Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xrge0mulc1cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0mulc1cn 32562
Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
xrge0mulc1cn.k 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
xrge0mulc1cn.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
xrge0mulc1cn (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Distinct variable group:   π‘₯,𝐢
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐹(π‘₯)   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrge0mulc1cn.k . . . . . 6 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
2 letopon 22572 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
3 iccssxr 13354 . . . . . . 7 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 resttopon 22528 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
52, 3, 4mp2an 691 . . . . . 6 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
61, 5eqeltri 2834 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
76a1i 11 . . . 4 (𝐢 = 0 β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
8 0e0iccpnf 13383 . . . . 5 0 ∈ (0[,]+∞)
98a1i 11 . . . 4 (𝐢 = 0 β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
10 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 = 0)
1110oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (π‘₯ Β·e 0))
12 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
133, 12sselid 3947 . . . . . . . . 9 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
14 xmul01 13193 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (π‘₯ Β·e 0) = 0)
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 0) = 0)
1611, 15eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((𝐢 = 0 ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = 0)
1716mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (𝐢 = 0 β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18 xrge0mulc1cn.f . . . . . 6 𝐹 = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
19 fconstmpt 5699 . . . . . 6 ((0[,]+∞) Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
2017, 18, 193eqtr4g 2802 . . . . 5 (𝐢 = 0 β†’ 𝐹 = ((0[,]+∞) Γ— {0}))
21 c0ex 11156 . . . . . 6 0 ∈ V
2221fconst2 7159 . . . . 5 (𝐹:(0[,]+∞)⟢{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) Γ— {0}))
2320, 22sylibr 233 . . . 4 (𝐢 = 0 β†’ 𝐹:(0[,]+∞)⟢{0})
24 cnconst 22651 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟢{0})) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
257, 7, 9, 23, 24syl22anc 838 . . 3 (𝐢 = 0 β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
2625adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = 0) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (ordTopβ€˜ ≀ )
28 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) = (𝑦 Β·e 𝐢))
2928cbvmptv 5223 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 Β·e 𝐢))
30 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
3127, 29, 30xrmulc1cn 32551 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
32 letopuni 22574 . . . . . . . . 9 ℝ* = βˆͺ (ordTopβ€˜ ≀ )
3332cnrest 22652 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
3431, 3, 33sylancl 587 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
35 resmpt 5996 . . . . . . . . 9 ((0[,]+∞) βŠ† ℝ* β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)))
363, 35ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) = (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢))
3736, 18eqtr4i 2768 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯ Β·e 𝐢)) β†Ύ (0[,]+∞)) = 𝐹
381eqcomi 2746 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) = 𝐽
3938oveq1i 7372 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) = (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ ))
4034, 37, 393eltr3g 2854 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ )))
412a1i 11 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*))
42 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
43 ioorp 13349 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) = ℝ+
44 ioossicc 13357 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
4543, 44eqsstrri 3984 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† (0[,]+∞)
46 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
4745, 46sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ 𝐢 ∈ (0[,]+∞))
48 ge0xmulcl 13387 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐢 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ (0[,]+∞))
4942, 47, 48syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((𝐢 ∈ ℝ+ ∧ π‘₯ ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ Β·e 𝐢) ∈ (0[,]+∞))
5049, 18fmptd 7067 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹:(0[,]+∞)⟢(0[,]+∞))
5150frnd 6681 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ ran 𝐹 βŠ† (0[,]+∞))
523a1i 11 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*)
53 cnrest2 22653 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ ran 𝐹 βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))))
5441, 51, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTopβ€˜ ≀ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))))
5540, 54mpbid 231 . . . . 5 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))))
561oveq2i 7373 . . . . 5 (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
5755, 56eleqtrrdi 2849 . . . 4 (𝐢 ∈ ℝ+ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5857, 43eleq2s 2856 . . 3 (𝐢 ∈ (0(,)+∞) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
5958adantl 483 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐢 ∈ (0(,)+∞)) β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60 xrge0mulc1cn.c . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (0[,)+∞))
61 0xr 11209 . . . 4 0 ∈ ℝ*
62 pnfxr 11216 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
63 0ltpnf 13050 . . . 4 0 < +∞
64 elicoelioo 31723 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 = 0 ∨ 𝐢 ∈ (0(,)+∞))))
6561, 62, 63, 64mp3an 1462 . . 3 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 = 0 ∨ 𝐢 ∈ (0(,)+∞)))
6660, 65sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢 = 0 ∨ 𝐢 ∈ (0(,)+∞)))
6726, 59, 66mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  β„+crp 12922   Β·e cxmu 13039  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  [,]cicc 13274   β†Ύt crest 17309  ordTopcordt 17388  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-ordt 17390  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cn 22594  df-cnp 22595
This theorem is referenced by:  esummulc1  32720
  Copyright terms: Public domain W3C validator