Theorem ltpnfd 12857

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 12856	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-pnf 11011  df-xr 11013  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12934  xltnegi  12950  hashnnn0genn0  14057  limsupgre  15190  fprodge1  15705  xblss2ps  23554  blcvx  23961  reconnlem1  23989  iccpnfhmeo  24108  uniioombllem1  24745  ismbf3d  24818  mbflimsup  24830  itg2seq  24907  lhop2  25179  dvfsumlem2  25191  logccv  25818  xrlimcnp  26118  pntleme  26756  absfico  42758  supxrge  42877  infxr  42906  infleinflem2  42910  xrralrecnnge  42930  iocopn  43058  ge0lere  43070  ressiooinf  43095  uzinico  43098  uzubioo  43105  fsumge0cl  43114  limcicciooub  43178  limcresiooub  43183  limcleqr  43185  limsupresico  43241  limsuppnfdlem  43242  limsupmnflem  43261  liminfresico  43312  limsup10exlem  43313  xlimpnfvlem1  43377  icccncfext  43428  fourierdlem31  43679  fourierdlem33  43681  fourierdlem46  43693  fourierdlem48  43695  fourierdlem49  43696  fourierdlem75  43722  fourierdlem85  43732  fourierdlem88  43735  fourierdlem95  43742  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem107  43754  fourierdlem109  43756  fourierdlem112  43759  fouriersw  43772  ioorrnopnxrlem  43847  sge0tsms  43918  sge0isum  43965  sge0ad2en  43969  sge0xaddlem2  43972  voliunsge0lem  44010  meassre  44015  omessre  44048  omeiunltfirp  44057  hoiprodcl  44085  ovnsubaddlem1  44108  hoiprodcl3  44118  hoidmvcl  44120  sge0hsphoire  44127  hoidmv1lelem1  44129  hoidmv1lelem2  44130  hoidmv1lelem3  44131  hoidmv1le  44132  hoidmvlelem1  44133  hoidmvlelem3  44135  hoidmvlelem4  44136  volicorege0  44175  ovolval5lem1  44190