Theorem ltpnfd 12504

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 12503	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  +∞cpnf 10661   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-pnf 10666  df-xr 10668  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  12581  xltnegi  12597  hashnnn0genn0  13699  limsupgre  14830  fprodge1  15341  xblss2ps  23008  blcvx  23403  reconnlem1  23431  iccpnfhmeo  23550  uniioombllem1  24185  ismbf3d  24258  mbflimsup  24270  itg2seq  24346  lhop2  24618  dvfsumlem2  24630  logccv  25254  xrlimcnp  25554  pntleme  26192  absfico  41847  supxrge  41970  infxr  41999  infleinflem2  42003  xrralrecnnge  42026  iocopn  42157  ge0lere  42169  ressiooinf  42194  uzinico  42197  uzubioo  42204  fsumge0cl  42215  limcicciooub  42279  limcresiooub  42284  limcleqr  42286  limsupresico  42342  limsuppnfdlem  42343  limsupmnflem  42362  liminfresico  42413  limsup10exlem  42414  xlimpnfvlem1  42478  icccncfext  42529  fourierdlem31  42780  fourierdlem33  42782  fourierdlem46  42794  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem75  42823  fourierdlem85  42833  fourierdlem88  42836  fourierdlem95  42843  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem107  42855  fourierdlem109  42857  fourierdlem112  42860  fouriersw  42873  ioorrnopnxrlem  42948  sge0tsms  43019  sge0isum  43066  sge0ad2en  43070  sge0xaddlem2  43073  voliunsge0lem  43111  meassre  43116  omessre  43149  omeiunltfirp  43158  hoiprodcl  43186  ovnsubaddlem1  43209  hoiprodcl3  43219  hoidmvcl  43221  sge0hsphoire  43228  hoidmv1lelem1  43230  hoidmv1lelem2  43231  hoidmv1lelem3  43232  hoidmv1le  43233  hoidmvlelem1  43234  hoidmvlelem3  43236  hoidmvlelem4  43237  volicorege0  43276  ovolval5lem1  43291  pimgtpnf2  43342