Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0mulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0mulc1cn 32990
Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0mulc1cn.k 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
xrge0mulc1cn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0mulc1cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0mulc1cn.k . . . . . 6 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2 letopon 22716 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
3 iccssxr 13409 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 resttopon 22672 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
52, 3, 4mp2an 690 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
61, 5eqeltri 2829 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
76a1i 11 . . . 4 (𝐢 = 0 β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
8 0e0iccpnf 13438 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
98a1i 11 . . . 4 (𝐢 = 0 β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
10 simpl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 = 0)
1110oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (π‘₯ Β·e 0))
12 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
133, 12sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
14 xmul01 13248 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ Β·e 0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 0) = 0)
1611, 15eqtrd 2772 . . . . . . 7 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = 0)
1716mpteq2dva 5248 . . . . . 6 (𝐢 = 0 β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18 xrge0mulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
19 fconstmpt 5738 . . . . . 6 ((0[,]+∞) Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
2017, 18, 193eqtr4g 2797 . . . . 5 (𝐢 = 0 β†’ 𝐹 = ((0[,]+∞) Γ— {0}))
21 c0ex 11210 . . . . . 6 0 ∈ V
2221fconst2 7208 . . . . 5 (𝐹:(0[,]+∞)⟢{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) Γ— {0}))
2320, 22sylibr 233 . . . 4 (𝐢 = 0 β†’ 𝐹:(0[,]+∞)⟢{0})
24 cnconst 22795 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟢{0})) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
257, 7, 9, 23, 24syl22anc 837 . . 3 (𝐢 = 0 β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2625adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 0) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
28 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (𝑦 Β·e 𝐢))
2928cbvmptv 5261 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 Β·e 𝐢))
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3127, 29, 30xrmulc1cn 32979 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
32 letopuni 22718 . . . . . . . . 9 ℝ* = βˆͺ (ordTopβ€˜ ≀ )
3332cnrest 22796 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
3431, 3, 33sylancl 586 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
35 resmpt 6037 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)))
363, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
3736, 18eqtr4i 2763 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) = 𝐹
381eqcomi 2741 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = 𝐽
3938oveq1i 7421 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) = (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ ))
4034, 37, 393eltr3g 2849 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
412a1i 11 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
42 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
43 ioorp 13404 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
44 ioossicc 13412 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4543, 44eqsstrri 4017 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† (0[,]+∞)
46 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
4745, 46sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
48 ge0xmulcl 13442 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ (0[,]+∞))
4942, 47, 48syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ (0[,]+∞))
5049, 18fmptd 7115 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
5150frnd 6725 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ ran 𝐹 βŠ† (0[,]+∞))
523a1i 11 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*)
53 cnrest2 22797 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ ran 𝐹 βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))))
5441, 51, 52, 53syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))))
5540, 54mpbid 231 . . . . 5 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))))
561oveq2i 7422 . . . . 5 (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
5755, 56eleqtrrdi 2844 . . . 4 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5857, 43eleq2s 2851 . . 3 (𝐢 ∈ (0(,)+∞) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5958adantl 482 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0(,)+∞)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60 xrge0mulc1cn.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
61 0xr 11263 . . . 4 0 ∈ ℝ*
62 pnfxr 11270 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
63 0ltpnf 13104 . . . 4 0 < +∞
64 elicoelioo 32027 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 = 0 ∨ 𝐢 ∈ (0(,)+∞))))
6561, 62, 63, 64mp3an 1461 . . 3 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 = 0 ∨ 𝐢 ∈ (0(,)+∞)))
6660, 65sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = 0 ∨ 𝐢 ∈ (0(,)+∞)))
6726, 59, 66mpjaodan 957 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  +∞cpnf 11247  β„*cxr 11249   < clt 11250   ≀ cle 11251  β„+crp 12976   Β·e cxmu 13093  (,)cioo 13326  [,)cico 13328  [,]cicc 13329   β†Ύt crest 17368  ordTopcordt 17447  TopOnctopon 22419   Cn ccn 22735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ico 13332  df-icc 13333  df-rest 17370  df-topgen 17391  df-ordt 17449  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-top 22403  df-topon 22420  df-bases 22456  df-cn 22738  df-cnp 22739
This theorem is referenced by:  esummulc1  33148
  Copyright terms: Public domain W3C validator