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Theorem fouriersw 42812
 Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriersw.t 𝑇 = (2 · π)
fouriersw.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
fouriersw.x 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))
fouriersw.y 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹𝑋))
Assertion
Ref Expression
fouriersw (((4 / π) · Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑋,𝑛   𝑥,𝑋   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘)   𝑌(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12269 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12001 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 eqidd 2823 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))
4 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
54oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1))
65oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))
76fveq2d 6656 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))
87, 5oveq12d 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
98adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
10 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ)
11 ovex 7173 . . . . . . . . . 10 ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V)
133, 9, 10, 12fvmptd 6757 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
1413adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))
15 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
17 nnz 11992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
1816, 17zmulcld 12081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
19 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
2018, 19zsubcld 12080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
2120zcnd 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℂ)
22 fouriersw.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ ℝ
2322recni 10644 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ ℂ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
2521, 24mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) ∈ ℂ)
2625sincld 15474 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) ∈ ℂ)
27 0red 10633 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
28 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
30 1red 10631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 10660 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ∈ ℝ)
3231, 30resubcld 11057 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ∈ ℝ)
3320zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℝ)
34 0lt1 11151 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
35 2t1e2 11788 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 1) = 2
3635oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
37 2m1e1 11751 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 − 1) = 1
3836, 37eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((2 · 1) − 1)
3934, 38breqtri 5067 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((2 · 1) − 1)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 1) − 1))
4118zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
42 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
43 0le2 11727 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
45 nnge1 11653 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑘)
4630, 42, 29, 44, 45lemul2ad 11569 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · 1) ≤ (2 · 𝑘))
4731, 41, 30, 46lesub1dd 11245 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1))
4827, 32, 33, 40, 47ltletrd 10789 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < ((2 · 𝑘) − 1))
4927, 48gtned 10764 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → ((2 · 𝑘) − 1) ≠ 0)
5026, 21, 49divcld 11405 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
5150adantl 485 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ ℂ)
52 picn 25050 . . . . . . . . . . 11 π ∈ ℂ
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → π ∈ ℂ)
54 4cn 11710 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℂ
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ∈ ℂ)
56 4ne0 11733 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ 0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 4 ≠ 0)
5853, 55, 57divcld 11405 . . . . . . . . 9 (⊤ → (π / 4) ∈ ℂ)
59 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))
60 0cnd 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈ ℂ)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈ ℂ)
62 nncn 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
63 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6462, 52, 63sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
6552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ∈ ℂ)
66 nnne0 11659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
67 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
68 pipos 25051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < π
6967, 68gtneii 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π ≠ 0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → π ≠ 0)
7162, 65, 66, 70mulne0d 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠ 0)
7261, 64, 71divcld 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (4 / (𝑛 · π)) ∈ ℂ)
7323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈ ℂ)
7462, 73mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ)
7574sincld 15474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) ∈ ℂ)
7672, 75mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) ∈ ℂ)
7760, 76ifcld 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) ∈ ℂ)
7859, 77fmpti 6858 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))):ℕ⟶ℂ)
80 eqidd 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
81 breq2 5046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘))
82 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
8382oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π)))
84 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋))
8584fveq2d 6656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋)))
8683, 85oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))
8781, 86ifbieq2d 4464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
8887adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
89 c0ex 10624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
90 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))) ∈ V
9189, 90ifex 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) ∈ V)
9380, 88, 10, 92fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
9493adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))))
95 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (𝑘 / 2) ∈ ℕ)
96 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
97 2nn 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ
98 nndivdvds 15607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
9996, 97, 98sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
10095, 99mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2 ∥ 𝑘)
101100iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) = 0)
10294, 101eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
1031023adant1 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0)
104 fouriersw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
105 1re 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
106105renegcli 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℝ
107105, 106ifcli 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
109104, 108fmpti 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:ℝ⟶ℝ
110 fouriersw.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (2 · π)
111 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112111breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π))
113112ifbid 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114113cbvmptv 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
115104, 114eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
117 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇))
118 pire 25049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π ∈ ℝ
11928, 118remulcli 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 · π) ∈ ℝ
120110, 119eqeltri 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑇 ∈ ℝ
121120recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 ∈ ℂ
122121mulid2i 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 · 𝑇) = 𝑇
123122eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑇 = (1 · 𝑇)
124123oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇))
125124oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)
126117, 125syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
127126adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
128 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ)
129 2pos 11728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 2
13028, 118, 129, 68mulgt0ii 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < (2 · π)
131110eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 · π) = 𝑇
132130, 131breqtri 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 𝑇
133120, 132elrpii 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 ∈ ℝ+
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
135 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ)
136 modcyc 13269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
137128, 134, 135, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
138127, 137eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
139138breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π))
140139ifbid 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ)
142120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
144116, 140, 143, 108fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
145104fvmpt2 6761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
146107, 145mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
147144, 146eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
148 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
149 snfi 8581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {0} ∈ Fin
150 eldifi 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
151 0xr 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ*
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
153118rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 π ∈ ℝ*
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → π ∈ ℝ*)
155 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
156155adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
157 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 0 < 𝑥)
158118renegcli 10936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ∈ ℝ
159158rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -π ∈ ℝ*
160 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → 𝑥 < π)
161159, 153, 160mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → 𝑥 < π)
162161adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 < π)
163152, 154, 156, 157, 162eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
164 negpilt0 41850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -π < 0
165158, 67, 164ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -π ≤ 0
166 iooss1 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((-π ∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆ (-π(,)π))
167159, 165, 166mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ (-π(,)π)
168167sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
169104reseq1i 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π))
170 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℝ
171 resmpt 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
173 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
174133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ+)
175 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ∈ ℝ)
176 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0 < 𝑥)
177151, 153, 176mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 < 𝑥)
178175, 173, 177ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤ 𝑥)
