| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | nnuz 12921 |
. . . . . . 7
⊢ ℕ =
(ℤ≥‘1) |
| 2 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . 7
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ℤ) |
| 3 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2
· 𝑛) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑛) −
1)))) |
| 4 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘)) |
| 5 | 4 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) − 1) = ((2 · 𝑘) − 1)) |
| 6 | 5 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) |
| 7 | 6 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 ·
𝑘) − 1) ·
𝑋))) |
| 8 | 7, 5 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1))) |
| 9 | 8 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) = ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1))) |
| 10 | | id 22 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℕ) |
| 11 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V |
| 12 | 11 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ →
((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈ V) |
| 13 | 3, 9, 10, 12 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) |
| 14 | 13 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → ((𝑛
∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) |
| 15 | | 2z 12649 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 2 ∈
ℤ |
| 16 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℤ) |
| 17 | | nnz 12634 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℤ) |
| 18 | 16, 17 | zmulcld 12728 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℤ) |
| 19 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈
ℤ) |
| 20 | 18, 19 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℤ) |
| 21 | 20 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℂ) |
| 22 | | fouriersw.x |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑋 ∈ ℝ |
| 23 | 22 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑋 ∈ ℂ |
| 24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑋 ∈
ℂ) |
| 25 | 21, 24 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋) ∈
ℂ) |
| 26 | 25 | sincld 16166 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ →
(sin‘(((2 · 𝑘)
− 1) · 𝑋))
∈ ℂ) |
| 27 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ∈
ℝ) |
| 28 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 29 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈
ℝ) |
| 30 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈
ℝ) |
| 31 | 29, 30 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 1) ∈ ℝ) |
| 32 | 31, 30 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 1) − 1) ∈ ℝ) |
| 33 | 20 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℝ) |
| 34 | | 0lt1 11785 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 <
1 |
| 35 | | 2t1e2 12429 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (2
· 1) = 2 |
| 36 | 35 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((2
· 1) − 1) = (2 − 1) |
| 37 | | 2m1e1 12392 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (2
− 1) = 1 |
| 38 | 36, 37 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 = ((2
· 1) − 1) |
| 39 | 34, 38 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 0 <
((2 · 1) − 1) |
| 40 | 39 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 <
((2 · 1) − 1)) |
| 41 | 18 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℝ) |
| 42 | | nnre 12273 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈
ℝ) |
| 43 | | 0le2 12368 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 0 ≤
2 |
| 44 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤
2) |
| 45 | | nnge1 12294 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ≤
𝑘) |
| 46 | 30, 42, 29, 44, 45 | lemul2ad 12208 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 1) ≤ (2 · 𝑘)) |
| 47 | 31, 41, 30, 46 | lesub1dd 11879 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 1) − 1) ≤ ((2 · 𝑘) − 1)) |
| 48 | 27, 32, 33, 40, 47 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 <
((2 · 𝑘) −
1)) |
| 49 | 27, 48 | gtned 11396 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1) ≠
0) |
| 50 | 26, 21, 49 | divcld 12043 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑘 ∈ ℕ →
((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
| 51 | 50 | adantl 481 |
. . . . . . 7
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) ∈
ℂ) |
| 52 | | picn 26501 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ π
∈ ℂ |
| 53 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⊤
→ π ∈ ℂ) |
| 54 | | 4cn 12351 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ∈
ℂ |
| 55 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⊤
→ 4 ∈ ℂ) |
| 56 | | 4ne0 12374 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 4 ≠
0 |
| 57 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⊤
→ 4 ≠ 0) |
| 58 | 53, 55, 57 | divcld 12043 |
. . . . . . . . 9
⊢ (⊤
→ (π / 4) ∈ ℂ) |
| 59 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))) |
| 60 | | 0cnd 11254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈
ℂ) |
| 61 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 4 ∈
ℂ) |
| 62 | | nncn 12274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℂ) |
| 63 | | mulcl 11239 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ π
∈ ℂ) → (𝑛
· π) ∈ ℂ) |
| 64 | 62, 52, 63 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ∈
ℂ) |
| 65 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π
∈ ℂ) |
| 66 | | nnne0 12300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0) |
| 67 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 68 | | pipos 26502 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 0 <
π |
| 69 | 67, 68 | gtneii 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ π ≠
0 |
| 70 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → π ≠
0) |
| 71 | 62, 65, 66, 70 | mulne0d 11915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · π) ≠
0) |
| 72 | 61, 64, 71 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 /
(𝑛 · π)) ∈
ℂ) |
| 73 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑋 ∈
ℂ) |
| 74 | 62, 73 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 𝑋) ∈ ℂ) |
| 75 | 74 | sincld 16166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ →
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)) ∈
ℂ) |
| 76 | 72, 75 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) ∈
ℂ) |
| 77 | 60, 76 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) ∈
ℂ) |
| 78 | 59, 77 | fmpti 7132 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))):ℕ⟶ℂ |
| 79 | 78 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (⊤
→ (𝑛 ∈ ℕ
↦ if(2 ∥ 𝑛, 0,
((4 / (𝑛 · π))
· (sin‘(𝑛
· 𝑋))))):ℕ⟶ℂ) |
| 80 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))) |
| 81 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 ∥ 𝑛 ↔ 2 ∥ 𝑘)) |
| 82 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π)) |
| 83 | 82 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (𝑘 · π))) |
| 84 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑋) = (𝑘 · 𝑋)) |
| 85 | 84 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘(𝑛 · 𝑋)) = (sin‘(𝑘 · 𝑋))) |
| 86 | 83, 85 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋)))) |
| 87 | 81, 86 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 = 𝑘 → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) |
| 88 | 87 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) |
| 89 | | c0ex 11255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 0 ∈
V |
| 90 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((4 /
(𝑘 · π)) ·
(sin‘(𝑘 ·
𝑋))) ∈
V |
| 91 | 89, 90 | ifex 4576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ if(2
∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) ·
(sin‘(𝑘 ·
𝑋)))) ∈
V |
| 92 | 91 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → if(2
∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) ·
(sin‘(𝑘 ·
𝑋)))) ∈
V) |
| 93 | 80, 88, 10, 92 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) |
| 94 | 93 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) →
((𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘𝑘) = if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 / (𝑘 · π)) · (sin‘(𝑘 · 𝑋))))) |
| 95 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) →
(𝑘 / 2) ∈
ℕ) |
| 96 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) →
𝑘 ∈
ℕ) |
| 97 | | 2nn 12339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 2 ∈
ℕ |
| 98 | | nndivdvds 16299 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 2 ∈
ℕ) → (2 ∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)) |
| 99 | 96, 97, 98 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (2
∥ 𝑘 ↔ (𝑘 / 2) ∈
ℕ)) |
| 100 | 95, 99 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → 2
∥ 𝑘) |
| 101 | 100 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) →
if(2 ∥ 𝑘, 0, ((4 /
(𝑘 · π)) ·
(sin‘(𝑘 ·
𝑋)))) = 0) |
| 102 | 94, 101 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) →
((𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘𝑘) = 0) |
| 103 | 102 | 3adant1 1131 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ ∧ (𝑘 /
2) ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = 0) |
| 104 | | fouriersw.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 105 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 106 | 105 | renegcli 11570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ -1 ∈
ℝ |
| 107 | 105, 106 | ifcli 4573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ |
| 108 | 107 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
| 109 | 104, 108 | fmpti 7132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝐹:ℝ⟶ℝ |
| 110 | | fouriersw.t |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 𝑇 = (2 ·
π) |
| 111 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇)) |
| 112 | 111 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑦 mod 𝑇) < π)) |
| 113 | 112 | ifbid 4549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑦 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 114 | 113 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 115 | 104, 114 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 116 | 115 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1))) |
| 117 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇)) |
| 118 | | pire 26500 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ π
∈ ℝ |
| 119 | 28, 118 | remulcli 11277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (2
· π) ∈ ℝ |
| 120 | 110, 119 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 𝑇 ∈ ℝ |
| 121 | 120 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ 𝑇 ∈ ℂ |
| 122 | 121 | mullidi 11266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (1
· 𝑇) = 𝑇 |
| 123 | 122 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 𝑇 = (1 · 𝑇) |
| 124 | 123 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 + 𝑇) = (𝑥 + (1 · 𝑇)) |
| 125 | 124 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) |
| 126 | 117, 125 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑦 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 127 | 126 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 128 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 129 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 0 <
2 |
| 130 | 28, 118, 129, 68 | mulgt0ii 11394 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ 0 < (2
· π) |
| 131 | 110 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (2
· π) = 𝑇 |
| 132 | 130, 131 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 0 <
𝑇 |
| 133 | 120, 132 | elrpii 13037 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 𝑇 ∈
ℝ+ |
| 134 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 135 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → 1 ∈ ℤ) |
| 136 | | modcyc 13946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+
∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 137 | 128, 134,
135, 136 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 138 | 127, 137 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝑦 mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 139 | 138 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝑦 mod 𝑇) < π ↔ (𝑥 mod 𝑇) < π)) |
| 140 | 139 | ifbid 4549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 + 𝑇)) → if((𝑦 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 141 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 142 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈
ℝ) |
| 143 | 141, 142 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 144 | 116, 140,
143, 108 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 145 | 104 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈ ℝ) →
(𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 146 | 107, 145 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 147 | 144, 146 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥)) |
| 148 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) |
| 149 | | snfi 9083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ {0}
∈ Fin |
| 150 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥
∈ (-π(,)π)) |
| 151 | | 0xr 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ 0 ∈
ℝ* |
| 152 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → 0 ∈
ℝ*) |
| 153 | 118 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ π
∈ ℝ* |
| 154 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → π ∈
ℝ*) |
| 155 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) →
𝑥 ∈
ℝ) |
| 156 | 155 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 157 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → 0 < 𝑥) |
| 158 | 118 | renegcli 11570 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ -π
∈ ℝ |
| 159 | 158 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ -π
∈ ℝ* |
| 160 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) →
𝑥 <
π) |
| 161 | 159, 153,
160 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) →
𝑥 <
π) |
| 162 | 161 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → 𝑥 < π) |
| 163 | 152, 154,
156, 157, 162 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → 𝑥 ∈
(0(,)π)) |
| 164 | | negpilt0 45292 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ -π
< 0 |
| 165 | 158, 67, 164 | ltleii 11384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ -π
≤ 0 |
| 166 | | iooss1 13422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ -π ≤ 0) → (0(,)π) ⊆
(-π(,)π)) |
| 167 | 159, 165,
166 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(0(,)π) ⊆ (-π(,)π) |
| 168 | 167 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
(-π(,)π)) |
| 169 | 104 | reseq1i 5993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝐹 ↾ (0(,)π)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾
(0(,)π)) |
| 170 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(0(,)π) ⊆ ℝ |
| 171 | | resmpt 6055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
((0(,)π) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) =
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1,
-1))) |
| 172 | 170, 171 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (0(,)π)) =
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1,
-1)) |
| 173 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 174 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 175 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0
∈ ℝ) |
| 176 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → 0
< 𝑥) |
| 177 | 151, 153,
176 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 <
𝑥) |
| 178 | 175, 173,
177 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 0 ≤
𝑥) |
| 179 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
∈ ℝ) |
| 180 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑇 ∈
ℝ) |
| 181 | 168, 161 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < π) |
| 182 | | pirp 26503 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ π
∈ ℝ+ |
| 183 | | 2timesgt 45300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (π
∈ ℝ+ → π < (2 · π)) |
| 184 | 182, 183 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ π <
(2 · π) |
| 185 | 184, 131 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ π <
𝑇 |
| 186 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → π
< 𝑇) |
| 187 | 173, 179,
180, 181, 186 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 < 𝑇) |
| 188 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+)
∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑇)) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥) |
| 189 | 173, 174,
178, 187, 188 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) = 𝑥) |
| 190 | 189, 181 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 191 | 190 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
| 192 | 191 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦
1) |
| 193 | 169, 172,
192 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) =
(𝐹 ↾
(0(,)π)) |
| 194 | 193 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (ℝ
D (𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 1)) = (ℝ D (𝐹
↾ (0(,)π))) |
| 195 | | reelprrecn 11247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ℝ
∈ {ℝ, ℂ} |
| 196 | 195 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}) |
| 197 | | iooretop 24786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) |
| 198 | | tgioo4 24826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
| 199 | 197, 198 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
| 200 | 199 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ (0(,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ)) |
| 201 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ℂ) |
| 202 | 196, 200,
201 | dvmptconst 45930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ (ℝ D (𝑥 ∈
(0(,)π) ↦ 1)) = (𝑥
∈ (0(,)π) ↦ 0)) |
| 203 | 202 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (ℝ
D (𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 1)) = (𝑥 ∈
(0(,)π) ↦ 0) |
| 204 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ℝ
⊆ ℝ |
| 205 | | ax-resscn 11212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ℝ
⊆ ℂ |
| 206 | | fss 6752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 207 | 109, 205,
206 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ 𝐹:ℝ⟶ℂ |
| 208 | | dvresioo 45936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((ℝ
⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D
(𝐹 ↾ (0(,)π))) =
((ℝ D 𝐹) ↾
(0(,)π))) |
| 209 | 204, 207,
208 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (ℝ
D (𝐹 ↾ (0(,)π))) =
((ℝ D 𝐹) ↾
(0(,)π)) |
| 210 | 194, 203,
209 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) =
((ℝ D 𝐹) ↾
(0(,)π)) |
| 211 | 210 | dmeqi 5915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ dom
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) |
| 212 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) =
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) |
| 213 | 89, 212 | dmmpti 6712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ dom
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) = (0(,)π) |
| 214 | 211, 213 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(0(,)π)) = (0(,)π) |
| 215 | | ssdmres 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
((0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) =
(0(,)π)) |
| 216 | 214, 215 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) |
| 217 | 216 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) |
| 218 | 168, 217 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩
dom (ℝ D 𝐹))) |
| 219 | | dmres 6030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) = ((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) |
| 220 | 218, 219 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 221 | 163, 220 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧ 0
< 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 222 | 221 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ 0 <
𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 223 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → -π ∈
ℝ*) |
| 224 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 0 ∈
ℝ*) |
| 225 | 155 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 226 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)π)) →
-π < 𝑥) |
| 227 | 159, 153,
226 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)π) →
-π < 𝑥) |
| 228 | 227 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → -π <
𝑥) |
| 229 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 0 ∈
ℝ) |
| 230 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (¬
𝑥 = 0 → 𝑥 ≠ 0) |
| 231 | 230 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 𝑥 ≠ 0) |
| 232 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → ¬ 0 <
