Theorem xrge0mulc1cn 33910

Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0mulc1cn.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0mulc1cn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		letopon 23108	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3		iccssxr 13351	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		resttopon 23064	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
6	1, 5	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8		0e0iccpnf 13380	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
11	10	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	sselid 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14		xmul01 13187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
16	11, 15	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
17	16	mpteq2dva 5188	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18		xrge0mulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19		fconstmpt 5685	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21		c0ex 11128	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst2 7145	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
23	20, 22	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24		cnconst 23187	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	7, 7, 9, 23, 24	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	25	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28		oveq1 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
29	28	cbvmptv 5199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ+)
31	27, 29, 30	xrmulc1cn 33899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32		letopuni 23110	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
33	32	cnrest 23188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
34	31, 3, 33	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35		resmpt 5992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
36	3, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
37	36, 18	eqtr4i 2755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
38	1	eqcomi 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
39	38	oveq1i 7363	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
40	34, 37, 39	3eltr3g 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
41	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43		ioorp 13346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
44		ioossicc 13354	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
45	43, 44	eqsstrri 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
46		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
47	45, 46	sselid 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48		ge0xmulcl 13384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
49	42, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
50	49, 18	fmptd 7052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
51	50	frnd 6664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
52	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
53		cnrest2 23189	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
54	41, 51, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
55	40, 54	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
56	1	oveq2i 7364	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
57	55, 56	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
58	57, 43	eleq2s 2846	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
59	58	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60		xrge0mulc1cn.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61		0xr 11181	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
62		pnfxr 11188	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63		0ltpnf 13042	. . . 4 ⊢ 0 < +∞
64		elicoelioo 32734	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
65	61, 62, 63, 64	mp3an 1463	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
66	60, 65	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
67	26, 59, 66	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  {csn 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176   × cxp 5621  ran crn 5624   ↾ cres 5625  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℝ⁺crp 12911   ·_e cxmu 13031  (,)cioo 13266  [,)cico 13268  [,]cicc 13269   ↾_t crest 17342  ordTopcordt 17421  TopOnctopon 22813   Cn ccn 23127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fi 9320  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-icc 13273  df-rest 17344  df-topgen 17365  df-ordt 17423  df-ps 18490  df-tsr 18491  df-top 22797  df-topon 22814  df-bases 22849  df-cn 23130  df-cnp 23131

This theorem is referenced by:  esummulc1  34050