Theorem xrge0mulc1cn 32522

Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0mulc1cn.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0mulc1cn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		letopon 22556	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3		iccssxr 13347	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		resttopon 22512	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
6	1, 5	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8		0e0iccpnf 13376	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10		simpl 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
11	10	oveq2d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	sselid 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14		xmul01 13186	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
16	11, 15	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
17	16	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18		xrge0mulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19		fconstmpt 5694	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2801	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21		c0ex 11149	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst2 7154	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
23	20, 22	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24		cnconst 22635	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	7, 7, 9, 23, 24	syl22anc 837	. . 3 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	25	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28		oveq1 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
29	28	cbvmptv 5218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ+)
31	27, 29, 30	xrmulc1cn 32511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32		letopuni 22558	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
33	32	cnrest 22636	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
34	31, 3, 33	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35		resmpt 5991	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
36	3, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
37	36, 18	eqtr4i 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
38	1	eqcomi 2745	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
39	38	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
40	34, 37, 39	3eltr3g 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
41	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43		ioorp 13342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
44		ioossicc 13350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
45	43, 44	eqsstrri 3979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
46		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
47	45, 46	sselid 3942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48		ge0xmulcl 13380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
49	42, 47, 48	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
50	49, 18	fmptd 7062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
51	50	frnd 6676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
52	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
53		cnrest2 22637	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
54	41, 51, 52, 53	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
55	40, 54	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
56	1	oveq2i 7368	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
57	55, 56	eleqtrrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
58	57, 43	eleq2s 2856	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
59	58	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60		xrge0mulc1cn.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61		0xr 11202	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
62		pnfxr 11209	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63		0ltpnf 13043	. . . 4 ⊢ 0 < +∞
64		elicoelioo 31681	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
65	61, 62, 63, 64	mp3an 1461	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
66	60, 65	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
67	26, 59, 66	mpjaodan 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℝ⁺crp 12915   ·_e cxmu 13032  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267   ↾_t crest 17302  ordTopcordt 17381  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-ordt 17383  df-ps 18455  df-tsr 18456  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579

This theorem is referenced by:  esummulc1  32680