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Theorem fouriersw 46246
Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriersw.t 𝑇 = (2 · π)
fouriersw.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fouriersw.x 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
fouriersw.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fouriersw (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑋,𝑛   𝑥,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12921 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12648 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
4 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
54oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1))
65oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
76fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
87, 5oveq12d 7449 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
11 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V)
133, 9, 10, 12fvmptd 7023 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
17 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
19 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
2120zcnd 12723 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
22 fouriersw.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ ℝ
2322recni 11275 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11281 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
2625sincld 16166 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
27 0red 11264 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
28 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 1red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11291 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
3231, 30resubcld 11691 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ∈ ℝ)
3320zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℝ)
34 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
35 2t1e2 12429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
3635oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
37 2m1e1 12392 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
3836, 37eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((2 · 1) − 1)
3934, 38breqtri 5168 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((2 · 1) − 1)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 1) − 1))
4118zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
42 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
43 0le2 12368 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
45 nnge1 12294 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
4630, 42, 29, 44, 45lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑘))
4731, 41, 30, 46lesub1dd 11879 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1))
4827, 32, 33, 40, 47ltletrd 11421 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑘) − 1))
4927, 48gtned 11396 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ≠ 0)
5026, 21, 49divcld 12043 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
5150adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
52 picn 26501 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → π ∈ ℂ)
54 4cn 12351 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
56 4ne0 12374 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ≠ 0)
5853, 55, 57divcld 12043 . . . . . . . . 9 (⊤ → (π / 4) ∈ ℂ)
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
60 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
62 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
63 mulcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6462, 52, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
66 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
67 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
68 pipos 26502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
6967, 68gtneii 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
7162, 65, 66, 70mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠ 0)
7261, 64, 71divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / (𝑛 · π)) ∈ ℂ)
7323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
7574sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
7672, 75mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
7760, 76ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
7859, 77fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ)
80 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
81 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘))
82 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
8382oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π)))
84 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
8584fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
8683, 85oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
8781, 86ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
89 c0ex 11255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
90 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ V
9189, 90ifex 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
9380, 88, 10, 92fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
95 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (𝑘 / 2) ∈ ℕ)
96 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
97 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
98 nndivdvds 16299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
9996, 97, 98sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
10095, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∥ 𝑘)
101100iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = 0)
10294, 101eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
1031023adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
104 fouriersw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
105 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
106105renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℝ
107105, 106ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
109104, 108fmpti 7132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:ℝ⟶ℝ
110 fouriersw.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (2 · π)
111 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112111breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π))
113112ifbid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114113cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
115104, 114eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
117 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇))
118 pire 26500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π ∈ ℝ
11928, 118remulcli 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · π) ∈ ℝ
120110, 119eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑇 ∈ ℝ
121120recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 ∈ ℂ
122121mullidi 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 · 𝑇) = 𝑇
123122eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑇 = (1 · 𝑇)
124123oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
125124oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
126117, 125eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
128 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
129 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 2
13028, 118, 129, 68mulgt0ii 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < (2 · π)
131110eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · π) = 𝑇
132130, 131breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 𝑇
133120, 132elrpii 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 ∈ ℝ+
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
135 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ)
136 modcyc 13946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
137128, 134, 135, 136syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
138127, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
139138breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π))
140139ifbid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
142120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
144116, 140, 143, 108fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
145104fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
146107, 145mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
147144, 146eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
148 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
149 snfi 9083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {0} ∈ Fin
150 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
151 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ*
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
153118rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 π ∈ ℝ*
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → π ∈ ℝ*)
155 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
156155adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
157 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
158118renegcli 11570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ∈ ℝ
159158rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -π ∈ ℝ*
160 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 < π)
161159, 153, 160mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 < π)
162161adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < π)
163152, 154, 156, 157, 162eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
164 negpilt0 45292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -π < 0
165158, 67, 164ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ≤ 0
166 iooss1 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
167159, 165, 166mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
168167sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
169104reseq1i 5993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π))
170 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℝ
171 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
173 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
174133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
175 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
176 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
177151, 153, 176mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
178175, 173, 177ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
179118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
180120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
181168, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
182 pirp 26503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 π ∈ ℝ+
183 2timesgt 45300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 π < (2 · π)
185184, 131breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π < 𝑇
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
187173, 179, 180, 181, 186lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
188 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
189173, 174, 178, 187, 188syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
190189, 181eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
191190iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
192191mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
193169, 172, 1923eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
194193oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π)))
195 reelprrecn 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
197 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
198 tgioo4 24826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
199197, 198eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200199a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
201 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
202196, 200, 201dvmptconst 45930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
203202mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
204 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ℝ ⊆ ℝ
205 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ℝ ⊆ ℂ
206 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
207109, 205, 206mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝐹:ℝ⟶ℂ
208 dvresioo 45936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
209204, 207, 208mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
210194, 203, 2093eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
211210dmeqi 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
212 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
21389, 212dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (0(,)π)
214211, 213eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π)
215 ssdmres 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π))
216214, 215mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
217216sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
218168, 217elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
219 dmres 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
220218, 219eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
221163, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
222221adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