179118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π ∈ ℝ)
180120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈ ℝ)
181168, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π)
182 pirp 25052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 π ∈ ℝ+
183 2timesgt 41858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π ∈ ℝ+ → π < (2 · π))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 π < (2 · π)
185184, 131breqtri 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π < 𝑇
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (0(,)π) → π < 𝑇)
187173, 179, 180, 181, 186lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇)
188 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
189173, 174, 178, 187, 188syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥)
190189, 181eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
191190iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
192191mpteq2ia 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
193169, 172, 1923eqtrri 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
194193oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π)))
195 reelprrecn 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
197 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
198 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
199198tgioo2 23406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
200197, 199eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
202 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
203196, 201, 202dvmptconst 42496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
204203mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
205 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ℝ ⊆ ℝ
206 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ℝ ⊆ ℂ
207 fss 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
208109, 206, 207mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝐹:ℝ⟶ℂ
209 dvresioo 42502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
210205, 208, 209mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝐹 ↾ (0(,)π))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
211194, 204, 2103eqtr3i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
212211dmeqi 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
213 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
21489, 213dmmpti 6472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (0(,)π)
215212, 214eqtr3i 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π)
216 ssdmres 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (0(,)π))
217215, 216mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
218217sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
219168, 218elind 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
220 dmres 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
221219, 220eleqtrrdi 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
222163, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
223222adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
224159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π ∈ ℝ*)
225151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ*)
226155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
227 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
228159, 153, 227mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)π) → -π < 𝑥)
229228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → -π < 𝑥)
230 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 0 ∈ ℝ)
231 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0)
232231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 0)
233 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → ¬ 0 < 𝑥)
234226, 230, 232, 233lttri5d 41870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 < 0)
235224, 225, 226, 229, 234eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
23667, 118, 68ltleii 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ≤ π
237 iooss2 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π))
238153, 236, 237mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)π)
239238sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
240104reseq1i 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0))
241 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ⊆ ℝ
242 resmpt 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
243241, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
244118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ∈ ℝ)
245 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℝ)
246133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ+)
247245, 246modcld 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
248245, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
249522timesi 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2 · π) = (π + π)
250110, 249eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 𝑇 = (π + π)
251250oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + 𝑇) = (-π + (π + π))
252 negpicn 25053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -π ∈ ℂ
253252, 52, 52addassi 10640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (-π + (π + π))
254253eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π + (π + π)) = ((-π + π) + π)
25552negidi 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (π + -π) = 0
25652, 252, 255addcomli 10821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + π) = 0
257256oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π + π) + π) = (0 + π)
25852addid2i 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0 + π) = π
259257, 258eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π + π) + π) = π
260251, 254, 2593eqtrri 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 π = (-π + 𝑇)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π = (-π + 𝑇))
262158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π ∈ ℝ)
263120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℝ)
264239, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π < 𝑥)
265262, 245, 263, 264ltadd1dd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
266261, 265eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π < (𝑥 + 𝑇))
267244, 248, 266ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 + 𝑇))
268 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ∈ ℝ)
269158, 120readdcli 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-π + 𝑇) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (-π + 𝑇) ∈ ℝ)
27168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < π)
272271, 260breqtrdi 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (-π + 𝑇))
273268, 270, 248, 272, 265lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 < (𝑥 + 𝑇))
274268, 248, 273ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑇))
275245recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ℂ)
276121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈ ℂ)
277275, 276addcomd 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥))
278 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,)0)) → 𝑥 < 0)
279159, 151, 278mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0)
280 ltaddneg 10844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
281245, 120, 280sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇))
282279, 281mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)
283277, 282eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)
284274, 283jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))
285 modid2 13261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
286248, 133, 285sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)))
287284, 286mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
288125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
289133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈ ℝ+)
290 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈ ℤ)
291141, 289, 290, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
292288, 291eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
293245, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
294287, 293eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
295267, 294breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
296244, 247, 295lensymd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
297296iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
298297mpteq2ia 5133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
299240, 243, 2983eqtrri 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
300299oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
301 iooretop 23369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,))
302301, 199eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
303302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
304202negcld 10973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ℂ)
305196, 303, 304dvmptconst 42496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
306305mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
307 dvresioo 42502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℝ ⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
308205, 208, 307mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
309300, 306, 3083eqtr3i 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
310309dmeqi 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
311 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
31289, 311dmmpti 6472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (-π(,)0)
313310, 312eqtr3i 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
314 ssdmres 5854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (-π(,)0))
315313, 314mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
316315sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
317239, 316elind 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
318317, 220eleqtrrdi 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
319235, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
320223, 319pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
321150, 320sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
322 eldifn 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
323322adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
324321, 323condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 = 0)
325 velsn 4555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
326324, 325sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ {0})
327326ssriv 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}
328 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({0} ∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0}) → ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin)
329149, 327, 328mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈ Fin
330 inss1 4179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π)
331220, 330eqsstri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π)
332 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-π(,)π) ⊆ ℂ
333331, 332sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ)
335 dvf 24508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
336 fresin 6528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ)
337 ffdm 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))))
338335, 336, 337mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))
339338simpli 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
340339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ)
341159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π ∈ ℝ*)
342151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
343 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)π) ⊆ ℝ
344331sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
345343, 344sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
346345adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
347344, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → -π < 𝑥)
348347adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → -π < 𝑥)
349 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 < 0)
