Theorem xlt2addrd 32958

Description: If the right-hand side of a 'less than' relationship is an addition, then we can express the left-hand side as an addition, too, where each term is respectively less than each term of the original right side. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlt2addrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
xlt2addrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xlt2addrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ -∞)
xlt2addrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ -∞)
xlt2addrd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
xlt2addrd	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏,𝑐)

Proof of Theorem xlt2addrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlt2addrd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 11232	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		0xr 11229	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 ∈ ℝ*)
6		xaddrid 13244	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
7	6	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
8	3, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0))
9	1	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
10		ltpnf 13122	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < +∞)
12		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 = +∞)
13	11, 12	breqtrrd 5128	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 < 𝐵)
14		0ltpnf 13124	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
15		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
16	14, 15	breqtrrid 5138	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 0 < 𝐶)
17		oveq1 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 𝑐))
18	17	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐)))
19		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → (𝑏 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
20	18, 19	3anbi12d 1458	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐴 → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
21		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝐴 +𝑒 𝑐) = (𝐴 +𝑒 0))
22	21	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝐴 +𝑒 0)))
23		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 0 → (𝑐 < 𝐶 ↔ 0 < 𝐶))
24	22, 23	3anbi13d 1459	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 0 → ((𝐴 = (𝐴 +𝑒 𝑐) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)))
25	20, 24	rspc2ev 3594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = (𝐴 +𝑒 0) ∧ 𝐴 < 𝐵 ∧ 0 < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
26	3, 5, 8, 13, 16, 25	syl113anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
27	2	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28		xlt2addrd.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
29	28	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
30		1xr 11241	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ*
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 1 ∈ ℝ*)
32	31	xnegcld 13303	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
33	29, 32	xaddcld 13304	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
34	33	xnegcld 13303	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
35	27, 34	xaddcld 13304	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
36	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	renemnfd 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
38		xrnepnf 13120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
39	38	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
40	29, 39	sylancom 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
41	40	orcomd 882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
42		xlt2addrd.5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ -∞)
43	42	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
44	43	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
45		pm2.53 862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ 𝐶 = -∞ → 𝐶 ∈ ℝ))
46	41, 44, 45	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
47		1re 11181	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		rexsub 13236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
49	46, 47, 48	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) = (𝐶 − 1))
50		resubcl 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
51	46, 47, 50	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) ∈ ℝ)
52	49, 51	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
53		rexneg 13214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐶 +𝑒 -𝑒1))
55	52	renegcld 11614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
56	54, 55	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
57	56	renemnfd 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
58	52	renemnfd 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
59		xaddass 13252	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
60	27, 37, 34, 57, 33, 58, 59	syl222anc 1405	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
61		xaddcom 13243	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
62	34, 33, 61	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
63		xnegid 13241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
64	33, 63	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ((𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
65	62, 64	eqtrd 2797	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
66	65	oveq2d 7412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
67	27, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
68	60, 66, 67	3eqtrrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
69	36, 51	resubcld 11615	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ)
70		ltpnf 13122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐶 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
71	69, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 − 1)) < +∞)
72		rexsub 13236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
73	36, 52, 72	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
74	49	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 − (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
75	73, 74	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐶 − 1)))
76		simplr 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 = +∞)
77	71, 75, 76	3brtr4d 5132	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵)
78	46	ltm1d 12124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 − 1) < 𝐶)
79	49, 78	eqbrtrd 5122	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)
80		oveq1 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐))
81	80	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐)))
82		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵))
83	81, 82	3anbi12d 1458	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
84		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)))
85	84	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1))))
86		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶))
87	85, 86	3anbi13d 1459	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐶 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)))
88	83, 87	rspc2ev 3594	. . . 4 ⊢ (((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐶 +𝑒 -𝑒1)) ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐶 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐵 ∧ (𝐶 +𝑒 -𝑒1) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
89	35, 33, 68, 77, 79, 88	syl113anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
90	26, 89	pm2.61dane 3044	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
91		xlt2addrd.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
92	91	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
93	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 1 ∈ ℝ*)
94	93	xnegcld 13303	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒1 ∈ ℝ*)
95	92, 94	xaddcld 13304	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
96	2	ad2antrr 736	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ*)
97	95	xnegcld 13303	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*)
98	96, 97	xaddcld 13304	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*)
99		xaddcom 13243	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ*) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