223159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π ∈ ℝ*)
224151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
225155ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
226 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
227159, 153, 226mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → -π < 𝑥)
228227ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π < 𝑥)
229 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ)
230 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0)
231230ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 0)
232 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → ¬ 0 < 𝑥)
233225, 229, 231, 232lttri5d 45311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 < 0)
234223, 224, 225, 228, 233eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
23567, 118, 68ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ≤ π
236 iooss2 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
237153, 235, 236mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
238237sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
239104reseq1i 5993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0))
240 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ⊆ ℝ
241 resmpt 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
242240, 241ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
243118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
244 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
245133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
246244, 245modcld 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
247244, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
248522timesi 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2 · π) = (π + π)
249110, 248eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 𝑇 = (π + π)
250249oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
251 negpicn 26504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -π ∈ ℂ
252251, 52, 52addassi 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
253252eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + (π + π)) = ((-π + π) + π)
25452negidi 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π + -π) = 0
25552, 251, 254addcomli 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + π) = 0
256255oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (0 + π)
25752addlidi 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0 + π) = π
258256, 257eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π + π) + π) = π
259250, 253, 2583eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π = (-π + 𝑇)
260259a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
261158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
262120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
263238, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
264261, 244, 262, 263ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
265260, 264eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
266243, 247, 265ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 + 𝑇))
267 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
268158, 120readdcli 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + 𝑇) ∈ ℝ
269268a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) ∈ ℝ)
27068a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
271270, 259breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (-π + 𝑇))
272267, 269, 247, 271, 264lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
273267, 247, 272ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
274244recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
275121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
276274, 275addcomd 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥))
277 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
278159, 151, 277mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
279 ltaddneg 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
280244, 120, 279sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
281278, 280mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)
282276, 281eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
283273, 282jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))
284 modid2 13938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
285247, 133, 284sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
286283, 285mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
287125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
288133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+)
289 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ)
290141, 288, 289, 136syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
291287, 290eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
292244, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
293286, 292eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
294266, 293breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
295243, 246, 294lensymd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
296295iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
297296mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
298239, 242, 2973eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
299298oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
300 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
301300, 198eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
302301a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
303201negcld 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ℂ)
304196, 302, 303dvmptconst 45930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
305304mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
306 dvresioo 45936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
307204, 207, 306mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
308299, 305, 3073eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
309308dmeqi 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
310 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
31189, 310dmmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (-π(,)0)
312309, 311eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
313 ssdmres 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0))
314312, 313mpbir 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
315314sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
316238, 315elind 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
317316, 219eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
318234, 317syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
319222, 318pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
320150, 319sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
321 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
322321adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
323320, 322condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 = 0)
324 velsn 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
325323, 324sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ {0})
326325ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}
327 ssfi 9213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({0} ∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}) → ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin)
328149, 326, 327mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin
329 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π)
330219, 329eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π)
331 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ⊆ ℂ
332330, 331sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ
333332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ)
334 dvf 25942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
335 fresin 6777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ)
336 ffdm 6765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))))
337334, 335, 336mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))
338337simpli 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
339338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ)
340159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π ∈ ℝ*)
341151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
342 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)π) ⊆ ℝ
343330sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
344342, 343sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
345344adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
346343, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
347346adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π < 𝑥)
348 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
349340, 341, 345, 347, 348eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
350 elun1 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
351349, 350syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
352 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
353 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ)
354344adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
355 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → ¬ 𝑥 < 0)
356353, 354, 355nltled 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ≤ 𝑥)
357 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
358 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
359204a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
360 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
361207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
362 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
363 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -∞ ∈ ℝ*
364363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
365362mnfltd 13166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ < 0)
366360, 364, 362, 365lptioo2 45646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)))
367 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-∞(,)0) ⊆ ℝ
369 dfss2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370368, 369mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371367, 370eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372371fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373366, 372eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 +∞ ∈ ℝ*
375374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
376362ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 < +∞)
377360, 362, 375, 376lptioo1 45647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)))
378 incom 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)+∞) ⊆ ℝ
380 dfss2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381379, 380mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382378, 381eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383382fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384377, 383eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
386 mnfle 13177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π ∈ ℝ* → -∞ ≤ -π)
387159, 386ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -∞ ≤ -π
388 iooss1 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
389363, 387, 388mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
391 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-∞(,)0) ⊆ ℂ
392390, 391sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ ℂ)
393 0cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
394385, 392, 303, 393constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0))
395 resabs1 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
396389, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
397298, 396eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0))
398397oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0)
399 fssres 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
400207, 368, 399mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ
401400a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
402391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (-∞(,)0) ⊆ ℂ)
403 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
404 0le0 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 ≤ 0
405 elioc2 13450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
406159, 67, 405mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))
40767, 164, 404, 406mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (-π(,]0)
408358cnfldtop 24804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
409 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-∞(,]0) ∈ V
410 resttop 23168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top)
411408, 409, 410mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top
412159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -π ∈ ℝ*)
413 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
414387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -∞ ≤ -π)
415364, 412, 362, 360, 413, 414, 362iocopn 45533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)))
416415mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
417198oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0))
418 iocssre 13467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
419363, 67, 418mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
