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Theorem fouriersw 44546
Description: Fourier series convergence, for the square wave function. Where 𝐹 is discontinuous, the series converges to 0, the average value of the left and the right limits. Notice that 𝐹 is an odd function and its Fourier expansion has only sine terms (coefficients for cosine terms are zero). (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fouriersw.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fouriersw.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
fouriersw.x 𝑋 ∈ ℝ
fouriersw.z 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))
fouriersw.y π‘Œ = if((𝑋 mod Ο€) = 0, 0, (πΉβ€˜π‘‹))
Assertion
Ref Expression
fouriersw (((4 / Ο€) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = π‘Œ ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘˜,𝑋,𝑛   π‘₯,𝑋   π‘˜,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,π‘˜,𝑛)   𝑇(π‘˜,𝑛)   𝐹(π‘˜)   π‘Œ(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem fouriersw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12813 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12541 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
3 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))
4 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘˜))
54oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
65oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋) = (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))
76fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))
87, 5oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)) = ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
98adantl 483 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)) = ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
10 id 22 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„•)
11 ovex 7395 . . . . . . . . . 10 ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ V
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ V)
133, 9, 10, 12fvmptd 6960 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
1413adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
15 2z 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ β„€
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„€)
17 nnz 12527 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„€)
1816, 17zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€)
19 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„€)
2018, 19zsubcld 12619 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€)
2120zcnd 12615 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
22 fouriersw.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 ∈ ℝ
2322recni 11176 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 ∈ β„‚
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
2521, 24mulcld 11182 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
2625sincld 16019 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) ∈ β„‚)
27 0red 11165 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
28 2re 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
30 1red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
3129, 30remulcld 11192 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ∈ ℝ)
3231, 30resubcld 11590 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· 1) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3320zred 12614 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
34 0lt1 11684 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
35 2t1e2 12323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 Β· 1) = 2
3635oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 Β· 1) βˆ’ 1) = (2 βˆ’ 1)
37 2m1e1 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 βˆ’ 1) = 1
3836, 37eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((2 Β· 1) βˆ’ 1)
3934, 38breqtri 5135 . . . . . . . . . . . 12 0 < ((2 Β· 1) βˆ’ 1)
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· 1) βˆ’ 1))
4118zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ ℝ)
42 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
43 0le2 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 2
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
45 nnge1 12188 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ≀ π‘˜)
4630, 42, 29, 44, 45lemul2ad 12102 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· π‘˜))
4731, 41, 30, 46lesub1dd 11778 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· 1) βˆ’ 1) ≀ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
4827, 32, 33, 40, 47ltletrd 11322 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
4927, 48gtned 11297 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β‰  0)
5026, 21, 49divcld 11938 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
5150adantl 483 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
52 picn 25832 . . . . . . . . . . 11 Ο€ ∈ β„‚
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
54 4cn 12245 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ β„‚
5554a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 4 ∈ β„‚)
56 4ne0 12268 . . . . . . . . . . 11 4 β‰  0
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ 4 β‰  0)
5853, 55, 57divcld 11938 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ (Ο€ / 4) ∈ β„‚)
59 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
60 0cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ∈ β„‚)
6154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ 4 ∈ β„‚)
62 nncn 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
63 mulcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚) β†’ (𝑛 Β· Ο€) ∈ β„‚)
6462, 52, 63sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 Β· Ο€) ∈ β„‚)
6552a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
66 nnne0 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
67 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ
68 pipos 25833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < Ο€
6967, 68gtneii 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Ο€ β‰  0
7069a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
7162, 65, 66, 70mulne0d 11814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 Β· Ο€) β‰  0)
7261, 64, 71divcld 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (4 / (𝑛 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
7323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7462, 73mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 Β· 𝑋) ∈ β„‚)
7574sincld 16019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) ∈ β„‚)
7672, 75mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) ∈ β„‚)
7760, 76ifcld 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) ∈ β„‚)
7859, 77fmpti 7065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))):β„•βŸΆβ„‚
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))):β„•βŸΆβ„‚)
80 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
81 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = π‘˜ β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ 2 βˆ₯ π‘˜))
82 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 Β· Ο€) = (π‘˜ Β· Ο€))
8382oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘˜ β†’ (4 / (𝑛 Β· Ο€)) = (4 / (π‘˜ Β· Ο€)))
84 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 Β· 𝑋) = (π‘˜ Β· 𝑋))
8584fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))
8683, 85oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))))
8781, 86ifbieq2d 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = π‘˜ β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
8887adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
89 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 ∈ V
90 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋))) ∈ V
9189, 90ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) ∈ V)
9380, 88, 10, 92fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
9493adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))))
95 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ (π‘˜ / 2) ∈ β„•)
96 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
97 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ β„•
98 nndivdvds 16152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 2 ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ (π‘˜ / 2) ∈ β„•))
9996, 97, 98sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ (2 βˆ₯ π‘˜ ↔ (π‘˜ / 2) ∈ β„•))
10095, 99mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ 2 βˆ₯ π‘˜)
101100iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ if(2 βˆ₯ π‘˜, 0, ((4 / (π‘˜ Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(π‘˜ Β· 𝑋)))) = 0)
10294, 101eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = 0)
1031023adant1 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ (π‘˜ / 2) ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = 0)
104 fouriersw.f . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
105 1re 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
106105renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℝ
107105, 106ifcli 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
109104, 108fmpti 7065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐹:β„βŸΆβ„
110 fouriersw.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇 = (2 Β· Ο€)
111 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = (𝑦 mod 𝑇))
112111breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€ ↔ (𝑦 mod 𝑇) < Ο€))
113112ifbid 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = if((𝑦 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
114113cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
115104, 114eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)))
117 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (𝑦 mod 𝑇) = ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇))
118 pire 25831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ο€ ∈ ℝ
11928, 118remulcli 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
120110, 119eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 𝑇 ∈ ℝ
121120recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 𝑇 ∈ β„‚
122121mulid2i 11167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 Β· 𝑇) = 𝑇
123122eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑇 = (1 Β· 𝑇)
124123oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ + (1 Β· 𝑇))
125124oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇)
126117, 125eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (𝑦 mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇))
127126adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (𝑦 mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇))
128 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
129 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < 2
13028, 118, 129, 68mulgt0ii 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 < (2 Β· Ο€)
131110eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 Β· Ο€) = 𝑇
132130, 131breqtri 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 𝑇
133120, 132elrpii 12925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑇 ∈ ℝ+
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
135 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ 1 ∈ β„€)
136 modcyc 13818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
137128, 134, 135, 136syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
138127, 137eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ (𝑦 mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
139138breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((𝑦 mod 𝑇) < Ο€ ↔ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€))
140139ifbid 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ if((𝑦 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
141 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
142120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
143141, 142readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
144116, 140, 143, 108fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
145104fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
146107, 145mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
147144, 146eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
148 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
149 snfi 8995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {0} ∈ Fin
150 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
151 0xr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ*
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ 0 ∈ ℝ*)
153118rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Ο€ ∈ ℝ*
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
155 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
156155adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
157 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ 0 < π‘₯)
158118renegcli 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -Ο€ ∈ ℝ
159158rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 -Ο€ ∈ ℝ*
160 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ < Ο€)
161159, 153, 160mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
162161adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ < Ο€)
163152, 154, 156, 157, 162eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€))
164 negpilt0 43588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -Ο€ < 0
165158, 67, 164ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 -Ο€ ≀ 0
166 iooss1 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ≀ 0) β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
167159, 165, 166mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)Ο€)
168167sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
169104reseq1i 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€)) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) β†Ύ (0(,)Ο€))
170 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)Ο€) βŠ† ℝ
171 resmpt 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)Ο€) βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)))
172170, 171ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
173 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
174133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
175 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ∈ ℝ)
176 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < π‘₯)
177151, 153, 176mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < π‘₯)
178175, 173, 177ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 ≀ π‘₯)
179118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
180120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
181168, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
182 pirp 25834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Ο€ ∈ ℝ+
183 2timesgt 43596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
184182, 183ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Ο€ < (2 Β· Ο€)
185184, 131breqtri 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ο€ < 𝑇
186185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ Ο€ < 𝑇)
187173, 179, 180, 181, 186lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ < 𝑇)
188 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ < 𝑇)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
189173, 174, 178, 187, 188syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = π‘₯)
190189, 181eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
191190iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
192191mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1)
193169, 172, 1923eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1) = (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€))
194193oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1)) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€)))
195 reelprrecn 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
197 iooretop 24145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
198 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
199198tgioo2 24182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
200197, 199eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)Ο€) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
202 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ 1 ∈ β„‚)
203196, 201, 202dvmptconst 44230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0))
204203mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0)
205 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ℝ βŠ† ℝ
206 ax-resscn 11115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ℝ βŠ† β„‚
207 fss 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
208109, 206, 207mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝐹:β„βŸΆβ„‚
209 dvresioo 44236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((ℝ βŠ† ℝ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)))
210205, 208, 209mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (ℝ D (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€))
211194, 204, 2103eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€))
212211dmeqi 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€))
213 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0)
21489, 213dmmpti 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 dom (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) = (0(,)Ο€)
215212, 214eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (0(,)Ο€)
216 ssdmres 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (0(,)Ο€))
217215, 216mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)
218217sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
219168, 218elind 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
220 dmres 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = ((-Ο€(,)Ο€) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
221219, 220eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
222163, 221syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
223222adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
224159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
225151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ 0 ∈ ℝ*)
226155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
227 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
228159, 153, 227mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ -Ο€ < π‘₯)
229228ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ -Ο€ < π‘₯)
230 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ 0 ∈ ℝ)
231 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (Β¬ π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ β‰  0)
232231ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  0)
233 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ Β¬ 0 < π‘₯)
234226, 230, 232, 233lttri5d 43607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ < 0)
