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Theorem fouriersw 44462
Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriersw.t 𝑇 = (2 · π)
fouriersw.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fouriersw.x 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
fouriersw.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fouriersw (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑋,𝑛   𝑥,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
4 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
54oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1))
65oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
76fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
87, 5oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
98adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
11 ovex 7390 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V)
133, 9, 10, 12fvmptd 6955 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
17 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
19 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
2120zcnd 12608 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
22 fouriersw.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ ℝ
2322recni 11169 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 11175 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
2625sincld 16012 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
27 0red 11158 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
28 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 1red 11156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
3231, 30resubcld 11583 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ∈ ℝ)
3320zred 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℝ)
34 0lt1 11677 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
35 2t1e2 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
3635oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
37 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
3836, 37eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((2 · 1) − 1)
3934, 38breqtri 5130 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((2 · 1) − 1)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 1) − 1))
4118zred 12607 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
42 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
43 0le2 12255 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
45 nnge1 12181 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
4630, 42, 29, 44, 45lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑘))
4731, 41, 30, 46lesub1dd 11771 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1))
4827, 32, 33, 40, 47ltletrd 11315 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑘) − 1))
4927, 48gtned 11290 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ≠ 0)
5026, 21, 49divcld 11931 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
5150adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
52 picn 25816 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → π ∈ ℂ)
54 4cn 12238 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
56 4ne0 12261 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ≠ 0)
5853, 55, 57divcld 11931 . . . . . . . . 9 (⊤ → (π / 4) ∈ ℂ)
59 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
60 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
62 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
63 mulcl 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6462, 52, 63sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
66 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
67 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
68 pipos 25817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
6967, 68gtneii 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
7162, 65, 66, 70mulne0d 11807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠ 0)
7261, 64, 71divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / (𝑛 · π)) ∈ ℂ)
7323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
7574sincld 16012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
7672, 75mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
7760, 76ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
7859, 77fmpti 7060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ)
80 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
81 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘))
82 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
8382oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π)))
84 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
8584fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
8683, 85oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
8781, 86ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
89 c0ex 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
90 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ V
9189, 90ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
9380, 88, 10, 92fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
95 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (𝑘 / 2) ∈ ℕ)
96 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
97 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
98 nndivdvds 16145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
9996, 97, 98sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
10095, 99mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∥ 𝑘)
101100iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = 0)
10294, 101eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
1031023adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
104 fouriersw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
105 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
106105renegcli 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℝ
107105, 106ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
109104, 108fmpti 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:ℝ⟶ℝ
110 fouriersw.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (2 · π)
111 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112111breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π))
113112ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114113cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
115104, 114eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
117 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇))
118 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π ∈ ℝ
11928, 118remulcli 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · π) ∈ ℝ
120110, 119eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑇 ∈ ℝ
121120recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 ∈ ℂ
122121mulid2i 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 · 𝑇) = 𝑇
123122eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑇 = (1 · 𝑇)
124123oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
125124oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
126117, 125eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
127126adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
128 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
129 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 2
13028, 118, 129, 68mulgt0ii 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < (2 · π)
131110eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · π) = 𝑇
132130, 131breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 𝑇
133120, 132elrpii 12918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 ∈ ℝ+
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
135 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ)
136 modcyc 13811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
137128, 134, 135, 136syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
138127, 137eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
139138breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π))
140139ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
142120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
144116, 140, 143, 108fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
145104fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
146107, 145mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
147144, 146eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
148 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
149 snfi 8988 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {0} ∈ Fin
150 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
151 0xr 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ*
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
153118rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 π ∈ ℝ*
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → π ∈ ℝ*)
155 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
156155adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
157 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
158118renegcli 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ∈ ℝ
159158rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -π ∈ ℝ*
160 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 < π)
161159, 153, 160mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 < π)
162161adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < π)
163152, 154, 156, 157, 162eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
164 negpilt0 43504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -π < 0
165158, 67, 164ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ≤ 0
166 iooss1 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
167159, 165, 166mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
168167sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
169104reseq1i 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π))
170 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℝ
171 resmpt 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
173 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
174133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
175 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
176 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
177151, 153, 176mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
178175, 173, 177ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
179118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
180120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
181168, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
182 pirp 25818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 π ∈ ℝ+
183 2timesgt 43512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 π < (2 · π)
185184, 131breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π < 𝑇
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
187173, 179, 180, 181, 186lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
188 modid 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
189173, 174, 178, 187, 188syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
190189, 181eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
191190iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
192191mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
193169, 172, 1923eqtrri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
194193oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π)))
195 reelprrecn 11143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
197 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
198 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
199198tgioo2 24166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200197, 199eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
202 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
203196, 201, 202dvmptconst 44146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
204203mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
205 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ℝ ⊆ ℝ
206 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ℝ ⊆ ℂ
207 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
208109, 206, 207mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝐹:ℝ⟶ℂ
209 dvresioo 44152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
210205, 208, 209mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
211194, 204, 2103eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
212211dmeqi 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
213 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
21489, 213dmmpti 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (0(,)π)
215212, 214eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π)
216 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π))
217215, 216mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
218217sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
219168, 218elind 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
220 dmres 5959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
221219, 220eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
222163, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
223222adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
224159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π ∈ ℝ*)
225151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
226155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
227 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