420195elexi 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ℝ ∈ V
421 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
422408, 419, 420, 421mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
423417, 422eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
424416, 423eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
425 isopn3i 23090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0))
426411, 424, 425mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)
427 mnflt0 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -∞ < 0
428 ioounsn 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0))
429363, 151, 427, 428mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0)
430429eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0})
431430oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
432431fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))
433 ioounsn 13517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π < 0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0))
434159, 151, 164, 433mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)
435434eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0})
436432, 435fveq12i 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
437426, 436eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
438407, 437eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})))
440401, 390, 402, 358, 403, 439limcres 25921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
441440mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
442398, 441eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
443394, 442eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
444 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
445 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℂ
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
447444, 446, 201, 393constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0))
448 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π ∈ ℝ → π < +∞)
449 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (π < +∞ → π ≤ +∞))
450153, 374, 449mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π < +∞ → π ≤ +∞)
451118, 448, 450mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 π ≤ +∞
452 iooss2 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
453374, 451, 452mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)
454 resabs1 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π)))
455453, 454ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
456193, 455eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
457456oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0)
458 fssres 6774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
459207, 379, 458mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
461453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
462 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)+∞) ⊆ ℂ
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)+∞) ⊆ ℂ)
464 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
465 elico2 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π)))
46667, 153, 465mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π))
46767, 404, 68, 466mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (0[,)π)
468 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)+∞) ∈ V
469 resttop 23168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top)
470408, 468, 469mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top
471153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ∈ ℝ*)
472 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
473451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ≤ +∞)
474362, 471, 375, 360, 472, 473icoopn 45538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
475474mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
476198oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞))
477 rge0ssre 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
478 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
479408, 477, 420, 478mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
480476, 479eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
481475, 480eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
482 isopn3i 23090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π))
483470, 481, 482mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)
484 0ltpnf 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 0 < +∞
485 snunioo1 45525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞))
486151, 374, 484, 485mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞)
487486eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0})
488487oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
489488fveq2i 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))
490 snunioo1 45525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π))
491151, 153, 68, 490mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)
492491eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0})
493489, 492fveq12i 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
494483, 493eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
495467, 494eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})))
497460, 461, 463, 358, 464, 496limcres 25921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
498497mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
499457, 498eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
500447, 499eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 1 ∈ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
501 neg1lt0 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -1 < 0
502106, 67, 105lttri 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
503501, 34, 502mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 < 1
504106, 503ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -1 ≠ 1
505504a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ≠ 1)
506358, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505jumpncnp 45913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⊤ → ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
507506mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0)
508205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ)
509207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
510204a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ)
511 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
512219, 511eqsstri 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
513512sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514198, 358dvcnp2 25955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
515508, 509, 510, 513, 514syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
516507, 515mto 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
518357, 517eqneltrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
519518necon2ai 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ≠ 0)
520519adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ≠ 0)
521353, 354, 356, 520leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 < 𝑥)
522343, 163sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
523 elun2 4183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
525352, 521, 524syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
526351, 525pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
527 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)0) ∈ V
528 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ∈ V
529527, 528unipr 4924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪ (0(,)π))
530526, 529eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 {(-π(,)0), (0(,)π)})
531530ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)}
532531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)})
533 ineq2 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)))
534 retop 24782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
535 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ℝ D 𝐹) ∈ V
536535resex 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
537536dmex 7931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
538534, 537pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V)
539317ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
540 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)
541300, 539, 5403pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))
542 restopnb 23183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
543538, 541, 542mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
544300, 543mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
545 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0)
546539, 540ssini 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))
547545, 546eqssi 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
548198oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
549330, 342sstri 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ
550 restabs 23173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
551408, 549, 420, 550mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
552548, 551eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
553544, 547, 5523eltr4i 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
554533, 553eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
555554adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
556 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = (-π(,)0) → 𝑥 ≠ (-π(,)0))
557 elprn1 45648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠ (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
558556, 557sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
559 ineq2 4214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)))
560220ssriv 3987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
561 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ (0(,)π)
562197, 560, 5613pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))
563 restopnb 23183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
564538, 562, 563mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
565197, 564mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
566 inss2 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π)
567560, 561ssini 4240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π))
568566, 567eqssi 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π)
569565, 568, 5523eltr4i 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
570559, 569eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
571558, 570syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
572555, 571pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
573572adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
574 ssid 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℂ ⊆ ℂ
575574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
576392, 393, 575constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
577576mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
579 reseq2 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)))
580 resabs1 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
581237, 580ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
582581, 308eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
583579, 582eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
584533, 547eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (-π(,)0))
585584oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ))
586578, 583, 5853eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
587586adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
588446, 393, 575constcncfg 45887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
589588mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)
590589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
591 reseq2 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)))
592 resabs1 6024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
593167, 592ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
594593, 210eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
595591, 594eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
596559, 568eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (0(,)π))
597596oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ))
598590, 595, 5973eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
599558, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
600587, 599pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
601600adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
602333, 339, 532, 573, 601cncfuni 45901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ))
603602mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)
604 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) = (-π(,)+∞))
605604reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)))
606 iooss2 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞))
607374, 451, 606mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)
608 resabs2 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
609607, 608ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
610605, 609eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
