Theorem xrge0mulc1cn 34312

Description: The operation multiplying a nonnegative real numbers by a nonnegative constant is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrge0mulc1cn.k	⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
xrge0mulc1cn.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
xrge0mulc1cn.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
xrge0mulc1cn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem xrge0mulc1cn

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrge0mulc1cn.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
2		letopon 23343	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
3		iccssxr 13458	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
4		resttopon 23299	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
5	2, 3, 4	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
6	1, 5	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
8		0e0iccpnf 13487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 0 ∈ (0[,]+∞))
10		simpl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 = 0)
11	10	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑥 ·e 0))
12		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
13	3, 12	sselid 3936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
14		xmul01 13294	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥 ·e 0) = 0)
15	13, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 0) = 0)
16	11, 15	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) = 0)
17	16	mpteq2dva 5205	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0))
18		xrge0mulc1cn.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
19		fconstmpt 5725	. . . . . 6 ⊢ ((0[,]+∞) × {0}) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ 0)
20	17, 18, 19	3eqtr4g 2823	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
21		c0ex 11201	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
22	21	fconst2 7205	. . . . 5 ⊢ (𝐹:(0[,]+∞)⟶{0} ↔ 𝐹 = ((0[,]+∞) × {0}))
23	20, 22	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})
24		cnconst 23422	. . . 4 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)) ∧ 𝐽 ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))) ∧ (0 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐹:(0[,]+∞)⟶{0})) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
25	7, 7, 9, 23, 24	syl22anc 851	. . 3 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
26	25	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
27		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (ordTop‘ ≤ )
28		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ·e 𝐶) = (𝑦 ·e 𝐶))
29	28	cbvmptv 5216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ (𝑦 ·e 𝐶))
30		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ+)
31	27, 29, 30	xrmulc1cn 34301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )))
32		letopuni 23345	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ* = ∪ (ordTop‘ ≤ )
33	32	cnrest 23423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) Cn (ordTop‘ ≤ )) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
34	31, 3, 33	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )))
35		resmpt 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0[,]+∞) ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶)))
36	3, 35	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↦ (𝑥 ·e 𝐶))
37	36, 18	eqtr4i 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥 ·e 𝐶)) ↾ (0[,]+∞)) = 𝐹
38	1	eqcomi 2772	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) = 𝐽
39	38	oveq1i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) Cn (ordTop‘ ≤ )) = (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ ))
40	34, 37, 39	3eltr3g 2879	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )))
41	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
42		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
43		ioorp 13453	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
44		ioossicc 13461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0(,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
45	43, 44	eqsstrri 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ (0[,]+∞)
46		simpl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ ℝ+)
47	45, 46	sselid 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
48		ge0xmulcl 13491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
49	42, 47, 48	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 ·e 𝐶) ∈ (0[,]+∞))
50	49, 18	fmptd 7111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹:(0[,]+∞)⟶(0[,]+∞))
51	50	frnd 6716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞))
52	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (0[,]+∞) ⊆ ℝ*)
53		cnrest2 23424	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ ran 𝐹 ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
54	41, 51, 52, 53	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → (𝐹 ∈ (𝐽 Cn (ordTop‘ ≤ )) ↔ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))))
55	40, 54	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))))
56	1	oveq2i 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐽 Cn 𝐽) = (𝐽 Cn ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
57	55, 56	eleqtrrdi 2874	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
58	57, 43	eleq2s 2881	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0(,)+∞) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
59	58	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
60		xrge0mulc1cn.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (0[,)+∞))
61		0xr 11257	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
62		pnfxr 11264	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
63		0ltpnf 13148	. . . 4 ⊢ 0 < +∞
64		elicoelioo 33104	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞))))
65	61, 62, 63, 64	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
66	60, 65	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 = 0 ∨ 𝐶 ∈ (0(,)+∞)))
67	26, 59, 66	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3906  {csn 4590   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   × cxp 5661  ran crn 5664   ↾ cres 5665  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  +∞cpnf 11241  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  ℝ⁺crp 13017   ·_e cxmu 13137  (,)cioo 13373  [,)cico 13375  [,]cicc 13376   ↾_t crest 17474  ordTopcordt 17554  TopOnctopon 23048   Cn ccn 23362

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fi 9372  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-rest 17476  df-topgen 17497  df-ordt 17556  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-top 23032  df-topon 23049  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366

This theorem is referenced by:  esummulc1  34452