228159, 153, 227mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → -π < 𝑥)
229228ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π < 𝑥)
230 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ)
231 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0)
232231ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 0)
233 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → ¬ 0 < 𝑥)
234226, 230, 232, 233lttri5d 43523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 < 0)
235224, 225, 226, 229, 234eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
23667, 118, 68ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ≤ π
237 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
238153, 236, 237mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
239238sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
240104reseq1i 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0))
241 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ⊆ ℝ
242 resmpt 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
243241, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
244118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
245 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
246133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
247245, 246modcld 13780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
248245, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
249522timesi 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2 · π) = (π + π)
250110, 249eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 𝑇 = (π + π)
251250oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
252 negpicn 25819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -π ∈ ℂ
253252, 52, 52addassi 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
254253eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + (π + π)) = ((-π + π) + π)
25552negidi 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π + -π) = 0
25652, 252, 255addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + π) = 0
257256oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (0 + π)
25852addid2i 11343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0 + π) = π
259257, 258eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π + π) + π) = π
260251, 254, 2593eqtrri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π = (-π + 𝑇)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
262158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
263120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
264239, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
265262, 245, 263, 264ltadd1dd 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
266261, 265eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
267244, 248, 266ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 + 𝑇))
268 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
269158, 120readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + 𝑇) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) ∈ ℝ)
27168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
272271, 260breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (-π + 𝑇))
273268, 270, 248, 272, 265lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
274268, 248, 273ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
275245recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
276121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
277275, 276addcomd 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥))
278 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
279159, 151, 278mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
280 ltaddneg 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
281245, 120, 280sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
282279, 281mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)
283277, 282eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
284274, 283jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))
285 modid2 13803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
286248, 133, 285sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
287284, 286mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
288125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
289133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+)
290 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ)
291141, 289, 290, 136syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
292288, 291eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
293245, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
294287, 293eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
295267, 294breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
296244, 247, 295lensymd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
297296iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
298297mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
299240, 243, 2983eqtrri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
300299oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
301 iooretop 24129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
302301, 199eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
303302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
304202negcld 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ℂ)
305196, 303, 304dvmptconst 44146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
306305mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
307 dvresioo 44152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
308205, 208, 307mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
309300, 306, 3083eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
310309dmeqi 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
311 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
31289, 311dmmpti 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (-π(,)0)
313310, 312eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
314 ssdmres 5960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0))
315313, 314mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
316315sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
317239, 316elind 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
318317, 220eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
319235, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
320223, 319pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
321150, 320sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
322 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
323322adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
324321, 323condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 = 0)
325 velsn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
326324, 325sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ {0})
327326ssriv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}
328 ssfi 9117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({0} ∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}) → ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin)
329149, 327, 328mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin
330 inss1 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π)
331220, 330eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π)
332 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ⊆ ℂ
333331, 332sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ)
335 dvf 25271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
336 fresin 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ)
337 ffdm 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))))
338335, 336, 337mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))
339338simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
340339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ)
341159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π ∈ ℝ*)
342151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
343 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)π) ⊆ ℝ
344331sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
345343, 344sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
346345adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
347344, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
348347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π < 𝑥)
349 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
350341, 342, 346, 348, 349eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
351 elun1 4136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
352350, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
353 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
354 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ)
355345adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
356 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → ¬ 𝑥 < 0)
357354, 355, 356nltled 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ≤ 𝑥)
358 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
359205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
360 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
361208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
362 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
363 mnfxr 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -∞ ∈ ℝ*
364363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
365362mnfltd 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ < 0)
366360, 364, 362, 365lptioo2 43862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)))
367 incom 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-∞(,)0) ⊆ ℝ
369 df-ss 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370368, 369mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371367, 370eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372371fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373366, 372eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374 pnfxr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 +∞ ∈ ℝ*
375374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
376362ltpnfd 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 < +∞)
377360, 362, 375, 376lptioo1 43863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)))
378 incom 4161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)+∞) ⊆ ℝ
380 df-ss 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381379, 380mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382378, 381eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383382fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384377, 383eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
386 mnfle 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π ∈ ℝ* → -∞ ≤ -π)
387159, 386ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -∞ ≤ -π
388 iooss1 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
389363, 387, 388mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
391 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-∞(,)0) ⊆ ℂ
392390, 391sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ ℂ)
393 0cnd 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
394385, 392, 304, 393constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0))
395 resabs1 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
396389, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
397299, 396eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0))
398397oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0)
399 fssres 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
400208, 368, 399mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ
401400a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
402391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (-∞(,)0) ⊆ ℂ)
403 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
404 0le0 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 ≤ 0
405 elioc2 13327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
406159, 67, 405mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))
40767, 164, 404, 406mpbir3an 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (-π(,]0)
408198cnfldtop 24147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
409 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-∞(,]0) ∈ V
410 resttop 22511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top)
411408, 409, 410mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top
412159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -π ∈ ℝ*)
413 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
414387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -∞ ≤ -π)
415364, 412, 362, 360, 413, 414, 362iocopn 43748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)))
416415mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
417199oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0))
418 iocssre 13344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
419363, 67, 418mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
420195elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ℝ ∈ V
421 restabs 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
422408, 419, 420, 421mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
423417, 422eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
424416, 423eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
425 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0))
426411, 424, 425mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)