611 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → 𝑥 = -π)
612610, 611oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
613251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → -π ∈ ℂ)
614310, 392, 393, 613constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π))
615614mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π)
616308oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π)
617334a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
618158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ∈ ℝ)
619151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
620164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π < 0)
621314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
622235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ≤ π)
623617, 618, 619, 620, 621, 471, 622limcresioolb 45658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
624623mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
625616, 624eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
626615, 625eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
627626ne0ii 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅)
629612, 628eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
630629adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
631 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
632159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ*)
633153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → π ∈ ℝ*)
634 icossre 13468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
635158, 153, 634mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,)π) ⊆ ℝ
636635sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
637636adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ℝ)
638158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ)
639 icogelb 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → -π ≤ 𝑥)
640159, 153, 639mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → -π ≤ 𝑥)
641640adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ≤ 𝑥)
642 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π)
643642adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ≠ -π)
644638, 637, 641, 643leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π < 𝑥)
645 icoltub 45521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → 𝑥 < π)
646159, 153, 645mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 < π)
647646adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 < π)
648632, 633, 637, 644, 647eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
649631, 648sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
650 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
651650adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
652649, 651eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
653 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) = (0(,)+∞))
654653reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)))
655654, 357oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
656212, 446, 393, 393constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0))
657656mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0)
658 resres 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)))
659 iooin 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)))
660159, 153, 151, 374, 659mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞))
661165iftruei 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ 0, 0, -π) = 0
662451iftruei 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ +∞, π, +∞) = π
663661, 662oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) = (0(,)π)
664660, 663eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π)
665664reseq2i 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
666210eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
667658, 665, 6663eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))
668667oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
669657, 668eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
670669ne0ii 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅)
672655, 671eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
673652, 323, 6723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
674630, 673pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
675 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)π))
676675reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)))
677 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
678676, 677oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π))
679 iooss1 13422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π))
680363, 387, 679mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)
681 resabs2 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
682680, 681ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
683682oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
684678, 683eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
685212, 446, 393, 53constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π))
686685mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π)
687210oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π)
688118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → π ∈ ℝ)
68968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 < π)
690216a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
691165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ≤ 0)
692617, 619, 688, 689, 690, 412, 691limcresiooub 45657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
693692mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
694687, 693eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
695686, 694eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
696695ne0ii 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅
697696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅)
698684, 697eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
699698adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
700159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈ ℝ*)
701153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ*)
702 negpitopissre 26582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,]π) ⊆ ℝ
703 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
704702, 703sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ ℝ)
705704adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ)
706159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*)
707153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → π ∈ ℝ*)
708 iocgtlb 45515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → -π < 𝑥)
709706, 707, 703, 708syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π < 𝑥)
710709adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥)
711118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ)
712 iocleub 45516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → 𝑥 ≤ π)
713706, 707, 703, 712syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ≤ π)
714713adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π)
715 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π = 𝑥 → π = 𝑥)
716715eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π = 𝑥𝑥 = π)
717716necon3bi 2967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = π → π ≠ 𝑥)
718717adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥)
719705, 711, 714, 718leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π)
720700, 701, 705, 710, 719eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
721 eldifn 4132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
722721adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
723720, 722eldifd 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
724 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)0))
725724reseq2d 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)))
726725, 357oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
727310, 392, 393, 393constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0))
728727mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0)
729 resres 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)))
730 iooin 13421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)))
731159, 153, 363, 151, 730mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))
732 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (-π ∈ ℝ → -∞ < -π)
733158, 732ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -∞ < -π
734 xrltnle 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈ ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞))
735363, 159, 734mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞)
736733, 735mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ -π ≤ -∞
737736iffalsei 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ -∞, -∞, -π) = -π
738 xrltnle 11328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0))
739151, 153, 738mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0)
74068, 739mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ π ≤ 0
741740iffalsei 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ 0, π, 0) = 0
742737, 741oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) = (-π(,)0)
743731, 742eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0)
744743reseq2i 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
745308eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
746729, 744, 7453eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))
747746oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
748728, 747eleqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
749748ne0ii 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅
750749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅)
751726, 750eqnetrd 3008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
752723, 323, 7513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
753699, 752pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
754 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755 ioosscn 13449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ
756755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
757 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ℂ)
75823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ)
759754, 756, 757, 758constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
760 ioossioc 45505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ (0(,]π)
761760sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
762761iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
763207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
764 modcl 13913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
76522, 133, 764mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
76622, 765resubcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767766rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768767a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
76922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
770 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772151, 153, 771mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773770, 772elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774769, 773ltsubrpd 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
776775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
777363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈ ℝ*)
778 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
779 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
780363, 767, 779mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
781766, 778, 780mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))
782781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
783763, 768, 769, 774, 776, 777, 782limcresiooub 45657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
784 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
785151, 153, 784mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
786207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
787775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
788786, 787feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
789 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
790789, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
791790adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
792789adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
793133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
794792, 793modcld 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
795765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
79722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
798133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
799 ioossico 13478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800799sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801797, 798, 800ltmod 45653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802801adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
804794, 795, 796, 802, 803lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
805804iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
806791, 805eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
