Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfposadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposadd 37048
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfposadd.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfposadd.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfposadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfposadd.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposadd (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem mbfposadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2 0re 11220 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 ifcl 4568 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
5 mbfposadd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6 ifcl 4568 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
75, 2, 6sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 11247 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) ∈ ℝ)
98fmpttd 7110 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))):π΄βŸΆβ„)
10 ssrab2 4072 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴
11 fssres 6751 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))):π΄βŸΆβ„ ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}):{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}βŸΆβ„)
129, 10, 11sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}):{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}βŸΆβ„)
13 inss2 4224 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
14 resabs1 6005 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
16 elin 3959 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
17 rabid 3446 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡))
18 rabid 3446 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢))
1917, 18anbi12i 626 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
2016, 19bitri 275 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
21 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (0 ≀ 𝐡 β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) = 𝐡)
22 iftrue 4529 . . . . . . . . . 10 (0 ≀ 𝐢 β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) = 𝐢)
2321, 22oveqan12d 7424 . . . . . . . . 9 ((0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (𝐡 + 𝐢))
2423ad2ant2l 743 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (𝐡 + 𝐢))
2520, 24sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (𝐡 + 𝐢))
2625mpteq2ia 5244 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢))
27 inss1 4223 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡}
28 ssrab2 4072 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βŠ† 𝐴
2927, 28sstri 3986 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴
30 resmpt 6031 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
31 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
32 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
33 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
3431, 32, 33cbvmpt 5252 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
3534reseq1i 5971 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
36 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
37 nfrab1 3445 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡}
38 nfrab1 3445 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
3937, 38nfin 4211 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
4039nfcri 2884 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
4132nfeq2 2914 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
4240, 41nfan 1894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
43 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
4433eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
4543, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))))
4636, 42, 45cbvopab1 5216 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
47 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
48 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
4946, 47, 483eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
5030, 35, 493eqtr4g 2791 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
5129, 50ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
52 resmpt 6031 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)))
53 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(𝐡 + 𝐢)
54 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)
55 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 + 𝐢) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
5653, 54, 55cbvmpt 5252 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
5756reseq1i 5971 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
58 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢))
5954nfeq2 2914 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)
6040, 59nfan 1894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
6155eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = (𝐡 + 𝐢) ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)))
6243, 61anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢)) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))))
6358, 60, 62cbvopab1 5216 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))}
64 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢)) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢))}
65 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))}
6663, 64, 653eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
6752, 57, 663eqtr4g 2791 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢)))
6829, 67ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢))
6926, 51, 683eqtr4i 2764 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
7015, 69eqtri 2754 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
71 mbfposadd.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
721biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐡 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡)))
73 elrege0 13437 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡))
7472, 73bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐡 ↔ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)))
7574rabbidva 3433 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)})
76 0xr 11265 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
77 pnfxr 11272 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
78 0ltpnf 13108 . . . . . . . . . . 11 0 < +∞
79 snunioo 13461 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ ({0} βˆͺ (0(,)+∞)) = (0[,)+∞))
8076, 77, 78, 79mp3an 1457 . . . . . . . . . 10 ({0} βˆͺ (0(,)+∞)) = (0[,)+∞)
8180imaeq2i 6051 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0[,)+∞))
82 imaundi 6143 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)))
83 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
8483mptpreima 6231 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)}
8581, 82, 843eqtr3ri 2763 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)))
8675, 85eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))))
87 mbfposadd.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
881fmpttd 7110 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
89 mbfimasn 25516 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) ∈ dom vol)
902, 89mp3an3 1446 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) ∈ dom vol)
91 mbfima 25514 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
92 unmbl 25421 . . . . . . . . 9 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) ∈ dom vol ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
9390, 91, 92syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
9487, 88, 93syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
9586, 94eqeltrd 2827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol)
965biantrurd 532 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐢 ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢)))
97 elrege0 13437 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
9896, 97bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐢 ↔ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)))
9998rabbidva 3433 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)})
10080imaeq2i 6051 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0[,)+∞))
101 imaundi 6143 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)))
102 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
103102mptpreima 6231 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)}
104100, 101, 1033eqtr3ri 2763 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)))
10599, 104eqtrdi 2782 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))))
106 mbfposadd.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
1075fmpttd 7110 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„)
108 mbfimasn 25516 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) ∈ dom vol)
1092, 108mp3an3 1446 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) ∈ dom vol)
110 mbfima 25514 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
111 unmbl 25421 . . . . . . . . 9 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) ∈ dom vol ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
112109, 110, 111syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
113106, 107, 112syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
114105, 113eqeltrd 2827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol)
115 inmbl 25426 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
11695, 114, 115syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
117 mbfres 25528 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
11871, 116, 117syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
11970, 118eqeltrid 2831 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
120 inss2 4224 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
121 resabs1 6005 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
122120, 121ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
123 rabid 3446 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
124123, 18anbi12i 626 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
125 elin 3959 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
126 anandi 673 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
127124, 125, 1263bitr4i 303 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
128 iffalse 4532 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 0 ≀ 𝐡 β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) = 0)
129128, 22oveqan12d 7424 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (0 + 𝐢))
130129ad2antll 726 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢))) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (0 + 𝐢))
1315recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
132131addlidd 11419 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 + 𝐢) = 𝐢)
133132adantrr 714 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢))) β†’ (0 + 𝐢) = 𝐢)
134130, 133eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢))) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = 𝐢)
135127, 134sylan2b 593 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = 𝐢)
136135mpteq2dva 5241 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢))