427 mnflt0 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -∞ < 0
428 ioounsn 13394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0))
429363, 151, 427, 428mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0)
430429eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0})
431430oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
432431fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))
433 ioounsn 13394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π < 0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0))
434159, 151, 164, 433mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)
435434eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0})
436432, 435fveq12i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
437426, 436eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
438407, 437eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})))
440401, 390, 402, 198, 403, 439limcres 25250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
441440mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
442398, 441eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
443394, 442eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
444 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
445 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℂ
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
447444, 446, 202, 393constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0))
448 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π ∈ ℝ → π < +∞)
449 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (π < +∞ → π ≤ +∞))
450153, 374, 449mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π < +∞ → π ≤ +∞)
451118, 448, 450mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 π ≤ +∞
452 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
453374, 451, 452mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)
454 resabs1 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π)))
455453, 454ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
456193, 455eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
457456oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0)
458 fssres 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
459208, 379, 458mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
461453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
462 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)+∞) ⊆ ℂ
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)+∞) ⊆ ℂ)
464 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
465 elico2 13328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π)))
46667, 153, 465mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π))
46767, 404, 68, 466mpbir3an 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (0[,)π)
468 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)+∞) ∈ V
469 resttop 22511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top)
470408, 468, 469mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top
471153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ∈ ℝ*)
472 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
473451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ≤ +∞)
474362, 471, 375, 360, 472, 473icoopn 43753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
475474mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
476199oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞))
477 rge0ssre 13373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
478 restabs 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
479408, 477, 420, 478mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
480476, 479eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
481475, 480eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
482 isopn3i 22433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π))
483470, 481, 482mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)
484 0ltpnf 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 0 < +∞
485 snunioo1 43740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞))
486151, 374, 484, 485mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞)
487486eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0})
488487oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
489488fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))
490 snunioo1 43740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π))
491151, 153, 68, 490mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)
492491eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0})
493489, 492fveq12i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
494483, 493eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
495467, 494eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})))
497460, 461, 463, 198, 464, 496limcres 25250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
498497mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
499457, 498eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
500447, 499eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 1 ∈ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
501 neg1lt0 12270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -1 < 0
502106, 67, 105lttri 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
503501, 34, 502mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 < 1
504106, 503ltneii 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -1 ≠ 1
505504a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ≠ 1)
506198, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505jumpncnp 44129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⊤ → ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
507506mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0)
508206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ)
509208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
510205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ)
511 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
512220, 511eqsstri 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
513512sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514199, 198dvcnp2 25284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
515508, 509, 510, 513, 514syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
516507, 515mto 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
518358, 517eqneltrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
519518necon2ai 2973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ≠ 0)
520519adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ≠ 0)
521354, 355, 357, 520leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 < 𝑥)
522344, 163sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
523 elun2 4137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
525353, 521, 524syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
526352, 525pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
527 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)0) ∈ V
528 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ∈ V
529527, 528unipr 4883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪ (0(,)π))
530526, 529eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 {(-π(,)0), (0(,)π)})
531530ssriv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)}
532531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)})
533 ineq2 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)))
534 retop 24125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
535 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ℝ D 𝐹) ∈ V
536535resex 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
537536dmex 7848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
538534, 537pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V)
539318ssriv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
540 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)
541301, 539, 5403pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))
542 restopnb 22526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
543538, 541, 542mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
544301, 543mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
545 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0)
546539, 540ssini 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))
547545, 546eqssi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
548199oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
549331, 343sstri 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ
550 restabs 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
551408, 549, 420, 550mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
552548, 551eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
553544, 547, 5523eltr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
554533, 553eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
555554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
556 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = (-π(,)0) → 𝑥 ≠ (-π(,)0))
557 elprn1 43864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠ (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
558556, 557sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
559 ineq2 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)))
560221ssriv 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
561 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ (0(,)π)
562197, 560, 5613pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))
563 restopnb 22526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
564538, 562, 563mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
565197, 564mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
566 inss2 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π)
567560, 561ssini 4191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π))
568566, 567eqssi 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π)
569565, 568, 5523eltr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
570559, 569eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
571558, 570syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
572555, 571pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
573572adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
574 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℂ ⊆ ℂ
575574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
576392, 393, 575constcncfg 44103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
577576mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
579 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)))
580 resabs1 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
581238, 580ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
582581, 309eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
583579, 582eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
584533, 547eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (-π(,)0))
585584oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ))
586578, 583, 5853eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
587586adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
588446, 393, 575constcncfg 44103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
589588mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)
590589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
591 reseq2 5932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)))
592 resabs1 5967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
593167, 592ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
594593, 211eqtr4i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
595591, 594eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
596559, 568eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (0(,)π))
597596oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ))
598590, 595, 5973eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
599558, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
600587, 599pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
601600adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
602334, 340, 532, 573, 601cncfuni 44117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ))
603602mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)
604 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) = (-π(,)+∞))
605604reseq2d 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)))
606 iooss2 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞))
607374, 451, 606mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)
608 resabs2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
609607, 608ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
610605, 609eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
611 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → 𝑥 = -π)
612610, 611oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
613252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → -π ∈ ℂ)
614311, 392, 393, 613constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π))
615614mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π)
616309oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π)
617335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
618158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ∈ ℝ)
619151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
620164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π < 0)
621315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
