Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0mulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0mulc1cn 33940
Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0mulc1cn.k 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0mulc1cn (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable group:   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0mulc1cn.k . . . . . 6 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2 letopon 23213 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3 iccssxr 13470 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4 resttopon 23169 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
52, 3, 4mp2an 692 . . . . . 6 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
61, 5eqeltri 2837 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
76a1i 11 . . . 4 (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8 0e0iccpnf 13499 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
98a1i 11 . . . 4 (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10 simpl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
1110oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
133, 12sselid 3981 . . . . . . . . 9 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14 xmul01 13309 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
1611, 15eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
1716mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18 xrge0mulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19 fconstmpt 5747 . . . . . 6 ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
2017, 18, 193eqtr4g 2802 . . . . 5 (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21 c0ex 11255 . . . . . 6 0 ∈ V
2221fconst2 7225 . . . . 5 (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
2320, 22sylibr 234 . . . 4 (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24 cnconst 23292 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
257, 7, 9, 23, 24syl22anc 839 . . 3 (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2625adantl 481 . 2 ((𝜑𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28 oveq1 7438 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
2928cbvmptv 5255 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+)
3127, 29, 30xrmulc1cn 33929 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32 letopuni 23215 . . . . . . . . 9 * = (ordTop‘ ≤ )
3332cnrest 23293 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
3431, 3, 33sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35 resmpt 6055 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
363, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
3736, 18eqtr4i 2768 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
381eqcomi 2746 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
3938oveq1i 7441 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
4034, 37, 393eltr3g 2857 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
412a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43 ioorp 13465 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
44 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
4543, 44eqsstrri 4031 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ (0[,]+∞)
46 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4745, 46sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48 ge0xmulcl 13503 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
4942, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℝ+𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
5049, 18fmptd 7134 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
5150frnd 6744 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
523a1i 11 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
53 cnrest2 23294 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
5441, 51, 52, 53syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
5540, 54mpbid 232 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
561oveq2i 7442 . . . . 5 (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
5755, 56eleqtrrdi 2852 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5857, 43eleq2s 2859 . . 3 (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5958adantl 481 . 2 ((𝜑𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60 xrge0mulc1cn.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61 0xr 11308 . . . 4 0 ∈ ℝ*
62 pnfxr 11315 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
63 0ltpnf 13164 . . . 4 0 < +∞
64 elicoelioo 32780 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
6561, 62, 63, 64mp3an 1463 . . 3 (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
6660, 65sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
6726, 59, 66mpjaodan 961 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  +crp 13034   ·e cxmu 13153  (,)cioo 13387  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  t crest 17465  ordTopcordt 17544  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-cnp 23236
This theorem is referenced by:  esummulc1  34082
  Copyright terms: Public domain W3C validator