235224, 225, 226, 229, 234eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0))
23667, 118, 68ltleii 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ≀ Ο€
237 iooss2 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ Ο€) β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)Ο€))
238153, 236, 237mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)Ο€)
239238sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
240104reseq1i 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0)) = ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) β†Ύ (-Ο€(,)0))
241 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-Ο€(,)0) βŠ† ℝ
242 resmpt 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((-Ο€(,)0) βŠ† ℝ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)))
243241, 242ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
244118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
245 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
246133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
247245, 246modcld 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
248245, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
249522timesi 12298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
250110, 249eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 𝑇 = (Ο€ + Ο€)
251250oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-Ο€ + 𝑇) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
252 negpicn 25835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 -Ο€ ∈ β„‚
253252, 52, 52addassi 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (-Ο€ + (Ο€ + Ο€))
254253eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-Ο€ + (Ο€ + Ο€)) = ((-Ο€ + Ο€) + Ο€)
25552negidi 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (Ο€ + -Ο€) = 0
25652, 252, 255addcomli 11354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-Ο€ + Ο€) = 0
257256oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = (0 + Ο€)
25852addid2i 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0 + Ο€) = Ο€
259257, 258eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-Ο€ + Ο€) + Ο€) = Ο€
260251, 254, 2593eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Ο€ = (-Ο€ + 𝑇)
261260a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ = (-Ο€ + 𝑇))
262158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
263120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
264239, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ -Ο€ < π‘₯)
265262, 245, 263, 264ltadd1dd 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ + 𝑇) < (π‘₯ + 𝑇))
266261, 265eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ < (π‘₯ + 𝑇))
267244, 248, 266ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ≀ (π‘₯ + 𝑇))
268 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ∈ ℝ)
269158, 120readdcli 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-Ο€ + 𝑇) ∈ ℝ
270269a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (-Ο€ + 𝑇) ∈ ℝ)
27168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < Ο€)
272271, 260breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < (-Ο€ + 𝑇))
273268, 270, 248, 272, 265lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 < (π‘₯ + 𝑇))
274268, 248, 273ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 0 ≀ (π‘₯ + 𝑇))
275245recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
276121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
277275, 276addcomd 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝑇 + π‘₯))
278 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ < 0)
279159, 151, 278mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ < 0)
280 ltaddneg 11377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ < 0 ↔ (𝑇 + π‘₯) < 𝑇))
281245, 120, 280sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ < 0 ↔ (𝑇 + π‘₯) < 𝑇))
282279, 281mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (𝑇 + π‘₯) < 𝑇)
283277, 282eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)
284274, 283jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇))
285 modid2 13810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇) ↔ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)))
286248, 133, 285sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇) ↔ (0 ≀ (π‘₯ + 𝑇) ∧ (π‘₯ + 𝑇) < 𝑇)))
287284, 286mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ + 𝑇))
288125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇))
289133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
290 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 1 ∈ β„€)
291141, 289, 290, 136syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
292288, 291eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
293245, 292syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
294287, 293eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
295267, 294breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Ο€ ≀ (π‘₯ mod 𝑇))
296244, 247, 295lensymd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
297296iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
298297mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1)
299240, 243, 2983eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1) = (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0))
300299oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1)) = (ℝ D (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0)))
301 iooretop 24145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-Ο€(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
302301, 199eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-Ο€(,)0) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
303302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ (-Ο€(,)0) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ))
304202negcld 11506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ -1 ∈ β„‚)
305196, 303, 304dvmptconst 44230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0))
306305mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0)
307 dvresioo 44236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((ℝ βŠ† ℝ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚) β†’ (ℝ D (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)))
308205, 208, 307mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (ℝ D (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0))
309300, 306, 3083eqtr3i 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0))
310309dmeqi 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) = dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0))
311 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0)
31289, 311dmmpti 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 dom (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) = (-Ο€(,)0)
313310, 312eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (-Ο€(,)0)
314 ssdmres 5965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-Ο€(,)0) βŠ† dom (ℝ D 𝐹) ↔ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (-Ο€(,)0))
315313, 314mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-Ο€(,)0) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)
316315sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ dom (ℝ D 𝐹))
317239, 316elind 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
318317, 220eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
319235, 318syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) ∧ Β¬ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
320223, 319pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
321150, 320sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
322 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
323322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = 0) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
324321, 323condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ = 0)
325 velsn 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ {0} ↔ π‘₯ = 0)
326324, 325sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ ∈ {0})
327326ssriv 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) βŠ† {0}
328 ssfi 9124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({0} ∈ Fin ∧ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) βŠ† {0}) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∈ Fin)
329149, 327, 328mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∈ Fin
330 inss1 4193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((-Ο€(,)Ο€) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) βŠ† (-Ο€(,)Ο€)
331220, 330eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† (-Ο€(,)Ο€)
332 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† β„‚
333331, 332sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† β„‚
334333a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊀ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† β„‚)
335 dvf 25287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
336 fresin 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-Ο€(,)Ο€))βŸΆβ„‚)
337 ffdm 6703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)):(dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-Ο€(,)Ο€))βŸΆβ„‚ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)):dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))βŸΆβ„‚ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-Ο€(,)Ο€))))
338335, 336, 337mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)):dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))βŸΆβ„‚ ∧ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† (dom (ℝ D 𝐹) ∩ (-Ο€(,)Ο€)))
339338simpli 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)):dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))βŸΆβ„‚
340339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊀ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)):dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))βŸΆβ„‚)
341159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
342151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
343 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
344331sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
345343, 344sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
346345adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
347344, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
348347adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ -Ο€ < π‘₯)
349 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ < 0)
350341, 342, 346, 348, 349eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0))
351 elun1 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€)))
352350, 351syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€)))
353 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
354 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
355345adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
356 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ Β¬ π‘₯ < 0)
357354, 355, 356nltled 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ 0 ≀ π‘₯)
358 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = 0 β†’ π‘₯ = 0)
359205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ ℝ βŠ† ℝ)
360 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
361208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
362 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ 0 ∈ ℝ)
363 mnfxr 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -∞ ∈ ℝ*
364363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
365362mnfltd 13052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ -∞ < 0)
366360, 364, 362, 365lptioo2 43946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ 0 ∈ ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)0)))
367 incom 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (-∞(,)0)) = ((-∞(,)0) ∩ ℝ)
368 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-∞(,)0) βŠ† ℝ
369 df-ss 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((-∞(,)0) βŠ† ℝ ↔ ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0))
370368, 369mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-∞(,)0) ∩ ℝ) = (-∞(,)0)
371367, 370eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (-∞(,)0) = (ℝ ∩ (-∞(,)0))
372371fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(-∞(,)0)) = ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(ℝ ∩ (-∞(,)0)))
373366, 372eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ 0 ∈ ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(ℝ ∩ (-∞(,)0))))
374 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 +∞ ∈ ℝ*
375374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
376362ltpnfd 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ 0 < +∞)
377360, 362, 375, 376lptioo1 43947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ 0 ∈ ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(0(,)+∞)))
378 incom 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (ℝ ∩ (0(,)+∞)) = ((0(,)+∞) ∩ ℝ)
379 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (0(,)+∞) βŠ† ℝ
380 df-ss 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0(,)+∞) βŠ† ℝ ↔ ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞))
381379, 380mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0(,)+∞) ∩ ℝ) = (0(,)+∞)
382378, 381eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (0(,)+∞) = (ℝ ∩ (0(,)+∞))
383382fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(0(,)+∞)) = ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(ℝ ∩ (0(,)+∞)))
384377, 383eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ 0 ∈ ((limPtβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(ℝ ∩ (0(,)+∞))))
385 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1)
386 mnfle 13062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-Ο€ ∈ ℝ* β†’ -∞ ≀ -Ο€)
387159, 386ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 -∞ ≀ -Ο€
388 iooss1 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ -Ο€) β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-∞(,)0))
389363, 387, 388mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (-Ο€(,)0) βŠ† (-∞(,)0)
390389a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊀ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-∞(,)0))
391 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (-∞(,)0) βŠ† β„‚
392390, 391sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† β„‚)
393 0cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
394385, 392, 304, 393constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ -1 ∈ ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1) limβ„‚ 0))
395 resabs1 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((-Ο€(,)0) βŠ† (-∞(,)0) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0)))
396389, 395ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)0))
397299, 396eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) β†Ύ (-Ο€(,)0))
398397oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1) limβ„‚ 0) = (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) limβ„‚ 0)
399 fssres 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (-∞(,)0) βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)βŸΆβ„‚)
400208, 368, 399mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)βŸΆβ„‚
401400a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ (𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)):(-∞(,)0)βŸΆβ„‚)
402391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ (-∞(,)0) βŠ† β„‚)
403 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0}))
404 0le0 12261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 0 ≀ 0
405 elioc2 13334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (0 ∈ (-Ο€(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ < 0 ∧ 0 ≀ 0)))
406159, 67, 405mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (-Ο€(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ < 0 ∧ 0 ≀ 0))
40767, 164, 404, 406mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (-Ο€(,]0)
408198cnfldtop 24163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top
409 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-∞(,]0) ∈ V
410 resttop 22527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) ∈ V) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)) ∈ Top)
411408, 409, 410mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)) ∈ Top
412159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊀ β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
413 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-∞(,]0)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-∞(,]0))
414387a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊀ β†’ -∞ ≀ -Ο€)
415364, 412, 362, 360, 413, 414, 362iocopn 43832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊀ β†’ (-Ο€(,]0) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-∞(,]0)))
416415mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (-Ο€(,]0) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-∞(,]0))
417199oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-∞(,]0)) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (-∞(,]0))
418 iocssre 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (-∞(,]0) βŠ† ℝ)
419363, 67, 418mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (-∞(,]0) βŠ† ℝ
420195elexi 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ℝ ∈ V
421 restabs 22532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (-∞(,]0) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (-∞(,]0)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)))
422408, 419, 420, 421mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (-∞(,]0)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0))
423417, 422eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (-∞(,]0)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0))
424416, 423eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-Ο€(,]0) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0))
425 isopn3i 22449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)) ∈ Top ∧ (-Ο€(,]0) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0))) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)))β€˜(-Ο€(,]0)) = (-Ο€(,]0))
426411, 424, 425mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)))β€˜(-Ο€(,]0)) = (-Ο€(,]0)
427 mnflt0 13053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 -∞ < 0
428 ioounsn 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0) β†’ ((-∞(,)0) βˆͺ {0}) = (-∞(,]0))
429363, 151, 427, 428mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((-∞(,)0) βˆͺ {0}) = (-∞(,]0)
430429eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (-∞(,]0) = ((-∞(,)0) βˆͺ {0})
431430oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0}))
432431fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0})))
433 ioounsn 13401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ -Ο€ < 0) β†’ ((-Ο€(,)0) βˆͺ {0}) = (-Ο€(,]0))