622236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ≤ π)
623617, 618, 619, 620, 621, 471, 622limcresioolb 43874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
624623mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
625616, 624eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
626615, 625eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
627626ne0ii 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅)
629612, 628eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
630629adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
631 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
632159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ*)
633153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → π ∈ ℝ*)
634 icossre 13345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
635158, 153, 634mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,)π) ⊆ ℝ
636635sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
637636adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ℝ)
638158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ)
639 icogelb 13315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → -π ≤ 𝑥)
640159, 153, 639mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → -π ≤ 𝑥)
641640adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ≤ 𝑥)
642 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π)
643642adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ≠ -π)
644638, 637, 641, 643leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π < 𝑥)
645 icoltub 43736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → 𝑥 < π)
646159, 153, 645mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 < π)
647646adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 < π)
648632, 633, 637, 644, 647eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
649631, 648sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
650 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
651650adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
652649, 651eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
653 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) = (0(,)+∞))
654653reseq2d 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)))
655654, 358oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
656213, 446, 393, 393constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0))
657656mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0)
658 resres 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)))
659 iooin 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)))
660159, 153, 151, 374, 659mp4an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞))
661165iftruei 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ 0, 0, -π) = 0
662451iftruei 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ +∞, π, +∞) = π
663661, 662oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) = (0(,)π)
664660, 663eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π)
665664reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
666211eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
667658, 665, 6663eqtrri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))
668667oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
669657, 668eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
670669ne0ii 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅)
672655, 671eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
673652, 324, 6723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
674630, 673pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
675 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)π))
676675reseq2d 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)))
677 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
678676, 677oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π))
679 iooss1 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π))
680363, 387, 679mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)
681 resabs2 5969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
682680, 681ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
683682oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
684678, 683eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
685213, 446, 393, 53constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π))
686685mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π)
687211oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π)
688118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → π ∈ ℝ)
68968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 < π)
690217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
691165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ≤ 0)
692617, 619, 688, 689, 690, 412, 691limcresiooub 43873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
693692mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
694687, 693eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
695686, 694eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
696695ne0ii 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅
697696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅)
698684, 697eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
699698adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
700159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈ ℝ*)
701153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ*)
702 negpitopissre 25896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,]π) ⊆ ℝ
703 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
704702, 703sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ ℝ)
705704adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ)
706159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*)
707153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → π ∈ ℝ*)
708 iocgtlb 43730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → -π < 𝑥)
709706, 707, 703, 708syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π < 𝑥)
710709adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥)
711118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ)
712 iocleub 43731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → 𝑥 ≤ π)
713706, 707, 703, 712syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ≤ π)
714713adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π)
715 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π = 𝑥 → π = 𝑥)
716715eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π = 𝑥𝑥 = π)
717716necon3bi 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = π → π ≠ 𝑥)
718717adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥)
719705, 711, 714, 718leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π)
720700, 701, 705, 710, 719eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
721 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
722721adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
723720, 722eldifd 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
724 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)0))
725724reseq2d 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)))
726725, 358oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
727311, 392, 393, 393constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0))
728727mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0)
729 resres 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)))
730 iooin 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)))
731159, 153, 363, 151, 730mp4an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))
732 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (-π ∈ ℝ → -∞ < -π)
733158, 732ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -∞ < -π
734 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈ ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞))
735363, 159, 734mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞)
736733, 735mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ -π ≤ -∞
737736iffalsei 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ -∞, -∞, -π) = -π
738 xrltnle 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0))
739151, 153, 738mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0)
74068, 739mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ π ≤ 0
741740iffalsei 4496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ 0, π, 0) = 0
742737, 741oveq12i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) = (-π(,)0)
743731, 742eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0)
744743reseq2i 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
745309eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
746729, 744, 7453eqtrri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))
747746oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
748728, 747eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
749748ne0ii 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅
750749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅)
751726, 750eqnetrd 3011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
752723, 324, 7513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
753699, 752pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
754 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755 ioosscn 13326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ
756755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
757 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ℂ)
75823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ)
759754, 756, 757, 758constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
760 ioossioc 43720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ (0(,]π)
761760sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
762761iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
763208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
764 modcl 13778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
76522, 133, 764mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
76622, 765resubcli 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767766rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768767a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
76922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
770 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772151, 153, 771mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773770, 772elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774769, 773ltsubrpd 12989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
776775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
777363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈ ℝ*)
778 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
779 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
780363, 767, 779mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
781766, 778, 780mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))
782781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
783763, 768, 769, 774, 776, 777, 782limcresiooub 43873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
784 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
785151, 153, 784mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
786208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
787775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
788786, 787feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
789 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
790789, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
791790adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
792789adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
793133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
794792, 793modcld 13780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
795765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
79722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
798133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
799 ioossico 13355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800799sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801797, 798, 800ltmod 43869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802801adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
804794, 795, 796, 802, 803lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
805804iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
806791, 805eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
807806mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808788, 807eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809785, 808syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810809oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
811783, 810eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
812759, 762, 8113eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
813 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
814 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ
815814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
816815, 206sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℂ)
81723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℂ)
818813, 816, 304, 817constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
819818mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋)
820819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