𝑥) |
| 233 | 225, 229,
231, 232 | lttri5d 45311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 𝑥 < 0) |
| 234 | 223, 224,
225, 228, 233 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 𝑥 ∈
(-π(,)0)) |
| 235 | 67, 118, 68 | ltleii 11384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ 0 ≤
π |
| 236 | | iooss2 13423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((π
∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → (-π(,)0) ⊆
(-π(,)π)) |
| 237 | 153, 235,
236 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) |
| 238 | 237 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
(-π(,)π)) |
| 239 | 104 | reseq1i 5993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝐹 ↾ (-π(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾
(-π(,)0)) |
| 240 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
(-π(,)0) ⊆ ℝ |
| 241 | | resmpt 6055 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
((-π(,)0) ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) =
(𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1,
-1))) |
| 242 | 240, 241 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) ↾ (-π(,)0)) =
(𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1,
-1)) |
| 243 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
∈ ℝ) |
| 244 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 245 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 246 | 244, 245 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 247 | 244, 143 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 248 | 52 | 2timesi 12404 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (2
· π) = (π + π) |
| 249 | 110, 248 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ 𝑇 = (π +
π) |
| 250 | 249 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (-π +
𝑇) = (-π + (π +
π)) |
| 251 | | negpicn 26504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ -π
∈ ℂ |
| 252 | 251, 52, 52 | addassi 11271 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((-π +
π) + π) = (-π + (π + π)) |
| 253 | 252 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (-π +
(π + π)) = ((-π + π) + π) |
| 254 | 52 | negidi 11578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (π +
-π) = 0 |
| 255 | 52, 251, 254 | addcomli 11453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (-π +
π) = 0 |
| 256 | 255 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((-π +
π) + π) = (0 + π) |
| 257 | 52 | addlidi 11449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (0 +
π) = π |
| 258 | 256, 257 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((-π +
π) + π) = π |
| 259 | 250, 253,
258 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ π =
(-π + 𝑇) |
| 260 | 259 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
= (-π + 𝑇)) |
| 261 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
∈ ℝ) |
| 262 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℝ) |
| 263 | 238, 227 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → -π
< 𝑥) |
| 264 | 261, 244,
262, 263 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(-π + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇)) |
| 265 | 260, 264 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
< (𝑥 + 𝑇)) |
| 266 | 243, 247,
265 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
≤ (𝑥 + 𝑇)) |
| 267 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
∈ ℝ) |
| 268 | 158, 120 | readdcli 11276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (-π +
𝑇) ∈
ℝ |
| 269 | 268 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(-π + 𝑇) ∈
ℝ) |
| 270 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< π) |
| 271 | 270, 259 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< (-π + 𝑇)) |
| 272 | 267, 269,
247, 271, 264 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
< (𝑥 + 𝑇)) |
| 273 | 267, 247,
272 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 0
≤ (𝑥 + 𝑇)) |
| 274 | 244 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈
ℂ) |
| 275 | 121 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑇 ∈
ℂ) |
| 276 | 274, 275 | addcomd 11463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) = (𝑇 + 𝑥)) |
| 277 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,)0)) →
𝑥 < 0) |
| 278 | 159, 151,
277 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 < 0) |
| 279 | | ltaddneg 11477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)) |
| 280 | 244, 120,
279 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 < 0 ↔ (𝑇 + 𝑥) < 𝑇)) |
| 281 | 278, 280 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑇 + 𝑥) < 𝑇) |
| 282 | 276, 281 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) < 𝑇) |
| 283 | 273, 282 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → (0
≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇)) |
| 284 | | modid2 13938 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (((𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))) |
| 285 | 247, 133,
284 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇) ↔ (0 ≤ (𝑥 + 𝑇) ∧ (𝑥 + 𝑇) < 𝑇))) |
| 286 | 283, 285 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 + 𝑇)) |
| 287 | 125 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 288 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 289 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 1 ∈
ℤ) |
| 290 | 141, 288,
289, 136 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 291 | 287, 290 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 292 | 244, 291 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
((𝑥 + 𝑇) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 293 | 286, 292 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
(𝑥 + 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 294 | 266, 293 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → π
≤ (𝑥 mod 𝑇)) |
| 295 | 243, 246,
294 | lensymd 11412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → ¬
(𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 296 | 295 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) →
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
| 297 | 296 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦
if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦
-1) |
| 298 | 239, 242,
297 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
= (𝐹 ↾
(-π(,)0)) |
| 299 | 298 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (ℝ
D (𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 ↾ (-π(,)0))) |
| 300 | | iooretop 24786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) |
| 301 | 300, 198 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
(-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ) |
| 302 | 301 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ (-π(,)0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ℝ)) |
| 303 | 201 | negcld 11607 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ -1 ∈ ℂ) |
| 304 | 196, 302,
303 | dvmptconst 45930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ (ℝ D (𝑥 ∈
(-π(,)0) ↦ -1)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦
0)) |
| 305 | 304 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (ℝ
D (𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ -1)) = (𝑥 ∈
(-π(,)0) ↦ 0) |
| 306 | | dvresioo 45936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((ℝ
⊆ ℝ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ) → (ℝ D
(𝐹 ↾ (-π(,)0))) =
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)0))) |
| 307 | 204, 207,
306 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (ℝ
D (𝐹 ↾ (-π(,)0)))
= ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)0)) |
| 308 | 299, 305,
307 | 3eqtr3i 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) =
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)0)) |
| 309 | 308 | dmeqi 5915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ dom
(𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) |
| 310 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) =
(𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0) |
| 311 | 89, 310 | dmmpti 6712 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ dom
(𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0) = (-π(,)0) |
| 312 | 309, 311 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)0)) = (-π(,)0) |
| 313 | | ssdmres 6031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
((-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) =
(-π(,)0)) |
| 314 | 312, 313 | mpbir 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) |
| 315 | 314 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) |
| 316 | 238, 315 | elind 4200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∩
dom (ℝ D 𝐹))) |
| 317 | 316, 219 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 318 | 234, 317 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) ∧ ¬ 0
< 𝑥) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 319 | 222, 318 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)π) ∧
¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 320 | 150, 319 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 321 | | eldifn 4132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 322 | 321 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = 0) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 323 | 320, 322 | condan 818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥 =
0) |
| 324 | | velsn 4642 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0) |
| 325 | 323, 324 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥
∈ {0}) |
| 326 | 325 | ssriv 3987 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆
{0} |
| 327 | | ssfi 9213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (({0}
∈ Fin ∧ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ⊆ {0})
→ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈
Fin) |
| 328 | 149, 326,
327 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) ∈
Fin |
| 329 | | inss1 4237 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ (-π(,)π) |
| 330 | 219, 329 | eqsstri 4030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ⊆ (-π(,)π) |
| 331 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(-π(,)π) ⊆ ℂ |
| 332 | 330, 331 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ⊆ ℂ |
| 333 | 332 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (⊤
→ dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ⊆ ℂ) |
| 334 | | dvf 25942 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (ℝ
D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ |
| 335 | | fresin 6777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((ℝ
D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ →
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩
(-π(,)π))⟶ℂ) |
| 336 | | ffdm 6765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))⟶ℂ
→ (((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
∧ dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π)))) |
| 337 | 334, 335,
336 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))⟶ℂ
∧ dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ⊆ (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-π(,)π))) |
| 338 | 337 | simpli 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))⟶ℂ |
| 339 | 338 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (⊤
→ ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)):dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))⟶ℂ) |
| 340 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → -π
∈ ℝ*) |
| 341 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → 0 ∈
ℝ*) |
| 342 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(-π(,)π) ⊆ ℝ |
| 343 | 330 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) →
𝑥 ∈
(-π(,)π)) |
| 344 | 342, 343 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) →
𝑥 ∈
ℝ) |
| 345 | 344 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → 𝑥 ∈
ℝ) |
| 346 | 343, 227 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) →
-π < 𝑥) |
| 347 | 346 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → -π <
𝑥) |
| 348 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → 𝑥 < 0) |
| 349 | 340, 341,
345, 347, 348 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → 𝑥 ∈
(-π(,)0)) |
| 350 | | elun1 4182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪
(0(,)π))) |
| 351 | 349, 350 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
𝑥 < 0) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪
(0(,)π))) |
| 352 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) →
𝑥 ∈ dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 353 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) → 0
∈ ℝ) |
| 354 | 344 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) →
𝑥 ∈
ℝ) |
| 355 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) →
¬ 𝑥 <
0) |
| 356 | 353, 354,
355 | nltled 11411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) → 0
≤ 𝑥) |
| 357 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = 0 → 𝑥 = 0) |
| 358 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(TopOpen‘ℂfld) =
(TopOpen‘ℂfld) |
| 359 | 204 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ ℝ ⊆ ℝ) |
| 360 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢
(topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,)) |
| 361 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 362 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ℝ) |
| 363 | | mnfxr 11318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ -∞
∈ ℝ* |
| 364 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ -∞ ∈ ℝ*) |
| 365 | 362 | mnfltd 13166 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ -∞ < 0) |
| 366 | 360, 364,
362, 365 | lptioo2 45646 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran
(,)))‘(-∞(,)0))) |
| 367 | | incom 4209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (ℝ
∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ) |
| 368 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(-∞(,)0) ⊆ ℝ |
| 369 | | dfss2 3969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
((-∞(,)0) ⊆ ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) =
(-∞(,)0)) |
| 370 | 368, 369 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0) |
| 371 | 367, 370 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
(-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0)) |
| 372 | 371 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(-∞(,)0)) =
((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩
(-∞(,)0))) |
| 373 | 366, 372 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩
(-∞(,)0)))) |
| 374 | | pnfxr 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ +∞
∈ ℝ* |
| 375 | 374 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ +∞ ∈ ℝ*) |
| 376 | 362 | ltpnfd 13163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ 0 < +∞) |
| 377 | 360, 362,
375, 376 | lptioo1 45647 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran
(,)))‘(0(,)+∞))) |
| 378 | | incom 4209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (ℝ
∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ) |
| 379 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(0(,)+∞) ⊆ ℝ |
| 380 | | dfss2 3969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
((0(,)+∞) ⊆ ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) =
(0(,)+∞)) |
| 381 | 379, 380 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞) |
| 382 | 378, 381 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢
(0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞)) |
| 383 | 382 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(0(,)+∞)) =
((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩
(0(,)+∞))) |
| 384 | 377, 383 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(ℝ ∩
(0(,)+∞)))) |
| 385 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
= (𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ -1) |
| 386 | | mnfle 13177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (-π
∈ ℝ* → -∞ ≤ -π) |
| 387 | 159, 386 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ -∞
≤ -π |
| 388 | | iooss1 13422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) →
(-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)) |
| 389 | 363, 387,
388 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) |
| 390 | 389 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (⊤
→ (-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0)) |
| 391 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(-∞(,)0) ⊆ ℂ |
| 392 | 390, 391 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ (-π(,)0) ⊆ ℂ) |
| 393 | | 0cnd 11254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ℂ) |
| 394 | 385, 392,
303, 393 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ -1 ∈ ((𝑥 ∈
(-π(,)0) ↦ -1) limℂ 0)) |
| 395 | | resabs1 6024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
((-π(,)0) ⊆ (-∞(,)0) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾
(-π(,)0)) = (𝐹 ↾
(-π(,)0))) |
| 396 | 389, 395 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾
(-π(,)0)) = (𝐹 ↾
(-π(,)0)) |
| 397 | 298, 396 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
= ((𝐹 ↾
(-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) |
| 398 | 397 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
limℂ 0) = (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾
(-π(,)0)) limℂ 0) |
| 399 | | fssres 6774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧
(-∞(,)0) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾
(-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ) |
| 400 | 207, 368,
399 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝐹 ↾
(-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ |
| 401 | 400 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ (𝐹 ↾
(-∞(,)0)):(-∞(,)0)⟶ℂ) |
| 402 | 391 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ (-∞(,)0) ⊆ ℂ) |
| 403 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((-∞(,)0) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})) |
| 404 | | 0le0 12367 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ 0 ≤
0 |
| 405 | | elioc2 13450 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 ∈ (-π(,]0)
↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤ 0))) |
| 406 | 159, 67, 405 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (0 ∈
(-π(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 ≤
0)) |
| 407 | 67, 164, 404, 406 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ 0 ∈
(-π(,]0) |
| 408 | 358 | cnfldtop 24804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(TopOpen‘ℂfld) ∈ Top |
| 409 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(-∞(,]0) ∈ V |
| 410 | | resttop 23168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0)
∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)) ∈ Top) |
| 411 | 408, 409,
410 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)) ∈ Top |
| 412 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (⊤
→ -π ∈ ℝ*) |
| 413 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) =
((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) |
| 414 | 387 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (⊤
→ -∞ ≤ -π) |
| 415 | 364, 412,
362, 360, 413, 414, 362 | iocopn 45533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (⊤
→ (-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t
(-∞(,]0))) |
| 416 | 415 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(-π(,]0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t
(-∞(,]0)) |
| 417 | 198 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) =
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (-∞(,]0)) |
| 418 | | iocssre 13467 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) →
(-∞(,]0) ⊆ ℝ) |
| 419 | 363, 67, 418 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
(-∞(,]0) ⊆ ℝ |
| 420 | 195 | elexi 3503 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ℝ
∈ V |
| 421 | | restabs 23173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0)
⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) →
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (-∞(,]0))) |
| 422 | 408, 419,
420, 421 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (-∞(,]0)) |
| 423 | 417, 422 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (-∞(,]0)) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)) |
| 424 | 416, 423 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
(-π(,]0) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (-∞(,]0)) |
| 425 | | isopn3i 23090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-π(,]0) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (-∞(,]0)))
→ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0)) |
| 426 | 411, 424,
425 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) = (-π(,]0) |