807806mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808788, 807eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809785, 808syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810809oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
811783, 810eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
812759, 762, 8113eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
813 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
814 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ
815814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
816815, 205sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℂ)
81723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℂ)
818813, 816, 303, 817constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
819818mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋)
820819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
821 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822 lbioc 45526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 0 ∈ (0(,]π)
823822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈ (0(,]π))
824821, 823eqneltrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
825824iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
826207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
827814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
828826, 827feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
829827sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
830829, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
831118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
832133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
833829, 832modcld 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
83422, 118resubcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 − π) ∈ ℝ
835834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ)
836120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
837835, 836readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ)
838 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
839838, 836readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
84022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
841834rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 − π) ∈ ℝ*
842841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
843840rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
844 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
845 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥)
846842, 843, 844, 845syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥)
847835, 838, 836, 846ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
848837, 839, 840, 847ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
849848adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
850249oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π + π))
85152, 52addcli 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π + π) ∈ ℂ
852 subadd23 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π)))
85323, 52, 851, 852mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π))
85452, 52pncan3oi 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π + π) − π) = π
855854oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 + ((π + π) − π)) = (𝑋 + π)
856850, 853, 8553eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π)
857856oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋)
858 pncan2 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝑋 + π) − 𝑋) = π)
85923, 52, 858mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋 + π) − 𝑋) = π
860857, 859eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
861860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
862839, 840resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
863 modabs2 13945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
864862, 133, 863sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
865133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
866 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
867837, 840resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
86868, 860breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
869868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
870866, 867, 862, 869, 848lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
871866, 862, 870ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
872840, 836readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
874842, 843, 844, 873syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
875838, 840, 836, 874ltadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876839, 872, 840, 875ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋))
877 pncan2 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇)
87823, 121, 877mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇
879876, 878breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)
880 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
881862, 865, 871, 879, 880syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
882864, 881eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883882adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885884adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886862, 865modcld 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887886recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ)
888887addridd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
889888adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
890885, 889eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891890oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892 modaddabs 13949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893862, 840, 865, 892syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894893adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895883, 891, 8943eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896143recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
89723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
898896, 897npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇))
899122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑇) = 𝑇)
900899oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇))
901898, 900eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇)))
902901oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
903838, 902syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
904903adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
905 1zzd 12648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
906829, 832, 905, 136syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
907895, 904, 9063eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
908849, 861, 9073brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
909831, 833, 908ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
910831, 833, 909lensymd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
911910iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
912830, 911eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
913912mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1))
914828, 913eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
915914oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
916841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
91722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
918 ltsubrp 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋)
91922, 182, 918mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 − π) < 𝑋
920919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) < 𝑋)
921 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − π))
922 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π)))
923363, 841, 922mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))
924834, 921, 923mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -∞ ≤ (𝑋 − π)
925924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → -∞ ≤ (𝑋 − π))
926361, 916, 917, 920, 815, 364, 925limcresiooub 45657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
927926mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
928915, 927eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
929820, 825, 9283eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
930929adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
931153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
932120rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ∈ ℝ*
933932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
934765rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
937765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938 pm4.56 991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939938biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940 olc 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941940adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈ ℝ*)
943153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈ ℝ*)
944765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ)
946765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947 modge0 13919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
94822, 133, 947mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
949948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
950 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
951945, 946, 949, 950leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952951adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
954942, 943, 944, 952, 953eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π))
955954orcd 874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956941, 955pm2.61dane 3029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957939, 956nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
958936, 937, 957nltled 11411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
959 modlt 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
96022, 133, 959mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962931, 933, 935, 958, 961elicod 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
963 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
964963, 816, 201, 817constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
965964mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋)
966965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
967 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
968 ubioc1 13440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → π ∈ (0(,]π))
969151, 153, 68, 968mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ (0(,]π)
970967, 969eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
971970iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
972361, 815feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
973972mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
974838, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
975974adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
976 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
977967eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇))
978977oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
979978oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980979adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981976, 980eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982981, 801syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
984982, 983breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
985984iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
986975, 985eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
987986mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1))
988973, 987eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
989988oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
990989, 927eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
991966, 971, 9903eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
992991adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
993153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ*)
994932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
995765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ)
997 icogelb 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
998153, 932, 997mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
999998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1000 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
10011000adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1002996, 995, 999, 1001leneltd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1003960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004993, 994, 995, 1002, 1003eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
1005 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
10071006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
10081007, 205sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
1009 neg1cn 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ ℂ
10101009a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ)
101123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
10121005, 1008, 1010, 1011constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