350341, 342, 346, 348, 349eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ (-π(,)0))
351 elun1 4127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
352350, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
353 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
354 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ∈ ℝ)
355345adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
356 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → ¬ 𝑥 < 0)
357354, 355, 356nltled 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 ≤ 𝑥)
358 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0)
359205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
360 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
361208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
362 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
363 mnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -∞ ∈ ℝ*
364363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
365362mnfltd 12507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → -∞ < 0)
366360, 364, 362, 365lptioo2 42212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)))
367 incom 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-∞(,)0) ⊆ ℝ
369 df-ss 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370368, 369mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371367, 370eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372371fveq2i 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373366, 372eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 +∞ ∈ ℝ*
375374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
376362ltpnfd 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 < +∞)
377360, 362, 375, 376lptioo1 42213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)))
378 incom 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)+∞) ⊆ ℝ
380 df-ss 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381379, 380mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382378, 381eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383382fveq2i 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) = ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384377, 383eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
386 mnfle 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π ∈ ℝ* → -∞ ≤ -π)
387159, 386ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -∞ ≤ -π
388 iooss1 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
389363, 387, 388mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0))
391 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-∞(,)0) ⊆ ℂ
392390, 391sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ ℂ)
393 0cnd 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
394385, 392, 304, 393constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0))
395 resabs1 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
396389, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) = (𝐹 ↾ (-π(,)0))
397299, 396eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0))
398397oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0)
399 fssres 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
400208, 368, 399mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ
401400a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ)
402391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (-∞(,)0) ⊆ ℂ)
403 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
404 0le0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 ≤ 0
405 elioc2 12788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
406159, 67, 405mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))
40767, 164, 404, 406mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (-π(,]0)
408198cnfldtop 23387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
409 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-∞(,]0) ∈ V
410 resttop 21763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top)
411408, 409, 410mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top
412159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -π ∈ ℝ*)
413 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
414387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → -∞ ≤ -π)
415364, 412, 362, 360, 413, 414, 362iocopn 42096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)))
416415mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0))
417199oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0))
418 iocssre 12805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (-∞(,]0) ⊆ ℝ)
419363, 67, 418mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-∞(,]0) ⊆ ℝ
420195elexi 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ℝ ∈ V
421 restabs 21768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
422408, 419, 420, 421mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
423417, 422eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
424416, 423eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))
425 isopn3i 21685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0))
426411, 424, 425mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)
427 mnflt0 12508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -∞ < 0
428 ioounsn 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0))
429363, 151, 427, 428mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0)
430429eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0})
431430oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))
432431fveq2i 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))
433 ioounsn 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-π ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π < 0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0))
434159, 151, 164, 433mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)
435434eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0})
436432, 435fveq12i 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
437426, 436eqtr3i 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
438407, 437eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0}))
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})))
440401, 390, 402, 198, 403, 439limcres 24487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
441440mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
442398, 441eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
443394, 442eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
444 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
445 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)π) ⊆ ℂ
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
447444, 446, 202, 393constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0))
448 ltpnf 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π ∈ ℝ → π < +∞)
449 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (π < +∞ → π ≤ +∞))
450153, 374, 449mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π < +∞ → π ≤ +∞)
451118, 448, 450mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 π ≤ +∞
452 iooss2 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
453374, 451, 452mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)
454 resabs1 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π)))
455453, 454ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) = (𝐹 ↾ (0(,)π))
456193, 455eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
457456oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0)
458 fssres 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ (0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
459208, 379, 458mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (𝐹 ↾ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ)
461453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞))
462 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)+∞) ⊆ ℂ
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → (0(,)+∞) ⊆ ℂ)
464 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
465 elico2 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π)))
46667, 153, 465mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 < π))
46767, 404, 68, 466mpbir3an 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (0[,)π)
468 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)+∞) ∈ V
469 resttop 21763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top)
470408, 468, 469mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top
471153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ∈ ℝ*)
472 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
473451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊤ → π ≤ +∞)
474362, 471, 375, 360, 472, 473icoopn 42101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊤ → (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)))
475474mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞))
476199oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞))
477 rge0ssre 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
478 restabs 21768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
479408, 477, 420, 478mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
480476, 479eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
481475, 480eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))
482 isopn3i 21685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) → ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π))
483470, 481, 482mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)
484 0ltpnf 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 0 < +∞
485 snunioo1 42088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞))
486151, 374, 484, 485mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞)
487486eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0})
488487oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))
489488fveq2i 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))
490 snunioo1 42088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π))
491151, 153, 68, 490mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)
492491eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0})
493489, 492fveq12i 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
494483, 493eqtr3i 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
495467, 494eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0}))
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊤ → 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})))
497460, 461, 463, 198, 464, 496limcres 24487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊤ → (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
498497mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
499457, 498eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) lim 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
500447, 499eleqtrdi 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → 1 ∈ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
501 neg1lt0 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -1 < 0
502106, 67, 105lttri 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1)
503501, 34, 502mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 < 1
504106, 503ltneii 10742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -1 ≠ 1
505504a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊤ → -1 ≠ 1)
506198, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505jumpncnp 42479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⊤ → ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
507506mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ¬ 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0)
508206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ)
509208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
510205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ)
511 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
512220, 511eqsstri 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)
513512sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514199, 198dvcnp2 24521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