434159, 151, 164, 433mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((-Ο€(,)0) βˆͺ {0}) = (-Ο€(,]0)
435434eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (-Ο€(,]0) = ((-Ο€(,)0) βˆͺ {0})
436432, 435fveq12i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (-∞(,]0)))β€˜(-Ο€(,]0)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0})))β€˜((-Ο€(,)0) βˆͺ {0}))
437426, 436eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (-Ο€(,]0) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0})))β€˜((-Ο€(,)0) βˆͺ {0}))
438407, 437eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0})))β€˜((-Ο€(,)0) βˆͺ {0}))
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ 0 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((-∞(,)0) βˆͺ {0})))β€˜((-Ο€(,)0) βˆͺ {0})))
440401, 390, 402, 198, 403, 439limcres 25266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊀ β†’ (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) limβ„‚ 0) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0))
441440mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) limβ„‚ 0) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0)
442398, 441eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ -1) limβ„‚ 0) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0)
443394, 442eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ -1 ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0))
444 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1)
445 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (0(,)Ο€) βŠ† β„‚
446445a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† β„‚)
447444, 446, 202, 393constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (⊀ β†’ 1 ∈ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1) limβ„‚ 0))
448 ltpnf 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (Ο€ ∈ ℝ β†’ Ο€ < +∞)
449 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (Ο€ < +∞ β†’ Ο€ ≀ +∞))
450153, 374, 449mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (Ο€ < +∞ β†’ Ο€ ≀ +∞)
451118, 448, 450mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Ο€ ≀ +∞
452 iooss2 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ≀ +∞) β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0(,)+∞))
453374, 451, 452mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)Ο€) βŠ† (0(,)+∞)
454 resabs1 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((0(,)Ο€) βŠ† (0(,)+∞) β†’ ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€)))
455453, 454ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (𝐹 β†Ύ (0(,)Ο€))
456193, 455eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1) = ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) β†Ύ (0(,)Ο€))
457456oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1) limβ„‚ 0) = (((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) β†Ύ (0(,)Ο€)) limβ„‚ 0)
458 fssres 6713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ (0(,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ (𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)βŸΆβ„‚)
459208, 379, 458mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)βŸΆβ„‚
460459a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ (𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)):(0(,)+∞)βŸΆβ„‚)
461453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0(,)+∞))
462 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0(,)+∞) βŠ† β„‚
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ (0(,)+∞) βŠ† β„‚)
464 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0})) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0}))
465 elico2 13335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (0 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < Ο€)))
46667, 153, 465mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (0 ∈ (0[,)Ο€) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 0 ∧ 0 < Ο€))
46767, 404, 68, 466mpbir3an 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 ∈ (0[,)Ο€)
468 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)+∞) ∈ V
469 resttop 22527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) ∈ V) β†’ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) ∈ Top)
470408, 468, 469mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) ∈ Top
471153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊀ β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
472 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,)+∞)) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,)+∞))
473451a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (⊀ β†’ Ο€ ≀ +∞)
474362, 471, 375, 360, 472, 473icoopn 43837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (⊀ β†’ (0[,)Ο€) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,)+∞)))
475474mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (0[,)Ο€) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,)+∞))
476199oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,)+∞)) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (0[,)+∞))
477 rge0ssre 13380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
478 restabs 22532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (0[,)+∞)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)))
479408, 477, 420, 478mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt (0[,)+∞)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))
480476, 479eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt (0[,)+∞)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))
481475, 480eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)Ο€) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))
482 isopn3i 22449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) ∈ Top ∧ (0[,)Ο€) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))) β†’ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)))β€˜(0[,)Ο€)) = (0[,)Ο€))
483470, 481, 482mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)))β€˜(0[,)Ο€)) = (0[,)Ο€)
484 0ltpnf 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 0 < +∞
485 snunioo1 43824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ ((0(,)+∞) βˆͺ {0}) = (0[,)+∞))
486151, 374, 484, 485mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0(,)+∞) βˆͺ {0}) = (0[,)+∞)
487486eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (0[,)+∞) = ((0(,)+∞) βˆͺ {0})
488487oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0}))
489488fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞))) = (intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0})))
490 snunioo1 43824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 < Ο€) β†’ ((0(,)Ο€) βˆͺ {0}) = (0[,)Ο€))
491151, 153, 68, 490mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((0(,)Ο€) βˆͺ {0}) = (0[,)Ο€)
492491eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (0[,)Ο€) = ((0(,)Ο€) βˆͺ {0})
493489, 492fveq12i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,)+∞)))β€˜(0[,)Ο€)) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0})))β€˜((0(,)Ο€) βˆͺ {0}))
494483, 493eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0[,)Ο€) = ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0})))β€˜((0(,)Ο€) βˆͺ {0}))
495467, 494eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 0 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0})))β€˜((0(,)Ο€) βˆͺ {0}))
496495a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (⊀ β†’ 0 ∈ ((intβ€˜((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ((0(,)+∞) βˆͺ {0})))β€˜((0(,)Ο€) βˆͺ {0})))
497460, 461, 463, 198, 464, 496limcres 25266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (⊀ β†’ (((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) β†Ύ (0(,)Ο€)) limβ„‚ 0) = ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0))
498497mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) β†Ύ (0(,)Ο€)) limβ„‚ 0) = ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0)
499457, 498eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 1) limβ„‚ 0) = ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0)
500447, 499eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ 1 ∈ ((𝐹 β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0))
501 neg1lt0 12277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 -1 < 0
502106, 67, 105lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((-1 < 0 ∧ 0 < 1) β†’ -1 < 1)
503501, 34, 502mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 -1 < 1
504106, 503ltneii 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 -1 β‰  1
505504a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (⊀ β†’ -1 β‰  1)
506198, 359, 360, 361, 362, 373, 384, 443, 500, 505jumpncnp 44213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⊀ β†’ Β¬ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜0))
507506mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Β¬ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜0)
508206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
509208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
510205a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ℝ βŠ† ℝ)
511 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((-Ο€(,)Ο€) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)
512220, 511eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† dom (ℝ D 𝐹)
513512sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
514199, 198dvcnp2 25300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„‚ ∧ ℝ βŠ† ℝ) ∧ 0 ∈ dom (ℝ D 𝐹)) β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜0))
515508, 509, 510, 513, 514syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝐹 ∈ (((topGenβ€˜ran (,)) CnP (TopOpenβ€˜β„‚fld))β€˜0))
516507, 515mto 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Β¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
517516a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ = 0 β†’ Β¬ 0 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
518358, 517eqneltrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ = 0 β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
519518necon2ai 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ β‰  0)
520519adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ β‰  0)
521354, 355, 357, 520leneltd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ 0 < π‘₯)
522344, 163sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (0(,)Ο€))
523 elun2 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€)))
524522, 523syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ 0 < π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€)))
525353, 521, 524syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ Β¬ π‘₯ < 0) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€)))
526352, 525pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€)))
527 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-Ο€(,)0) ∈ V
528 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (0(,)Ο€) ∈ V
529527, 528unipr 4888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 βˆͺ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} = ((-Ο€(,)0) βˆͺ (0(,)Ο€))
530526, 529eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)})
531530ssriv 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† βˆͺ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)}
532531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊀ β†’ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† βˆͺ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)})
533 ineq2 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) = (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (-Ο€(,)0)))
534 retop 24141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
535 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (ℝ D 𝐹) ∈ V
536535resex 5990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ V
537536dmex 7853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ V
538534, 537pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ V)
539318ssriv 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-Ο€(,)0) βŠ† dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
540 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)0)
541301, 539, 5403pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-Ο€(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (-Ο€(,)0) βŠ† dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)0))
542 restopnb 22542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ V) ∧ ((-Ο€(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (-Ο€(,)0) βŠ† dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)0))) β†’ ((-Ο€(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (-Ο€(,)0) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))))
543538, 541, 542mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-Ο€(,)0) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (-Ο€(,)0) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
544301, 543mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-Ο€(,)0) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
545 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (-Ο€(,)0)) βŠ† (-Ο€(,)0)
546539, 540ssini 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (-Ο€(,)0) βŠ† (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (-Ο€(,)0))
547545, 546eqssi 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (-Ο€(,)0)) = (-Ο€(,)0)
548199oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
549331, 343sstri 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† ℝ
550 restabs 22532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) βŠ† ℝ ∧ ℝ ∈ V) β†’ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
551408, 549, 420, 550mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
552548, 551eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) = ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
553544, 547, 5523eltr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (-Ο€(,)0)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
554533, 553eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
555554adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} ∧ π‘₯ = (-Ο€(,)0)) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
556 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ π‘₯ β‰  (-Ο€(,)0))
557 elprn1 43948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} ∧ π‘₯ β‰  (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ = (0(,)Ο€))
558556, 557sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} ∧ Β¬ π‘₯ = (-Ο€(,)0)) β†’ π‘₯ = (0(,)Ο€))
559 ineq2 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) = (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (0(,)Ο€)))
560221ssriv 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)Ο€) βŠ† dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
561 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0(,)Ο€) βŠ† (0(,)Ο€)
562197, 560, 5613pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (0(,)Ο€) βŠ† dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (0(,)Ο€) βŠ† (0(,)Ο€))
563 restopnb 22542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ V) ∧ ((0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (0(,)Ο€) βŠ† dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∧ (0(,)Ο€) βŠ† (0(,)Ο€))) β†’ ((0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (0(,)Ο€) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))))
564538, 562, 563mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0(,)Ο€) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ (0(,)Ο€) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
565197, 564mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0(,)Ο€) ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
566 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (0(,)Ο€)) βŠ† (0(,)Ο€)
567560, 561ssini 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0(,)Ο€) βŠ† (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (0(,)Ο€))
568566, 567eqssi 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (0(,)Ο€)) = (0(,)Ο€)
569565, 568, 5523eltr4i 2851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ (0(,)Ο€)) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
570559, 569eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
571558, 570syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} ∧ Β¬ π‘₯ = (-Ο€(,)0)) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
572555, 571pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
573572adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)}) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
574 ssid 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 β„‚ βŠ† β„‚
575574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
576392, 393, 575constcncfg 44187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) ∈ ((-Ο€(,)0)–cnβ†’β„‚))
577576mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) ∈ ((-Ο€(,)0)–cnβ†’β„‚)
578577a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) ∈ ((-Ο€(,)0)–cnβ†’β„‚))
579 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)0)))
580 resabs1 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€(,)Ο€) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)))
581238, 580ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0))
582581, 309eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0)
583579, 582eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0))
584533, 547eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) = (-Ο€(,)0))
585584oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚) = ((-Ο€(,)0)–cnβ†’β„‚))
586578, 583, 5853eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (-Ο€(,)0) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚))
587586adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} ∧ π‘₯ = (-Ο€(,)0)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚))
588446, 393, 575constcncfg 44187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) ∈ ((0(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
589588mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) ∈ ((0(,)Ο€)–cnβ†’β„‚)
590589a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) ∈ ((0(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
591 reseq2 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)Ο€)))
592 resabs1 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)Ο€) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)))
593167, 592ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€))
594593, 211eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0)
595591, 594eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0))
596559, 568eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯) = (0(,)Ο€))
597596oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚) = ((0(,)Ο€)–cnβ†’β„‚))
598590, 595, 5973eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = (0(,)Ο€) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚))