1013151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
1014118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1015934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1017153, 932, 1016mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
10181013, 1014, 1015, 1017gtnelioc 45504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
10191018iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
10201006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1021361, 1020feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
10221021mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
1023 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
10241023, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
10251024adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1026118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
1027133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
10281023, 1027modcld 13915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10291028adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
103022, 118readdcli 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 + π) ∈ ℝ
10311030recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + π) ∈ ℂ
10321031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ)
103323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
1034765recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ
10351034a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ)
10361032, 1033, 1035nnncan2d 11655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋))
10371036, 859eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10381030, 765resubcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
10411038rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
104322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
10441043rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1045 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10471042, 1044, 1045, 1046syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10481039, 1023, 1040, 1047ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10491037, 1048eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10501023recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051 sub31 45302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10521050, 1033, 1035, 1051syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10531049, 1052breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10541053adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10551043, 1023resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
1056 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1057 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
10581042, 1044, 1045, 1057syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
10591023, 1043posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋𝑥)))
10601058, 1059mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋𝑥))
10611056, 1055, 1060ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋𝑥))
10621043, 1039resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
10641039, 1023, 1043, 1047ltsub2dd 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1065 sub31 45302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)))
106623, 1031, 1034, 1065mp3an 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))
1067859oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
10681066, 1067eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1069 ltsubrp 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇))
1070765, 182, 1069mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)
1071765, 118resubcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈ ℝ
10721071, 765, 120lttri 11387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇)
10731070, 960, 1072mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇
10741068, 1073eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10751074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10761055, 1062, 1063, 1064, 1075lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < 𝑇)
1077 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑋𝑥) ∧ (𝑋𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10781055, 1027, 1061, 1076, 1077syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10791078oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10801079oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
1081765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10821081, 1055resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
1083118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈ ℝ)
10841052, 1082eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
108568a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π)
10861056, 1083, 1084, 1085, 1049lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10871086, 1052breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10881056, 1082, 1087ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10891043, 1040resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
10901023, 1043, 1040, 1058ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1091 nncan 11538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
109223, 1034, 1091mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
10931092, 960eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10941093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10951084, 1089, 1063, 1090, 1094lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10961052, 1095eqbrtrrd 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)
1097 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10981082, 1027, 1088, 1096, 1097syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10991080, 1098eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100 modsubmodmod 13971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11011043, 1055, 1027, 1100syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11021033, 1050nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋𝑥)) = 𝑥)
11031102oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
11041099, 1101, 11033eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11051104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11061054, 1105breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11071017, 1106sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11081026, 1029, 1107ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
11091026, 1029, 1108lensymd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
11101109iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
11111025, 1110eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
11121111mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
11131022, 1112eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
11141113oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋))
1115207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11161041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
111722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1118 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119 ltaddsublt 11890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11201117, 1014, 1118, 1119syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11211017, 1120mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈ ℝ*)
1123 mnflt 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1124 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1125363, 1041, 1124mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11261038, 1123, 1125mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))
11271126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11281115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127limcresiooub 45657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11291114, 1128eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
11301012, 1019, 11293eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11311004, 1130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1132992, 1131pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1133962, 1132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1134930, 1133pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1135812, 1134pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1136 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
11381137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
11391138, 205sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
11401136, 1139, 201, 817constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
11411140mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋)
11421141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
1143104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
1144 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
11451144breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
11461145ifbid 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11471146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
1149105, 106ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
11501149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
11511143, 1147, 1148, 1150fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1152 icoltub 45521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1153151, 153, 1152mp3an12 1453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
11541153iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
11551151, 1154eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = 1)
1156361, 1138feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
11571156mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1158 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11591158, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11601159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
11621158, 1161resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1163133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1164 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
11651161rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1166118, 765resubcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
116722, 1166readdcli 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
11681167rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
11691168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))
1171 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
11721165, 1169, 1170, 1171syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
11731161, 1158posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
11741172, 1173mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
11751164, 1162, 1174ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
1176118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈ ℝ)
1177120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11781167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
11791178, 1161resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1180 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11811165, 1169, 1170, 1180syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11821158, 1178, 1161, 1181ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
11831166recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1184 pncan2 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)))
118523, 1183, 1184mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))
1186 subge02 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π))
1187118, 765, 1186mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)
1188948, 1187mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π
11891185, 1188eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π
11901189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π)
11911162, 1179, 1176, 1182, 1190ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < π)
1192185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇)
11931162, 1176, 1177, 1191, 1192lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
1194 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11951162, 1163, 1175, 1193, 1194syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11961195oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
11971196oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1198765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
11991198, 1162readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
12001161, 1161resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) ∈ ℝ)
12011198, 1200readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) ∈ ℝ)
120223subidi 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋𝑋) = 0
12031202oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
12041034addridi 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
12051203, 1204eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
1206948, 1205breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
12071206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)))
12081161, 1158, 1161, 1172ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) < (𝑥𝑋))
12091200, 1162, 1198, 1208ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12101164, 1201, 1199, 1207, 1209lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12111164, 1199, 1210ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12121162, 1179, 1198, 1182ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
