Theorem ltpnfd 13152

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ℝcr 11105  +∞cpnf 11246   < clt 11249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-pnf 11251  df-xr 11253  df-ltxr 11254

This theorem is used by:  qbtwnxr  13232  xltnegi  13248  hashnnn0genn0  14386  limsupgre  15539  fprodge1  16056  xblss2ps  24569  blcvx  24966  reconnlem1  24995  iccpnfhmeo  25115  uniioombllem1  25751  ismbf3d  25824  mbflimsup  25836  itg2seq  25912  lhop2  26185  dvfsumlem2  26197  logccv  26839  xrlimcnp  27144  pntleme  27783  absfico  45962  supxrge  46082  infxr  46110  infleinflem2  46114  xrralrecnnge  46133  iocopn  46264  ge0lere  46276  ressiooinf  46301  uzinico  46303  uzubioo  46309  fsumge0cl  46317  limcicciooub  46379  limcresiooub  46384  limcleqr  46386  limsupresico  46442  limsuppnfdlem  46443  limsupmnflem  46462  liminfresico  46513  limsup10exlem  46514  xlimpnfvlem1  46578  icccncfext  46629  fourierdlem31  46880  fourierdlem33  46882  fourierdlem46  46894  fourierdlem48  46896  fourierdlem49  46897  fourierdlem75  46923  fourierdlem85  46933  fourierdlem88  46936  fourierdlem95  46943  fourierdlem103  46951  fourierdlem104  46952  fourierdlem107  46955  fourierdlem109  46957  fourierdlem112  46960  fouriersw  46973  ioorrnopnxrlem  47048  sge0tsms  47122  sge0isum  47169  sge0ad2en  47173  sge0xaddlem2  47176  voliunsge0lem  47214  meassre  47219  omessre  47252  omeiunltfirp  47261  hoiprodcl  47289  ovnsubaddlem1  47312  hoiprodcl3  47322  hoidmvcl  47324  sge0hsphoire  47331  hoidmv1lelem1  47333  hoidmv1lelem2  47334  hoidmv1lelem3  47335  hoidmv1le  47336  hoidmvlelem1  47337  hoidmvlelem3  47339  hoidmvlelem4  47340  volicorege0  47379  ovolval5lem1  47394