599558, 598syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} ∧ Β¬ π‘₯ = (-Ο€(,)0)) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚))
600587, 599pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)} β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚))
601600adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ {(-Ο€(,)0), (0(,)Ο€)}) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ π‘₯) ∈ ((dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∩ π‘₯)–cnβ†’β„‚))
602334, 340, 532, 573, 601cncfuni 44201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (⊀ β†’ ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))–cnβ†’β„‚))
603602mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ (dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))–cnβ†’β„‚)
604 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = -Ο€ β†’ (π‘₯(,)+∞) = (-Ο€(,)+∞))
605604reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = -Ο€ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)+∞)))
606 iooss2 13307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((+∞ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ≀ +∞) β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)+∞))
607374, 451, 606mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)+∞)
608 resabs2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€(,)+∞) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
609607, 608ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-Ο€(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
610605, 609eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = -Ο€ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
611 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = -Ο€ β†’ π‘₯ = -Ο€)
612610, 611oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = -Ο€ β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€))
613252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
614311, 392, 393, 613constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ -Ο€))
615614mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ -Ο€)
616309oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ -Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)) limβ„‚ -Ο€)
617335a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚)
618158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
619151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ 0 ∈ ℝ*)
620164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ -Ο€ < 0)
621315a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
622236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ 0 ≀ Ο€)
623617, 618, 619, 620, 621, 471, 622limcresioolb 43958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)) limβ„‚ -Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€))
624623mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)) limβ„‚ -Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€)
625616, 624eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ -Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€)
626615, 625eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€)
627626ne0ii 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€) β‰  βˆ…
628627a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = -Ο€ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ -Ο€) β‰  βˆ…)
629612, 628eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = -Ο€ β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
630629adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ π‘₯ = -Ο€) β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
631 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€))
632159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
633153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
634 icossre 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (-Ο€[,)Ο€) βŠ† ℝ)
635158, 153, 634mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-Ο€[,)Ο€) βŠ† ℝ
636635sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
637636adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
638158a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
639 icogelb 13322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€)) β†’ -Ο€ ≀ π‘₯)
640159, 153, 639mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) β†’ -Ο€ ≀ π‘₯)
641640adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ -Ο€ ≀ π‘₯)
642 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ π‘₯ = -Ο€ β†’ π‘₯ β‰  -Ο€)
643642adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ π‘₯ β‰  -Ο€)
644638, 637, 641, 643leneltd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ -Ο€ < π‘₯)
645 icoltub 43820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€)) β†’ π‘₯ < Ο€)
646159, 153, 645mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
647646adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
648632, 633, 637, 644, 647eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ (-Ο€[,)Ο€) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
649631, 648sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
650 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
651650adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
652649, 651eldifd 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
653 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(,)+∞) = (0(,)+∞))
654653reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 0 β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)))
655654, 358oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 0 β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) = ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0))
656213, 446, 393, 393constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ 0))
657656mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ 0)
658 resres 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (0(,)+∞)))
659 iooin 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) ∧ (0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*)) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-Ο€ ≀ 0, 0, -Ο€)(,)if(Ο€ ≀ +∞, Ο€, +∞)))
660159, 153, 151, 374, 659mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (0(,)+∞)) = (if(-Ο€ ≀ 0, 0, -Ο€)(,)if(Ο€ ≀ +∞, Ο€, +∞))
661165iftruei 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-Ο€ ≀ 0, 0, -Ο€) = 0
662451iftruei 4498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(Ο€ ≀ +∞, Ο€, +∞) = Ο€
663661, 662oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-Ο€ ≀ 0, 0, -Ο€)(,)if(Ο€ ≀ +∞, Ο€, +∞)) = (0(,)Ο€)
664660, 663eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (0(,)+∞)) = (0(,)Ο€)
665664reseq2i 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (0(,)+∞))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€))
666211eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)) = (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0)
667658, 665, 6663eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞))
668667oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ 0) = ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0)
669657, 668eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0)
670669ne0ii 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0) β‰  βˆ…
671670a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 0 β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (0(,)+∞)) limβ„‚ 0) β‰  βˆ…)
672655, 671eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 0 β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
673652, 324, 6723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = -Ο€) β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
674630, 673pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((-Ο€[,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (π‘₯(,)+∞)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
675 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = Ο€ β†’ (-∞(,)π‘₯) = (-∞(,)Ο€))
676675reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = Ο€ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)Ο€)))
677 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = Ο€ β†’ π‘₯ = Ο€)
678676, 677oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = Ο€ β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) = ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€))
679 iooss1 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -∞ ≀ -Ο€) β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-∞(,)Ο€))
680363, 387, 679mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-∞(,)Ο€)
681 resabs2 5974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-∞(,)Ο€) β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)Ο€)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
682680, 681ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)Ο€)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))
683682oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€)
684678, 683eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = Ο€ β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€))
685213, 446, 393, 53constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ Ο€))
686685mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ Ο€)
687211oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€)
688118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
68968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ 0 < Ο€)
690217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ (0(,)Ο€) βŠ† dom (ℝ D 𝐹))
691165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (⊀ β†’ -Ο€ ≀ 0)
692617, 619, 688, 689, 690, 412, 691limcresiooub 43957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€))
693692mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (0(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€)
694687, 693eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (0(,)Ο€) ↦ 0) limβ„‚ Ο€) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€)
695686, 694eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€)
696695ne0ii 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€) β‰  βˆ…
697696a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = Ο€ β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) limβ„‚ Ο€) β‰  βˆ…)
698684, 697eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = Ο€ β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
699698adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ π‘₯ = Ο€) β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
700159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
701153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
702 negpitopissre 25912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-Ο€(,]Ο€) βŠ† ℝ
703 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,]Ο€))
704702, 703sselid 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
705704adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
706159a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
707153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
708 iocgtlb 43814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,]Ο€)) β†’ -Ο€ < π‘₯)
709706, 707, 703, 708syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ -Ο€ < π‘₯)
710709adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ -Ο€ < π‘₯)
711118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
712 iocleub 43815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€(,]Ο€)) β†’ π‘₯ ≀ Ο€)
713706, 707, 703, 712syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ π‘₯ ≀ Ο€)
714713adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ π‘₯ ≀ Ο€)
715 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Ο€ = π‘₯ β†’ Ο€ = π‘₯)
716715eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Ο€ = π‘₯ β†’ π‘₯ = Ο€)
717716necon3bi 2971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ π‘₯ = Ο€ β†’ Ο€ β‰  π‘₯)
718717adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ Ο€ β‰  π‘₯)
719705, 711, 714, 718leneltd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ π‘₯ < Ο€)
720700, 701, 705, 710, 719eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€))
721 eldifn 4092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
722721adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)))
723720, 722eldifd 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ π‘₯ ∈ ((-Ο€(,)Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))))
724 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 0 β†’ (-∞(,)π‘₯) = (-∞(,)0))
725724reseq2d 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 0 β†’ (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)))
726725, 358oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 0 β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) = ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0))
727311, 392, 393, 393constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ 0))
728727mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ∈ ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ 0)
729 resres 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)0)))
730 iooin 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*)) β†’ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-Ο€ ≀ -∞, -∞, -Ο€)(,)if(Ο€ ≀ 0, Ο€, 0)))
731159, 153, 363, 151, 730mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)0)) = (if(-Ο€ ≀ -∞, -∞, -Ο€)(,)if(Ο€ ≀ 0, Ο€, 0))
732 mnflt 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (-Ο€ ∈ ℝ β†’ -∞ < -Ο€)
733158, 732ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 -∞ < -Ο€
734 xrltnle 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ -Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < -Ο€ ↔ Β¬ -Ο€ ≀ -∞))
735363, 159, 734mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (-∞ < -Ο€ ↔ Β¬ -Ο€ ≀ -∞)
736733, 735mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Β¬ -Ο€ ≀ -∞
737736iffalsei 4501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(-Ο€ ≀ -∞, -∞, -Ο€) = -Ο€
738 xrltnle 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (0 < Ο€ ↔ Β¬ Ο€ ≀ 0))
739151, 153, 738mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 < Ο€ ↔ Β¬ Ο€ ≀ 0)
74068, 739mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Β¬ Ο€ ≀ 0
741740iffalsei 4501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 if(Ο€ ≀ 0, Ο€, 0) = 0
742737, 741oveq12i 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (if(-Ο€ ≀ -∞, -∞, -Ο€)(,)if(Ο€ ≀ 0, Ο€, 0)) = (-Ο€(,)0)
743731, 742eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)0)) = (-Ο€(,)0)
744743reseq2i 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ ((-Ο€(,)Ο€) ∩ (-∞(,)0))) = ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0))
745309eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)0)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0)
746729, 744, 7453eqtrri 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) = (((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0))
747746oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘₯ ∈ (-Ο€(,)0) ↦ 0) limβ„‚ 0) = ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0)
748728, 747eleqtri 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0)
749748ne0ii 4302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0) β‰  βˆ…
750749a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 0 β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)0)) limβ„‚ 0) β‰  βˆ…)
751726, 750eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 0 β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
752723, 324, 7513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) ∧ Β¬ π‘₯ = Ο€) β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
753699, 752pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((-Ο€(,]Ο€) βˆ– dom ((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€))) β†’ ((((ℝ D 𝐹) β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) β†Ύ (-∞(,)π‘₯)) limβ„‚ π‘₯) β‰  βˆ…)
754 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1)
755 ioosscn 13333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† β„‚
756755a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† β„‚)
757 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 1 ∈ β„‚)
75823a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
759754, 756, 757, 758constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
760 ioossioc 43804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0(,)Ο€) βŠ† (0(,]Ο€)
761760sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€))
762761iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) = 1)
763208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
764 modcl 13785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
76522, 133, 764mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ
76622, 765resubcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
767766rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
768767a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
76922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
770 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
771 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 0 < (𝑋 mod 𝑇))
772151, 153, 771mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (𝑋 mod 𝑇))
773770, 772elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ+)
774769, 773ltsubrpd 12996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
775 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ℝ
776775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ℝ)
777363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
778 mnflt 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ β†’ -∞ < (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
779 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
780363, 767, 779mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (-∞ < (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
781766, 778, 780mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))
782781a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
783763, 768, 769, 774, 776, 777, 782limcresiooub 43957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
784 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
785151, 153, 784mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
786208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
787775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ β†’ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ℝ)
788786, 787feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
789 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
790789, 107, 145sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
791790adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
792789adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
793133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
794792, 793modcld 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
795765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