| 427 | | mnflt0 13167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ -∞
< 0 |
| 428 | | ioounsn 13517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*
∧ -∞ < 0) → ((-∞(,)0) ∪ {0}) =
(-∞(,]0)) |
| 429 | 363, 151,
427, 428 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((-∞(,)0) ∪ {0}) = (-∞(,]0) |
| 430 | 429 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢
(-∞(,]0) = ((-∞(,)0) ∪ {0}) |
| 431 | 430 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((-∞(,)0) ∪ {0})) |
| 432 | 431 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
(int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((-∞(,)0) ∪ {0}))) |
| 433 | | ioounsn 13517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -π <
0) → ((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0)) |
| 434 | 159, 151,
164, 433 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
((-π(,)0) ∪ {0}) = (-π(,]0) |
| 435 | 434 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
(-π(,]0) = ((-π(,)0) ∪ {0}) |
| 436 | 432, 435 | fveq12i 6912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(-∞(,]0)))‘(-π(,]0)) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})) |
| 437 | 426, 436 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢
(-π(,]0) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪
{0})) |
| 438 | 407, 437 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ 0 ∈
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪ {0})) |
| 439 | 438 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((-∞(,)0) ∪ {0})))‘((-π(,)0) ∪
{0}))) |
| 440 | 401, 390,
402, 358, 403, 439 | limcres 25921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (⊤
→ (((𝐹 ↾
(-∞(,)0)) ↾ (-π(,)0)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0))
limℂ 0)) |
| 441 | 440 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝐹 ↾ (-∞(,)0)) ↾
(-π(,)0)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0))
limℂ 0) |
| 442 | 398, 441 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ -1)
limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)0))
limℂ 0) |
| 443 | 394, 442 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ -1 ∈ ((𝐹
↾ (-∞(,)0)) limℂ 0)) |
| 444 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) =
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 1) |
| 445 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(0(,)π) ⊆ ℂ |
| 446 | 445 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (⊤
→ (0(,)π) ⊆ ℂ) |
| 447 | 444, 446,
201, 393 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ((𝑥 ∈
(0(,)π) ↦ 1) limℂ 0)) |
| 448 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (π
∈ ℝ → π < +∞) |
| 449 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((π
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) →
(π < +∞ → π ≤ +∞)) |
| 450 | 153, 374,
449 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (π
< +∞ → π ≤ +∞) |
| 451 | 118, 448,
450 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ π ≤
+∞ |
| 452 | | iooss2 13423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢
((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) →
(0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)) |
| 453 | 374, 451,
452 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
(0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) |
| 454 | | resabs1 6024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
((0(,)π) ⊆ (0(,)+∞) → ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
= (𝐹 ↾
(0(,)π))) |
| 455 | 453, 454 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾
(0(,)π)) = (𝐹 ↾
(0(,)π)) |
| 456 | 193, 455 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1) =
((𝐹 ↾ (0(,)+∞))
↾ (0(,)π)) |
| 457 | 456 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
limℂ 0) = (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾ (0(,)π))
limℂ 0) |
| 458 | | fssres 6774 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℂ ∧
(0(,)+∞) ⊆ ℝ) → (𝐹 ↾
(0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ) |
| 459 | 207, 379,
458 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝐹 ↾
(0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ |
| 460 | 459 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ (𝐹 ↾
(0(,)+∞)):(0(,)+∞)⟶ℂ) |
| 461 | 453 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ (0(,)π) ⊆ (0(,)+∞)) |
| 462 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
(0(,)+∞) ⊆ ℂ |
| 463 | 462 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ (0(,)+∞) ⊆ ℂ) |
| 464 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((0(,)+∞) ∪ {0})) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})) |
| 465 | | elico2 13451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (0 ∈
(0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 <
π))) |
| 466 | 67, 153, 465 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (0 ∈
(0[,)π) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 0 ∧ 0 <
π)) |
| 467 | 67, 404, 68, 466 | mpbir3an 1342 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ 0 ∈
(0[,)π) |
| 468 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(0[,)+∞) ∈ V |
| 469 | | resttop 23168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞)
∈ V) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)) ∈ Top) |
| 470 | 408, 468,
469 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)) ∈ Top |
| 471 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (⊤
→ π ∈ ℝ*) |
| 472 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) =
((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) |
| 473 | 451 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (⊤
→ π ≤ +∞) |
| 474 | 362, 471,
375, 360, 472, 473 | icoopn 45538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (⊤
→ (0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t
(0[,)+∞))) |
| 475 | 474 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
(0[,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t
(0[,)+∞)) |
| 476 | 198 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) =
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (0[,)+∞)) |
| 477 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 478 | | restabs 23173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞)
⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) →
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (0[,)+∞))) |
| 479 | 408, 477,
420, 478 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t (0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (0[,)+∞)) |
| 480 | 476, 479 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t (0[,)+∞)) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)) |
| 481 | 475, 480 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
(0[,)π) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t (0[,)+∞)) |
| 482 | | isopn3i 23090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
((((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)π) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,)+∞)))
→ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π)) |
| 483 | 470, 481,
482 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)))‘(0[,)π)) = (0[,)π) |
| 484 | | 0ltpnf 13164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ 0 <
+∞ |
| 485 | | snunioo1 45525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0
< +∞) → ((0(,)+∞) ∪ {0}) =
(0[,)+∞)) |
| 486 | 151, 374,
484, 485 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢
((0(,)+∞) ∪ {0}) = (0[,)+∞) |
| 487 | 486 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢
(0[,)+∞) = ((0(,)+∞) ∪ {0}) |
| 488 | 487 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((0(,)+∞) ∪ {0})) |
| 489 | 488 | fveq2i 6909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
(int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞))) = (int‘((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((0(,)+∞) ∪ {0}))) |
| 490 | | snunioo1 45525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 <
π) → ((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π)) |
| 491 | 151, 153,
68, 490 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢
((0(,)π) ∪ {0}) = (0[,)π) |
| 492 | 491 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢
(0[,)π) = ((0(,)π) ∪ {0}) |
| 493 | 489, 492 | fveq12i 6912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
(0[,)+∞)))‘(0[,)π)) =
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})) |
| 494 | 483, 493 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢
(0[,)π) = ((int‘((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪
{0})) |
| 495 | 467, 494 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ 0 ∈
((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t
((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪ {0})) |
| 496 | 495 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld)
↾t ((0(,)+∞) ∪ {0})))‘((0(,)π) ∪
{0}))) |
| 497 | 460, 461,
463, 358, 464, 496 | limcres 25921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (⊤
→ (((𝐹 ↾
(0(,)+∞)) ↾ (0(,)π)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞))
limℂ 0)) |
| 498 | 497 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝐹 ↾ (0(,)+∞)) ↾
(0(,)π)) limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞))
limℂ 0) |
| 499 | 457, 498 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 1)
limℂ 0) = ((𝐹 ↾ (0(,)+∞))
limℂ 0) |
| 500 | 447, 499 | eleqtrdi 2851 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ((𝐹 ↾
(0(,)+∞)) limℂ 0)) |
| 501 | | neg1lt0 12383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ -1 <
0 |
| 502 | 106, 67, 105 | lttri 11387 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((-1 <
0 ∧ 0 < 1) → -1 < 1) |
| 503 | 501, 34, 502 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ -1 <
1 |
| 504 | 106, 503 | ltneii 11374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ -1 ≠
1 |
| 505 | 504 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⊤
→ -1 ≠ 1) |
| 506 | 358, 359,
360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505 | jumpncnp 45913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (⊤
→ ¬ 𝐹 ∈
(((topGen‘ran (,)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘0)) |
| 507 | 506 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ¬
𝐹 ∈
(((topGen‘ran (,)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘0) |
| 508 | 205 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (0 ∈
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℂ) |
| 509 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (0 ∈
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 510 | 204 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (0 ∈
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) → ℝ ⊆ ℝ) |
| 511 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢
((-π(,)π) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) |
| 512 | 219, 511 | eqsstri 4030 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ⊆ dom (ℝ D 𝐹) |
| 513 | 512 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (0 ∈
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) → 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) |
| 514 | 198, 358 | dvcnp2 25955 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:ℝ⟶ℂ ∧ ℝ
⊆ ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) → 𝐹 ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘0)) |
| 515 | 508, 509,
510, 513, 514 | syl31anc 1375 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (0 ∈
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) → 𝐹
∈ (((topGen‘ran (,)) CnP
(TopOpen‘ℂfld))‘0)) |
| 516 | 507, 515 | mto 197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ¬ 0
∈ dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) |
| 517 | 516 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 = 0 → ¬ 0 ∈ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 518 | 357, 517 | eqneltrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 = 0 → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 519 | 518 | necon2ai 2970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) →
𝑥 ≠ 0) |
| 520 | 519 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) →
𝑥 ≠ 0) |
| 521 | 353, 354,
356, 520 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) → 0
< 𝑥) |
| 522 | 343, 163 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
0 < 𝑥) → 𝑥 ∈
(0(,)π)) |
| 523 | | elun2 4183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪
(0(,)π))) |
| 524 | 522, 523 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
0 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪
(0(,)π))) |
| 525 | 352, 521,
524 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∧
¬ 𝑥 < 0) →
𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪
(0(,)π))) |
| 526 | 351, 525 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) →
𝑥 ∈ ((-π(,)0) ∪
(0(,)π))) |
| 527 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(-π(,)0) ∈ V |
| 528 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(0(,)π) ∈ V |
| 529 | 527, 528 | unipr 4924 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ∪ {(-π(,)0), (0(,)π)} = ((-π(,)0) ∪
(0(,)π)) |
| 530 | 526, 529 | eleqtrrdi 2852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) →
𝑥 ∈ ∪ {(-π(,)0), (0(,)π)}) |
| 531 | 530 | ssriv 3987 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ⊆ ∪ {(-π(,)0),
(0(,)π)} |
| 532 | 531 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (⊤
→ dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ⊆ ∪ {(-π(,)0),
(0(,)π)}) |
| 533 | | ineq2 4214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥) =
(dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (-π(,)0))) |
| 534 | | retop 24782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(topGen‘ran (,)) ∈ Top |
| 535 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (ℝ
D 𝐹) ∈
V |
| 536 | 535 | resex 6047 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∈ V |
| 537 | 536 | dmex 7931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∈ V |
| 538 | 534, 537 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈
V) |
| 539 | 317 | ssriv 3987 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(-π(,)0) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) |
| 540 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(-π(,)0) ⊆ (-π(,)0) |
| 541 | 300, 539,
540 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0)) |
| 542 | | restopnb 23183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈
V) ∧ ((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (-π(,)0) ⊆
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∧ (-π(,)0) ⊆ (-π(,)0))) → ((-π(,)0)
∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))))) |
| 543 | 538, 541,
542 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((-π(,)0) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (-π(,)0) ∈
((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))) |
| 544 | 300, 543 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(-π(,)0) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 545 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ⊆ (-π(,)0) |
| 546 | 539, 540 | ssini 4240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(-π(,)0) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩
(-π(,)0)) |
| 547 | 545, 546 | eqssi 4000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) = (-π(,)0) |
| 548 | 198 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) =
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 549 | 330, 342 | sstri 3993 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ⊆ ℝ |
| 550 | | restabs 23173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) →
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 551 | 408, 549,
420, 550 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) =
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 552 | 548, 551 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) = ((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 553 | 544, 547,
552 | 3eltr4i 2854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (-π(,)0)) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 554 | 533, 553 | eqeltrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥)
∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 555 | 554 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} ∧ 𝑥 =
(-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 556 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬
𝑥 = (-π(,)0) →
𝑥 ≠
(-π(,)0)) |
| 557 | | elprn1 45648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} ∧ 𝑥 ≠
(-π(,)0)) → 𝑥 =
(0(,)π)) |
| 558 | 556, 557 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 =
(-π(,)0)) → 𝑥 =
(0(,)π)) |
| 559 | | ineq2 4214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥) =
(dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (0(,)π))) |
| 560 | 220 | ssriv 3987 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(0(,)π) ⊆ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) |
| 561 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(0(,)π) ⊆ (0(,)π) |
| 562 | 197, 560,
561 | 3pm3.2i 1340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π)) |
| 563 | | restopnb 23183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∈
V) ∧ ((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (0(,)π) ⊆ dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∧ (0(,)π) ⊆ (0(,)π))) → ((0(,)π) ∈
(topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,))
↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))))) |
| 564 | 538, 562,
563 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ (0(,)π) ∈
((topGen‘ran (,)) ↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)))) |
| 565 | 197, 564 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(0(,)π) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 566 | | inss2 4238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ⊆ (0(,)π) |
| 567 | 560, 561 | ssini 4240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(0(,)π) ⊆ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩
(0(,)π)) |
| 568 | 566, 567 | eqssi 4000 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) = (0(,)π) |
| 569 | 565, 568,
552 | 3eltr4i 2854 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ (0(,)π)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld)
↾t dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 570 | 559, 569 | eqeltrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥)
∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 571 | 558, 570 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 =
(-π(,)0)) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 572 | 555, 571 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 573 | 572 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((⊤ ∧ 𝑥
∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥) ∈
((TopOpen‘ℂfld) ↾t dom ((ℝ D
𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 574 | | ssid 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ℂ
⊆ ℂ |
| 575 | 574 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ ℂ ⊆ ℂ) |
| 576 | 392, 393,
575 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ (𝑥 ∈
(-π(,)0) ↦ 0) ∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)) |
| 577 | 576 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ) |
| 578 | 577 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
∈ ((-π(,)0)–cn→ℂ)) |
| 579 | | reseq2 5992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ 𝑥)
= (((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-π(,)0))) |
| 580 | | resabs1 6024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((-π(,)0) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0))) |
| 581 | 237, 580 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) |
| 582 | 581, 308 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)0)) = (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦
0) |
| 583 | 579, 582 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ 𝑥)
= (𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0)) |
| 584 | 533, 547 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥) =
(-π(,)0)) |
| 585 | 584 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → ((dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((-π(,)0)–cn→ℂ)) |
| 586 | 578, 583,
585 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (-π(,)0) → (((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ 𝑥)
∈ ((dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ)) |
| 587 | 586 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} ∧ 𝑥 =
(-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩
𝑥)–cn→ℂ)) |
| 588 | 446, 393,
575 | constcncfg 45887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ (𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)) |
| 589 | 588 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
