Theorem hashge2el2dif 14652

Description: A set with size at least 2 has at least 2 different elements. (Contributed by AV, 18-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
hashge2el2dif	⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐷   𝑥,𝑉,𝑦

Proof of Theorem hashge2el2dif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6908	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 = {𝑥} → (♯‘𝐷) = (♯‘{𝑥}))
2		hashsng 14540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (♯‘{𝑥}) = 1)
3	1, 2	sylan9eqr 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝐷 = {𝑥}) → (♯‘𝐷) = 1)
4	3	ralimiaa 3102	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1)
5		0re 11337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		1re 11335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℝ
7	5, 6	readdcli 11351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ∈ ℝ)
9		2re 12444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 2 ∈ ℝ)
11		hashcl 14527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℕ0)
12	11	nn0red 12695	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 10, 13	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ))
15		0p1e1 12490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 + 1) = 1
16		1lt2 12542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 2
17	15, 16	eqbrtri 5129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 + 1) < 2
18	17	jctl 533	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → ((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)))
21		ltleletr 11430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℝ) → (((0 + 1) < 2 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
22	14, 20, 21	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷))
23	11	nn0zd 12745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (♯‘𝐷) ∈ ℤ)
24		0z 12731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℤ
25	23, 24	jctil 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐷 ∈ Fin → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ))
27		zltp1le 12773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐷) ∈ ℤ) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (0 < (♯‘𝐷) ↔ (0 + 1) ≤ (♯‘𝐷)))
29	22, 28	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
30		0ltpnf 13278	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < +∞
31		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ∈ 𝑉)
32	31	anim2i 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ 𝐷 ∈ 𝑉))
33	32	ancomd 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin))
34		hashinf 14506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐷 ∈ Fin) → (♯‘𝐷) = +∞)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → (♯‘𝐷) = +∞)
36	30, 35	breqtrrid 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝐷 ∈ Fin ∧ (𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷))) → 0 < (♯‘𝐷))
37	29, 36	pm2.61ian 824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 0 < (♯‘𝐷))
38		hashgt0n0 14536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
39	37, 38	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → 𝐷 ≠ ∅)
40		rspn0 4307	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
41	39, 40	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → (♯‘𝐷) = 1))
42		breq2 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) ↔ 2 ≤ 1))
43	6, 9	ltnlei 11458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
44		pm2.21 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 2 ≤ 1 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
45	43, 44	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 → (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
46	16, 45	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≤ 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
47	42, 46	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐷) = 1 → (2 ≤ (♯‘𝐷) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
48	47	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (2 ≤ (♯‘𝐷) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
49	48	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ((♯‘𝐷) = 1 → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
50	41, 49	syldc 49	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 (♯‘𝐷) = 1 → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
51	4, 50	syl 18	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
52		ax-1 6	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} → ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥}))
53	51, 52	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥})
54		eqsn 4788	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ≠ ∅ → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
55	39, 54	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥))
56		equcom 2053	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦)
57	56	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑦))
58	57	ralbidv 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑦 = 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
59	55, 58	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
60	59	ralbidv 3189	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → (∀𝑥 ∈ 𝐷 𝐷 = {𝑥} ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦))
61	53, 60	mtbid 327	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
62		df-ne 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 = 𝑦)
63	62	rexbii 3113	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦)
64		rexnal 3118	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 ¬ 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
65	63, 64	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
66	65	rexbii 3113	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
67		rexnal 3118	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
68	66, 67	bitri 278	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∀𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 = 𝑦)
69	61, 68	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐷 ∈ 𝑉 ∧ 2 ≤ (♯‘𝐷)) → ∃𝑥 ∈ 𝐷 ∃𝑦 ∈ 𝐷 𝑥 ≠ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Fincfn 9001  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230  +∞cpnf 11367   < clt 11370   ≤ cle 11371  2c2 12424  ℤcz 12720  ♯chash 14501

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-hash 14502

This theorem is used by:  hashge2el2difb  14654  fundmge2nop0  14674  tglowdim1  28993  cyc3conja  33788