Theorem ltpnfd 13107

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltpnf 13106	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < +∞)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5149  ℝcr 11113  +∞cpnf 11251   < clt 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-pnf 11256  df-xr 11258  df-ltxr 11259

This theorem is referenced by:  qbtwnxr  13185  xltnegi  13201  hashnnn0genn0  14309  limsupgre  15431  fprodge1  15945  xblss2ps  24129  blcvx  24536  reconnlem1  24564  iccpnfhmeo  24692  uniioombllem1  25332  ismbf3d  25405  mbflimsup  25417  itg2seq  25494  lhop2  25766  dvfsumlem2  25778  logccv  26405  xrlimcnp  26707  pntleme  27345  gg-dvfsumlem2  35471  absfico  44217  supxrge  44348  infxr  44377  infleinflem2  44381  xrralrecnnge  44400  iocopn  44533  ge0lere  44545  ressiooinf  44570  uzinico  44573  uzubioo  44580  fsumge0cl  44589  limcicciooub  44653  limcresiooub  44658  limcleqr  44660  limsupresico  44716  limsuppnfdlem  44717  limsupmnflem  44736  liminfresico  44787  limsup10exlem  44788  xlimpnfvlem1  44852  icccncfext  44903  fourierdlem31  45154  fourierdlem33  45156  fourierdlem46  45168  fourierdlem48  45170  fourierdlem49  45171  fourierdlem75  45197  fourierdlem85  45207  fourierdlem88  45210  fourierdlem95  45217  fourierdlem103  45225  fourierdlem104  45226  fourierdlem107  45229  fourierdlem109  45231  fourierdlem112  45234  fouriersw  45247  ioorrnopnxrlem  45322  sge0tsms  45396  sge0isum  45443  sge0ad2en  45447  sge0xaddlem2  45450  voliunsge0lem  45488  meassre  45493  omessre  45526  omeiunltfirp  45535  hoiprodcl  45563  ovnsubaddlem1  45586  hoiprodcl3  45596  hoidmvcl  45598  sge0hsphoire  45605  hoidmv1lelem1  45607  hoidmv1lelem2  45608  hoidmv1lelem3  45609  hoidmv1le  45610  hoidmvlelem1  45611  hoidmvlelem3  45613  hoidmvlelem4  45614  volicorege0  45653  ovolval5lem1  45668