796118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
79722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
798133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
799 ioossico 13362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋)
800799sseli 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))[,)𝑋))
801797, 798, 800ltmod 43953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
802801adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
803 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
804794, 795, 796, 802, 803lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
805804iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
806791, 805eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
807806mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
808788, 807eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
809785, 808syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1))
810809oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
811783, 810eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
812759, 762, 8113eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
813 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1)
814 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) βŠ† ℝ
815814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) βŠ† ℝ)
816815, 206sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) βŠ† β„‚)
81723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
818813, 816, 304, 817constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ -1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
819818mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 -1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋)
820819a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ -1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
821 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ (𝑋 mod 𝑇) = 0)
822 lbioc 43825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Β¬ 0 ∈ (0(,]Ο€)
823822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ Β¬ 0 ∈ (0(,]Ο€))
824821, 823eqneltrd 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€))
825824iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) = -1)
826208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
827814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) βŠ† ℝ)
828826, 827feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
829827sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
830829, 107, 145sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
831118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
832133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
833829, 832modcld 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
83422, 118resubcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ
835834a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ)
836120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
837835, 836readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) ∈ ℝ)
838 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
839838, 836readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
84022a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
841834rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ*
842841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ*)
843840rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
844 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋))
845 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) < π‘₯)
846842, 843, 844, 845syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) < π‘₯)
847835, 838, 836, 846ltadd1dd 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) < (π‘₯ + 𝑇))
848837, 839, 840, 847ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋) < ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
849848adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋) < ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
850250oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) = ((𝑋 βˆ’ Ο€) + (Ο€ + Ο€))
85152, 52addcli 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (Ο€ + Ο€) ∈ β„‚
852 subadd23 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚ ∧ (Ο€ + Ο€) ∈ β„‚) β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€) + (Ο€ + Ο€)) = (𝑋 + ((Ο€ + Ο€) βˆ’ Ο€)))
85323, 52, 851, 852mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 βˆ’ Ο€) + (Ο€ + Ο€)) = (𝑋 + ((Ο€ + Ο€) βˆ’ Ο€))
85452, 52pncan3oi 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((Ο€ + Ο€) βˆ’ Ο€) = Ο€
855854oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑋 + ((Ο€ + Ο€) βˆ’ Ο€)) = (𝑋 + Ο€)
856850, 853, 8553eqtri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) = (𝑋 + Ο€)
857856oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋) = ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋)
858 pncan2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ Ο€ ∈ β„‚) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋) = Ο€)
85923, 52, 858mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋) = Ο€
860857, 859eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Ο€ = (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋)
861860a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ Ο€ = (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
862839, 840resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
863 modabs2 13817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇))
864862, 133, 863sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇))
865133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
866 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
867837, 840resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
86868, 860breqtri 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 0 < (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋)
869868a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 0 < (((𝑋 βˆ’ Ο€) + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
870866, 867, 862, 869, 848lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 0 < ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
871866, 862, 870ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ 0 ≀ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
872840, 836readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (𝑋 + 𝑇) ∈ ℝ)
873 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ π‘₯ < 𝑋)
874842, 843, 844, 873syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ π‘₯ < 𝑋)
875838, 840, 836, 874ltadd1dd 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (π‘₯ + 𝑇) < (𝑋 + 𝑇))
876839, 872, 840, 875ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) < ((𝑋 + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
877 pncan2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ 𝑇 ∈ β„‚) β†’ ((𝑋 + 𝑇) βˆ’ 𝑋) = 𝑇)
87823, 121, 877mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + 𝑇) βˆ’ 𝑋) = 𝑇
879876, 878breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) < 𝑇)
880 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) ∧ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) < 𝑇)) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) = ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
881862, 865, 871, 879, 880syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) = ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
882864, 881eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
883882adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇))
884 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + 0))
885884adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + 0))
886862, 865modcld 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) ∈ ℝ)
887886recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) ∈ β„‚)
888887addid1d 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇))
889888adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + 0) = (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇))
890885, 889eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)))
891890oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) mod 𝑇) = (((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇))
892 modaddabs 13821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ (((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
893862, 840, 865, 892syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
894893adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) + (𝑋 mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
895883, 891, 8943eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) = ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇))
896143recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ β„‚)
89723a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
898896, 897npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘₯ + 𝑇))
899122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (1 Β· 𝑇) = 𝑇)
900899oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) = (π‘₯ + 𝑇))
901898, 900eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘₯ + (1 Β· 𝑇)))
902901oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇))
903838, 902syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇))
904903adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) mod 𝑇) = ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇))
905 1zzd 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ 1 ∈ β„€)
906829, 832, 905, 136syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((π‘₯ + (1 Β· 𝑇)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
907895, 904, 9063eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = ((π‘₯ + 𝑇) βˆ’ 𝑋))
908849, 861, 9073brtr4d 5142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
909831, 833, 908ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ Ο€ ≀ (π‘₯ mod 𝑇))
910831, 833, 909lensymd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
911910iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
912830, 911eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) = 0 ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
913912mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1))
914828, 913eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)))
915914oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
916841a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ*)
91722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
918 ltsubrp 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) < 𝑋)
91922, 182, 918mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋 βˆ’ Ο€) < 𝑋
920919a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) < 𝑋)
921 mnflt 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ β†’ -∞ < (𝑋 βˆ’ Ο€))
922 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 βˆ’ Ο€) ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < (𝑋 βˆ’ Ο€) β†’ -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ Ο€)))
923363, 841, 922mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (-∞ < (𝑋 βˆ’ Ο€) β†’ -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ Ο€))
924834, 921, 923mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ Ο€)
925924a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ -∞ ≀ (𝑋 βˆ’ Ο€))
926361, 916, 917, 920, 815, 364, 925limcresiooub 43957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
927926mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)
928915, 927eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
929820, 825, 9283eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
930929adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
931153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
932120rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑇 ∈ ℝ*
933932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
934765rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*
935934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
936118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
937765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
938 pm4.56 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) ↔ Β¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
939938biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ Β¬ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
940 olc 867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = 0 β†’ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
941940adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
942151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ 0 ∈ ℝ*)
943153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
944765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
945 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) β‰  0 β†’ 0 ∈ ℝ)
946765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) β‰  0 β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
947 modge0 13791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑋 mod 𝑇))
94822, 133, 947mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 ≀ (𝑋 mod 𝑇)
949948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) β‰  0 β†’ 0 ≀ (𝑋 mod 𝑇))
950 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋 mod 𝑇) β‰  0 β†’ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0)
951945, 946, 949, 950leneltd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) β‰  0 β†’ 0 < (𝑋 mod 𝑇))
952951adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ 0 < (𝑋 mod 𝑇))
953 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
954942, 943, 944, 952, 953eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€))
955954orcd 872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ (𝑋 mod 𝑇) β‰  0) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
956941, 955pm2.61dane 3033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ β†’ ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∨ (𝑋 mod 𝑇) = 0))
957939, 956nsyl 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
958936, 937, 957nltled 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇))
959 modlt 13792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
96022, 133, 959mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇
961960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
962931, 933, 935, 958, 961elicod 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇))
963 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1)
964963, 816, 202, 817constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (⊀ β†’ 1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
965964mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋)
966965a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ 1 ∈ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
967 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€)
968 ubioc1 13324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ 0 < Ο€) β†’ Ο€ ∈ (0(,]Ο€))
969151, 153, 68, 968mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ο€ ∈ (0(,]Ο€)
970967, 969eqeltrdi 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€))
971970iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) = 1)
972361, 815feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊀ β†’ (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
973972mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
974838, 107, 145sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
975974adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
976 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋))
977967eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ Ο€ = (𝑋 mod 𝑇))
978977oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ (𝑋 βˆ’ Ο€) = (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
979978oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) = ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
980979adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) = ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
981976, 980eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
982981, 801syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < (𝑋 mod 𝑇))
983 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€)
984982, 983breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
985984iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
986975, 985eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
987986mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1))
988973, 987eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) = (𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)))
989988oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
990989, 927eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ ((𝑋 βˆ’ Ο€)(,)𝑋) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
991966, 971, 9903eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
992991adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
993153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
994932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
995765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
996118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
997 icogelb 13322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇)) β†’ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇))
998153, 932, 997mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇))
999998adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇))
1000 neqne 2952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€ β†’ (𝑋 mod 𝑇) β‰  Ο€)
10011000adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) β‰  Ο€)
1002996, 995, 999, 1001leneltd 11316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ Ο€ < (𝑋 mod 𝑇))
1003960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1004993, 994, 995, 1002, 1003eliood 43810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇))
1005 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1)
1006 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ℝ
10071006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ℝ)
10081007, 206sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† β„‚)
1009 neg1cn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ β„‚
10101009a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ -1 ∈ β„‚)
101123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
10121005, 1008, 1010, 1011constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ -1 ∈ ((π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
1013151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ 0 ∈ ℝ*)
1014118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1015934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1016 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((Ο€ ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇)) β†’ Ο€ < (𝑋 mod 𝑇))
1017153, 932, 1016mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ Ο€ < (𝑋 mod 𝑇))