∈ ((0(,)π)–cn→ℂ) |
| 590 | 589 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
∈ ((0(,)π)–cn→ℂ)) |
| 591 | | reseq2 5992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ 𝑥)
= (((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (0(,)π))) |
| 592 | | resabs1 6024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((0(,)π) ⊆ (-π(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾
(0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π))) |
| 593 | 167, 592 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) |
| 594 | 593, 210 | eqtr4i 2768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)π)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦
0) |
| 595 | 591, 594 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ 𝑥)
= (𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0)) |
| 596 | 559, 568 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥) =
(0(,)π)) |
| 597 | 596 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → ((dom
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ) = ((0(,)π)–cn→ℂ)) |
| 598 | 590, 595,
597 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = (0(,)π) → (((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ 𝑥)
∈ ((dom ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ∩ 𝑥)–cn→ℂ)) |
| 599 | 558, 598 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} ∧ ¬ 𝑥 =
(-π(,)0)) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩
𝑥)–cn→ℂ)) |
| 600 | 587, 599 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ {(-π(,)0),
(0(,)π)} → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩
𝑥)–cn→ℂ)) |
| 601 | 600 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((⊤ ∧ 𝑥
∈ {(-π(,)0), (0(,)π)}) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ 𝑥) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ∩
𝑥)–cn→ℂ)) |
| 602 | 333, 339,
532, 573, 601 | cncfuni 45901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (⊤
→ ((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ)) |
| 603 | 602 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))–cn→ℂ) |
| 604 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = -π → (𝑥(,)+∞) =
(-π(,)+∞)) |
| 605 | 604 | reseq2d 5997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = -π → (((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞)) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞))) |
| 606 | | iooss2 13423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((+∞ ∈ ℝ* ∧ π ≤ +∞) →
(-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞)) |
| 607 | 374, 451,
606 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) |
| 608 | | resabs2 6027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((-π(,)π) ⊆ (-π(,)+∞) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 609 | 607, 608 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-π(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) |
| 610 | 605, 609 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = -π → (((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞)) =
((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) |
| 611 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = -π → 𝑥 = -π) |
| 612 | 610, 611 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = -π → ((((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) limℂ -π)) |
| 613 | 251 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ -π ∈ ℂ) |
| 614 | 310, 392,
393, 613 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((𝑥 ∈
(-π(,)0) ↦ 0) limℂ -π)) |
| 615 | 614 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 0 ∈
((𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0) limℂ -π) |
| 616 | 308 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) limℂ
-π) |
| 617 | 334 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ (ℝ D 𝐹):dom
(ℝ D 𝐹)⟶ℂ) |
| 618 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ -π ∈ ℝ) |
| 619 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ℝ*) |
| 620 | 164 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ -π < 0) |
| 621 | 314 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ (-π(,)0) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)) |
| 622 | 235 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ 0 ≤ π) |
| 623 | 617, 618,
619, 620, 621, 471, 622 | limcresioolb 45658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ (((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)0)) limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ -π)) |
| 624 | 623 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)0)) limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ -π) |
| 625 | 616, 624 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
limℂ -π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ -π) |
| 626 | 615, 625 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 0 ∈
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) limℂ -π) |
| 627 | 626 | ne0ii 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) limℂ -π) ≠
∅ |
| 628 | 627 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = -π → (((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ -π) ≠ ∅) |
| 629 | 612, 628 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = -π → ((((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 630 | 629 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ 𝑥 =
-π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 631 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥
∈ (-π[,)π)) |
| 632 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
-π ∈ ℝ*) |
| 633 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
π ∈ ℝ*) |
| 634 | | icossre 13468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ*) → (-π[,)π)
⊆ ℝ) |
| 635 | 158, 153,
634 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(-π[,)π) ⊆ ℝ |
| 636 | 635 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (-π[,)π) →
𝑥 ∈
ℝ) |
| 637 | 636 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
𝑥 ∈
ℝ) |
| 638 | 158 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
-π ∈ ℝ) |
| 639 | | icogelb 13438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π[,)π)) →
-π ≤ 𝑥) |
| 640 | 159, 153,
639 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (-π[,)π) →
-π ≤ 𝑥) |
| 641 | 640 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
-π ≤ 𝑥) |
| 642 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (¬
𝑥 = -π → 𝑥 ≠ -π) |
| 643 | 642 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
𝑥 ≠
-π) |
| 644 | 638, 637,
641, 643 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
-π < 𝑥) |
| 645 | | icoltub 45521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π[,)π)) →
𝑥 <
π) |
| 646 | 159, 153,
645 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (-π[,)π) →
𝑥 <
π) |
| 647 | 646 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
𝑥 <
π) |
| 648 | 632, 633,
637, 644, 647 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ (-π[,)π) ∧
¬ 𝑥 = -π) →
𝑥 ∈
(-π(,)π)) |
| 649 | 631, 648 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π)) |
| 650 | | eldifn 4132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 651 | 650 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 652 | 649, 651 | eldifd 3962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 653 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(,)+∞) =
(0(,)+∞)) |
| 654 | 653 | reseq2d 5997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞)) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞))) |
| 655 | 654, 357 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥) =
((((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ
0)) |
| 656 | 212, 446,
393, 393 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((𝑥 ∈
(0(,)π) ↦ 0) limℂ 0)) |
| 657 | 656 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 0 ∈
((𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) limℂ 0) |
| 658 | | resres 6010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩
(0(,)+∞))) |
| 659 | | iooin 13421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧ (0
∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) →
((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0, -π)(,)if(π
≤ +∞, π, +∞))) |
| 660 | 159, 153,
151, 374, 659 | mp4an 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-π ≤ 0, 0,
-π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) |
| 661 | 165 | iftruei 4532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ if(-π
≤ 0, 0, -π) = 0 |
| 662 | 451 | iftruei 4532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ if(π
≤ +∞, π, +∞) = π |
| 663 | 661, 662 | oveq12i 7443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (if(-π
≤ 0, 0, -π)(,)if(π ≤ +∞, π, +∞)) =
(0(,)π) |
| 664 | 660, 663 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)π) |
| 665 | 664 | reseq2i 5994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾
((-π(,)π) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) |
| 666 | 210 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾ (0(,)π)) =
(𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) |
| 667 | 658, 665,
666 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) |
| 668 | 667 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
limℂ 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾
(0(,)+∞)) limℂ 0) |
| 669 | 657, 668 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 0 ∈
((((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ
0) |
| 670 | 669 | ne0ii 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (0(,)+∞)) limℂ 0) ≠
∅ |
| 671 | 670 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (0(,)+∞)) limℂ 0) ≠ ∅) |
| 672 | 655, 671 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 673 | 652, 323,
672 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = -π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 674 | 630, 673 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ ((-π[,)π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾ (𝑥(,)+∞))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 675 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = π → (-∞(,)𝑥) =
(-∞(,)π)) |
| 676 | 675 | reseq2d 5997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = π → (((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥)) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π))) |
| 677 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = π → 𝑥 = π) |
| 678 | 676, 677 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = π → ((((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥) =
((((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) limℂ
π)) |
| 679 | | iooss1 13422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≤ -π) →
(-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π)) |
| 680 | 363, 387,
679 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) |
| 681 | | resabs2 6027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((-π(,)π) ⊆ (-∞(,)π) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 682 | 680, 681 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) = ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) |
| 683 | 682 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)π)) limℂ π)
= (((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) limℂ π) |
| 684 | 678, 683 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = π → ((((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) limℂ π)) |
| 685 | 212, 446,
393, 53 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((𝑥 ∈
(0(,)π) ↦ 0) limℂ π)) |
| 686 | 685 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 0 ∈
((𝑥 ∈ (0(,)π)
↦ 0) limℂ π) |
| 687 | 210 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (0(,)π)) limℂ
π) |
| 688 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ π ∈ ℝ) |
| 689 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ 0 < π) |
| 690 | 216 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ (0(,)π) ⊆ dom (ℝ D 𝐹)) |
| 691 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⊤
→ -π ≤ 0) |
| 692 | 617, 619,
688, 689, 690, 412, 691 | limcresiooub 45657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ (((ℝ D 𝐹)
↾ (0(,)π)) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ π)) |
| 693 | 692 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (0(,)π)) limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ π) |
| 694 | 687, 693 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ 0)
limℂ π) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ π) |
| 695 | 686, 694 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 0 ∈
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) limℂ π) |
| 696 | 695 | ne0ii 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) limℂ π) ≠
∅ |
| 697 | 696 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = π → (((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
limℂ π) ≠ ∅) |
| 698 | 684, 697 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = π → ((((ℝ D
𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 699 | 698 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ 𝑥 =
π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾
(-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 700 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π ∈
ℝ*) |
| 701 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈
ℝ*) |
| 702 | | negpitopissre 26582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(-π(,]π) ⊆ ℝ |
| 703 | | eldifi 4131 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥
∈ (-π(,]π)) |
| 704 | 702, 703 | sselid 3981 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥
∈ ℝ) |
| 705 | 704 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 706 | 159 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → -π ∈ ℝ*) |
| 707 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → π ∈ ℝ*) |
| 708 | | iocgtlb 45515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,]π)) →
-π < 𝑥) |
| 709 | 706, 707,
703, 708 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → -π < 𝑥) |
| 710 | 709 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → -π < 𝑥) |
| 711 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ∈
ℝ) |
| 712 | | iocleub 45516 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (-π(,]π)) →
𝑥 ≤
π) |
| 713 | 706, 707,
703, 712 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → 𝑥
≤ π) |
| 714 | 713 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ≤ π) |
| 715 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (π =
𝑥 → π = 𝑥) |
| 716 | 715 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (π =
𝑥 → 𝑥 = π) |
| 717 | 716 | necon3bi 2967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬
𝑥 = π → π ≠
𝑥) |
| 718 | 717 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → π ≠ 𝑥) |
| 719 | 705, 711,
714, 718 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 < π) |
| 720 | 700, 701,
705, 710, 719 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ (-π(,)π)) |
| 721 | | eldifn 4132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 722 | 721 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ¬ 𝑥 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))) |
| 723 | 720, 722 | eldifd 3962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → 𝑥 ∈ ((-π(,)π) ∖ dom ((ℝ
D 𝐹) ↾
(-π(,)π)))) |
| 724 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 0 → (-∞(,)𝑥) =
(-∞(,)0)) |
| 725 | 724 | reseq2d 5997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 0 → (((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥)) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0))) |
| 726 | 725, 357 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥) =
((((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ
0)) |
| 727 | 310, 392,
393, 393 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ 0 ∈ ((𝑥 ∈
(-π(,)0) ↦ 0) limℂ 0)) |
| 728 | 727 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 0 ∈
((𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0) limℂ 0) |
| 729 | | resres 6010 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((-π(,)π) ∩
(-∞(,)0))) |
| 730 | | iooin 13421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((-π
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) ∧
(-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*))
→ ((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞,
-∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0))) |
| 731 | 159, 153,
363, 151, 730 | mp4an 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-π ≤ -∞,
-∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) |
| 732 | | mnflt 13165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (-π
∈ ℝ → -∞ < -π) |
| 733 | 158, 732 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ -∞
< -π |
| 734 | | xrltnle 11328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ -π ∈
ℝ*) → (-∞ < -π ↔ ¬ -π ≤
-∞)) |
| 735 | 363, 159,
734 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (-∞
< -π ↔ ¬ -π ≤ -∞) |
| 736 | 733, 735 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ¬
-π ≤ -∞ |
| 737 | 736 | iffalsei 4535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ if(-π
≤ -∞, -∞, -π) = -π |
| 738 | | xrltnle 11328 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (0
< π ↔ ¬ π ≤ 0)) |
| 739 | 151, 153,
738 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (0 <
π ↔ ¬ π ≤ 0) |
| 740 | 68, 739 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ¬
π ≤ 0 |
| 741 | 740 | iffalsei 4535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ if(π
≤ 0, π, 0) = 0 |
| 742 | 737, 741 | oveq12i 7443 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (if(-π
≤ -∞, -∞, -π)(,)if(π ≤ 0, π, 0)) =
(-π(,)0) |
| 743 | 731, 742 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0)) = (-π(,)0) |
| 744 | 743 | reseq2i 5994 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾
((-π(,)π) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) |
| 745 | 308 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((ℝ
D 𝐹) ↾ (-π(,)0)) =
(𝑥 ∈ (-π(,)0)
↦ 0) |
| 746 | 729, 744,
745 | 3eqtrri 2770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0) =
(((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) |
| 747 | 746 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑥 ∈ (-π(,)0) ↦ 0)
limℂ 0) = ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾
(-∞(,)0)) limℂ 0) |
| 748 | 728, 747 | eleqtri 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 0 ∈
((((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ
0) |
| 749 | 748 | ne0ii 4344 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((ℝ D 𝐹)
↾ (-π(,)π)) ↾ (-∞(,)0)) limℂ 0) ≠
∅ |
| 750 | 749 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)0)) limℂ 0) ≠ ∅) |
| 751 | 726, 750 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 0 → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 752 | 723, 323,
751 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) ∧ ¬ 𝑥 = π) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π))
↾ (-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 753 | 699, 752 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑥 ∈ ((-π(,]π) ∖
dom ((ℝ D 𝐹) ↾
(-π(,)π))) → ((((ℝ D 𝐹) ↾ (-π(,)π)) ↾
(-∞(,)𝑥))
limℂ 𝑥)
≠ ∅) |
| 754 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) |
| 755 | | ioosscn 13449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ |
| 756 | 755 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ) |
| 757 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈
ℂ) |
| 758 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 759 | 754, 756,
757, 758 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 760 | | ioossioc 45505 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(0(,)π) ⊆ (0(,]π) |
| 761 | 760 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) |
| 762 | 761 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) =
1) |
| 763 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 764 | | modcl 13913 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+)
→ (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ) |
| 765 | 22, 133, 764 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ |
| 766 | 22, 765 | resubcli 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ |
| 767 | 766 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ* |
| 768 | 767 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ*) |
| 769 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 770 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 771 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → 0 < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 772 | 151, 153,
771 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → 0 < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 773 | 770, 772 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ+) |
| 774 | 769, 773 | ltsubrpd 13109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋) |
| 775 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ |
| 776 | 775 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ) |
| 777 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ∈
ℝ*) |
| 778 | | mnflt 13165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ <
(𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 779 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) →
(-∞ < (𝑋 −
(𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 780 | 363, 767,
779 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (-∞
< (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 781 | 766, 778,
780 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ -∞
≤ (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) |
| 782 | 781 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → -∞ ≤
(𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 783 | 763, 768,
769, 774, 776, 777, 782 | limcresiooub 45657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 784 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 785 | 151, 153,
784 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 786 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 787 | 775 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ) |
| 788 | 786, 787 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 789 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 790 | 789, 107,
145 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 791 | 790 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 792 | 789 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 793 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 794 | 792, 793 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 795 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 796 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈
ℝ) |
| 797 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 798 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 799 | | ioossico 13478 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋) |
| 800 | 799 | sseli 3979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)) |
| 801 | 797, 798,
800 | ltmod 45653 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 802 | 801 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 803 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 804 | 794, 795,
796, 802, 803 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 805 | 804 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
| 806 | 791, 805 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = 1) |
| 807 | 806 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)) |
| 808 | 788, 807 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)) |
| 809 | 785, 808 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → (𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)) |
| 810 | 809 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 811 | 783, 810 | eqtr3d 2779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 812 | 759, 762,
811 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 813 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) |
| 814 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆
ℝ |
| 815 | 814 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ ((𝑋 −
π)(,)𝑋) ⊆
ℝ) |
| 816 | 815, 205 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ ((𝑋 −
π)(,)𝑋) ⊆
ℂ) |
| 817 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ 𝑋 ∈
ℂ) |
| 818 | 813, 816,
303, 817 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⊤
→ -1 ∈ ((𝑥 ∈
((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
limℂ 𝑋)) |
| 819 | 818 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ -1 ∈
((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)
limℂ 𝑋) |
| 820 | 819 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → -1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 821 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑋 mod 𝑇) = 0) |
| 822 | | lbioc 45526 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ¬ 0
∈ (0(,]π) |
| 823 | 822 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ 0 ∈
(0(,]π)) |
| 824 | 821, 823 | eqneltrd 2861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) |
| 825 | 824 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) =
-1) |
| 826 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 827 | 814 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 − π)(,)𝑋) ⊆ ℝ) |
| 828 | 826, 827 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 829 | 827 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 830 | 829, 107,
145 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 831 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ∈
ℝ) |
| 832 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 833 | 829, 832 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 834 | 22, 118 | resubcli 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑋 − π) ∈
ℝ |
| 835 | 834 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈
ℝ) |
| 836 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 837 | 835, 836 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 838 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 839 | 838, 836 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 840 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 841 | 834 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑋 − π) ∈
ℝ* |
| 842 | 841 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) ∈
ℝ*) |
| 843 | 840 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
| 844 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) |
| 845 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑋 − π) ∈
ℝ* ∧ 𝑋
∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 − π) < 𝑥) |
| 846 | 842, 843,
844, 845 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 − π) < 𝑥) |
| 847 | 835, 838,
836, 846 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑋 − π) + 𝑇) < (𝑥 + 𝑇)) |
| 848 | 837, 839,
840, 847 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 849 | 848 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 850 | 249 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 − π) + 𝑇) = ((𝑋 − π) + (π +
π)) |
| 851 | 52, 52 | addcli 11267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (π +
π) ∈ ℂ |
| 852 | | subadd23 11520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π
∈ ℂ ∧ (π + π) ∈ ℂ) → ((𝑋 − π) + (π + π)) = (𝑋 + ((π + π) −
π))) |
| 853 | 23, 52, 851, 852 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 − π) + (π + π))
= (𝑋 + ((π + π)
− π)) |
| 854 | 52, 52 | pncan3oi 11524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((π +
π) − π) = π |
| 855 | 854 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑋 + ((π + π) − π))
= (𝑋 +
π) |
| 856 | 850, 853,
855 | 3eqtri 2769 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑋 − π) + 𝑇) = (𝑋 + π) |
| 857 | 856 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) = ((𝑋 + π) − 𝑋) |
| 858 | | pncan2 11515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ π
∈ ℂ) → ((𝑋
+ π) − 𝑋) =
π) |
| 859 | 23, 52, 858 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((𝑋 + π) − 𝑋) = π |
| 860 | 857, 859 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ π =
(((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) |
| 861 | 860 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π = (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)) |
| 862 | 839, 840 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 863 | | modabs2 13945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) →
((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇)) |
| 864 | 862, 133,
863 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇)) |
| 865 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 866 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ) |
| 867 | 837, 840 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 868 | 68, 860 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ 0 <
(((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋) |
| 869 | 868 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < (((𝑋 − π) + 𝑇) − 𝑋)) |
| 870 | 866, 867,
862, 869, 848 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 < ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 871 | 866, 862,
870 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 872 | 840, 836 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ) |
| 873 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (((𝑋 − π) ∈
ℝ* ∧ 𝑋
∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋) |
| 874 | 842, 843,
844, 873 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋) |
| 875 | 838, 840,
836, 874 | ltadd1dd 11874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝑥 + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇)) |
| 876 | 839, 872,
840, 875 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 877 | | pncan2 11515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇) |
| 878 | 23, 121, 877 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 + 𝑇) − 𝑋) = 𝑇 |
| 879 | 876, 878 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇) |
| 880 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∧ ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) < 𝑇)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 881 | 862, 865,
871, 879, 880 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 882 | 864, 881 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇)) |
| 883 | 882 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇)) |
| 884 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0)) |
| 885 | 884 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0)) |
| 886 | 862, 865 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 887 | 886 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℂ) |
| 888 | 887 | addridd 11461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇)) |
| 889 | 888 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇)) |
| 890 | 885, 889 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇))) |
| 891 | 890 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 892 | | modaddabs 13949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) →
(((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇)) |
| 893 | 862, 840,
865, 892 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇)) |
| 894 | 893 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇)) |
| 895 | 883, 891,
894 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) = ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇)) |
| 896 | 143 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℂ) |
| 897 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑋 ∈
ℂ) |
| 898 | 896, 897 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + 𝑇)) |
| 899 | 122 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (1
· 𝑇) = 𝑇) |
| 900 | 899 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + (1 · 𝑇)) = (𝑥 + 𝑇)) |
| 901 | 898, 900 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑥 + (1 · 𝑇))) |
| 902 | 901 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 903 | 838, 902 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 904 | 903 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((((𝑥 + 𝑇) − 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 905 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 1 ∈ ℤ) |
| 906 | 829, 832,
905, 136 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑥 + (1 · 𝑇)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 907 | 895, 904,
906 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑋)) |
| 908 | 849, 861,
907 | 3brtr4d 5175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇)) |
| 909 | 831, 833,
908 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇)) |
| 910 | 831, 833,
909 | lensymd 11412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 911 | 910 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
| 912 | 830, 911 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = -1) |
| 913 | 912 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1)) |
| 914 | 828, 913 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋))) |
| 915 | 914 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 916 | 841 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ (𝑋 − π)
∈ ℝ*) |
| 917 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ 𝑋 ∈
ℝ) |
| 918 | | ltsubrp 13071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π
∈ ℝ+) → (𝑋 − π) < 𝑋) |
| 919 | 22, 182, 918 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑋 − π) < 𝑋 |
| 920 | 919 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ (𝑋 − π)
< 𝑋) |
| 921 | | mnflt 13165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 − π) ∈ ℝ
→ -∞ < (𝑋
− π)) |
| 922 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 − π) ∈ ℝ*)
→ (-∞ < (𝑋
− π) → -∞ ≤ (𝑋 − π))) |
| 923 | 363, 841,
922 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (-∞
< (𝑋 − π)
→ -∞ ≤ (𝑋
− π)) |
| 924 | 834, 921,
923 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ -∞
≤ (𝑋 −
π) |
| 925 | 924 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ -∞ ≤ (𝑋
− π)) |
| 926 | 361, 916,
917, 920, 815, 364, 925 | limcresiooub 45657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⊤
→ ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 927 | 926 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) |
| 928 | 915, 927 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 929 | 820, 825,
928 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 930 | 929 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 931 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈
ℝ*) |
| 932 | 120 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ 𝑇 ∈
ℝ* |
| 933 | 932 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → 𝑇 ∈
ℝ*) |
| 934 | 765 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ* |
| 935 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ*) |
| 936 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ∈
ℝ) |
| 937 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 938 | | pm4.56 991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0)) |
| 939 | 938 | biimpi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0)) |
| 940 | | olc 869 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = 0 → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0)) |
| 941 | 940 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0)) |
| 942 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 ∈
ℝ*) |
| 943 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → π ∈
ℝ*) |
| 944 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 945 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ∈
ℝ) |
| 946 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 947 | | modge0 13919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+)
→ 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 948 | 22, 133, 947 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ 0 ≤
(𝑋 mod 𝑇) |
| 949 | 948 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 950 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) |
| 951 | 945, 946,
949, 950 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ≠ 0 → 0 < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 952 | 951 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → 0 < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 953 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 954 | 942, 943,
944, 952, 953 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π)) |
| 955 | 954 | orcd 874 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ (𝑋 mod 𝑇) ≠ 0) → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0)) |
| 956 | 941, 955 | pm2.61dane 3029 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) < π → ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0)) |
| 957 | 939, 956 | nsyl 140 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 958 | 936, 937,
957 | nltled 11411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 959 | | modlt 13920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+)
→ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) |
| 960 | 22, 133, 959 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 |
| 961 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) |
| 962 | 931, 933,
935, 958, 961 | elicod 13437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) |
| 963 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) |
| 964 | 963, 816,
201, 817 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ((𝑥 ∈
((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
limℂ 𝑋)) |
| 965 | 964 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ 1 ∈
((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)
limℂ 𝑋) |
| 966 | 965 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → 1 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 967 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) = π) |
| 968 | | ubioc1 13440 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 <
π) → π ∈ (0(,]π)) |
| 969 | 151, 153,
68, 968 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ π
∈ (0(,]π) |
| 970 | 967, 969 | eqeltrdi 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) |
| 971 | 970 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) =
1) |
| 972 | 361, 815 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (⊤
→ (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 973 | 972 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) |
| 974 | 838, 107,
145 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 975 | 974 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 976 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) |
| 977 | 967 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → π = (𝑋 mod 𝑇)) |
| 978 | 977 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 − π) = (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 979 | 978 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) |
| 980 | 979 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → ((𝑋 − π)(,)𝑋) = ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) |
| 981 | 976, 980 | eleqtrd 2843 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → 𝑥 ∈ ((𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) |
| 982 | 981, 801 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 983 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑋 mod 𝑇) = π) |
| 984 | 982, 983 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 985 | 984 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
| 986 | 975, 985 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) = π ∧ 𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = 1) |
| 987 | 986 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1)) |
| 988 | 973, 987 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋))) |
| 989 | 988 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ ((𝑋 − π)(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 990 | 989, 927 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ ((𝑋 − π)(,)𝑋) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 991 | 966, 971,
990 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) = π → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 992 | 991 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 993 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈
ℝ*) |
| 994 | 932 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → 𝑇 ∈
ℝ*) |
| 995 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 996 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ∈
ℝ) |
| 997 | | icogelb 13438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((π
∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 998 | 153, 932,
997 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 999 | 998 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1000 | | neqne 2948 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) = π → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π) |
| 1001 | 1000 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ≠ π) |
| 1002 | 996, 995,
999, 1001 | leneltd 11415 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → π < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1003 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) |
| 1004 | 993, 994,
995, 1002, 1003 | eliood 45511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) |
| 1005 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) |
| 1006 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ |
| 1007 | 1006 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ) |
| 1008 | 1007, 205 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℂ) |
| 1009 | | neg1cn 12380 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ -1 ∈
ℂ |
