Theorem ltpnfd 13037

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13036	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165   < clt 11168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-pnf 11170  df-xr 11172  df-ltxr 11173

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13117  xltnegi  13133  hashnnn0genn0  14268  limsupgre  15406  fprodge1  15920  xblss2ps  24347  blcvx  24744  reconnlem1  24773  iccpnfhmeo  24901  uniioombllem1  25540  ismbf3d  25613  mbflimsup  25625  itg2seq  25701  lhop2  25978  dvfsumlem2  25991  dvfsumlem2OLD  25992  logccv  26630  xrlimcnp  26936  pntleme  27577  absfico  45483  supxrge  45604  infxr  45632  infleinflem2  45636  xrralrecnnge  45655  iocopn  45787  ge0lere  45799  ressiooinf  45824  uzinico  45826  uzubioo  45832  fsumge0cl  45840  limcicciooub  45902  limcresiooub  45907  limcleqr  45909  limsupresico  45965  limsuppnfdlem  45966  limsupmnflem  45985  liminfresico  46036  limsup10exlem  46037  xlimpnfvlem1  46101  icccncfext  46152  fourierdlem31  46403  fourierdlem33  46405  fourierdlem46  46417  fourierdlem48  46419  fourierdlem49  46420  fourierdlem75  46446  fourierdlem85  46456  fourierdlem88  46459  fourierdlem95  46466  fourierdlem103  46474  fourierdlem104  46475  fourierdlem107  46478  fourierdlem109  46480  fourierdlem112  46483  fouriersw  46496  ioorrnopnxrlem  46571  sge0tsms  46645  sge0isum  46692  sge0ad2en  46696  sge0xaddlem2  46699  voliunsge0lem  46737  meassre  46742  omessre  46775  omeiunltfirp  46784  hoiprodcl  46812  ovnsubaddlem1  46835  hoiprodcl3  46845  hoidmvcl  46847  sge0hsphoire  46854  hoidmv1lelem1  46856  hoidmv1lelem2  46857  hoidmv1lelem3  46858  hoidmv1le  46859  hoidmvlelem1  46860  hoidmvlelem3  46862  hoidmvlelem4  46863  volicorege0  46902  ovolval5lem1  46917