Theorem xrge0mulc1cn 34101

Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0mulc1cn.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0mulc1cn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		letopon 23180	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3		iccssxr 13374	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		resttopon 23136	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
6	1, 5	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8		0e0iccpnf 13403	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
11	10	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	sselid 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14		xmul01 13210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
16	11, 15	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
17	16	mpteq2dva 5179	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18		xrge0mulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19		fconstmpt 5686	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21		c0ex 11129	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst2 7153	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
23	20, 22	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24		cnconst 23259	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	7, 7, 9, 23, 24	syl22anc 839	. . 3 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
29	28	cbvmptv 5190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ+)
31	27, 29, 30	xrmulc1cn 34090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32		letopuni 23182	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
33	32	cnrest 23260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
34	31, 3, 33	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35		resmpt 5996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
36	3, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
37	36, 18	eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
38	1	eqcomi 2746	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
39	38	oveq1i 7370	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
40	34, 37, 39	3eltr3g 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
41	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43		ioorp 13369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
44		ioossicc 13377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
45	43, 44	eqsstrri 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
46		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
47	45, 46	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48		ge0xmulcl 13407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
49	42, 47, 48	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
50	49, 18	fmptd 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
51	50	frnd 6670	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
52	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
53		cnrest2 23261	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
54	41, 51, 52, 53	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
55	40, 54	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
56	1	oveq2i 7371	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
57	55, 56	eleqtrrdi 2848	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
58	57, 43	eleq2s 2855	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
59	58	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60		xrge0mulc1cn.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61		0xr 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
62		pnfxr 11190	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63		0ltpnf 13064	. . . 4 ⊢ 0 < +∞
64		elicoelioo 32866	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
65	61, 62, 63, 64	mp3an 1464	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
66	60, 65	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
67	26, 59, 66	mpjaodan 961	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℝ⁺crp 12933   ·_e cxmu 13053  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  [,]cicc 13292   ↾_t crest 17374  ordTopcordt 17454  TopOnctopon 22885   Cn ccn 23199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9317  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-rest 17376  df-topgen 17397  df-ordt 17456  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921  df-cn 23202  df-cnp 23203

This theorem is referenced by:  esummulc1  34241