10181013, 1014, 1015, 1017gtnelioc 43803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€))
10191018iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) = -1)
10201006a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (⊀ β†’ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) βŠ† ℝ)
1021361, 1020feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (⊀ β†’ (𝐹 β†Ύ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
10221021mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 β†Ύ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) = (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
1023 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10241023, 107, 145sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
10251024adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1026118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1027133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
10281023, 1027modcld 13787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
10291028adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
103022, 118readdcli 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 + Ο€) ∈ ℝ
10311030recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + Ο€) ∈ β„‚
10321031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 + Ο€) ∈ β„‚)
103323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
1034765recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 mod 𝑇) ∈ β„‚
10351034a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ β„‚)
10361032, 1033, 1035nnncan2d 11554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋))
10371036, 859eqtr2di 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ Ο€ = (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
10381030, 765resubcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
10391038a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1040766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
10411038rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*
10421041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
104322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
10441043rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1045 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋))
1046 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) < π‘₯)
10471042, 1044, 1045, 1046syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) < π‘₯)
10481039, 1023, 1040, 1047ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
10491037, 1048eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ Ο€ < (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
10501023recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1051 sub31 43598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑋 ∈ β„‚ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10521050, 1033, 1035, 1051syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10531049, 1052breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ Ο€ < ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10541053adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Ο€ < (𝑋 mod 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Ο€ < ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10551043, 1023resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ)
1056 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 ∈ ℝ)
1057 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ π‘₯ < 𝑋)
10581042, 1044, 1045, 1057syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ π‘₯ < 𝑋)
10591023, 1043posdifd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ < 𝑋 ↔ 0 < (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10601058, 1059mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 < (𝑋 βˆ’ π‘₯))
10611056, 1055, 1060ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑋 βˆ’ π‘₯))
10621043, 1039resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
1063120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
10641039, 1023, 1043, 1047ltsub2dd 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘₯) < (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
1065 sub31 43598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ (𝑋 + Ο€) ∈ β„‚ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ β„‚) β†’ (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋)))
106623, 1031, 1034, 1065mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋))
1067859oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€)
10681066, 1067eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€)
1069 ltsubrp 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€) < (𝑋 mod 𝑇))
1070765, 182, 1069mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€) < (𝑋 mod 𝑇)
1071765, 118resubcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€) ∈ ℝ
10721071, 765, 120lttri 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€) < (𝑋 mod 𝑇) ∧ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€) < 𝑇)
10731070, 960, 1072mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ Ο€) < 𝑇
10741068, 1073eqbrtri 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10751074a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10761055, 1062, 1063, 1064, 1075lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘₯) < 𝑇)
1077 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑋 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (𝑋 βˆ’ π‘₯) ∧ (𝑋 βˆ’ π‘₯) < 𝑇)) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇) = (𝑋 βˆ’ π‘₯))
10781055, 1027, 1061, 1076, 1077syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇) = (𝑋 βˆ’ π‘₯))
10791078oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10801079oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) mod 𝑇))
1081765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
10821081, 1055resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ)
1083118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
10841052, 1082eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
108568a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 < Ο€)
10861056, 1083, 1084, 1085, 1049lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 < (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
10871086, 1052breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 < ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10881056, 1082, 1087ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ 0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10891043, 1040resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
10901023, 1043, 1040, 1058ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
1091 nncan 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ β„‚) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇))
109223, 1034, 1091mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = (𝑋 mod 𝑇)
10931092, 960eqbrtri 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇
10941093a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10951084, 1089, 1063, 1090, 1094lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < 𝑇)
10961052, 1095eqbrtrrd 5134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) < 𝑇)
1097 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) < 𝑇)) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10981082, 1027, 1088, 1096, 1097syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)))
10991080, 1098eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) = (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1100 modsubmodmod 13842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑋 βˆ’ π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) mod 𝑇))
11011043, 1055, 1027, 1100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ π‘₯) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) mod 𝑇))
11021033, 1050nncand 11524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ (𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) = π‘₯)
11031102oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
11041099, 1101, 11033eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) = (π‘₯ mod 𝑇))
11051104adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Ο€ < (𝑋 mod 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) βˆ’ (𝑋 βˆ’ π‘₯)) = (π‘₯ mod 𝑇))
11061054, 1105breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((Ο€ < (𝑋 mod 𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
11071017, 1106sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Ο€ < (π‘₯ mod 𝑇))
11081026, 1029, 1107ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Ο€ ≀ (π‘₯ mod 𝑇))
11091026, 1029, 1108lensymd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
11101109iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
11111025, 1110eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
11121111mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1))
11131022, 1112eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) = (𝐹 β†Ύ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)))
11141113oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ ((π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1115208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
11161041a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*)
111722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1118 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1119 ltaddsublt 11789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (Ο€ < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11201117, 1014, 1118, 1119syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ (Ο€ < (𝑋 mod 𝑇) ↔ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋))
11211017, 1120mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) < 𝑋)
1122363a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ -∞ ∈ ℝ*)
1123 mnflt 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ β†’ -∞ < ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
1124 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ -∞ ≀ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
1125363, 1041, 1124mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (-∞ < ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ -∞ ≀ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
11261038, 1123, 1125mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 -∞ ≀ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))
11271126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ -∞ ≀ ((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
11281115, 1116, 1117, 1121, 1007, 1122, 1127limcresiooub 43957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
11291114, 1128eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ (((𝑋 + Ο€) βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))(,)𝑋) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
11301012, 1019, 11293eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€(,)𝑇) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
11311004, 1130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1132992, 1131pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1133962, 1132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) ∧ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) = 0) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1134930, 1133pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,)Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋))
1135812, 1134pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ ((𝐹 β†Ύ (-∞(,)𝑋)) limβ„‚ 𝑋)
1136 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1)
1137 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† ℝ
11381137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† ℝ)
11391138, 206sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊀ β†’ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† β„‚)
11401136, 1139, 202, 817constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⊀ β†’ 1 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
11411140mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋)
11421141a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 1 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
1143104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)))
1144 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = (𝑋 mod 𝑇))
11451144breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€ ↔ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€))
11461145ifbid 4514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑋 β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
11471146adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ π‘₯ = 𝑋) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
114822a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
1149105, 106ifcli 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ
11501149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ ℝ)
11511143, 1147, 1148, 1150fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1152 icoltub 43820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ* ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
1153151, 153, 1152mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
11541153iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
11551151, 1154eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = 1)
1156361, 1138feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
11571156mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
1158 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11591158, 107, 145sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
11601159adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
116122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
11621158, 1161resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1163133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
1164 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
11651161rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1166118, 765resubcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
116722, 1166readdcli 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
11681167rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
11691168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1170 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))))
1171 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ 𝑋 < π‘₯)
11721165, 1169, 1170, 1171syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 < π‘₯)
11731161, 1158posdifd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 < π‘₯ ↔ 0 < (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
11741172, 1173mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 < (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
11751164, 1162, 1174ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
1176118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1177120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
11781167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
11791178, 1161resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1180 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ π‘₯ < (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
11811165, 1169, 1170, 1180syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ < (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
11821158, 1178, 1161, 1181ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) < ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋))
11831166recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ β„‚
1184 pncan2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ β„‚) β†’ ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) = (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
118523, 1183, 1184mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) = (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))
1186 subge02 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ≀ Ο€))
1187118, 765, 1186mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≀ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ≀ Ο€)
1188948, 1187mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ≀ Ο€
11891185, 1188eqbrtri 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) ≀ Ο€
11901189a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) ≀ Ο€)
11911162, 1179, 1176, 1182, 1190ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) < Ο€)
1192185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ Ο€ < 𝑇)
11931162, 1176, 1177, 1191, 1192lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) < 𝑇)
1194 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) < 𝑇)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) = (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
11951162, 1163, 1175, 1193, 1194syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) = (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
11961195oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
11971196oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇))
1198765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
11991198, 1162readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
12001161, 1161resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
12011198, 1200readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
120223subidi 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑋 βˆ’ 𝑋) = 0
12031202oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 βˆ’ 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + 0)
12041034addid1i 11349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 mod 𝑇) + 0) = (𝑋 mod 𝑇)
12051203, 1204eqtr2i 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑋 mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 βˆ’ 𝑋))
1206948, 1205breqtri 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 βˆ’ 𝑋))
12071206a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 βˆ’ 𝑋)))
12081161, 1158, 1161, 1172ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 βˆ’ 𝑋) < (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
12091200, 1162, 1198, 1208ltadd2dd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑋 βˆ’ 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12101164, 1201, 1199, 1207, 1209lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12111164, 1199, 1210ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12121162, 1179, 1198, 1182ltadd2dd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋)))
12131185oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
12141034, 52pncan3i 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = Ο€
12151213, 1214eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋)) = Ο€
12161212, 1215breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < Ο€)
12171199, 1176, 1177, 1216, 1192lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑇)
