π / 4)) = 1
15781577oveq1i 7440 . . . 4 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = (1 · 𝑌)
15791575mullidi 11263 . . . 4 (1 · 𝑌) = 𝑌
15801578, 1579eqtri 2762 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = 𝑌
15811569, 1576, 15803eqtr2i 2768 . 2 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌
1582 fouriersw.z . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
1583 seqeq3 14043 . . . 4 (𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15841582, 1583ax-mp 5 . . 3 seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15851584, 1566eqbrtri 5168 . 2 seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
15861581, 1585pm3.2i 470 1 (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338  ifcif 4530  {csn 4630  {cpr 4632   cuni 4911   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  4c4 12320  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  [,)cico 13385   mod cmo 13905  seqcseq 14038  cli 15516  Σcsu 15718  sincsin 16095  cosccos 16096  πcpi 16098  cdvds 16286  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21381  Topctop 22914  intcnt 23040  limPtclp 23157   CnP ccnp 23248  cnccncf 24915  citg 25666   lim climc 25911   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cc 10472  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-symdif 4258  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-ofr 7697  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-t1 23337  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-ovol 25512  df-vol 25513  df-mbf 25667  df-itg1 25668  df-itg2 25669  df-ibl 25670  df-itg 25671  df-0p 25718  df-ditg 25896  df-limc 25915  df-dv 25916
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