100	95, 98, 99	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
101	1	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
102	101	renemnfd 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 ≠ -∞)
103		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
104		xrnepnf 13120	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
105	104	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
106	92, 103, 105	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
107	106	orcomd 882	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
108		xlt2addrd.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ -∞)
109	108	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
110	109	neneqd 2962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
111		pm2.53 862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝐵 = -∞ → 𝐵 ∈ ℝ))
112	107, 110, 111	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
113		rexsub 13236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
114	112, 47, 113	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) = (𝐵 − 1))
115		resubcl 11495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
116	112, 47, 115	sylancl 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
117	114, 116	eqeltrd 2862	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
118		rexneg 13214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
119	117, 118	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) = -(𝐵 +𝑒 -𝑒1))
120	117	renegcld 11614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
121	119, 120	eqeltrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ)
122	121	renemnfd 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
123	117	renemnfd 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)
124		xaddass 13252	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≠ -∞) ∧ (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞) ∧ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ≠ -∞)) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
125	96, 102, 97, 122, 95, 123, 124	syl222anc 1405	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
126		xaddcom 13243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ*) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
127	97, 95, 126	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
128		xnegid 13241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
129	95, 128	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
130	127, 129	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = 0)
131	130	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = (𝐴 +𝑒 0))
132	96, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 0) = 𝐴)
133	131, 132	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 (-𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐵 +𝑒 -𝑒1))) = 𝐴)
134	100, 125, 133	3eqtrrd 2802	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
135	112	ltm1d 12124	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 − 1) < 𝐵)
136	114, 135	eqbrtrd 5122	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵)
137	101, 116	resubcld 11615	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
138		ltpnf 13122	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (𝐵 − 1)) ∈ ℝ → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
139	137, 138	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 − 1)) < +∞)
140		rexsub 13236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
141	101, 117, 140	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)))
142	114	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 − (𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
143	141, 142	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) = (𝐴 − (𝐵 − 1)))
144		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → 𝐶 = +∞)
145	139, 143, 144	3brtr4d 5132	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)
146		oveq1 7403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐))
147	146	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐)))
148		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → (𝑏 < 𝐵 ↔ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵))
149	147, 148	3anbi12d 1458	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = (𝐵 +𝑒 -𝑒1) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
150		oveq2 7404	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))))
151	150	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)))))
152		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → (𝑐 < 𝐶 ↔ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶))
153	151, 152	3anbi13d 1459	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) → ((𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 𝑐) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)))
154	149, 153	rspc2ev 3594	. . . 4 ⊢ (((𝐵 +𝑒 -𝑒1) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) ∈ ℝ* ∧ (𝐴 = ((𝐵 +𝑒 -𝑒1) +𝑒 (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1))) ∧ (𝐵 +𝑒 -𝑒1) < 𝐵 ∧ (𝐴 +𝑒 -𝑒(𝐵 +𝑒 -𝑒1)) < 𝐶)) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
155	95, 98, 134, 136, 145, 154	syl113anc 1401	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 = +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
156	1	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 ∈ ℝ)
157	91	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ*)
158		simplr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ +∞)
159	157, 158, 105	syl2anc 593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 ∈ ℝ ∨ 𝐵 = -∞))
160	159	orcomd 882	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 = -∞ ∨ 𝐵 ∈ ℝ))
161	108	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ≠ -∞)
162	161	neneqd 2962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐵 = -∞)
163	160, 162, 111	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐵 ∈ ℝ)
164	28	ad2antrr 736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ*)
165	164, 39	sylancom 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 ∈ ℝ ∨ 𝐶 = -∞))
166	165	orcomd 882	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐶 = -∞ ∨ 𝐶 ∈ ℝ))
167	42	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ≠ -∞)
168	167	neneqd 2962	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ¬ 𝐶 = -∞)
169	166, 168, 45	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐶 ∈ ℝ)
170		xlt2addrd.6	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
171	170	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 +𝑒 𝐶))
172		rexadd 13235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
173	163, 169, 172	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → (𝐵 +𝑒 𝐶) = (𝐵 + 𝐶))
174	171, 173	breqtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → 𝐴 < (𝐵 + 𝐶))
175	156, 163, 169, 174	lt2addrd 32949	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
176		rexadd 13235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑏 +𝑒 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
177	176	eqeq2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ↔ 𝐴 = (𝑏 + 𝑐)))
178	177	3anbi1d 1461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
179	178	2rexbiia 3223	. . . . 5 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) ↔ ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
180	175, 179	sylibr 236	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
181		ressxr 11226	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
182		ssrexv 4006	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
183	181, 182	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
184	183	reximi 3100	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
185		ssrexv 4006	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶)))
186	181, 185	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
187	180, 184, 186	3syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) ∧ 𝐶 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
188	155, 187	pm2.61dane 3044	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≠ +∞) → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))
189	90, 188	pm2.61dane 3044	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ* ∃𝑐 ∈ ℝ* (𝐴 = (𝑏 +𝑒 𝑐) ∧ 𝑏 < 𝐵 ∧ 𝑐 < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   − cmin 11414  -cneg 11415  -_𝑒cxne 13111   +_𝑒 cxad 13112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115

This theorem is referenced by:  xrofsup  32966