515508, 509, 510, 513, 514syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘0))
516507, 515mto 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
518358, 517eqneltrd 2933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
519518necon2ai 3040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ≠ 0)
520519adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ≠ 0)
521354, 355, 357, 520leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 0 < 𝑥)
522344, 163sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ (0(,)π))
523 elun2 4128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ 0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
525353, 521, 524syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ ¬ 𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
526352, 525pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪ (0(,)π)))
527 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)0) ∈ V
528 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)π) ∈ V
529527, 528unipr 4830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪ (0(,)π))
530526, 529eleqtrrdi 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) → 𝑥 {(-π(,)0), (0(,)π)})
531530ssriv 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)}
532531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ {(-π(,)0), (0(,)π)})
533 ineq2 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)))
534 retop 23365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
535 ovex 7173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ℝ D 𝐹) ∈ V
536535resex 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
537536dmex 7602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V
538534, 537pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V)
539318ssriv 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
540 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)
541301, 539, 5403pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))
542 restopnb 21778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
543538, 541, 542mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
544301, 543mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
545 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0)
546539, 540ssini 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))
547545, 546eqssi 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0)
548199oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
549331, 343sstri 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ
550 restabs 21768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
551408, 549, 420, 550mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
552548, 551eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
553544, 547, 5523eltr4i 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
554533, 553eqeltrdi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
555554adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
556 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = (-π(,)0) → 𝑥 ≠ (-π(,)0))
557 elprn1 42214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠ (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
558556, 557sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → 𝑥 = (0(,)π))
559 ineq2 4157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)))
560221ssriv 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
561 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)π) ⊆ (0(,)π)
562197, 560, 5613pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))
563 restopnb 21778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))))
564538, 562, 563mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
565197, 564mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
566 inss2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π)
567560, 561ssini 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π))
568566, 567eqssi 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π)
569565, 568, 5523eltr4i 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
570559, 569eqeltrdi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
571558, 570syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
572555, 571pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
573572adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
574 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℂ ⊆ ℂ
575574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
576392, 393, 575constcncfg 42453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
577576mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ))
579 reseq2 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)))
580 resabs1 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)))
581238, 580ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
582581, 309eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
583579, 582syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0))
584533, 547syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (-π(,)0) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (-π(,)0))
585584oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ))
586578, 583, 5853eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
587586adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
588446, 393, 575constcncfg 42453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
589588mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)
590589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
591 reseq2 5826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)))
592 resabs1 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)))
593167, 592ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
594593, 211eqtr4i 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
595591, 594syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0))
596559, 568syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = (0(,)π) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) = (0(,)π))
597596oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = (0(,)π) → ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ))
598590, 595, 5973eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
599558, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 = (-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
600587, 599pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
601600adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ))
602334, 340, 532, 573, 601cncfuni 42467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊤ → ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ))
603602mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)
604 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) = (-π(,)+∞))
605604reseq2d 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)))
606 iooss2 12762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) → (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞))
607374, 451, 606mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)
608 resabs2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
609607, 608ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
610605, 609syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
611 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = -π → 𝑥 = -π)
612610, 611oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
613252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → -π ∈ ℂ)
614311, 392, 393, 613constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π))
615614mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π)
616309oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π)
617335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ)
618158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ∈ ℝ)
619151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
620164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π < 0)
621315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
622236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 ≤ π)
623617, 618, 619, 620, 621, 471, 622limcresioolb 42224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π))
624623mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
625616, 624eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
626615, 625eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π)
627626ne0ii 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = -π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim -π) ≠ ∅)
629612, 628eqnetrd 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = -π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
630629adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
631 eldifi 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π[,)π))
632159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ*)
633153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → π ∈ ℝ*)
634 icossre 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π) ⊆ ℝ)
635158, 153, 634mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,)π) ⊆ ℝ
636635sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 ∈ ℝ)
637636adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ℝ)
638158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ∈ ℝ)
639 icogelb 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → -π ≤ 𝑥)
640159, 153, 639mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → -π ≤ 𝑥)
641640adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π ≤ 𝑥)
642 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π)
643642adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ≠ -π)
644638, 637, 641, 643leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → -π < 𝑥)
645 icoltub 42084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π[,)π)) → 𝑥 < π)
646159, 153, 645mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (-π[,)π) → 𝑥 < π)
647646adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 < π)
648632, 633, 637, 644, 647eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
649631, 648sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
650 eldifn 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
651650adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
652649, 651eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
653 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) = (0(,)+∞))
654653reseq2d 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)))
655654, 358oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0))
656213, 446, 393, 393constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0))
657656mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0)
658 resres 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)))
659 iooin 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)))
660159, 153, 151, 374, 659mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞))
661165iftruei 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ 0, 0, -π) = 0
662451iftruei 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ +∞, π, +∞) = π
663661, 662oveq12i 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) = (0(,)π)
664660, 663eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π)
665664reseq2i 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))
666211eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
667658, 665, 6663eqtrri 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))
668667oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
669657, 668eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0)
670669ne0ii 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) lim 0) ≠ ∅)
672655, 671eqnetrd 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
673652, 324, 6723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
674630, 673pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞)) lim 𝑥) ≠ ∅)
675 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)π))
676675reseq2d 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)))
677 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = π → 𝑥 = π)
678676, 677oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π))
