Theorem hashge2el2dif 14529

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2		hashsng 14418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
3	1, 2	sylan9eqr 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
4	3	ralimiaa 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5		0re 11292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 11290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9		2re 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11		hashcl 14405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	3jca 1128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15		0p1e1 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
16		1lt2 12464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 5187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) < 2
18	17	jctl 523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
19	18	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21		ltleletr 11383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
22	14, 20, 21	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
23	11	nn0zd 12665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24		0z 12650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
25	23, 24	jctil 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27		zltp1le 12693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
29	22, 28	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30		0ltpnf 13185	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
31		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
32	31	anim2i 616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉))
33	32	ancomd 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34		hashinf 14384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
36	30, 35	breqtrrid 5204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
37	29, 36	pm2.61ian 811	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38		hashgt0n0 14414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
39	37, 38	syldan 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40		rspn0 4379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42		breq2 5170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
43	6, 9	ltnlei 11411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44		pm2.21 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
45	43, 44	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
46	16, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
47	42, 46	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
48	47	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
49	48	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
50	41, 49	syldc 48	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
51	4, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
53	51, 52	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
54		eqsn 4854	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
55	39, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
56		equcom 2017	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralbidv 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
59	55, 58	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
60	59	ralbidv 3184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
61	53, 60	mtbid 324	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
62		df-ne 2947	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
63	62	rexbii 3100	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64		rexnal 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
65	63, 64	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
66	65	rexbii 3100	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
67		rexnal 3106	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
68	66, 67	bitri 275	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
69	61, 68	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  ∃wrex 3076  ∅c0 4352  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  +∞cpnf 11321   < clt 11324   ≤ cle 11325  2c2 12348  ℤcz 12639  ♯chash 14379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-hash 14380

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14531  fundmge2nop0  14551  tglowdim1  28526  cyc3conja  33150