1218 modid 13808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) ∧ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑇)) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12191199, 1163, 1211, 1217, 1218syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12201197, 1219eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
1221 modaddabs 13821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇))
12221161, 1162, 1163, 1221syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇))
122323a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
12241158recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
12251223, 1224pncan3d 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = π‘₯)
12261225oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
12271220, 1222, 12263eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12281227adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
12291216adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < Ο€)
12301228, 1229eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
12311153, 1230sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
12321231iftrued 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = 1)
12331160, 1232eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 1)
12341233mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1))
12351157, 1234eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) = (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))))
12361235oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) limβ„‚ 𝑋))
1237208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
12381168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
12391166a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1240765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1241118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
12421240, 1241posdifd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ↔ 0 < (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
12431153, 1242mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 0 < (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
12441239, 1243elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
12451148, 1244ltaddrpd 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝑋 < (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
12461137a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† ℝ)
1247374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
1248 ltpnf 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1249 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞))
12501168, 374, 1249mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞)
12511167, 1248, 1250mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞
12521251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞)
12531237, 1148, 1238, 1245, 1246, 1247, 1252limcresioolb 43958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
12541236, 1253eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (Ο€ βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ 1) limβ„‚ 𝑋))
12551142, 1155, 12543eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
1256153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
1257932a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
1258934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1259151a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
1260153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
1261934a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ*)
1262948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ 0 ≀ (𝑋 mod 𝑇))
1263765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1264118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
12651263, 1264ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) < Ο€ ↔ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)))
12661265ibir 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
12671266adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
12681259, 1260, 1261, 1262, 1267elicod 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€))
1269 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) ∧ Β¬ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇)) β†’ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€))
12701268, 1269condan 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇))
1271960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
12721256, 1257, 1258, 1270, 1271elicod 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇))
1273 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1)
1274 ioossre 13332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† ℝ
12751274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† ℝ)
12761275, 206sstrdi 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (⊀ β†’ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† β„‚)
12771273, 1276, 304, 817constlimc 43939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⊀ β†’ -1 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
12781277mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 -1 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋)
12791278a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ -1 ∈ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
1280 1ex 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 ∈ V
1281106elexi 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -1 ∈ V
12821280, 1281ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ V
12831146, 104, 1282fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
128422, 1283ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πΉβ€˜π‘‹) = if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1)
12851284a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1286118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
1287765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
12881286, 1287, 998lensymd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ Β¬ (𝑋 mod 𝑇) < Ο€)
12891288iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
12901285, 1289eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = -1)
1291361, 1275feqresmpt 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (⊀ β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
12921291mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
1293 elioore 13301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
12941293, 107, 145sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
12951294adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1))
1296118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
129722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
12981293, 1297resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1299133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ+)
1300 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ∈ ℝ)
13011297rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1302120, 765resubcli 11470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ
130322, 1302readdcli 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ
13041303rexri 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*
13051304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
1306 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))))
1307 ioogtlb 43807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ 𝑋 < π‘₯)
13081301, 1305, 1306, 1307syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 < π‘₯)
13091297, 1293posdifd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 < π‘₯ ↔ 0 < (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13101308, 1309mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 < (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
13111300, 1298, 1310ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ≀ (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
13121303a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ)
13131312, 1297resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
1314120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
1315 iooltub 43822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ π‘₯ < (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
13161301, 1305, 1306, 1315syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ < (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
13171293, 1312, 1297, 1316ltsub1dd 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) < ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋))
13181302recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ β„‚
1319 pncan2 11415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑋 ∈ β„‚ ∧ (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ β„‚) β†’ ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) = (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
132023, 1318, 1319mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) = (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))
1321 subge02 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ≀ 𝑇))
1322120, 765, 1321mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ≀ (𝑋 mod 𝑇) ↔ (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ≀ 𝑇)
1323948, 1322mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ≀ 𝑇
13241320, 1323eqbrtri 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑇
13251324a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑇)
13261298, 1313, 1314, 1317, 1325ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) < 𝑇)
13271298, 1299, 1311, 1326, 1194syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇) = (π‘₯ βˆ’ 𝑋))
13281327oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13291328oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = (((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇))
1330 readdcl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
1331765, 1298, 1330sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
1332765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1333948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ≀ (𝑋 mod 𝑇))
13341332, 1298, 1333, 1310addgegt0d 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 < ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13351300, 1331, 1334ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 0 ≀ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13361298, 1313, 1332, 1317ltadd2dd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋)))
13371320oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋)) = ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
13381034, 121pncan3i 11485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑋 mod 𝑇) + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) = 𝑇
13391337, 1338eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑋 mod 𝑇) + ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) βˆ’ 𝑋)) = 𝑇
13401336, 1339breqtrdi 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) < 𝑇)
13411331, 1299, 1335, 1340, 1218syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇) = ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13421329, 1341eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇))
13431297, 1298, 1299, 1221syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (((𝑋 mod 𝑇) + ((π‘₯ βˆ’ 𝑋) mod 𝑇)) mod 𝑇) = ((𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇))
134423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
13451293recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13461344, 1345pncan3d 11522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = π‘₯)
13471346oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) mod 𝑇) = (π‘₯ mod 𝑇))
13481342, 1343, 13473eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = (π‘₯ mod 𝑇))
13491348adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) = (π‘₯ mod 𝑇))
13501331adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
13511349, 1350eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (π‘₯ mod 𝑇) ∈ ℝ)
1352765a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (𝑋 mod 𝑇) ∈ ℝ)
1353998adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ Ο€ ≀ (𝑋 mod 𝑇))
13541298, 1310elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ+)
13551332, 1354ltaddrpd 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13561355adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13571296, 1352, 1350, 1353, 1356lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ Ο€ < ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13581296, 1350, 1357ltled 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ Ο€ ≀ ((𝑋 mod 𝑇) + (π‘₯ βˆ’ 𝑋)))
13591358, 1349breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ Ο€ ≀ (π‘₯ mod 𝑇))
13601296, 1351, 1359lensymd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ Β¬ (π‘₯ mod 𝑇) < Ο€)
13611360iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ if((π‘₯ mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) = -1)
13621295, 1361eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) ∧ π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = -1)
13631362mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1))
13641292, 1363eqtr2id 2790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) = (𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))))
13651364oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) limβ„‚ 𝑋))
1366208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
136722a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
13681304a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ*)
13691302a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ)
1370960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑋 mod 𝑇) < 𝑇)
1371120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
13721287, 1371posdifd 11749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ ((𝑋 mod 𝑇) < 𝑇 ↔ 0 < (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
13731370, 1372mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ 0 < (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))
13741369, 1373elrpd 12961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)) ∈ ℝ+)
13751367, 1374ltaddrpd 12997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ 𝑋 < (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))
13761274a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) βŠ† ℝ)
1377374a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
1378 ltpnf 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < +∞)
1379 xrltle 13075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞))
13801304, 374, 1379mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) < +∞ β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞)
13811303, 1378, 1380mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞
13821381a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))) ≀ +∞)
13831366, 1367, 1368, 1375, 1376, 1377, 1382limcresioolb 43958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇))))) limβ„‚ 𝑋) = ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
13841365, 1383eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋) = ((π‘₯ ∈ (𝑋(,)(𝑋 + (𝑇 βˆ’ (𝑋 mod 𝑇)))) ↦ -1) limβ„‚ 𝑋))
13851279, 1290, 13843eltr4d 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 mod 𝑇) ∈ (Ο€[,)𝑇) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
13861272, 1385syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ (𝑋 mod 𝑇) ∈ (0[,)Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋))
13871255, 1386pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ((𝐹 β†Ύ (𝑋(,)+∞)) limβ„‚ 𝑋)
1388 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
1389110, 104, 1388sqwvfoura 44543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = 0)
13901389eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ 0 = (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
13911390mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
1392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1393110, 104, 1392sqwvfourb 44544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))
13941393eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) = (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
13951394mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘₯) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· π‘₯))) dπ‘₯ / Ο€))
1396 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
1397 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
1398 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)
13991398fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ β„•0 ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) = 0)
14001396, 1397, 1399syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) = 0)
14011400oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = (0 Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
140274coscld 16020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ β„• β†’ (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) ∈ β„‚)
14031402mul02d 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ (0 Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = 0)
14041401, 1403eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = 0)
1405 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 / (𝑛 Β· Ο€)) ∈ V
140689, 1405ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) ∈ V
1407 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))
14081407fvmpt2 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ β„• ∧ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) ∈ V) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))
14091406, 1408mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))β€˜π‘›) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))
14101409oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
14111404, 1410oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = (0 + (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
141260, 72ifcld 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) ∈ β„‚)
14131412, 75mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) ∈ β„‚)
14141413addid2d 11363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ (0 + (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
1415 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 βˆ₯ 𝑛 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) = 0)
14161415oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 βˆ₯ 𝑛 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = (0 Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
141775mul02d 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ β„• β†’ (0 Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = 0)
14181416, 1417sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = 0)
1419 iftrue 4497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 βˆ₯ 𝑛 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = 0)
14201419eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 βˆ₯ 𝑛 β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14211420adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ 0 = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14221418, 1421eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