679 iooss1 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) → (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π))
680363, 387, 679mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)
681 resabs2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
682680, 681ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
683682oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
684678, 683syl6eq 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
685213, 446, 393, 53constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π))
686685mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π)
687211oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π)
688118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → π ∈ ℝ)
68968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → 0 < π)
690217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹))
691165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊤ → -π ≤ 0)
692617, 619, 688, 689, 690, 412, 691limcresiooub 42223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π))
693692mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
694687, 693eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) lim π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
695686, 694eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π)
696695ne0ii 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅
697696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = π → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) lim π) ≠ ∅)
698684, 697eqnetrd 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = π → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
699698adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
700159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈ ℝ*)
701153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ*)
702 negpitopissre 25130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-π(,]π) ⊆ ℝ
703 eldifi 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ (-π(,]π))
704702, 703sseldi 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ∈ ℝ)
705704adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ)
706159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*)
707153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → π ∈ ℝ*)
708 iocgtlb 42078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → -π < 𝑥)
709706, 707, 703, 708syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → -π < 𝑥)
710709adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥)
711118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈ ℝ)
712 iocleub 42079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*𝑥 ∈ (-π(,]π)) → 𝑥 ≤ π)
713706, 707, 703, 712syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → 𝑥 ≤ π)
714713adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π)
715 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π = 𝑥 → π = 𝑥)
716715eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π = 𝑥𝑥 = π)
717716necon3bi 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 = π → π ≠ 𝑥)
718717adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥)
719705, 711, 714, 718leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π)
720700, 701, 705, 710, 719eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
721 eldifn 4079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
722721adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))
723720, 722eldifd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))))
724 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) = (-∞(,)0))
725724reseq2d 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)))
726725, 358oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0))
727311, 392, 393, 393constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0))
728727mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0)
729 resres 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)))
730 iooin 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-π ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) → ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)))
731159, 153, 363, 151, 730mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))
732 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (-π ∈ ℝ → -∞ < -π)
733158, 732ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -∞ < -π
734 xrltnle 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈ ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞))
735363, 159, 734mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤ -∞)
736733, 735mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ -π ≤ -∞
737736iffalsei 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-π ≤ -∞, -∞, -π) = -π
738 xrltnle 10697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0))
739151, 153, 738mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 < π ↔ ¬ π ≤ 0)
74068, 739mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ¬ π ≤ 0
741740iffalsei 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(π ≤ 0, π, 0) = 0
742737, 741oveq12i 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-π ≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) = (-π(,)0)
743731, 742eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0)
744743reseq2i 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))
745309eqcomi 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
746729, 744, 7453eqtrri 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))
747746oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) lim 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
748728, 747eleqtri 2912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0)
749748ne0ii 4275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅
750749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) lim 0) ≠ ∅)
751726, 750eqnetrd 3078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
752723, 324, 7513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
753699, 752pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)𝑥)) lim 𝑥) ≠ ∅)
754 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755 ioosscn 12787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ
756755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
757 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ℂ)
75823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ)
759754, 756, 757, 758constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
760 ioossioc 42068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)π) ⊆ (0(,]π)
761760sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
762761iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
763208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
764 modcl 13236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
76522, 133, 764mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
76622, 765resubcli 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767766rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768767a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
76922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
770 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772151, 153, 771mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773770, 772elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774769, 773ltsubrpd 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
776775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
777363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈ ℝ*)
778 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
779 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
780363, 767, 779mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞ < (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
781766, 778, 780mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))
782781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
783763, 768, 769, 774, 776, 777, 782limcresiooub 42223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
784 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
785151, 153, 784mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
786208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
787775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
788786, 787feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
789 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
790789, 107, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
791790adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
792789adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
793133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
794792, 793modcld 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
795765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
79722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
798133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
799 ioossico 12816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800799sseli 3938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801797, 798, 800ltmod 42219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802801adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
804794, 795, 796, 802, 803lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
805804iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
806791, 805eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
807806mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808788, 807eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809785, 808syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810809oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
811783, 810eqtr3d 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
812759, 762, 8113eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
813 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
814 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ
815814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
816815, 206sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℂ)
81723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℂ)
818813, 816, 304, 817constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
819818mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋)
820819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
821 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822 lbioc 42089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¬ 0 ∈ (0(,]π)
823822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈ (0(,]π))
824821, 823eqneltrd 2933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
825824iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
826208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
827814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ)
828826, 827feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
829827sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ)
830829, 107, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
831118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
832133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈ ℝ+)
833829, 832modcld 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
83422, 118resubcli 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 − π) ∈ ℝ
835834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ)
836120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
837835, 836readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ)
838 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
839838, 836readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
84022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
841834rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 − π) ∈ ℝ*
842841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
843840rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
844 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
845 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥)
846842, 843, 844, 845syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥)
847835, 838, 836, 846ltadd1dd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇))
848837, 839, 840, 847ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
