Theorem xlt2addrd 30983

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ -∞)
xlt2addrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ -∞)
xlt2addrd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
xlt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem xlt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlt2addrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10956	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		0xr 10953	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
6		xaddid1 12904	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
9	1	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		ltpnf 12785	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
12		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 = +∞)
13	11, 12	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
14		0ltpnf 12787	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
16	14, 15	breqtrrid 5108	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 < 𝐶)
17		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 𝑐))
18	17	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐)))
19		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
20	18, 19	3anbi12d 1435	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
21		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝐴 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 0))
22	21	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0)))
23		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑐 < 𝐶 ↔ 0 < 𝐶))
24	22, 23	3anbi13d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)))
25	20, 24	rspc2ev 3564	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
26	3, 5, 8, 13, 16, 25	syl113anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
27	2	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		xlt2addrd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
29	28	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
30		1xr 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 1 ∈ ℝ*)
32	31	xnegcld 12963	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
33	29, 32	xaddcld 12964	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
34	33	xnegcld 12963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
35	27, 34	xaddcld 12964	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
36	1	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	renemnfd 10958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
38		xrnepnf 12783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
39	38	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
40	29, 39	sylancom 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
41	40	orcomd 867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
42		xlt2addrd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ -∞)
43	42	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
44	43	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
45		pm2.53 847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 = -∞ → 𝐶 ∈ ℝ))
46	41, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
47		1re 10906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		rexsub 12896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
49	46, 47, 48	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
50		resubcl 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
51	46, 47, 50	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
53		rexneg 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
55	52	renegcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
56	54, 55	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
57	56	renemnfd 10958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
58	52	renemnfd 10958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
59		xaddass 12912	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
60	27, 37, 34, 57, 33, 58, 59	syl222anc 1384	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
61		xaddcom 12903	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
62	34, 33, 61	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
63		xnegid 12901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
64	33, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
66	65	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
67	27, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
68	60, 66, 67	3eqtrrd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
69	36, 51	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ)
70		ltpnf 12785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
72		rexsub 12896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
73	36, 52, 72	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
74	49	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
75	73, 74	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
76		simplr 765	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 = +∞)
77	71, 75, 76	3brtr4d 5102	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵)
78	46	ltm1d 11837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) < 𝐶)
79	49, 78	eqbrtrd 5092	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)
80		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐))
81	80	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐)))
82		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵))
83	81, 82	3anbi12d 1435	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
84		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
85	84	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
86		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶))
87	85, 86	3anbi13d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)))
88	83, 87	rspc2ev 3564	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
89	35, 33, 68, 77, 79, 88	syl113anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
90	26, 89	pm2.61dane 3031	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
91		xlt2addrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
92	91	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
93	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 1 ∈ ℝ*)
94	93	xnegcld 12963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
95	92, 94	xaddcld 12964	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
96	2	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
97	95	xnegcld 12963	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
98	96, 97	xaddcld 12964	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
99		xaddcom 12903	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
100	95, 98, 99	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
101	1	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
102	101	renemnfd 10958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
103		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
104		xrnepnf 12783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
105	104	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
106	92, 103, 105	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
107	106	orcomd 867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
108		xlt2addrd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ -∞)
109	108	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
110	109	neneqd 2947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
111		pm2.53 847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
112	107, 110, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
113		rexsub 12896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
114	112, 47, 113	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
115		resubcl 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
116	112, 47, 115	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
117	114, 116	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
118		rexneg 12874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
120	117	renegcld 11332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
121	119, 120	eqeltrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
122	121	renemnfd 10958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
123	117	renemnfd 10958	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
124		xaddass 12912	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
125	96, 102, 97, 122, 95, 123, 124	syl222anc 1384	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
126		xaddcom 12903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
127	97, 95, 126	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
128		xnegid 12901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
129	95, 128	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
130	127, 129	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
131	130	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
132	96, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
133	131, 132	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = 𝐴)
134	100, 125, 133	3eqtrrd 2783	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
135	112	ltm1d 11837	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
136	114, 135	eqbrtrd 5092	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵)
137	101, 116	resubcld 11333	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
138		ltpnf 12785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
139	137, 138	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
140		rexsub 12896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
141	101, 117, 140	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
142	114	oveq2d 7271	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
143	141, 142	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
144		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
145	139, 143, 144	3brtr4d 5102	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)
146		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐))
147	146	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐)))
148		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵))
149	147, 148	3anbi12d 1435	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
150		oveq2 7263	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
151	150	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))))
152		breq1 5073	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶))
153	151, 152	3anbi13d 1436	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)))
154	149, 153	rspc2ev 3564	. . . 4 ⊢ (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
155	95, 98, 134, 136, 145, 154	syl113anc 1380	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
156	1	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
157	91	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
158		simplr 765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
159	157, 158, 105	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
160	159	orcomd 867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
161	108	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
162	161	neneqd 2947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
163	160, 162, 111	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
164	28	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
165	164, 39	sylancom 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
166	165	orcomd 867	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
167	42	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
168	167	neneqd 2947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
169	166, 168, 45	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
170		xlt2addrd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
171	170	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
172		rexadd 12895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
173	163, 169, 172	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
174	171, 173	breqtrd 5096	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
175	156, 163, 169, 174	lt2addrd 30976	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
176		rexadd 12895	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
177	176	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝑏 + 𝑐)))
178	177	3anbi1d 1438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
179	178	2rexbiia 3226	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
180	175, 179	sylibr 233	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
181		ressxr 10950	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
182		ssrexv 3984	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
183	181, 182	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
184	183	reximi 3174	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
185		ssrexv 3984	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
186	181, 185	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
187	180, 184, 186	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
188	155, 187	pm2.61dane 3031	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
189	90, 188	pm2.61dane 3031	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  +∞cpnf 10937  -∞cmnf 10938  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   − cmin 11135  -cneg 11136  -_𝑒cxne 12774   +_𝑒 cxad 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-2 11966  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778

This theorem is referenced by:  xrofsup  30992