Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2dif 13837
 Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6646 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2 hashsng 13729 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
31, 2sylan9eqr 2855 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
43ralimiaa 3127 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5 0re 10635 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
6 1re 10633 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
75, 6readdcli 10648 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9 2re 11702 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11 hashcl 13716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
148, 10, 133jca 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15 0p1e1 11750 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
16 1lt2 11799 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
1715, 16eqbrtri 5052 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) < 2
1817jctl 527 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
1918adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2019adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21 ltleletr 10725 . . . . . . . . . . 11 (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2214, 20, 21sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
2311nn0zd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24 0z 11983 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
2523, 24jctil 523 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
2625adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27 zltp1le 12023 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2922, 28mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30 0ltpnf 12508 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
31 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷𝑉)
3231anim2i 619 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑉))
3332ancomd 465 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34 hashinf 13694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
3630, 35breqtrrid 5069 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
3729, 36pm2.61ian 811 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38 hashgt0n0 13725 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
3937, 38syldan 594 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40 rspn0 4266 . . . . . . 7 (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42 breq2 5035 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
436, 9ltnlei 10753 . . . . . . . . . . 11 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44 pm2.21 123 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4543, 44sylbi 220 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4616, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
4742, 46syl6bi 256 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4847com12 32 . . . . . . 7 (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4948adantl 485 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5041, 49syldc 48 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
514, 50syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52 ax-1 6 . . . 4 (¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5351, 52pm2.61i 185 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
54 eqsn 4722 . . . . . 6 (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
5539, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
56 equcom 2025 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
5857ralbidv 3162 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
5955, 58bitrd 282 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6059ralbidv 3162 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6153, 60mtbid 327 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
62 df-ne 2988 . . . . . 6 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6362rexbii 3210 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64 rexnal 3201 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6563, 64bitri 278 . . . 4 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6665rexbii 3210 . . 3 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
67 rexnal 3201 . . 3 (∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6866, 67bitri 278 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6961, 68sylibr 237 1 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ∅c0 4243  {csn 4525   class class class wbr 5031  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Fincfn 8495  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664   < clt 10667   ≤ cle 10668  2c2 11683  ℤcz 11972  ♯chash 13689 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-xnn0 11959  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-hash 13690 This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  13839  fundmge2nop0  13849  tglowdim1  26304  cyc3conja  30859
 Copyright terms: Public domain W3C validator