821 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822 lbioc 43741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 0 ∈ (0(,]π)
823822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈ (0(,]π))
824821, 823eqneltrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
825824iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
826208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
827814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
828826, 827feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
829827sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
830829, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
831118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
832133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
833829, 832modcld 13780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
83422, 118resubcli 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 − π) ∈ ℝ
835834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ)
836120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
837835, 836readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ)
838 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
839838, 836readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
84022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
841834rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 − π) ∈ ℝ*
842841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
843840rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
844 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
845 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥)
846842, 843, 844, 845syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥)
847835, 838, 836, 846ltadd1dd 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
848837, 839, 840, 847ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
849848adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
850250oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π + π))
85152, 52addcli 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π + π) ∈ ℂ
852 subadd23 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π)))
85323, 52, 851, 852mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π))
85452, 52pncan3oi 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π + π) − π) = π
855854oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 + ((π + π) − π)) = (𝑋 + π)
856850, 853, 8553eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π)
857856oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋)
858 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝑋 + π) − 𝑋) = π)
85923, 52, 858mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋 + π) − 𝑋) = π
860857, 859eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
861860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
862839, 840resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
863 modabs2 13810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
864862, 133, 863sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
865133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
866 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
867837, 840resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
86868, 860breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
869868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
870866, 867, 862, 869, 848lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
871866, 862, 870ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
872840, 836readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
874842, 843, 844, 873syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
875838, 840, 836, 874ltadd1dd 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876839, 872, 840, 875ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋))
877 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇)
87823, 121, 877mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇
879876, 878breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)
880 modid 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
881862, 865, 871, 879, 880syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
882864, 881eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883882adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885884adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886862, 865modcld 13780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887886recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ)
888887addid1d 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
889888adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
890885, 889eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891890oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892 modaddabs 13814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893862, 840, 865, 892syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894893adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895883, 891, 8943eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896143recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
89723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
898896, 897npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇))
899122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑇) = 𝑇)
900899oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇))
901898, 900eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇)))
902901oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
903838, 902syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
904903adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
905 1zzd 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
906829, 832, 905, 136syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
907895, 904, 9063eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
908849, 861, 9073brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
909831, 833, 908ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
910831, 833, 909lensymd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
911910iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
912830, 911eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
913912mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1))
914828, 913eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
915914oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
916841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
91722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
918 ltsubrp 12951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋)
91922, 182, 918mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 − π) < 𝑋
920919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) < 𝑋)
921 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − π))
922 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π)))
923363, 841, 922mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))
924834, 921, 923mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -∞ ≤ (𝑋 − π)
925924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → -∞ ≤ (𝑋 − π))
926361, 916, 917, 920, 815, 364, 925limcresiooub 43873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
927926mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
928915, 927eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
929820, 825, 9283eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
930929adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
931153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
932120rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ∈ ℝ*
933932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
934765rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
937765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938 pm4.56 987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939938biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940 olc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941940adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈ ℝ*)
943153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈ ℝ*)
944765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ)
946765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947 modge0 13784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
94822, 133, 947mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
949948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
950 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
951945, 946, 949, 950leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952951adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
954942, 943, 944, 952, 953eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π))
955954orcd 871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956941, 955pm2.61dane 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957939, 956nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
958936, 937, 957nltled 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
959 modlt 13785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
96022, 133, 959mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962931, 933, 935, 958, 961elicod 13314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
963 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
964963, 816, 202, 817constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
965964mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋)
966965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
967 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
968 ubioc1 13317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → π ∈ (0(,]π))
969151, 153, 68, 968mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ (0(,]π)
970967, 969eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
971970iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
972361, 815feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
973972mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
974838, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
975974adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
976 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
977967eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇))
978977oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
979978oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980979adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981976, 980eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982981, 801syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
984982, 983breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
985984iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
986975, 985eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
987986mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1))
988973, 987eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
989988oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
990989, 927eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
991966, 971, 9903eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
992991adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
993153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ*)
994932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
995765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ)
997 icogelb 13315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
998153, 932, 997mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
999998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1000 neqne 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
10011000adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1002996, 995, 999, 1001leneltd 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1003960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004993, 994, 995, 1002, 1003eliood 43726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
1005 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
10071006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
10081007, 206sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
1009 neg1cn 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ ℂ
10101009a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ)
101123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
10121005, 1008, 1010, 1011constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
1013151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
1014118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1015934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1017153, 932, 1016mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
10181013, 1014, 1015, 1017gtnelioc 43719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
10191018iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
10201006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1021361, 1020feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
10221021mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
1023 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
10241023, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
10251024adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1026118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
1027133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
10281023, 1027modcld 13780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10291028adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
103022, 118readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 + π) ∈ ℝ