849848adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
850250oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π + π))
85152, 52addcli 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π + π) ∈ ℂ
852 subadd23 10887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π)))
85323, 52, 851, 852mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) − π))
85452, 52pncan3oi 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((π + π) − π) = π
855854oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 + ((π + π) − π)) = (𝑋 + π)
856850, 853, 8553eqtri 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π)
857856oveq1i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋)
858 pncan2 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π ∈ ℂ) → ((𝑋 + π) − 𝑋) = π)
85923, 52, 858mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋 + π) − 𝑋) = π
860857, 859eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
861860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
862839, 840resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
863 modabs2 13268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
864862, 133, 863sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
865133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
866 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
867837, 840resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ)
86868, 860breqtri 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)
869868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋))
870866, 867, 862, 869, 848lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
871866, 862, 870ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
872840, 836readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑋 − π) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
874842, 843, 844, 873syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
875838, 840, 836, 874ltadd1dd 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876839, 872, 840, 875ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋))
877 pncan2 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇)
87823, 121, 877mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇
879876, 878breqtrdi 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)
880 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
881862, 865, 871, 879, 880syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
882864, 881eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883882adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884 oveq2 7148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885884adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886862, 865modcld 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887886recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ)
888887addid1d 10829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
889888adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇))
890885, 889eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891890oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892 modaddabs 13272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893862, 840, 865, 892syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894893adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895883, 891, 8943eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896143recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ)
89723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ ℂ)
898896, 897npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇))
899122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ ℝ → (1 · 𝑇) = 𝑇)
900899oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇))
901898, 900eqtr4d 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇)))
902901oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
903838, 902syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
904903adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇))
905 1zzd 12001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ)
906829, 832, 905, 136syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
907895, 904, 9063eqtrrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋))
908849, 861, 9073brtr4d 5074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
909831, 833, 908ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
910831, 833, 909lensymd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
911910iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
912830, 911eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
913912mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1))
914828, 913eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
915914oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
916841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
91722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → 𝑋 ∈ ℝ)
918 ltsubrp 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋)
91922, 182, 918mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 − π) < 𝑋
920919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋 − π) < 𝑋)
921 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 − π) ∈ ℝ → -∞ < (𝑋 − π))
922 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*) → (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π)))
923363, 841, 922mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞ < (𝑋 − π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))
924834, 921, 923mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -∞ ≤ (𝑋 − π)
925924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → -∞ ≤ (𝑋 − π))
926361, 916, 917, 920, 815, 364, 925limcresiooub 42223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
927926mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
928915, 927syl6req 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
929820, 825, 9283eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
930929adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
931153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ*)
932120rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ∈ ℝ*
933932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈ ℝ*)
934765rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈ ℝ)
937765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938 pm4.56 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939938biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940 olc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941940adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈ ℝ*)
943153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈ ℝ*)
944765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈ ℝ)
946765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947 modge0 13242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
94822, 133, 947mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)
949948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
950 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0)
951945, 946, 949, 950leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952951adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
954942, 943, 944, 952, 953eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π))
955954orcd 870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956941, 955pm2.61dane 3098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957939, 956nsyl 142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
958936, 937, 957nltled 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
959 modlt 13243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
96022, 133, 959mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962931, 933, 935, 958, 961elicod 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
963 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
964963, 816, 202, 817constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
965964mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋)
966965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
967 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π)
968 ubioc1 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 < π) → π ∈ (0(,]π))
969151, 153, 68, 968mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 π ∈ (0(,]π)
970967, 969eqeltrdi 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
971970iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = 1)
972361, 815feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
973972mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
974838, 107, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
975974adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
976 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋))
977967eqcomd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇))
978977oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))
979978oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980979adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981976, 980eleqtrd 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982981, 801syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π)
984982, 983breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
985984iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
986975, 985eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = 1)
987986mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1))
988973, 987syl5req 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)))
989988oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) lim 𝑋))
990989, 927syl6req 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) lim 𝑋))
991966, 971, 9903eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
992991adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
993153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ*)
994932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
995765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈ ℝ)
997 icogelb 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
998153, 932, 997mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
999998adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1000 neqne 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ (𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
10011000adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π)
1002996, 995, 999, 1001leneltd 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1003960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004993, 994, 995, 1002, 1003eliood 42074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇))
1005 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ
10071006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
10081007, 206sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ)
1009 neg1cn 11739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ ℂ
10101009a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ)
101123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ)
10121005, 1008, 1010, 1011constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
1013151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈ ℝ*)
1014118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1015934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π ∈ ℝ*𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇))
1017153, 932, 1016mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇))
10181013, 1014, 1015, 1017gtnelioc 42067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π))
10191018iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) = -1)
10201006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊤ → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ)
1021361, 1020feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊤ → (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)))
10221021mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥))
1023 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ)
10241023, 107, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
10251024adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1026118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈ ℝ)
1027133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ+)
10281023, 1027modcld 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10291028adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
103022, 118readdcli 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 + π) ∈ ℝ
10311030recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + π) ∈ ℂ
10321031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ)
103323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ)
1034765recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ
10351034a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ)
10361032, 1033, 1035nnncan2d 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋))
10371036, 859syl6req 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10381030, 765resubcli 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
10411038rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
104322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ)
10441043rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1045 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10471042, 1044, 1045, 1046syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥)
10481039, 1023, 1040, 1047ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10491037, 1048eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10501023recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051 sub31 41861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10521050, 1033, 1035, 1051syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10531049, 1052breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10541053adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10551043, 1023resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ ℝ)
1056 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ)
1057 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*𝑋 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋)
10581042, 1044, 1045, 1057syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋)
10591023, 1043posdifd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋𝑥)))
10601058, 1059mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋𝑥))
10611056, 1055, 1060ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋𝑥))
10621043, 1039resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ)
10641039, 1023, 1043, 1047ltsub2dd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1065 sub31 41861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)))
106623, 1031, 1034, 1065mp3an 1458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))
1067859oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
10681066, 1067eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π)
1069 ltsubrp 12413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇))
1070765, 182, 1069mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)
1071765, 118resubcli 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈ ℝ
10721071, 765, 120lttri 10755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇)
10731070, 960, 1072mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇
10741068, 1073eqbrtri 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10751074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10761055, 1062, 1063, 1064, 1075lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋𝑥) < 𝑇)
1077 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑋𝑥) ∧ (𝑋𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10781055, 1027, 1061, 1076, 1077syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋𝑥) mod 𝑇) = (𝑋𝑥))
10791078oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10801079oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
1081765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10821081, 1055resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ)
1083118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈ ℝ)
10841052, 1082eqeltrd 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
108568a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π)
10861056, 1083, 1084, 1085, 1049lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
10871086, 1052breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10881056, 1082, 1087ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10891043, 1040resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
10901023, 1043, 1040, 1058ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))))
1091 nncan 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
109223, 1034, 1091mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
10931092, 960eqbrtri 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10941093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10951084, 1089, 1063, 1090, 1094lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10961052, 1095eqbrtrrd 5066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)
1097 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10981082, 1027, 1088, 1096, 1097syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)))
10991080, 1098eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100 modsubmodmod 13293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11011043, 1055, 1027, 1100syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇))
11021033, 1050nncand 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋𝑥)) = 𝑥)
11031102oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
11041099, 1101, 11033eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11051104adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇))
11061054, 1105breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π < (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11071017, 1106sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇))
11081026, 1029, 1107ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
11091026, 1029, 1108lensymd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
11101109iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
11111025, 1110eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹𝑥) = -1)
11121111mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
11131022, 1112syl5req 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
11141113oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋))
1115208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
11161041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
111722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ)
1118 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119 ltaddsublt 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11201117, 1014, 1118, 1119syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11211017, 1120mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈ ℝ*)
1123 mnflt 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
1124 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) → (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))))
1125363, 1041, 1124mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-∞ < ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11261038, 1123, 1125mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))
11271126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))
11281115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127limcresiooub 42223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11291114, 1128eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) lim 𝑋))
11301012, 1019, 11293eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
11311004, 1130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1132992, 1131pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1133962, 1132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1134930, 1133pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋))
1135812, 1134pm2.61i 185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) lim 𝑋)
1136 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
11381137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
11391138, 206sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
11401136, 1139, 202, 817constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊤ → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
11411140mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋)
11421141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
1143104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)))
1144 oveq1 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
11451144breq1d 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π))
11461145ifbid 4461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11471146adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
114822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ)
1149105, 106ifcli 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ
11501149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ)
11511143, 1147, 1148, 1150fvmptd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1152 icoltub 42084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
1153151, 153, 1152mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
11541153iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
11551151, 1154eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) = 1)
1156361, 1138feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
11571156mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1158 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
11591158, 107, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
11601159adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
116122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
11621158, 1161resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1163133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1164 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
11651161rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1166118, 765resubcli 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
116722, 1166readdcli 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
11681167rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
11691168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))
1171 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
11721165, 1169, 1170, 1171syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
11731161, 1158posdifd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
11741172, 1173mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
11751164, 1162, 1174ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
1176118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈ ℝ)
1177120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
11781167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
11791178, 1161resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1180 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11811165, 1169, 1170, 1180syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
11821158, 1178, 1161, 1181ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
11831166recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1184 pncan2 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)))
118523, 1183, 1184mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))
1186 subge02 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((π ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π))
1187118, 765, 1186mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)
1188948, 1187mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π
11891185, 1188eqbrtri 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π
11901189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π)
11911162, 1179, 1176, 1182, 1190ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < π)
1192185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇)
11931162, 1176, 1177, 1191, 1192lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
1194 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑥𝑋) ∧ (𝑥𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11951162, 1163, 1175, 1193, 1194syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