1423 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) = (4 / (𝑛 Β· Ο€)))
14241423oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
14251424adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
1426 iffalse 4500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))
14271426eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛 β†’ ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14281427adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14291425, 1428eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ Β¬ 2 βˆ₯ 𝑛) β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14301422, 1429pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„• β†’ (if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14311411, 1414, 14303eqtrrd 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = ((((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
14321431mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + (((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, (4 / (𝑛 Β· Ο€))))β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))
1433109, 110, 147, 148, 329, 603, 674, 753, 22, 1135, 1387, 1391, 1395, 1432fourierclim 44539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))) ⇝ (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) βˆ’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) / 2))
1434 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ∈ β„•0
1435 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 = 0 β†’ 0 = 0)
14361435, 1398, 89fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0 ∈ β„•0 β†’ ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) = 0)
14371434, 1436ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) = 0
14381437oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) / 2) = (0 / 2)
143928recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„‚
144067, 129gtneii 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 β‰  0
14411439, 1440div0i 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 / 2) = 0
14421438, 1441eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) / 2) = 0
14431442oveq2i 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) βˆ’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) / 2)) = (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) βˆ’ 0)
1444202mptru 1549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ β„‚
14451444, 1009ifcli 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) ∈ β„‚
14461149recni 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 if((𝑋 mod 𝑇) < Ο€, 1, -1) ∈ β„‚
14471284, 1446eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚
14481445, 1447addcli 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ β„‚
14491448, 1439, 1440divcli 11904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) ∈ β„‚
14501449subid1i 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) βˆ’ 0) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2)
14511443, 1450eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) βˆ’ (((𝑛 ∈ β„•0 ↦ 0)β€˜0) / 2)) = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2)
14521433, 1451breqtri 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15 seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2)
14531452a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊀ β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2))
145479, 103, 1453sumnnodd 43945 . . . . . . . . . . . . 13 (⊀ β†’ (seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
14551454mptru 1549 . . . . . . . . . . . 12 (seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) ∧ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
14561455simpli 485 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) ⇝ ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2)
1457 breq2 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ (2 βˆ₯ 𝑛 ↔ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
1458 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ (𝑛 Β· Ο€) = (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€))
14591458oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ (4 / (𝑛 Β· Ο€)) = (4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)))
1460 oveq1 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ (𝑛 Β· 𝑋) = (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))
14611460fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))
14621459, 1461oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) = ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))))
14631457, 1462ifbieq2d 4517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1), 0, ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))))
14641463adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) β†’ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))) = if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1), 0, ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))))
1465 elnnz 12516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„• ↔ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ 0 < ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
146620, 48, 1465sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1467 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))) ∈ V
146889, 1467ifex 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1), 0, ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))) ∈ V
14691468a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1), 0, ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))) ∈ V)
147080, 1464, 1466, 1469fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1), 0, ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))))
1471 dvdsmul1 16167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· π‘˜))
147215, 17, 1471sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 βˆ₯ (2 Β· π‘˜))
147318zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„‚)
1474 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
14751473, 1474npcand 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1) = (2 Β· π‘˜))
14761475eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (2 Β· π‘˜) = (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1))
14771472, 1476breqtrd 5136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 2 βˆ₯ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1))
1478 oddp1even 16233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ↔ 2 βˆ₯ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)))
147920, 1478syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Β¬ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) ↔ 2 βˆ₯ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) + 1)))
14801477, 1479mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Β¬ 2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
14811480iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ if(2 βˆ₯ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1), 0, ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))) = ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))))
148252a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
148321, 1482mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€) = (Ο€ Β· ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
14841483oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) = (4 / (Ο€ Β· ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
148554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 4 ∈ β„‚)
148669a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
14871485, 1482, 21, 1486, 49divdiv1d 11969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((4 / Ο€) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = (4 / (Ο€ Β· ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
14881484, 1487eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) = ((4 / Ο€) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
14891488oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))) = (((4 / Ο€) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))))
14901485, 1482, 1486divcld 11938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (4 / Ο€) ∈ β„‚)
14911490, 21, 26, 49div32d 11961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((4 / Ο€) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
14921489, 1491eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((4 / (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋))) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
14931470, 1481, 14923eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
14941493mpteq2ia 5213 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
1495 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· 𝑛))
14961495oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) = ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))
14971496oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋) = (((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋))
14981497fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) = (sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)))
14991498, 1496oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))
15001499oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))
15011500cbvmptv 5223 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))
15021494, 1501eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))
1503 seqeq3 13918 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) β†’ seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))))
15041502, 1503ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 seq1( + , (π‘˜ ∈ β„• ↦ ((𝑛 ∈ β„• ↦ if(2 βˆ₯ 𝑛, 0, ((4 / (𝑛 Β· Ο€)) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋)))))β€˜((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))))
1505 fouriersw.y . . . . . . . . . . . . 13 π‘Œ = if((𝑋 mod Ο€) = 0, 0, (πΉβ€˜π‘‹))
1506110, 104, 22, 1505fourierswlem 44545 . . . . . . . . . . . 12 π‘Œ = ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2)
15071506eqcomi 2746 . . . . . . . . . . 11 ((if((𝑋 mod 𝑇) ∈ (0(,]Ο€), 1, -1) + (πΉβ€˜π‘‹)) / 2) = π‘Œ
15081456, 1504, 15073brtr3i 5139 . . . . . . . . . 10 seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))) ⇝ π‘Œ
15091508a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊀ β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))) ⇝ π‘Œ)
1510 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))
151161, 65, 70divcld 11938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (4 / Ο€) ∈ β„‚)
15121439a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
15131512, 62mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
1514 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„‚ β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
1515 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„‚ β†’ 1 ∈ β„‚)
15161514, 1515subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 Β· 𝑛) ∈ β„‚ β†’ ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
15171513, 1516syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
15181517, 73mulcld 11182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋) ∈ β„‚)
15191518sincld 16019 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ (sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) ∈ β„‚)
152028a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
1521 nnre 12167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
15221520, 1521remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ ℝ)
15231522recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) ∈ β„‚)
1524 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ β„‚)
15251523, 1524subcld 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
1526 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
152735, 1520eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ∈ ℝ)
1528 1lt2 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
15291528a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 < 2)
15301529, 35breqtrrdi 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 < (2 Β· 1))
153143a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 2)
1532 nnge1 12188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ≀ 𝑛)
15331526, 1521, 1520, 1531, 1532lemul2ad 12102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 1) ≀ (2 Β· 𝑛))
15341526, 1527, 1522, 1530, 1533ltletrd 11322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 < (2 Β· 𝑛))
15351526, 1534gtned 11297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑛) β‰  1)
15361523, 1524, 1535subne0d 11528 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) β‰  0)
15371519, 1525, 1536divcld 11938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
15381511, 1537mulcld 11182 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))) ∈ β„‚)
15391510, 1538fmpti 7065 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))):β„•βŸΆβ„‚
15401539a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))):β„•βŸΆβ„‚)
15411540ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
1542 divcan6 11869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0) ∧ (4 ∈ β„‚ ∧ 4 β‰  0)) β†’ ((Ο€ / 4) Β· (4 / Ο€)) = 1)
154352, 69, 54, 56, 1542mp4an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ο€ / 4) Β· (4 / Ο€)) = 1
15441543eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 1 = ((Ο€ / 4) Β· (4 / Ο€))
15451544oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 (1 Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = (((Ο€ / 4) Β· (4 / Ο€)) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
154650mulid2d 11180 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
154756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 4 β‰  0)
15481482, 1485, 1547divcld 11938 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (Ο€ / 4) ∈ β„‚)
15491548, 1490, 50mulassd 11185 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((Ο€ / 4) Β· (4 / Ο€)) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((Ο€ / 4) Β· ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
15501545, 1546, 15493eqtr3a 2801 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((Ο€ / 4) Β· ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
1551 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))))
15528oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
15531552adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ 𝑛 = π‘˜) β†’ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
15541492, 1467eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) ∈ V)
15551551, 1553, 10, 1554fvmptd 6960 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))β€˜π‘˜) = ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))))
15561555oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 4) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)) = ((Ο€ / 4) Β· ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))))
15571556eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((Ο€ / 4) Β· ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))) = ((Ο€ / 4) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)))
155813, 1550, 15573eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = ((Ο€ / 4) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)))
15591558adantl 483 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))β€˜π‘˜) = ((Ο€ / 4) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((4 / Ο€) Β· ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))β€˜π‘˜)))
15601, 2, 58, 1509, 1541, 1559isermulc2 15549 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ))
1561 climrel 15381 . . . . . . . . 9 Rel ⇝
15621561releldmi 5908 . . . . . . . 8 (seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ) β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ∈ dom ⇝ )
15631560, 1562syl 17 . . . . . . 7 (⊀ β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ∈ dom ⇝ )
15641, 2, 14, 51, 1563isumclim2 15650 . . . . . 6 (⊀ β†’ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)))
15651564mptru 1549 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))
15661560mptru 1549 . . . . 5 seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ)
1567 climuni 15441 . . . . 5 ((seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) ∧ seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ))
15681565, 1566, 1567mp2an 691 . . . 4 Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1)) = ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ)
15691568oveq2i 7373 . . 3 ((4 / Ο€) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = ((4 / Ο€) Β· ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ))
157054, 52, 69divcli 11904 . . . 4 (4 / Ο€) ∈ β„‚
157152, 54, 56divcli 11904 . . . 4 (Ο€ / 4) ∈ β„‚
15721284, 1149eqeltri 2834 . . . . . . 7 (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ
157367, 1572ifcli 4538 . . . . . 6 if((𝑋 mod Ο€) = 0, 0, (πΉβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ
15741505, 1573eqeltri 2834 . . . . 5 π‘Œ ∈ ℝ
15751574recni 11176 . . . 4 π‘Œ ∈ β„‚
15761570, 1571, 1575mulassi 11173 . . 3 (((4 / Ο€) Β· (Ο€ / 4)) Β· π‘Œ) = ((4 / Ο€) Β· ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ))
15771571, 1570, 1543mulcomli 11171 . . . . 5 ((4 / Ο€) Β· (Ο€ / 4)) = 1
15781577oveq1i 7372 . . . 4 (((4 / Ο€) Β· (Ο€ / 4)) Β· π‘Œ) = (1 Β· π‘Œ)
15791575mulid2i 11167 . . . 4 (1 Β· π‘Œ) = π‘Œ
15801578, 1579eqtri 2765 . . 3 (((4 / Ο€) Β· (Ο€ / 4)) Β· π‘Œ) = π‘Œ
15811569, 1576, 15803eqtr2i 2771 . 2 ((4 / Ο€) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = π‘Œ
1582 fouriersw.z . . . 4 𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))
1583 seqeq3 13918 . . . 4 (𝑆 = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))) β†’ seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1)))))
15841582, 1583ax-mp 5 . . 3 seq1( + , 𝑆) = seq1( + , (𝑛 ∈ β„• ↦ ((sinβ€˜(((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· 𝑛) βˆ’ 1))))
15851584, 1566eqbrtri 5131 . 2 seq1( + , 𝑆) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ)
15861581, 1585pm3.2i 472 1 (((4 / Ο€) Β· Ξ£π‘˜ ∈ β„• ((sinβ€˜(((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1) Β· 𝑋)) / ((2 Β· π‘˜) βˆ’ 1))) = π‘Œ ∧ seq1( + , 𝑆) ⇝ ((Ο€ / 4) Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βŠ€wtru 1543   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  {cpr 4593  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  (,]cioc 13272  [,)cico 13273   mod cmo 13781  seqcseq 13913   ⇝ cli 15373  Ξ£csu 15577  sincsin 15953  cosccos 15954  Ο€cpi 15956   βˆ₯ cdvds 16143   β†Ύt crest 17309  TopOpenctopn 17310  topGenctg 17326  β„‚fldccnfld 20812  Topctop 22258  intcnt 22384  limPtclp 22501   CnP ccnp 22592  β€“cnβ†’ccncf 24255  βˆ«citg 24998   limβ„‚ climc 25242   D cdv 25243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-ditg 25227  df-limc 25246  df-dv 25247
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