| 1010 | 1009 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ℂ) |
| 1011 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 1012 | 1005, 1008, 1010, 1011 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 1013 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 0 ∈
ℝ*) |
| 1014 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π ∈
ℝ) |
| 1015 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ*) |
| 1016 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((π
∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇)) → π < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1017 | 153, 932,
1016 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → π < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1018 | 1013, 1014, 1015, 1017 | gtnelioc 45504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π)) |
| 1019 | 1018 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) =
-1) |
| 1020 | 1006 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (⊤
→ (((𝑋 + π) −
(𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ⊆ ℝ) |
| 1021 | 361, 1020 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (⊤
→ (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 1022 | 1021 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) |
| 1023 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 1024 | 1023, 107, 145 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1025 | 1024 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1026 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ∈
ℝ) |
| 1027 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 1028 | 1023, 1027 | modcld 13915 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1029 | 1028 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1030 | 22, 118 | readdcli 11276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑋 + π) ∈
ℝ |
| 1031 | 1030 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑋 + π) ∈
ℂ |
| 1032 | 1031 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 + π) ∈ ℂ) |
| 1033 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 1034 | 765 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ |
| 1035 | 1034 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) |
| 1036 | 1032, 1033, 1035 | nnncan2d 11655 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + π) − 𝑋)) |
| 1037 | 1036, 859 | eqtr2di 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π = (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1038 | 1030, 765 | resubcli 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ |
| 1039 | 1038 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 1040 | 766 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 1041 | 1038 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ* |
| 1042 | 1041 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ*) |
| 1043 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 1044 | 1043 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
| 1045 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) |
| 1046 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥) |
| 1047 | 1042, 1044, 1045, 1046 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑥) |
| 1048 | 1039, 1023, 1040, 1047 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1049 | 1037, 1048 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1050 | 1023 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 1051 | | sub31 45302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1052 | 1050, 1033, 1035, 1051 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1053 | 1049, 1052 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1054 | 1053 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((π
< (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1055 | 1043, 1023 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − 𝑥) ∈ ℝ) |
| 1056 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ∈ ℝ) |
| 1057 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ*
∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → 𝑥 < 𝑋) |
| 1058 | 1042, 1044, 1045, 1057 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑥 < 𝑋) |
| 1059 | 1023, 1043 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋 − 𝑥))) |
| 1060 | 1058, 1059 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑋 − 𝑥)) |
| 1061 | 1056, 1055, 1060 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ (𝑋 − 𝑥)) |
| 1062 | 1043, 1039 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 1063 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 1064 | 1039, 1023, 1043, 1047 | ltsub2dd 11876 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − 𝑥) < (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1065 | | sub31 45302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 + π) ∈ ℂ ∧
(𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋))) |
| 1066 | 23, 1031,
1034, 1065 | mp3an 1463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) |
| 1067 | 859 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 + π) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) − π) |
| 1068 | 1066, 1067 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) − π) |
| 1069 | | ltsubrp 13071 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ π ∈
ℝ+) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1070 | 765, 182,
1069 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) |
| 1071 | 765, 118 | resubcli 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − π) ∈
ℝ |
| 1072 | 1071, 765, 120 | lttri 11387 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((((𝑋 mod 𝑇) − π) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇) |
| 1073 | 1070, 960, 1072 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) − π) < 𝑇 |
| 1074 | 1068, 1073 | eqbrtri 5164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇 |
| 1075 | 1074 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇) |
| 1076 | 1055, 1062, 1063, 1064, 1075 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − 𝑥) < 𝑇) |
| 1077 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((((𝑋 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑋 − 𝑥) ∧ (𝑋 − 𝑥) < 𝑇)) → ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇) = (𝑋 − 𝑥)) |
| 1078 | 1055, 1027, 1061, 1076, 1077 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇) = (𝑋 − 𝑥)) |
| 1079 | 1078 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1080 | 1079 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇)) |
| 1081 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1082 | 1081, 1055 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) ∈ ℝ) |
| 1083 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → π ∈
ℝ) |
| 1084 | 1052, 1082 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 1085 | 68 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < π) |
| 1086 | 1056, 1083, 1084, 1085, 1049 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1087 | 1086, 1052 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1088 | 1056, 1082, 1087 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1089 | 1043, 1040 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 1090 | 1023, 1043, 1040, 1058 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1091 | | nncan 11538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℂ) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1092 | 23, 1034,
1091 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇) |
| 1093 | 1092, 960 | eqbrtri 5164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇 |
| 1094 | 1093 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇) |
| 1095 | 1084, 1089, 1063, 1090, 1094 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑥 − (𝑋 − (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇) |
| 1096 | 1052, 1095 | eqbrtrrd 5167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) < 𝑇) |
| 1097 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
(((((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1098 | 1082, 1027, 1088, 1096, 1097 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥))) |
| 1099 | 1080, 1098 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) = (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 1100 | | modsubmodmod 13971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 − 𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇)) |
| 1101 | 1043, 1055, 1027, 1100 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (((𝑋 mod 𝑇) − ((𝑋 − 𝑥) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇)) |
| 1102 | 1033, 1050 | nncand 11625 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → (𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) = 𝑥) |
| 1103 | 1102 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 − (𝑋 − 𝑥)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1104 | 1099, 1101, 1103 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1105 | 1104 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((π
< (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ((𝑋 mod 𝑇) − (𝑋 − 𝑥)) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1106 | 1054, 1105 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ ((π
< (𝑋 mod 𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1107 | 1017, 1106 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π < (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1108 | 1026, 1029, 1107 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1109 | 1026, 1029, 1108 | lensymd 11412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 1110 | 1109 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
| 1111 | 1025, 1110 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) → (𝐹‘𝑥) = -1) |
| 1112 | 1111 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)) |
| 1113 | 1022, 1112 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))) |
| 1114 | 1113 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1115 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 1116 | 1041 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ*) |
| 1117 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 1118 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1119 | | ltaddsublt 11890 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π
∈ ℝ ∧ (𝑋 mod
𝑇) ∈ ℝ) →
(π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)) |
| 1120 | 1117, 1014, 1118, 1119 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → (π < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)) |
| 1121 | 1017, 1120 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋) |
| 1122 | 363 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ∈
ℝ*) |
| 1123 | | mnflt 13165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ → -∞ <
((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1124 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) →
(-∞ < ((𝑋 + π)
− (𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1125 | 363, 1041, 1124 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (-∞
< ((𝑋 + π) −
(𝑋 mod 𝑇)) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1126 | 1038, 1123, 1125 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ -∞
≤ ((𝑋 + π) −
(𝑋 mod 𝑇)) |
| 1127 | 1126 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → -∞ ≤ ((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1128 | 1115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127 | limcresiooub 45657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1129 | 1114, 1128 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ (((𝑋 + π) − (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 1130 | 1012, 1019, 1129 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π(,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1131 | 1004, 1130 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1132 | 992, 1131 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1133 | 962, 1132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) ∧ ¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1134 | 930, 1133 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋)) |
| 1135 | 812, 1134 | pm2.61i 182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈ ((𝐹 ↾ (-∞(,)𝑋)) limℂ 𝑋) |
| 1136 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) |
| 1137 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ |
| 1138 | 1137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⊤
→ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ) |
| 1139 | 1138, 205 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (⊤
→ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ) |
| 1140 | 1136, 1139, 201, 817 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (⊤
→ 1 ∈ ((𝑥 ∈
(𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 1141 | 1140 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 1 ∈
((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋) |
| 1142 | 1141 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 1143 | 104 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1))) |
| 1144 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1145 | 1144 | breq1d 5153 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 mod 𝑇) < π ↔ (𝑋 mod 𝑇) < π)) |
| 1146 | 1145 | ifbid 4549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑥 = 𝑋 → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1147 | 1146 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 = 𝑋) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1148 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 1149 | 105, 106 | ifcli 4573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ |
| 1150 | 1149 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℝ) |
| 1151 | 1143, 1147, 1148, 1150 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1152 | | icoltub 45521 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 1153 | 151, 153,
1152 | mp3an12 1453 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 1154 | 1153 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
| 1155 | 1151, 1154 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) = 1) |
| 1156 | 361, 1138 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⊤
→ (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 1157 | 1156 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)) |
| 1158 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 1159 | 1158, 107, 145 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1160 | 1159 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1161 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 1162 | 1158, 1161 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 1163 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 1164 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈
ℝ) |
| 1165 | 1161 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
| 1166 | 118, 765 | resubcli 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (π
− (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ |
| 1167 | 22, 1166 | readdcli 11276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ |
| 1168 | 1167 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈
ℝ* |
| 1169 | 1168 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈
ℝ*) |
| 1170 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) |
| 1171 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ (𝑋 + (π −
(𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥) |
| 1172 | 1165, 1169, 1170, 1171 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥) |
| 1173 | 1161, 1158 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥 − 𝑋))) |
| 1174 | 1172, 1173 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥 − 𝑋)) |
| 1175 | 1164, 1162, 1174 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑋)) |
| 1176 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π ∈
ℝ) |
| 1177 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 1178 | 1167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 1179 | 1178, 1161 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 1180 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ (𝑋 + (π −
(𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1181 | 1165, 1169, 1170, 1180 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1182 | 1158, 1178, 1161, 1181 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) |
| 1183 | 1166 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (π
− (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℂ |
| 1184 | | pncan2 11515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (π
− (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) →
((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1185 | 23, 1183,
1184 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (π − (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1186 | | subge02 11779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((π
∈ ℝ ∧ (𝑋 mod
𝑇) ∈ ℝ) →
(0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π)) |
| 1187 | 118, 765,
1186 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (0 ≤
(𝑋 mod 𝑇) ↔ (π − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π) |
| 1188 | 948, 1187 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (π
− (𝑋 mod 𝑇)) ≤ π |
| 1189 | 1185, 1188 | eqbrtri 5164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π |
| 1190 | 1189 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ π) |
| 1191 | 1162, 1179, 1176, 1182, 1190 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < π) |
| 1192 | 185 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → π < 𝑇) |
| 1193 | 1162, 1176, 1177, 1191, 1192 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < 𝑇) |
| 1194 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((((𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
(𝑥 − 𝑋) ∧ (𝑥 − 𝑋) < 𝑇)) → ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇) = (𝑥 − 𝑋)) |
| 1195 | 1162, 1163, 1175, 1193, 1194 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇) = (𝑥 − 𝑋)) |
| 1196 | 1195 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1197 | 1196 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇)) |
| 1198 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1199 | 1198, 1162 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ) |
| 1200 | 1161, 1161 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 1201 | 1198, 1200 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) ∈ ℝ) |
| 1202 | 23 | subidi 11580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑋 − 𝑋) = 0 |
| 1203 | 1202 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0) |
| 1204 | 1034 | addridi 11448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇) |
| 1205 | 1203, 1204 | eqtr2i 2766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) |
| 1206 | 948, 1205 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ 0 ≤
((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) |
| 1207 | 1206 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋))) |
| 1208 | 1161, 1158, 1161, 1172 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 − 𝑋) < (𝑥 − 𝑋)) |
| 1209 | 1200, 1162, 1198, 1208 | ltadd2dd 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 − 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1210 | 1164, 1201, 1199, 1207, 1209 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1211 | 1164, 1199, 1210 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1212 | 1162, 1179, 1198, 1182 | ltadd2dd 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))) |
| 1213 | 1185 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1214 | 1034, 52 | pncan3i 11586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + (π − (𝑋 mod 𝑇))) = π |
| 1215 | 1213, 1214 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = π |
| 1216 | 1212, 1215 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < π) |
| 1217 | 1199, 1176, 1177, 1216, 1192 | lttrd 11422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < 𝑇) |
| 1218 | | modid 13936 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(((((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤
((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < 𝑇)) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1219 | 1199, 1163, 1211, 1217, 1218 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1220 | 1197, 1219 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 1221 | | modaddabs 13949 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇)) |
| 1222 | 1161, 1162, 1163, 1221 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇)) |
| 1223 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 1224 | 1158 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 1225 | 1223, 1224 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) = 𝑥) |
| 1226 | 1225 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1227 | 1220, 1222, 1226 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1228 | 1227 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1229 | 1216 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < π) |