11961195oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
11971196oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1198765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
11991198, 1162readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
12001161, 1161resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) ∈ ℝ)
12011198, 1200readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) ∈ ℝ)
120223subidi 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋𝑋) = 0
12031202oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
12041034addid1i 10816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
12051203, 1204eqtr2i 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
1206948, 1205breqtri 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋))
12071206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)))
12081161, 1158, 1161, 1172ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋𝑋) < (𝑥𝑋))
12091200, 1162, 1198, 1208ltadd2dd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12101164, 1201, 1199, 1207, 1209lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12111164, 1199, 1210ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12121162, 1179, 1198, 1182ltadd2dd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
12131185oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12141034, 52pncan3i 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π
12151213, 1214eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π
12161212, 1215breqtrdi 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12171199, 1176, 1177, 1216, 1192lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
1218 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12191199, 1163, 1211, 1217, 1218syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12201197, 1219eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221 modaddabs 13272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
12221161, 1162, 1163, 1221syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
122323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
12241158recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
12251223, 1224pncan3d 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
12261225oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
12271220, 1222, 12263eqtrrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12281227adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
12291216adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < π)
12301228, 1229eqbrtrd 5064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12311153, 1230sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π)
12321231iftrued 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1)
12331160, 1232eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = 1)
12341233mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
12351157, 1234syl5req 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))))
12361235oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋))
1237208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
12381168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
12391166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ)
12421240, 1241posdifd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12431153, 1242mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π − (𝑋 mod 𝑇)))
12441239, 1243elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
12451148, 1244ltaddrpd 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))
12461137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
1247374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈ ℝ*)
1248 ltpnf 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249 xrltle 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞))
12501168, 374, 1249mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12511167, 1248, 1250mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞
12521251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)
12531237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252limcresioolb 42224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
12541236, 1253eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) lim 𝑋))
12551142, 1155, 12543eltr4d 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) lim 𝑋))
1256153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈ ℝ*)
1257932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈ ℝ*)
1258934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈ ℝ*)
1260153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → π ∈ ℝ*)
1261934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1263765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈ ℝ)
12651263, 1264ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)))
12661265ibir 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12671266adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π)
12681259, 1260, 1261, 1262, 1267elicod 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
1269 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π))
12701268, 1269condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
1271960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
12721256, 1257, 1258, 1270, 1271elicod 12775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇))
1273 eqid 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ
12751274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ)
12761275, 206sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊤ → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ)
12771273, 1276, 304, 817constlimc 42205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊤ → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
12781277mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋)
12791278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋))
1280 1ex 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ V
1281106elexi 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ V
12821280, 1281ifex 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ V
12831146, 104, 1282fvmpt 6750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
128422, 1283ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)
12851284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1286118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈ ℝ)
1287765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
12881286, 1287, 998lensymd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π)
12891288iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
12901285, 1289eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹𝑋) = -1)
1291361, 1275feqresmpt 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊤ → (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)))
12921291mptru 1545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥))
1293 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
12941293, 107, 145sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
12951294adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))
1296118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈ ℝ)
129722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
12981293, 1297resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ)
1299133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ+)
1300 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈ ℝ)
13011297rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ*)
1302120, 765resubcli 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
130322, 1302readdcli 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
13041303rexri 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
13051304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))
1307 ioogtlb 42071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥)
13081301, 1305, 1306, 1307syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥)
13091297, 1293posdifd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥𝑋)))
13101308, 1309mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥𝑋))
13111300, 1298, 1310ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥𝑋))
13121303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
13131312, 1297resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ)
1314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
1315 iooltub 42086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13161301, 1305, 1306, 1315syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))
13171293, 1312, 1297, 1316ltsub1dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))
13181302recni 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ
1319 pncan2 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
132023, 1318, 1319mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))
1321 subge02 11145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇))
1322120, 765, 1321mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)
1323948, 1322mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇
13241320, 1323eqbrtri 5063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇
13251324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇)
13261298, 1313, 1314, 1317, 1325ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) < 𝑇)
13271298, 1299, 1311, 1326, 1194syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥𝑋) mod 𝑇) = (𝑥𝑋))
13281327oveq2d 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13291328oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
1330 readdcl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1331765, 1298, 1330sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
1332765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13341332, 1298, 1333, 1310addgegt0d 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13351300, 1331, 1334ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13361298, 1313, 1332, 1317ltadd2dd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)))
13371320oveq2i 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))
13381034, 121pncan3i 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
13391337, 1338eqtri 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇
13401336, 1339breqtrdi 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) < 𝑇)
13411331, 1299, 1335, 1340, 1218syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13421329, 1341eqtr2d 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
13431297, 1298, 1299, 1221syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇))
134423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
13451293recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13461344, 1345pncan3d 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥𝑋)) = 𝑥)
13471346oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇))
13481342, 1343, 13473eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13491348adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇))
13501331adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)) ∈ ℝ)
13511349, 1350eqeltrrd 2915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353998adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇))
13541298, 1310elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥𝑋) ∈ ℝ+)
13551332, 1354ltaddrpd 12452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13561355adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13571296, 1352, 1350, 1353, 1356lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13581296, 1350, 1357ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥𝑋)))
13591358, 1349breqtrd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇))
13601296, 1351, 1359lensymd 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π)
13611360iffalsed 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1)
13621295, 1361eqtrd 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹𝑥) = -1)
13631362mpteq2dva 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
13641292, 1363syl5req 2870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))))
13651364oveq1d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) lim 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