12131185oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12141034, 52pncan3i 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π
12151213, 1214eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π
12161212, 1215breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12171199, 1176, 1177, 1216, 1192lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
1218 modid 13936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12191199, 1163, 1211, 1217, 1218syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12201197, 1219eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221 modaddabs 13949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
12221161, 1162, 1163, 1221syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
122323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
12241158recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
12251223, 1224pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
12261225oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
12271220, 1222, 12263eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12281227adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12291216adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12301228, 1229eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12311153, 1230sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12321231iftrued 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
12331160, 1232eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = 1)
12341233mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
12351157, 1234eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))))
12361235oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1237207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
12381168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
12391166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ)
12421240, 1241posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12431153, 1242mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12441239, 1243elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
12451148, 1244ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12461137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1247374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈ ℝ*)
1248 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
12501168, 374, 1249mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12511167, 1248, 1250mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
12521251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12531237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252limcresioolb 45658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12541236, 1253eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
12551142, 1155, 12543eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1256153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ*)
1257932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
1258934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈ ℝ*)
1260153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → π ∈ ℝ*)
1261934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1263765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈ ℝ)
12651263, 1264ltnled 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)))
12661265ibir 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12671266adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12681259, 1260, 1261, 1262, 1267elicod 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1269 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
12701268, 1269condan 818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1271960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
12721256, 1257, 1258, 1270, 1271elicod 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
1273 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
12751274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
12761275, 205sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
12771273, 1276, 303, 817constlimc 45639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
12781277mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋)
12791278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
1280 1ex 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ V
1281106elexi 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ V
12821280, 1281ifex 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
12831146, 104, 1282fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
128422, 1283ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
12851284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1286118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1287765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
12881286, 1287, 998lensymd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
12891288iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
12901285, 1289eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
1291361, 1275feqresmpt 6978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
12921291mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1293 elioore 13417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12941293, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
12951294adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1296118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈ ℝ)
129722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12981293, 1297resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1299133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1300 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
13011297rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1302120, 765resubcli 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
130322, 1302readdcli 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
13041303rexri 11319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
13051304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))
1307 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
13081301, 1305, 1306, 1307syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
13091297, 1293posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
13101308, 1309mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
13111300, 1298, 1310ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
13121303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
13131312, 1297resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1315 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13161301, 1305, 1306, 1315syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13171293, 1312, 1297, 1316ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
13181302recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1319 pncan2 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
132023, 1318, 1319mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))
1321 subge02 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇))
1322120, 765, 1321mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)
1323948, 1322mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇
13241320, 1323eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇
13251324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇)
13261298, 1313, 1314, 1317, 1325ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
13271298, 1299, 1311, 1326, 1194syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
13281327oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13291328oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1330 readdcl 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1331765, 1298, 1330sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1332765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13341332, 1298, 1333, 1310addgegt0d 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13351300, 1331, 1334ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13361298, 1313, 1332, 1317ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
13371320oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13381034, 121pncan3i 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
13391337, 1338eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇
13401336, 1339breqtrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
13411331, 1299, 1335, 1340, 1218syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13421329, 1341eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
13431297, 1298, 1299, 1221syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
134423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
13451293recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13461344, 1345pncan3d 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
13471346oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
13481342, 1343, 13473eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13491348adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13501331adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
13511349, 1350eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353998adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13541298, 1310elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ+)
13551332, 1354ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13561355adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13571296, 1352, 1350, 1353, 1356lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13581296, 1350, 1357ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13591358, 1349breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
13601296, 1351, 1359lensymd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
13611360iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
13621295, 1361eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = -1)
13631362mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
13641292, 1363eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))))
13651364oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1366207a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
136722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
13681304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
13691302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1370960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1371120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
13721287, 1371posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13731370, 1372mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13741369, 1373elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
13751367, 1374ltaddrpd 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13761274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1377374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → +∞ ∈ ℝ*)
1378 ltpnf 13162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1379 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
13801304, 374, 1379mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13811303, 1378, 1380mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
13821381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13831366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382limcresioolb 45658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13841365, 1383eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
13851279, 1290, 13843eltr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13861272, 1385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13871255, 1386pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
1388 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
1389110, 104, 1388sqwvfoura 46243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
13901389eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13911390mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1393110, 104, 1392sqwvfourb 46244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
13941393eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13951394mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1396 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1397 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1398 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)
13991398fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14001396, 1397, 1399syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14011400oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
140274coscld 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
14031402mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14041401, 1403eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1405 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 / (𝑛 · π)) ∈ V
140689, 1405ifex 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V
1407 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14081407fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14091406, 1408mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14101409oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14111404, 1410oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
