Theorem hashge2el2dif 14511

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2		hashsng 14398	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
3	1, 2	sylan9eqr 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
4	3	ralimiaa 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5		0re 11273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 11271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9		2re 12348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11		hashcl 14385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	3jca 1125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15		0p1e1 12396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
16		1lt2 12445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 5177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) < 2
18	17	jctl 522	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
19	18	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
20	19	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21		ltleletr 11364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
22	14, 20, 21	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
23	11	nn0zd 12646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24		0z 12631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
25	23, 24	jctil 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
26	25	adantr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27		zltp1le 12674	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
29	22, 28	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30		0ltpnf 13166	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
31		simpl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
32	31	anim2i 615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉))
33	32	ancomd 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34		hashinf 14364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
36	30, 35	breqtrrid 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
37	29, 36	pm2.61ian 810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38		hashgt0n0 14394	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
39	37, 38	syldan 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40		rspn0 4362	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
41	39, 40	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42		breq2 5160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
43	6, 9	ltnlei 11392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44		pm2.21 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
45	43, 44	sylbi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
46	16, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
47	42, 46	biimtrdi 252	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
48	47	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
49	48	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
50	41, 49	syldc 48	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
51	4, 50	syl 17	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
53	51, 52	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
54		eqsn 4841	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
55	39, 54	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
56		equcom 2014	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralbidv 3171	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
59	55, 58	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
60	59	ralbidv 3171	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
61	53, 60	mtbid 323	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
62		df-ne 2934	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
63	62	rexbii 3087	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64		rexnal 3093	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
65	63, 64	bitri 274	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
66	65	rexbii 3087	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
67		rexnal 3093	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
68	66, 67	bitri 274	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
69	61, 68	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ≠ wne 2933  ∀wral 3054  ∃wrex 3063  ∅c0 4335  {csn 4636   class class class wbr 5156  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Fincfn 8982  ℝcr 11164  0cc0 11165  1c1 11166   + caddc 11168  +∞cpnf 11302   < clt 11305   ≤ cle 11306  2c2 12329  ℤcz 12620  ♯chash 14359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8742  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-card 9989  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-nn 12275  df-2 12337  df-n0 12535  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-uz 12885  df-fz 13549  df-hash 14360

This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14513  fundmge2nop0  14532  tglowdim1  28450  cyc3conja  33064