| 1230 | 1228, 1229 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) < π ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 1231 | 1153, 1230 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 1232 | 1231 | iftrued 4533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = 1) |
| 1233 | 1160, 1232 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = 1) |
| 1234 | 1233 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)) |
| 1235 | 1157, 1234 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))))) |
| 1236 | 1235 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋)) |
| 1237 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 1238 | 1168 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈
ℝ*) |
| 1239 | 1166 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π −
(𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 1240 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1241 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈
ℝ) |
| 1242 | 1240, 1241 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ 0 < (π −
(𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1243 | 1153, 1242 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 0 < (π
− (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1244 | 1239, 1243 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (π −
(𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ+) |
| 1245 | 1148, 1244 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑋 < (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1246 | 1137 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ) |
| 1247 | 374 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → +∞ ∈
ℝ*) |
| 1248 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞) |
| 1249 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧
+∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)) |
| 1250 | 1168, 374, 1249 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞) |
| 1251 | 1167, 1248, 1250 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞ |
| 1252 | 1251 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞) |
| 1253 | 1237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252 | limcresioolb 45658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)) |
| 1254 | 1236, 1253 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (π − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limℂ 𝑋)) |
| 1255 | 1142, 1155, 1254 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)) |
| 1256 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ∈
ℝ*) |
| 1257 | 932 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → 𝑇 ∈
ℝ*) |
| 1258 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ*) |
| 1259 | 151 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → 0 ∈
ℝ*) |
| 1260 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → π ∈
ℝ*) |
| 1261 | 934 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈
ℝ*) |
| 1262 | 948 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1263 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (¬
π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1264 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (¬
π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → π ∈
ℝ) |
| 1265 | 1263, 1264 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (¬
π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < π ↔ ¬ π ≤ (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1266 | 1265 | ibir 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬
π ≤ (𝑋 mod 𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 1267 | 1266 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 1268 | 1259, 1260, 1261, 1262, 1267 | elicod 13437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) |
| 1269 | | simpl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) ∧ ¬ π ≤
(𝑋 mod 𝑇)) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π)) |
| 1270 | 1268, 1269 | condan 818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1271 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) |
| 1272 | 1256, 1257, 1258, 1270, 1271 | elicod 13437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇)) |
| 1273 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) |
| 1274 | | ioossre 13448 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ |
| 1275 | 1274 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ) |
| 1276 | 1275, 205 | sstrdi 3996 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⊤
→ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℂ) |
| 1277 | 1273, 1276, 303, 817 | constlimc 45639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (⊤
→ -1 ∈ ((𝑥 ∈
(𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 1278 | 1277 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ -1 ∈
((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋) |
| 1279 | 1278 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → -1 ∈ ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 1280 | | 1ex 11257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ 1 ∈
V |
| 1281 | 106 | elexi 3503 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ -1 ∈
V |
| 1282 | 1280, 1281 | ifex 4576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
V |
| 1283 | 1146, 104, 1282 | fvmpt 7016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1284 | 22, 1283 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) |
| 1285 | 1284 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹‘𝑋) = if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1286 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → π ∈
ℝ) |
| 1287 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1288 | 1286, 1287, 998 | lensymd 11412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ¬ (𝑋 mod 𝑇) < π) |
| 1289 | 1288 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
| 1290 | 1285, 1289 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹‘𝑋) = -1) |
| 1291 | 361, 1275 | feqresmpt 6978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⊤
→ (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 1292 | 1291 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)) |
| 1293 | | elioore 13417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℝ) |
| 1294 | 1293, 107, 145 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1295 | 1294 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1)) |
| 1296 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ∈
ℝ) |
| 1297 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 1298 | 1293, 1297 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 1299 | 133 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈
ℝ+) |
| 1300 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ∈
ℝ) |
| 1301 | 1297 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈
ℝ*) |
| 1302 | 120, 765 | resubcli 11571 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ |
| 1303 | 22, 1302 | readdcli 11276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ |
| 1304 | 1303 | rexri 11319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈
ℝ* |
| 1305 | 1304 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈
ℝ*) |
| 1306 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) |
| 1307 | | ioogtlb 45508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑋 < 𝑥) |
| 1308 | 1301, 1305, 1306, 1307 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 < 𝑥) |
| 1309 | 1297, 1293 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑥 − 𝑋))) |
| 1310 | 1308, 1309 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < (𝑥 − 𝑋)) |
| 1311 | 1300, 1298, 1310 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑥 − 𝑋)) |
| 1312 | 1303 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ) |
| 1313 | 1312, 1297 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ∈ ℝ) |
| 1314 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 1315 | | iooltub 45523 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑋 ∈ ℝ*
∧ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1316 | 1301, 1305, 1306, 1315 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1317 | 1293, 1312, 1297, 1316 | ltsub1dd 11875 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) |
| 1318 | 1302 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ |
| 1319 | | pncan2 11515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑋 ∈ ℂ ∧ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℂ) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1320 | 23, 1318,
1319 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) = (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1321 | | subge02 11779 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇)) |
| 1322 | 120, 765,
1321 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ (0 ≤
(𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇) |
| 1323 | 948, 1322 | mpbi 230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ≤ 𝑇 |
| 1324 | 1320, 1323 | eqbrtri 5164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇 |
| 1325 | 1324 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋) ≤ 𝑇) |
| 1326 | 1298, 1313, 1314, 1317, 1325 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) < 𝑇) |
| 1327 | 1298, 1299, 1311, 1326, 1194 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇) = (𝑥 − 𝑋)) |
| 1328 | 1327 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1329 | 1328 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇)) |
| 1330 | | readdcl 11238 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − 𝑋) ∈ ℝ) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ) |
| 1331 | 765, 1298, 1330 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ) |
| 1332 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1333 | 948 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1334 | 1332, 1298, 1333, 1310 | addgegt0d 11836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1335 | 1300, 1331, 1334 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 0 ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1336 | 1298, 1313, 1332, 1317 | ltadd2dd 11420 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋))) |
| 1337 | 1320 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1338 | 1034, 121 | pncan3i 11586 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇 |
| 1339 | 1337, 1338 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) − 𝑋)) = 𝑇 |
| 1340 | 1336, 1339 | breqtrdi 5184 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) < 𝑇) |
| 1341 | 1331, 1299, 1335, 1340, 1218 | syl22anc 839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1342 | 1329, 1341 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇)) |
| 1343 | 1297, 1298, 1299, 1221 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑥 − 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇)) |
| 1344 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑋 ∈ ℂ) |
| 1345 | 1293 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → 𝑥 ∈ ℂ) |
| 1346 | 1344, 1345 | pncan3d 11623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) = 𝑥) |
| 1347 | 1346 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 + (𝑥 − 𝑋)) mod 𝑇) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1348 | 1342, 1343, 1347 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1349 | 1348 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) = (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1350 | 1331 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋)) ∈ ℝ) |
| 1351 | 1349, 1350 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑥 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1352 | 765 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) |
| 1353 | 998 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑋 mod 𝑇)) |
| 1354 | 1298, 1310 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑥 − 𝑋) ∈
ℝ+) |
| 1355 | 1332, 1354 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1356 | 1355 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1357 | 1296, 1352, 1350, 1353, 1356 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π < ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1358 | 1296, 1350, 1357 | ltled 11409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑥 − 𝑋))) |
| 1359 | 1358, 1349 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → π ≤ (𝑥 mod 𝑇)) |
| 1360 | 1296, 1351, 1359 | lensymd 11412 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → ¬ (𝑥 mod 𝑇) < π) |
| 1361 | 1360 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → if((𝑥 mod 𝑇) < π, 1, -1) = -1) |
| 1362 | 1295, 1361 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) → (𝐹‘𝑥) = -1) |
| 1363 | 1362 | mpteq2dva 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)) |
| 1364 | 1292, 1363 | eqtr2id 2790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))))) |
| 1365 | 1364 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋)) |
| 1366 | 207 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝐹:ℝ⟶ℂ) |
| 1367 | 22 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 ∈ ℝ) |
| 1368 | 1304 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈
ℝ*) |
| 1369 | 1302 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ) |
| 1370 | 960 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) |
| 1371 | 120 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ) |
| 1372 | 1287, 1371 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1373 | 1370, 1372 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 0 < (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) |
| 1374 | 1369, 1373 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)) ∈
ℝ+) |
| 1375 | 1367, 1374 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) |
| 1376 | 1274 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ⊆ ℝ) |
| 1377 | 374 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → +∞ ∈
ℝ*) |
| 1378 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞) |
| 1379 | | xrltle 13191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧
+∞ ∈ ℝ*) → ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞)) |
| 1380 | 1304, 374, 1379 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞) |
| 1381 | 1303, 1378, 1380 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞ |
| 1382 | 1381 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))) ≤ +∞) |
| 1383 | 1366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382 | limcresioolb 45658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇))))) limℂ 𝑋) = ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)) |
| 1384 | 1365, 1383 | eqtr2d 2778 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) = ((𝑥 ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 − (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limℂ 𝑋)) |
| 1385 | 1279, 1290, 1384 | 3eltr4d 2856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (π[,)𝑇) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)) |
| 1386 | 1272, 1385 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (¬
(𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)π) → (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋)) |
| 1387 | 1255, 1386 | pm2.61i 182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ ((𝐹 ↾ (𝑋(,)+∞)) limℂ 𝑋) |
| 1388 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ 𝑛 ∈
ℕ0) |
| 1389 | 110, 104,
1388 | sqwvfoura 46243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = 0) |
| 1390 | 1389 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ 0 = (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) |
| 1391 | 1390 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0) = (𝑛 ∈
ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) |
| 1392 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℕ) |
| 1393 | 110, 104,
1392 | sqwvfourb 46244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ →
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) |
| 1394 | 1393 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) =
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) |
| 1395 | 1394 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦
(∫(-π(,)π)((𝐹‘𝑥) · (sin‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π)) |
| 1396 | | nnnn0 12533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℕ0) |
| 1397 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ∈
ℝ) |
| 1398 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0) = (𝑛 ∈
ℕ0 ↦ 0) |
| 1399 | 1398 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0
∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦
0)‘𝑛) =
0) |
| 1400 | 1396, 1397, 1399 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘𝑛) =
0) |
| 1401 | 1400 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘𝑛)
· (cos‘(𝑛
· 𝑋))) = (0 ·
(cos‘(𝑛 ·
𝑋)))) |
| 1402 | 74 | coscld 16167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℕ →
(cos‘(𝑛 ·
𝑋)) ∈
ℂ) |
| 1403 | 1402 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (0
· (cos‘(𝑛
· 𝑋))) =
0) |
| 1404 | 1401, 1403 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘𝑛)
· (cos‘(𝑛
· 𝑋))) =
0) |
| 1405 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (4 /
(𝑛 · π)) ∈
V |
| 1406 | 89, 1405 | ifex 4576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈
V |
| 1407 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 ·
π)))) |
| 1408 | 1407 | fvmpt2 7027 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈ V)
→ ((𝑛 ∈ ℕ
↦ if(2 ∥ 𝑛, 0,
(4 / (𝑛 ·
π))))‘𝑛) = if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 ·
π)))) |
| 1409 | 1406, 1408 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) = if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π)))) |
| 1410 | 1409 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))) = (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) |
| 1411 | 1404, 1410 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘𝑛)
· (cos‘(𝑛
· 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))) = (0 + (if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1412 | 60, 72 | ifcld 4572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ∈
ℂ) |
| 1413 | 1412, 75 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) ∈
ℂ) |
| 1414 | 1413 | addlidd 11462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (0 +
(if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 /
(𝑛 · π)))
· (sin‘(𝑛
· 𝑋)))) = (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) |
| 1415 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2
∥ 𝑛 → if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) =
0) |
| 1416 | 1415 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (2
∥ 𝑛 → (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = (0 ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) |
| 1417 | 75 | mul02d 11459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (0
· (sin‘(𝑛
· 𝑋))) =
0) |
| 1418 | 1416, 1417 | sylan9eqr 2799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥
𝑛) → (if(2 ∥
𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = 0) |
| 1419 | | iftrue 4531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (2
∥ 𝑛 → if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) = 0) |
| 1420 | 1419 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (2
∥ 𝑛 → 0 = if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))) |
| 1421 | 1420 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥
𝑛) → 0 = if(2 ∥
𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))) |
| 1422 | 1418, 1421 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 2 ∥
𝑛) → (if(2 ∥
𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1423 | | iffalse 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬ 2
∥ 𝑛 → if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) = (4 / (𝑛 ·
π))) |
| 1424 | 1423 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (¬ 2
∥ 𝑛 → (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) |
| 1425 | 1424 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2
∥ 𝑛) → (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) |
| 1426 | | iffalse 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (¬ 2
∥ 𝑛 → if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) = ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) |
| 1427 | 1426 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (¬ 2
∥ 𝑛 → ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1428 | 1427 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2
∥ 𝑛) → ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1429 | 1425, 1428 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ 2
∥ 𝑛) → (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1430 | 1422, 1429 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1431 | 1411, 1414, 1430 | 3eqtrrd 2782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘𝑛)