141260, 72ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ ℂ)
14131412, 75mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
14141413addlidd 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1415 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = 0)
14161415oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
141775mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14181416, 1417sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1419 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = 0)
14201419eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14211420adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14221418, 1421eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1423 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (4 / (𝑛 · π)))
14241423oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14251424adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1426 iffalse 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14271426eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14281427adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14291425, 1428eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14301422, 1429pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14311411, 1414, 14303eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14321431mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1433109, 110, 147, 148, 328, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432fourierclim 46239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2))
1434 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
1435 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
14361435, 1398, 89fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0)
14371434, 1436ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0
14381437oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = (0 / 2)
143928recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
144067, 129gtneii 11373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
14411439, 1440div0i 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
14421438, 1441eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = 0
14431442oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0)
1444201mptru 1547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14451444, 1009ifcli 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ℂ
14461149recni 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ
14471284, 1446eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑋) ∈ ℂ
14481445, 1447addcli 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) ∈ ℂ
14491448, 1439, 1440divcli 12009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∈ ℂ
14501449subid1i 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14511443, 1450eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14521433, 1451breqtri 5168 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14531452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
145479, 103, 1453sumnnodd 45645 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))))
14551454mptru 1547 . . . . . . . . . . . 12 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))
14561455simpli 483 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
1457 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1)))
1458 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑘) − 1) · π))
14591458oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)))
1460 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
14611460fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
14621459, 1461oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14631457, 1462ifbieq2d 4552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
14641463adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1465 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) − 1)))
146620, 48, 1465sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ)
1467 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) ∈ V
146889, 1467ifex 4576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V
14691468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V)
147080, 1464, 1466, 1469fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1471 dvdsmul1 16315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147215, 17, 1471sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147318zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
1474 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14751473, 1474npcand 11624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
14761475eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
14771472, 1476breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
1478 oddp1even 16381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
147920, 1478syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
14801477, 1479mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1))
14811480iffalsed 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
148252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
148321, 1482mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) − 1)))
14841483oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
148554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
148669a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0)
14871485, 1482, 21, 1486, 49divdiv1d 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
14881484, 1487eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)))
14891488oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14901485, 1482, 1486divcld 12043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
14911490, 21, 26, 49div32d 12066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14921489, 1491eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14931470, 1481, 14923eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14941493mpteq2ia 5245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1495 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
14961495oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑛) − 1))
14971496oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋))
14981497fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)))
14991498, 1496oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
15001499oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15011500cbvmptv 5255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15021494, 1501eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1503 seqeq3 14047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))))
15041502, 1503ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1505 fouriersw.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
1506110, 104, 22, 1505fourierswlem 46245 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
15071506eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = 𝑌
15081456, 1504, 15073brtr3i 5172 . . . . . . . . . 10 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌
15091508a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌)
1510 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
151161, 65, 70divcld 12043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
15121439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15131512, 62mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1514 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1515 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
15161514, 1515subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15171513, 1516syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15181517, 73mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
15191518sincld 16166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
152028a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1521 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
15221520, 1521remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15231522recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1524 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15251523, 1524subcld 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1526 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
152735, 1520eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
1528 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
15291528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2)
15301529, 35breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 1))
153143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
1532 nnge1 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
15331526, 1521, 1520, 1531, 1532lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑛))
15341526, 1527, 1522, 1530, 1533ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑛))
15351526, 1534gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 1)
15361523, 1524, 1535subne0d 11629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ≠ 0)
15371519, 1525, 1536divcld 12043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) ∈ ℂ)
15381511, 1537mulcld 11281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) ∈ ℂ)
15391510, 1538fmpti 7132 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ
15401539a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ)
15411540ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
1542 divcan6 11974 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((π / 4) · (4 / π)) = 1)
154352, 69, 54, 56, 1542mp4an 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 4) · (4 / π)) = 1
15441543eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((π / 4) · (4 / π))
15451544oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154650mullidd 11279 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
15481482, 1485, 1547divcld 12043 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (π / 4) ∈ ℂ)
15491548, 1490, 50mulassd 11284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15501545, 1546, 15493eqtr3a 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1551 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15528oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15531552adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15541492, 1467eqeltrrdi 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) ∈ V)
15551551, 1553, 10, 1554fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15561555oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15571556eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
155813, 1550, 15573eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15591558adantl 481 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15601, 2, 58, 1509, 1541, 1559isermulc2 15694 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
1561 climrel 15528 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
15621561releldmi 5959 . . . . . . . 8 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15631560, 1562syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15641, 2, 14, 51, 1563isumclim2 15794 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15651564mptru 1547 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))
15661560mptru 1547 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
1567 climuni 15588 . . . . 5 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌))
15681565, 1566, 1567mp2an 692 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌)
15691568oveq2i 7442 . . 3 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
157054, 52, 69divcli 12009 . . . 4 (4 / π) ∈ ℂ
157152, 54, 56divcli 12009 . . . 4 (π / 4) ∈ ℂ
15721284, 1149eqeltri 2837 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ∈ ℝ
157367, 1572ifcli 4573 . . . . . 6 if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) ∈ ℝ
15741505, 1573eqeltri 2837 . . . . 5 𝑌 ∈ ℝ
15751574recni 11275 . . . 4 𝑌 ∈ ℂ
15761570, 1571, 1575mulassi 11272 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
15771571, 1570, 1543mulcomli 11270 . . . . 5 ((4 / π) · (π / 4)) = 1
15781577oveq1i 7441 . . . 4 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = (1 · 𝑌)
15791575mullidi 11266 . . . 4 (1 · 𝑌) = 𝑌
15801578, 1579eqtri 2765 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = 𝑌
15811569, 1576, 15803eqtr2i 2771 . 2 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌
1582 fouriersw.z . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
1583 seqeq3 14047 . . . 4 (𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15841582, 1583ax-mp 5 . . 3 seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15851584, 1566eqbrtri 5164 . 2 seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
15861581, 1585pm3.2i 470 1 (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  4c4 12323  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389   mod cmo 13909  seqcseq 14042  cli 15520  Σcsu 15722  sincsin 16099  cosccos 16100  πcpi 16102  cdvds 16290  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Topctop 22899  intcnt 23025  limPtclp 23142   CnP ccnp 23233  cnccncf 24902  citg 25653   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-symdif 4253  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-itg 25658  df-0p 25705  df-ditg 25882  df-limc 25901  df-dv 25902
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