Theorem ltpnfd 13101

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13100	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  +∞cpnf 11245   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-pnf 11250  df-xr 11252  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13179  xltnegi  13195  hashnnn0genn0  14303  limsupgre  15425  fprodge1  15939  xblss2ps  23907  blcvx  24314  reconnlem1  24342  iccpnfhmeo  24461  uniioombllem1  25098  ismbf3d  25171  mbflimsup  25183  itg2seq  25260  lhop2  25532  dvfsumlem2  25544  logccv  26171  xrlimcnp  26473  pntleme  27111  gg-dvfsumlem2  35214  absfico  43965  supxrge  44096  infxr  44125  infleinflem2  44129  xrralrecnnge  44148  iocopn  44281  ge0lere  44293  ressiooinf  44318  uzinico  44321  uzubioo  44328  fsumge0cl  44337  limcicciooub  44401  limcresiooub  44406  limcleqr  44408  limsupresico  44464  limsuppnfdlem  44465  limsupmnflem  44484  liminfresico  44535  limsup10exlem  44536  xlimpnfvlem1  44600  icccncfext  44651  fourierdlem31  44902  fourierdlem33  44904  fourierdlem46  44916  fourierdlem48  44918  fourierdlem49  44919  fourierdlem75  44945  fourierdlem85  44955  fourierdlem88  44958  fourierdlem95  44965  fourierdlem103  44973  fourierdlem104  44974  fourierdlem107  44977  fourierdlem109  44979  fourierdlem112  44982  fouriersw  44995  ioorrnopnxrlem  45070  sge0tsms  45144  sge0isum  45191  sge0ad2en  45195  sge0xaddlem2  45198  voliunsge0lem  45236  meassre  45241  omessre  45274  omeiunltfirp  45283  hoiprodcl  45311  ovnsubaddlem1  45334  hoiprodcl3  45344  hoidmvcl  45346  sge0hsphoire  45353  hoidmv1lelem1  45355  hoidmv1lelem2  45356  hoidmv1lelem3  45357  hoidmv1le  45358  hoidmvlelem1  45359  hoidmvlelem3  45361  hoidmvlelem4  45362  volicorege0  45401  ovolval5lem1  45416