10311030recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + π) ∈ ℂ
10321031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ)
103323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
1034765recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ
10351034a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ)
10361032, 1033, 1035nnncan2d 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋))
10371036, 859eqtr2di 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10381030, 765resubcli 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
10411038rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
104322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
10441043rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1045 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10471042, 1044, 1045, 1046syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10481039, 1023, 1040, 1047ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10491037, 1048eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10501023recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051 sub31 43514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10521050, 1033, 1035, 1051syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10531049, 1052breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10541053adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10551043, 1023resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
1056 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1057 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
10581042, 1044, 1045, 1057syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
10591023, 1043posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋𝑥)))
10601058, 1059mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋𝑥))
10611056, 1055, 1060ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋𝑥))
10621043, 1039resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
10641039, 1023, 1043, 1047ltsub2dd 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1065 sub31 43514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)))
106623, 1031, 1034, 1065mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))
1067859oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
10681066, 1067eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1069 ltsubrp 12951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇))
1070765, 182, 1069mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)
1071765, 118resubcli 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈ ℝ
10721071, 765, 120lttri 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇)
10731070, 960, 1072mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇
10741068, 1073eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10751074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10761055, 1062, 1063, 1064, 1075lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < 𝑇)
1077 modid 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑋𝑥) ∧ (𝑋𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10781055, 1027, 1061, 1076, 1077syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10791078oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10801079oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
1081765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10821081, 1055resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
1083118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈ ℝ)
10841052, 1082eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
108568a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π)
10861056, 1083, 1084, 1085, 1049lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10871086, 1052breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10881056, 1082, 1087ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10891043, 1040resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
10901023, 1043, 1040, 1058ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1091 nncan 11430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
109223, 1034, 1091mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
10931092, 960eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10941093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10951084, 1089, 1063, 1090, 1094lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10961052, 1095eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)
1097 modid 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10981082, 1027, 1088, 1096, 1097syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10991080, 1098eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100 modsubmodmod 13835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11011043, 1055, 1027, 1100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11021033, 1050nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋𝑥)) = 𝑥)
11031102oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
11041099, 1101, 11033eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11051104adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11061054, 1105breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11071017, 1106sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11081026, 1029, 1107ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
11091026, 1029, 1108lensymd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
11101109iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
11111025, 1110eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
11121111mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
11131022, 1112eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
11141113oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋))
1115208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11161041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
111722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1118 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119 ltaddsublt 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11201117, 1014, 1118, 1119syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11211017, 1120mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈ ℝ*)
1123 mnflt 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1124 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1125363, 1041, 1124mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11261038, 1123, 1125mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))
11271126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11281115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127limcresiooub 43873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11291114, 1128eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
11301012, 1019, 11293eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11311004, 1130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1132992, 1131pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1133962, 1132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1134930, 1133pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1135812, 1134pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1136 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
11381137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
11391138, 206sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
11401136, 1139, 202, 817constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
11411140mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋)
11421141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
1143104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
1144 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
11451144breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
11461145ifbid 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11471146adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
1149105, 106ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
11501149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
11511143, 1147, 1148, 1150fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1152 icoltub 43736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1153151, 153, 1152mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
11541153iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
11551151, 1154eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = 1)
1156361, 1138feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
11571156mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1158 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11591158, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11601159adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
11621158, 1161resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1163133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1164 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
11651161rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1166118, 765resubcli 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
116722, 1166readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
11681167rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
11691168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))
1171 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
11721165, 1169, 1170, 1171syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
11731161, 1158posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
11741172, 1173mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
11751164, 1162, 1174ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
1176118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈ ℝ)
1177120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11781167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
11791178, 1161resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1180 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11811165, 1169, 1170, 1180syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11821158, 1178, 1161, 1181ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
11831166recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1184 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)))
118523, 1183, 1184mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))
1186 subge02 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π))
1187118, 765, 1186mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)
1188948, 1187mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π
11891185, 1188eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π
11901189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π)
11911162, 1179, 1176, 1182, 1190ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < π)
1192185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇)
11931162, 1176, 1177, 1191, 1192lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
1194 modid 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11951162, 1163, 1175, 1193, 1194syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11961195oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
11971196oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1198765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
11991198, 1162readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
12001161, 1161resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) ∈ ℝ)
12011198, 1200readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) ∈ ℝ)
120223subidi 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋𝑋) = 0
12031202oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
12041034addid1i 11342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
12051203, 1204eqtr2i 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
1206948, 1205breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
12071206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)))
12081161, 1158, 1161, 1172ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) < (𝑥𝑋))
12091200, 1162, 1198, 1208ltadd2dd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12101164, 1201, 1199, 1207, 1209lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12111164, 1199, 1210ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12121162, 1179, 1198, 1182ltadd2dd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
12131185oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12141034, 52pncan3i 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π
12151213, 1214eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π
12161212, 1215breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12171199, 1176, 1177, 1216, 1192lttrd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
1218 modid 13801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12191199, 1163, 1211, 1217, 1218syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12201197, 1219eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221 modaddabs 13814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
12221161, 1162, 1163, 1221syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
122323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
12241158recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
12251223, 1224pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
12261225oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
