Theorem hashge2el2dif 14516

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6907	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2		hashsng 14405	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
3	1, 2	sylan9eqr 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
4	3	ralimiaa 3080	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5		0re 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 11259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9		2re 12338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11		hashcl 14392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	3jca 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15		0p1e1 12386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
16		1lt2 12435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 5169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) < 2
18	17	jctl 523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21		ltleletr 11352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
22	14, 20, 21	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
23	11	nn0zd 12637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24		0z 12622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
25	23, 24	jctil 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27		zltp1le 12665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
29	22, 28	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30		0ltpnf 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
31		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
32	31	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉))
33	32	ancomd 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34		hashinf 14371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
36	30, 35	breqtrrid 5186	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
37	29, 36	pm2.61ian 812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38		hashgt0n0 14401	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
39	37, 38	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40		rspn0 4362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42		breq2 5152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
43	6, 9	ltnlei 11380	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44		pm2.21 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
45	43, 44	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
46	16, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
47	42, 46	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
48	47	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
50	41, 49	syldc 48	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
51	4, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
53	51, 52	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
54		eqsn 4834	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
55	39, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
56		equcom 2015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralbidv 3176	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
59	55, 58	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
60	59	ralbidv 3176	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
61	53, 60	mtbid 324	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
62		df-ne 2939	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
63	62	rexbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64		rexnal 3098	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
65	63, 64	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
66	65	rexbii 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
67		rexnal 3098	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
68	66, 67	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
69	61, 68	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  ∅c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290   < clt 11293   ≤ cle 11294  2c2 12319  ℤcz 12611  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14518  fundmge2nop0  14538  tglowdim1  28523  cyc3conja  33160