MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashge2el2dif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashge2el2dif 14446
Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)
Assertion
Ref Expression
hashge2el2dif ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2 hashsng 14334 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
31, 2sylan9eqr 2793 . . . . . 6 ((𝑥𝐷𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
43ralimiaa 3081 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5 0re 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
6 1re 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
75, 6readdcli 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (0 + 1) ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9 2re 12291 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11 hashcl 14321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
1211nn0red 12538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
148, 10, 133jca 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15 0p1e1 12339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 + 1) = 1
16 1lt2 12388 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 < 2
1715, 16eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 + 1) < 2
1817jctl 523 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
1918adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21 ltleletr 11312 . . . . . . . . . . 11 (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2214, 20, 21sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
2311nn0zd 12589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24 0z 12574 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℤ
2523, 24jctil 519 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
2625adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27 zltp1le 12617 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
2922, 28mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30 0ltpnf 13107 . . . . . . . . . 10 0 < +∞
31 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷𝑉)
3231anim2i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷𝑉))
3332ancomd 461 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34 hashinf 14300 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
3630, 35breqtrrid 5187 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
3729, 36pm2.61ian 809 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38 hashgt0n0 14330 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
3937, 38syldan 590 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40 rspn0 4353 . . . . . . 7 (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
4139, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42 breq2 5153 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
436, 9ltnlei 11340 . . . . . . . . . . 11 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44 pm2.21 123 . . . . . . . . . . 11 (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4543, 44sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4616, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
4742, 46syl6bi 252 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4847com12 32 . . . . . . 7 (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
4948adantl 481 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5041, 49syldc 48 . . . . 5 (∀𝑥𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
514, 50syl 17 . . . 4 (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52 ax-1 6 . . . 4 (¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥}))
5351, 52pm2.61i 182 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥})
54 eqsn 4833 . . . . . 6 (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
5539, 54syl 17 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥))
56 equcom 2020 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦)
5756a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥𝑥 = 𝑦))
5857ralbidv 3176 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
5955, 58bitrd 278 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6059ralbidv 3176 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦))
6153, 60mtbid 323 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
62 df-ne 2940 . . . . . 6 (𝑥𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
6362rexbii 3093 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64 rexnal 3099 . . . . 5 (∃𝑦𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6563, 64bitri 274 . . . 4 (∃𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6665rexbii 3093 . . 3 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
67 rexnal 3099 . . 3 (∃𝑥𝐷 ¬ ∀𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6866, 67bitri 274 . 2 (∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥 = 𝑦)
6961, 68sylibr 233 1 ((𝐷𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥𝐷𝑦𝐷 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  +∞cpnf 11250   < clt 11253  cle 11254  2c2 12272  cz 12563  chash 14295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-hash 14296
This theorem is referenced by:  hashge2el2difb  14448  fundmge2nop0  14458  tglowdim1  28015  cyc3conja  32583
  Copyright terms: Public domain W3C validator