12271220, 1222, 12263eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12281227adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12291216adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12301228, 1229eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12311153, 1230sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12321231iftrued 4494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
12331160, 1232eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = 1)
12341233mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
12351157, 1234eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))))
12361235oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1237208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
12381168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
12391166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ)
12421240, 1241posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12431153, 1242mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12441239, 1243elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
12451148, 1244ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12461137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1247374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈ ℝ*)
1248 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
12501168, 374, 1249mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12511167, 1248, 1250mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
12521251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12531237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252limcresioolb 43874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12541236, 1253eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
12551142, 1155, 12543eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1256153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ*)
1257932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
1258934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈ ℝ*)
1260153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → π ∈ ℝ*)
1261934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1263765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈ ℝ)
12651263, 1264ltnled 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)))
12661265ibir 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12671266adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12681259, 1260, 1261, 1262, 1267elicod 13314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1269 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
12701268, 1269condan 816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1271960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
12721256, 1257, 1258, 1270, 1271elicod 13314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
1273 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274 ioossre 13325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
12751274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
12761275, 206sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
12771273, 1276, 304, 817constlimc 43855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
12781277mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋)
12791278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
1280 1ex 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ V
1281106elexi 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ V
12821280, 1281ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
12831146, 104, 1282fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
128422, 1283ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
12851284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1286118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1287765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
12881286, 1287, 998lensymd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
12891288iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
12901285, 1289eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
1291361, 1275feqresmpt 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
12921291mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1293 elioore 13294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12941293, 107, 145sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
12951294adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1296118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈ ℝ)
129722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12981293, 1297resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1299133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1300 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
13011297rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1302120, 765resubcli 11463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
130322, 1302readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
13041303rexri 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
13051304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))
1307 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
13081301, 1305, 1306, 1307syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
13091297, 1293posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
13101308, 1309mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
13111300, 1298, 1310ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
13121303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
13131312, 1297resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1315 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13161301, 1305, 1306, 1315syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13171293, 1312, 1297, 1316ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
13181302recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1319 pncan2 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
132023, 1318, 1319mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))
1321 subge02 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇))
1322120, 765, 1321mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)
1323948, 1322mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇
13241320, 1323eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇
13251324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇)
13261298, 1313, 1314, 1317, 1325ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
13271298, 1299, 1311, 1326, 1194syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
13281327oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13291328oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1330 readdcl 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1331765, 1298, 1330sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1332765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13341332, 1298, 1333, 1310addgegt0d 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13351300, 1331, 1334ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13361298, 1313, 1332, 1317ltadd2dd 11314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
13371320oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13381034, 121pncan3i 11478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
13391337, 1338eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇
13401336, 1339breqtrdi 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
13411331, 1299, 1335, 1340, 1218syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13421329, 1341eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
13431297, 1298, 1299, 1221syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
134423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
13451293recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13461344, 1345pncan3d 11515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
13471346oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
13481342, 1343, 13473eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13491348adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13501331adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
13511349, 1350eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13541298, 1310elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ+)
13551332, 1354ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13561355adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13571296, 1352, 1350, 1353, 1356lelttrd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13581296, 1350, 1357ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13591358, 1349breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
13601296, 1351, 1359lensymd 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
13611360iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
13621295, 1361eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = -1)
13631362mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
13641292, 1363eqtr2id 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))))
13651364oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1366208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
136722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
13681304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
13691302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1370960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1371120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
13721287, 1371posdifd 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13731370, 1372mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13741369, 1373elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
13751367, 1374ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13761274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1377374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → +∞ ∈ ℝ*)
1378 ltpnf 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1379 xrltle 13068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
13801304, 374, 1379mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13811303, 1378, 1380mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
13821381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
13831366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382limcresioolb 43874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13841365, 1383eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
13851279, 1290, 13843eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13861272, 1385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
13871255, 1386pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋)
1388 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
1389110, 104, 1388sqwvfoura 44459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0)
13901389eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13911390mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ)
1393110, 104, 1392sqwvfourb 44460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
13941393eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
13951394mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
1396 nnnn0 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1397 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
1398 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)
13991398fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14001396, 1397, 1399syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) = 0)
14011400oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))))
140274coscld 16013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (cos‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
14031402mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14041401, 1403eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1405 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 / (𝑛 · π)) ∈ V
140689, 1405ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V
1407 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14081407fvmpt2 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14091406, 1408mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))
14101409oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14111404, 1410oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
141260, 72ifcld 4532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ ℂ)
14131412, 75mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
14141413addid2d 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1415 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = 0)
14161415oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
141775mul02d 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → (0 · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
14181416, 1417sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = 0)
1419 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = 0)
14201419eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∥ 𝑛 → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14211420adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → 0 = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14221418, 1421eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1423 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (4 / (𝑛 · π)))
14241423oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14251424adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
1426 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ 2 ∥ 𝑛 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))