137 inss1 4223 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}
138 ssrab2 4072 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} βŠ† 𝐴
139137, 138sstri 3986 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴
140 resmpt 6031 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
14134reseq1i 5971 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
142 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
143 nfrab1 3445 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}
144143, 38nfin 4211 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
145144nfcri 2884 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
146145, 41nfan 1894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
147 eleq1w 2810 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
148147, 44anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))))
149142, 146, 148cbvopab1 5216 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
150 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
151 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
152149, 150, 1513eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
153140, 141, 1523eqtr4g 2791 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
154139, 153ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
155 resmpt 6031 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢))
156 nfcv 2897 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦𝐢
157 nfcsb1v 3913 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
158 csbeq1a 3902 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
159156, 157, 158cbvmpt 5252 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
160159reseq1i 5971 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
161 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢)
162157nfeq2 2914 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
163145, 162nfan 1894 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
164158eqeq2d 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = 𝐢 ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢))
165147, 164anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)))
166161, 163, 165cbvopab1 5216 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢)} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)}
167 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢)}
168 df-mpt 5225 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)}
169166, 167, 1683eqtr4i 2764 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
170155, 160, 1693eqtr4g 2791 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢))
171139, 170ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢)
172136, 154, 1713eqtr4g 2791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
173122, 172eqtrid 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
17483mptpreima 6231 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (-∞(,)0)}
175 elioomnf 13427 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0)))
17676, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0))
1771biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 0 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0)))
178 ltnle 11297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
1791, 2, 178sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
180177, 179bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
181176, 180bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
182181rabbidva 3433 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (-∞(,)0)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡})
183174, 182eqtrid 2778 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡})
184 mbfima 25514 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
18587, 88, 184syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
186183, 185eqeltrrd 2828 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol)
187 inmbl 25426 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
188186, 114, 187syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
189 mbfres 25528 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
190106, 188, 189syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
191173, 190eqeltrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
192 ssid 3999 . . . . . 6 𝐴 βŠ† 𝐴
193 dfrab3ss 4307 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = (𝐴 ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
194192, 193ax-mp 5 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = (𝐴 ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
195 rabxm 4381 . . . . . 6 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡})
196195ineq1i 4203 . . . . 5 (𝐴 ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) = (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}) ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
197 indir 4270 . . . . 5 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}) ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) = (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βˆͺ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
198194, 196, 1973eqtrri 2759 . . . 4 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βˆͺ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
199198a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βˆͺ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
20012, 119, 191, 199mbfres2 25529 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
201 rabid 3446 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
202 iffalse 4532 . . . . . . . . 9 (Β¬ 0 ≀ 𝐢 β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) = 0)
203202oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (Β¬ 0 ≀ 𝐢 β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + 0))
2044recnd 11246 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
205204addridd 11418 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + 0) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
206203, 205sylan9eqr 2788 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐢) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
207206anasss 466 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐢)) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
208201, 207sylan2b 593 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
209208mpteq2dva 5241 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
210 ssrab2 4072 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴
211 resmpt 6031 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
21234reseq1i 5971 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
213 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
214 nfrab1 3445 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}
215214nfcri 2884 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}
216215, 41nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
217 eleq1w 2810 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↔ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}))
218217, 44anbi12d 630 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ↔ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))))
219213, 216, 218cbvopab1 5216 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
220 df-mpt 5225 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
221 df-mpt 5225 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
222219, 220, 2213eqtr4i 2764 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
223211, 212, 2223eqtr4g 2791 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
224210, 223ax-mp 5 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
225 resmpt 6031 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
226 nfcv 2897 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)
227 nfcsb1v 3913 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)
228 csbeq1a 3902 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
229226, 227, 228cbvmpt 5252 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
230229reseq1i 5971 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
231 nfv 1909 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
232227nfeq2 2914 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)
233215, 232nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
234228eqeq2d 2737 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
235217, 234anbi12d 630 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ↔ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
236231, 233, 235cbvopab1 5216 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))}
237 df-mpt 5225 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))}
238 df-mpt 5225 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))}
239236, 237, 2383eqtr4i 2764 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
240225, 230, 2393eqtr4g 2791 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
241210, 240ax-mp 5 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
242209, 224, 2413eqtr4g 2791 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}))
2431, 87mbfpos 25535 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
244102mptpreima 6231 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (-∞(,)0)}
245 elioomnf 13427 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ* β†’ (𝐢 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0)))
24676, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0))
2475biantrurd 532 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 < 0 ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0)))
248 ltnle 11297 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
2495, 2, 248sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
250247, 249bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
251246, 250bitrid 283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 ∈ (-∞(,)0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
252251rabbidva 3433 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (-∞(,)0)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
253244, 252eqtrid 2778 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
254 mbfima 25514 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
255106, 107, 254syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
256253, 255eqeltrrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol)
257 mbfres 25528 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
258243, 256, 257syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
259242, 258eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
260 rabxm 4381 . . . 4 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
261260eqcomi 2735 . . 3 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = 𝐴
262261a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = 𝐴)
2639, 200, 259, 262mbfres2 25529 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426  β¦‹csb 3888   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  ifcif 4523  {csn 4623   class class class wbr 5141  {copab 5203   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  (class class class)co 7405  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  volcvol 25347  MblFncmbf 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  37060
  Copyright terms: Public domain W3C validator