MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2dif 14519
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2 hashsng 14408 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
31, 2sylan9eqr 2799 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
43ralimiaa 3082 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5 0re 11263 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
6 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
75, 6readdcli 11276 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9 2re 12340 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11 hashcl 14395 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12588 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
148, 10, 133jca 1129 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15 0p1e1 12388 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
16 1lt2 12437 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
1715, 16eqbrtri 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) < 2
1817jctl 523 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21 ltleletr 11354 . . . . . . . . . . 11 (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2214, 20, 21sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
2311nn0zd 12639 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24 0z 12624 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
2523, 24jctil 519 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27 zltp1le 12667 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2922, 28mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30 0ltpnf 13164 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
31 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷𝑉)
3231anim2i 617 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑉))
3332ancomd 461 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34 hashinf 14374 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
3630, 35breqtrrid 5181 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
3729, 36pm2.61ian 812 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38 hashgt0n0 14404 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
3937, 38syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40 rspn0 4356 . . . . . . 7 (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
436, 9ltnlei 11382 . . . . . . . . . . 11 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44 pm2.21 123 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4543, 44sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4616, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
4742, 46biimtrdi 253 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4847com12 32 . . . . . . 7 (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4948adantl 481 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5041, 49syldc 48 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
514, 50syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52 ax-1 6 . . . 4 (¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5351, 52pm2.61i 182 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
54 eqsn 4829 . . . . . 6 (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
5539, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
56 equcom 2017 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
5857ralbidv 3178 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
5955, 58bitrd 279 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6059ralbidv 3178 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6153, 60mtbid 324 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
62 df-ne 2941 . . . . . 6 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6362rexbii 3094 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64 rexnal 3100 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6563, 64bitri 275 . . . 4 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6665rexbii 3094 . . 3 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
67 rexnal 3100 . . 3 (∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6866, 67bitri 275 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6961, 68sylibr 234 1 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  2c2 12321  cz 12613  chash 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14521  fundmge2nop0  14541  tglowdim1  28508  cyc3conja  33177
  Copyright terms: Public domain W3C validator