14271426eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (¬ 2 ∥ 𝑛 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14281427adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14291425, 1428eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑛) → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14301422, 1429pm2.61dan 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14311411, 1414, 14303eqtrrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
14321431mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
1433109, 110, 147, 148, 329, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432fourierclim 44455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2))
1434 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ ℕ0
1435 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 0 → 0 = 0)
14361435, 1398, 89fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0)
14371434, 1436ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) = 0
14381437oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = (0 / 2)
143928recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
144067, 129gtneii 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
14411439, 1440div0i 11889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
14421438, 1441eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2) = 0
14431442oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0)
1444202mptru 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
14451444, 1009ifcli 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ℂ
14461149recni 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℂ
14471284, 1446eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹𝑋) ∈ ℂ
14481445, 1447addcli 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) ∈ ℂ
14491448, 1439, 1440divcli 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∈ ℂ
14501449subid1i 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14511443, 1450eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 0)‘0) / 2)) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14521433, 1451breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
14531452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2))
145479, 103, 1453sumnnodd 43861 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))))
14551454mptru 1548 . . . . . . . . . . . 12 (seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))
14561455simpli 484 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
1457 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1)))
1458 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · π) = (((2 · 𝑘) − 1) · π))
14591458oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)))
1460 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
14611460fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
14621459, 1461oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14631457, 1462ifbieq2d 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
14641463adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1)) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1465 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) − 1)))
146620, 48, 1465sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℕ)
1467 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) ∈ V
146889, 1467ifex 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V
14691468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) ∈ V)
147080, 1464, 1466, 1469fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))))
1471 dvdsmul1 16160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147215, 17, 1471sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (2 · 𝑘))
147318zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
1474 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
14751473, 1474npcand 11516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) + 1) = (2 · 𝑘))
14761475eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) = (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
14771472, 1476breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1))
1478 oddp1even 16226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
147920, 1478syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1)))
14801477, 1479mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1))
14811480iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) = ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
148252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
148321, 1482mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · π) = (π · ((2 · 𝑘) − 1)))
14841483oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
148554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
148669a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ℕ → π ≠ 0)
14871485, 1482, 21, 1486, 49divdiv1d 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1))))
14881484, 1487eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) = ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)))
14891488oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))
14901485, 1482, 1486divcld 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
14911490, 21, 26, 49div32d 11954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ ℕ → (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14921489, 1491eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14931470, 1481, 14923eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
14941493mpteq2ia 5208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
1495 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
14961495oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑛) − 1))
14971496oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋))
14981497fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)))
14991498, 1496oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
15001499oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15011500cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15021494, 1501eqtri 2764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
1503 seqeq3 13911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))))
15041502, 1503ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
1505 fouriersw.y . . . . . . . . . . . . 13 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
1506110, 104, 22, 1505fourierswlem 44461 . . . . . . . . . . . 12 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2)
15071506eqcomi 2745 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹𝑋)) / 2) = 𝑌
15081456, 1504, 15073brtr3i 5134 . . . . . . . . . 10 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌
15091508a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌)
1510 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
151161, 65, 70divcld 11931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / π) ∈ ℂ)
15121439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
15131512, 62mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1514 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1515 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
15161514, 1515subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑛) ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15171513, 1516syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
15181517, 73mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
15191518sincld 16012 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
152028a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
1521 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
15221520, 1521remulcld 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
15231522recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1524 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
15251523, 1524subcld 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ∈ ℂ)
1526 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
152735, 1520eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
1528 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
15291528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < 2)
15301529, 35breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 1))
153143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
1532 nnge1 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑛)
15331526, 1521, 1520, 1531, 1532lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑛))
15341526, 1527, 1522, 1530, 1533ltletrd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2 · 𝑛))
15351526, 1534gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → (2 · 𝑛) ≠ 1)
15361523, 1524, 1535subne0d 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → ((2 · 𝑛) − 1) ≠ 0)
15371519, 1525, 1536divcld 11931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) ∈ ℂ)
15381511, 1537mulcld 11175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) ∈ ℂ)
15391510, 1538fmpti 7060 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ
15401539a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))):ℕ⟶ℂ)
15411540ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
1542 divcan6 11862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((π / 4) · (4 / π)) = 1)
154352, 69, 54, 56, 1542mp4an 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π / 4) · (4 / π)) = 1
15441543eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((π / 4) · (4 / π))
15451544oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . 12 (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154650mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (1 · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
154756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠ 0)
15481482, 1485, 1547divcld 11931 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (π / 4) ∈ ℂ)
15491548, 1490, 50mulassd 11178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (((π / 4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15501545, 1546, 15493eqtr3a 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
1551 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15528oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15531552adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15541492, 1467eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) ∈ V)
15551551, 1553, 10, 1554fvmptd 6955 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) = ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))
15561555oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)) = ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))))
15571556eqcomd 2742 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((π / 4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
155813, 1550, 15573eqtrd 2780 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15591558adantl 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)))
15601, 2, 58, 1509, 1541, 1559isermulc2 15542 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
1561 climrel 15374 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
15621561releldmi 5903 . . . . . . . 8 (seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15631560, 1562syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝ )
15641, 2, 14, 51, 1563isumclim2 15643 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15651564mptru 1548 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))
15661560mptru 1548 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
1567 climuni 15434 . . . . 5 ((seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌))
15681565, 1566, 1567mp2an 690 . . . 4 Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌)
15691568oveq2i 7368 . . 3 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
157054, 52, 69divcli 11897 . . . 4 (4 / π) ∈ ℂ
157152, 54, 56divcli 11897 . . . 4 (π / 4) ∈ ℂ
15721284, 1149eqeltri 2834 . . . . . . 7 (𝐹𝑋) ∈ ℝ
157367, 1572ifcli 4533 . . . . . 6 if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋)) ∈ ℝ
15741505, 1573eqeltri 2834 . . . . 5 𝑌 ∈ ℝ
15751574recni 11169 . . . 4 𝑌 ∈ ℂ
15761570, 1571, 1575mulassi 11166 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = ((4 / π) · ((π / 4) · 𝑌))
15771571, 1570, 1543mulcomli 11164 . . . . 5 ((4 / π) · (π / 4)) = 1
15781577oveq1i 7367 . . . 4 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = (1 · 𝑌)
15791575mulid2i 11160 . . . 4 (1 · 𝑌) = 𝑌
15801578, 1579eqtri 2764 . . 3 (((4 / π) · (π / 4)) · 𝑌) = 𝑌
15811569, 1576, 15803eqtr2i 2770 . 2 ((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌
1582 fouriersw.z . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
1583 seqeq3 13911 . . . 4 (𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) → seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))
15841582, 1583ax-mp 5 . . 3 seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
15851584, 1566eqbrtri 5126 . 2 seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)
15861581, 1585pm3.2i 471 1 (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588   cuni 4865   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  -∞cmnf 11187  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  4c4 12210  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,)cico 13266   mod cmo 13774  seqcseq 13906  cli 15366  Σcsu 15570  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949  cdvds 16136  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796  Topctop 22242  intcnt 22368  limPtclp 22485   CnP ccnp 22576  cnccncf 24239  citg 24982   lim climc 25226   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-ditg 25211  df-limc 25230  df-dv 25231
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