· (cos‘(𝑛
· 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1432 | 1431 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦
((((𝑛 ∈
ℕ0 ↦ 0)‘𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + (((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 · π))))‘𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))) |
| 1433 | 109, 110,
147, 148, 328, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432 | fourierclim 46239 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ seq1( + ,
(𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))) ⇝
(((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦
0)‘0) / 2)) |
| 1434 | | 0nn0 12541 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
| 1435 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 = 0 → 0 =
0) |
| 1436 | 1435, 1398, 89 | fvmpt 7016 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (0 ∈
ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦
0)‘0) = 0) |
| 1437 | 1434, 1436 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘0) = 0 |
| 1438 | 1437 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘0) / 2) = (0 / 2) |
| 1439 | 28 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 2 ∈
ℂ |
| 1440 | 67, 129 | gtneii 11373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ 2 ≠
0 |
| 1441 | 1439, 1440 | div0i 12001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (0 / 2) =
0 |
| 1442 | 1438, 1441 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 0)‘0) / 2) = 0 |
| 1443 | 1442 | oveq2i 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦
0)‘0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) − 0) |
| 1444 | 201 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ 1 ∈
ℂ |
| 1445 | 1444, 1009 | ifcli 4573 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) ∈
ℂ |
| 1446 | 1149 | recni 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ if((𝑋 mod 𝑇) < π, 1, -1) ∈
ℂ |
| 1447 | 1284, 1446 | eqeltri 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ |
| 1448 | 1445, 1447 | addcli 11267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) ∈ ℂ |
| 1449 | 1448, 1439, 1440 | divcli 12009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) ∈ ℂ |
| 1450 | 1449 | subid1i 11581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) − 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) |
| 1451 | 1443, 1450 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) − (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦
0)‘0) / 2)) = ((if((𝑋
mod 𝑇) ∈ (0(,]π),
1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) |
| 1452 | 1433, 1451 | breqtri 5168 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ seq1( + ,
(𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) |
| 1453 | 1452 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (⊤
→ seq1( + , (𝑛 ∈
ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2)) |
| 1454 | 79, 103,
1453 | sumnnodd 45645 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (⊤
→ (seq1( + , (𝑘 ∈
ℕ ↦ ((𝑛 ∈
ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1455 | 1454 | mptru 1547 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (seq1( +
, (𝑘 ∈ ℕ ↦
((𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1)))) ⇝
((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) · (sin‘(𝑛 · 𝑋)))))‘((2 · 𝑘) − 1))) |
| 1456 | 1455 | simpli 483 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ seq1( + ,
(𝑘 ∈ ℕ ↦
((𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1)))) ⇝
((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) |
| 1457 | | breq2 5147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (2 ∥
𝑛 ↔ 2 ∥ ((2
· 𝑘) −
1))) |
| 1458 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · π) = (((2 ·
𝑘) − 1) ·
π)) |
| 1459 | 1458 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (4 / (𝑛 · π)) = (4 / (((2
· 𝑘) − 1)
· π))) |
| 1460 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → (𝑛 · 𝑋) = (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) |
| 1461 | 1460 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) →
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)) = (sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋))) |
| 1462 | 1459, 1461 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋))) = ((4 / (((2 ·
𝑘) − 1) ·
π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) |
| 1463 | 1457, 1462 | ifbieq2d 4552 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1) → if(2 ∥
𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) = if(2 ∥ ((2
· 𝑘) − 1), 0,
((4 / (((2 · 𝑘)
− 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))) |
| 1464 | 1463 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = ((2 · 𝑘) − 1)) → if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))) = if(2 ∥ ((2
· 𝑘) − 1), 0,
((4 / (((2 · 𝑘)
− 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))))) |
| 1465 | | elnnz 12623 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℕ ↔ (((2 · 𝑘) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < ((2
· 𝑘) −
1))) |
| 1466 | 20, 48, 1465 | sylanbrc 583 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℕ) |
| 1467 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((4 /
(((2 · 𝑘) − 1)
· π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) ∈ V |
| 1468 | 89, 1467 | ifex 4576 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ if(2
∥ ((2 · 𝑘)
− 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) ·
(sin‘(((2 · 𝑘)
− 1) · 𝑋))))
∈ V |
| 1469 | 1468 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → if(2
∥ ((2 · 𝑘)
− 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) ·
(sin‘(((2 · 𝑘)
− 1) · 𝑋))))
∈ V) |
| 1470 | 80, 1464,
1466, 1469 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1)) = if(2
∥ ((2 · 𝑘)
− 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) ·
(sin‘(((2 · 𝑘)
− 1) · 𝑋))))) |
| 1471 | | dvdsmul1 16315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((2
∈ ℤ ∧ 𝑘
∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · 𝑘)) |
| 1472 | 15, 17, 1471 | sylancr 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥
(2 · 𝑘)) |
| 1473 | 18 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) ∈
ℂ) |
| 1474 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 1 ∈
ℂ) |
| 1475 | 1473, 1474 | npcand 11624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) − 1) + 1)
= (2 · 𝑘)) |
| 1476 | 1475 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2
· 𝑘) = (((2 ·
𝑘) − 1) +
1)) |
| 1477 | 1472, 1476 | breqtrd 5169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∥
(((2 · 𝑘) − 1)
+ 1)) |
| 1478 | | oddp1even 16381 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((2
· 𝑘) − 1)
∈ ℤ → (¬ 2 ∥ ((2 · 𝑘) − 1) ↔ 2 ∥ (((2 ·
𝑘) − 1) +
1))) |
| 1479 | 20, 1478 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (¬ 2
∥ ((2 · 𝑘)
− 1) ↔ 2 ∥ (((2 · 𝑘) − 1) + 1))) |
| 1480 | 1477, 1479 | mpbird 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 2
∥ ((2 · 𝑘)
− 1)) |
| 1481 | 1480 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → if(2
∥ ((2 · 𝑘)
− 1), 0, ((4 / (((2 · 𝑘) − 1) · π)) ·
(sin‘(((2 · 𝑘)
− 1) · 𝑋)))) =
((4 / (((2 · 𝑘)
− 1) · π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)))) |
| 1482 | 52 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → π
∈ ℂ) |
| 1483 | 21, 1482 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((2
· 𝑘) − 1)
· π) = (π · ((2 · 𝑘) − 1))) |
| 1484 | 1483 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2
· 𝑘) − 1)
· π)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1485 | 54 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 4 ∈
ℂ) |
| 1486 | 69 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → π ≠
0) |
| 1487 | 1485, 1482, 21, 1486, 49 | divdiv1d 12074 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 /
π) / ((2 · 𝑘)
− 1)) = (4 / (π · ((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1488 | 1484, 1487 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (4 / (((2
· 𝑘) − 1)
· π)) = ((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1))) |
| 1489 | 1488 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 /
(((2 · 𝑘) − 1)
· π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = (((4 / π) / ((2 · 𝑘) − 1)) ·
(sin‘(((2 · 𝑘)
− 1) · 𝑋)))) |
| 1490 | 1485, 1482, 1486 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (4 /
π) ∈ ℂ) |
| 1491 | 1490, 21,
26, 49 | div32d 12066 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((4 /
π) / ((2 · 𝑘)
− 1)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1)))) |
| 1492 | 1489, 1491 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 /
(((2 · 𝑘) − 1)
· π)) · (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋))) = ((4 / π) · ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1)))) |
| 1493 | 1470, 1481, 1492 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1)) = ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1494 | 1493 | mpteq2ia 5245 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1495 | | oveq2 7439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛)) |
| 1496 | 1495 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) − 1) = ((2 · 𝑛) − 1)) |
| 1497 | 1496 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 = 𝑛 → (((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋) = (((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) |
| 1498 | 1497 | fveq2d 6910 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 = 𝑛 → (sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) = (sin‘(((2 ·
𝑛) − 1) ·
𝑋))) |
| 1499 | 1498, 1496 | oveq12d 7449 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((sin‘(((2
· 𝑛) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑛) −
1))) |
| 1500 | 1499 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((4 / π) · ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) − 1))) = ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) |
| 1501 | 1500 | cbvmptv 5255 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) |
| 1502 | 1494, 1501 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) |
| 1503 | | seqeq3 14047 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) → seq1( + , (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(2
∥ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1)))) = seq1( +
, (𝑛 ∈ ℕ ↦
((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))))) |
| 1504 | 1502, 1503 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ seq1( + ,
(𝑘 ∈ ℕ ↦
((𝑛 ∈ ℕ ↦
if(2 ∥ 𝑛, 0, ((4 /
(𝑛 · π)) ·
(sin‘(𝑛 ·
𝑋)))))‘((2 ·
𝑘) − 1)))) = seq1( +
, (𝑛 ∈ ℕ ↦
((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) |
| 1505 | | fouriersw.y |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑌 = if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹‘𝑋)) |
| 1506 | 110, 104,
22, 1505 | fourierswlem 46245 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑌 = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) + (𝐹‘𝑋)) / 2) |
| 1507 | 1506 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]π), 1, -1) +
(𝐹‘𝑋)) / 2) = 𝑌 |
| 1508 | 1456, 1504, 1507 | 3brtr3i 5172 |
. . . . . . . . . 10
⊢ seq1( + ,
(𝑛 ∈ ℕ ↦
((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌 |
| 1509 | 1508 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (⊤
→ seq1( + , (𝑛 ∈
ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) ⇝ 𝑌) |
| 1510 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) |
| 1511 | 61, 65, 70 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (4 /
π) ∈ ℂ) |
| 1512 | 1439 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈
ℂ) |
| 1513 | 1512, 62 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ∈
ℂ) |
| 1514 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
· 𝑛) ∈ ℂ
→ (2 · 𝑛)
∈ ℂ) |
| 1515 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((2
· 𝑛) ∈ ℂ
→ 1 ∈ ℂ) |
| 1516 | 1514, 1515 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((2
· 𝑛) ∈ ℂ
→ ((2 · 𝑛)
− 1) ∈ ℂ) |
| 1517 | 1513, 1516 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2
· 𝑛) − 1)
∈ ℂ) |
| 1518 | 1517, 73 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (((2
· 𝑛) − 1)
· 𝑋) ∈
ℂ) |
| 1519 | 1518 | sincld 16166 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 ∈ ℕ →
(sin‘(((2 · 𝑛)
− 1) · 𝑋))
∈ ℂ) |
| 1520 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 2 ∈
ℝ) |
| 1521 | | nnre 12273 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℝ) |
| 1522 | 1520, 1521 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ∈
ℝ) |
| 1523 | 1522 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ∈
ℂ) |
| 1524 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈
ℂ) |
| 1525 | 1523, 1524 | subcld 11620 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2
· 𝑛) − 1)
∈ ℂ) |
| 1526 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈
ℝ) |
| 1527 | 35, 1520 | eqeltrid 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 1) ∈ ℝ) |
| 1528 | | 1lt2 12437 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 1 <
2 |
| 1529 | 1528 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 <
2) |
| 1530 | 1529, 35 | breqtrrdi 5185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2
· 1)) |
| 1531 | 43 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤
2) |
| 1532 | | nnge1 12294 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 ≤
𝑛) |
| 1533 | 1526, 1521, 1520, 1531, 1532 | lemul2ad 12208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 1) ≤ (2 · 𝑛)) |
| 1534 | 1526, 1527, 1522, 1530, 1533 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 1 < (2
· 𝑛)) |
| 1535 | 1526, 1534 | gtned 11396 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (2
· 𝑛) ≠
1) |
| 1536 | 1523, 1524, 1535 | subne0d 11629 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((2
· 𝑛) − 1) ≠
0) |
| 1537 | 1519, 1525, 1536 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑛 ∈ ℕ →
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)) ∈
ℂ) |
| 1538 | 1511, 1537 | mulcld 11281 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) ∈
ℂ) |
| 1539 | 1510, 1538 | fmpti 7132 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) −
1)))):ℕ⟶ℂ |
| 1540 | 1539 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⊤
→ (𝑛 ∈ ℕ
↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) −
1)))):ℕ⟶ℂ) |
| 1541 | 1540 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . 9
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → ((𝑛
∈ ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) ∈
ℂ) |
| 1542 | | divcan6 11974 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((π
∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
→ ((π / 4) · (4 / π)) = 1) |
| 1543 | 52, 69, 54, 56, 1542 | mp4an 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((π /
4) · (4 / π)) = 1 |
| 1544 | 1543 | eqcomi 2746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 =
((π / 4) · (4 / π)) |
| 1545 | 1544 | oveq1i 7441 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (1
· ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = (((π / 4) · (4 /
π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) |
| 1546 | 50 | mullidd 11279 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (1
· ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((sin‘(((2 ·
𝑘) − 1) ·
𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) |
| 1547 | 56 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 4 ≠
0) |
| 1548 | 1482, 1485, 1547 | divcld 12043 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (π /
4) ∈ ℂ) |
| 1549 | 1548, 1490, 50 | mulassd 11284 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((π /
4) · (4 / π)) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((π / 4) · ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))) |
| 1550 | 1545, 1546, 1549 | 3eqtr3a 2801 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ →
((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))) |
| 1551 | | eqidd 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) |
| 1552 | 8 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((4 / π) · ((sin‘(((2
· 𝑛) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑛) − 1))) = ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1553 | 1552 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛 = 𝑘) → ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))) = ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) |
| 1554 | 1492, 1467 | eqeltrrdi 2850 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) ∈ V) |
| 1555 | 1551, 1553, 10, 1554 | fvmptd 7023 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘) = ((4 / π) · ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1)))) |
| 1556 | 1555 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((π /
4) · ((𝑛 ∈
ℕ ↦ ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘)) = ((π / 4) · ((4 /
π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))))) |
| 1557 | 1556 | eqcomd 2743 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((π /
4) · ((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)))) = ((π / 4) ·
((𝑛 ∈ ℕ ↦
((4 / π) · ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘))) |
| 1558 | 13, 1550,
1557 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘))) |
| 1559 | 1558 | adantl 481 |
. . . . . . . . 9
⊢
((⊤ ∧ 𝑘
∈ ℕ) → ((𝑛
∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))‘𝑘) = ((π / 4) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((4 / π) ·
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))‘𝑘))) |
| 1560 | 1, 2, 58, 1509, 1541, 1559 | isermulc2 15694 |
. . . . . . . 8
⊢ (⊤
→ seq1( + , (𝑛 ∈
ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) ·
𝑌)) |
| 1561 | | climrel 15528 |
. . . . . . . . 9
⊢ Rel
⇝ |
| 1562 | 1561 | releldmi 5959 |
. . . . . . . 8
⊢ (seq1( +
, (𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) ·
𝑌) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝
) |
| 1563 | 1560, 1562 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (⊤
→ seq1( + , (𝑛 ∈
ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ∈ dom ⇝
) |
| 1564 | 1, 2, 14, 51, 1563 | isumclim2 15794 |
. . . . . 6
⊢ (⊤
→ seq1( + , (𝑛 ∈
ℕ ↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1))) |
| 1565 | 1564 | mptru 1547 |
. . . . 5
⊢ seq1( + ,
(𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) −
1)) |
| 1566 | 1560 | mptru 1547 |
. . . . 5
⊢ seq1( + ,
(𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) ·
𝑌) |
| 1567 | | climuni 15588 |
. . . . 5
⊢ ((seq1( +
, (𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) − 1)) ∧ seq1(
+ , (𝑛 ∈ ℕ
↦ ((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) ⇝ ((π / 4) ·
𝑌)) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((sin‘(((2
· 𝑘) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑘) − 1)) = ((π /
4) · 𝑌)) |
| 1568 | 1565, 1566, 1567 | mp2an 692 |
. . . 4
⊢
Σ𝑘 ∈
ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1)) = ((π / 4) · 𝑌) |
| 1569 | 1568 | oveq2i 7442 |
. . 3
⊢ ((4 /
π) · Σ𝑘
∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = ((4 / π) · ((π
/ 4) · 𝑌)) |
| 1570 | 54, 52, 69 | divcli 12009 |
. . . 4
⊢ (4 /
π) ∈ ℂ |
| 1571 | 52, 54, 56 | divcli 12009 |
. . . 4
⊢ (π /
4) ∈ ℂ |
| 1572 | 1284, 1149 | eqeltri 2837 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ |
| 1573 | 67, 1572 | ifcli 4573 |
. . . . . 6
⊢ if((𝑋 mod π) = 0, 0, (𝐹‘𝑋)) ∈ ℝ |
| 1574 | 1505, 1573 | eqeltri 2837 |
. . . . 5
⊢ 𝑌 ∈ ℝ |
| 1575 | 1574 | recni 11275 |
. . . 4
⊢ 𝑌 ∈ ℂ |
| 1576 | 1570, 1571, 1575 | mulassi 11272 |
. . 3
⊢ (((4 /
π) · (π / 4)) · 𝑌) = ((4 / π) · ((π / 4)
· 𝑌)) |
| 1577 | 1571, 1570, 1543 | mulcomli 11270 |
. . . . 5
⊢ ((4 /
π) · (π / 4)) = 1 |
| 1578 | 1577 | oveq1i 7441 |
. . . 4
⊢ (((4 /
π) · (π / 4)) · 𝑌) = (1 · 𝑌) |
| 1579 | 1575 | mullidi 11266 |
. . . 4
⊢ (1
· 𝑌) = 𝑌 |
| 1580 | 1578, 1579 | eqtri 2765 |
. . 3
⊢ (((4 /
π) · (π / 4)) · 𝑌) = 𝑌 |
| 1581 | 1569, 1576, 1580 | 3eqtr2i 2771 |
. 2
⊢ ((4 /
π) · Σ𝑘
∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 |
| 1582 | | fouriersw.z |
. . . 4
⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2
· 𝑛) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑛) −
1))) |
| 1583 | | seqeq3 14047 |
. . . 4
⊢ (𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((sin‘(((2
· 𝑛) − 1)
· 𝑋)) / ((2 ·
𝑛) − 1))) →
seq1( + , 𝑆) = seq1( + ,
(𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1))))) |
| 1584 | 1582, 1583 | ax-mp 5 |
. . 3
⊢ seq1( + ,
𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦
((sin‘(((2 · 𝑛) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑛) − 1)))) |
| 1585 | 1584, 1566 | eqbrtri 5164 |
. 2
⊢ seq1( + ,
𝑆) ⇝ ((π / 4)
· 𝑌) |
| 1586 | 1581, 1585 | pm3.2i 470 |
1
⊢ (((4 /
π) · Σ𝑘
∈ ℕ ((sin‘(((2 · 𝑘) − 1) · 𝑋)) / ((2 · 𝑘) − 1))) = 𝑌 ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((π / 4) · 𝑌)) |