Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mbfposadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfposadd 36154
Description: If the sum of two measurable functions is measurable, the sum of their nonnegative parts is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfposadd.1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbfposadd.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
mbfposadd.3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
mbfposadd.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
mbfposadd.5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfposadd (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘₯)

Proof of Theorem mbfposadd
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfposadd.2 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2 0re 11164 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 ifcl 4536 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ ℝ)
5 mbfposadd.4 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6 ifcl 4536 . . . . 5 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
75, 2, 6sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) ∈ ℝ)
84, 7readdcld 11191 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) ∈ ℝ)
98fmpttd 7068 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))):π΄βŸΆβ„)
10 ssrab2 4042 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴
11 fssres 6713 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))):π΄βŸΆβ„ ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}):{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}βŸΆβ„)
129, 10, 11sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}):{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}βŸΆβ„)
13 inss2 4194 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
14 resabs1 5972 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
1513, 14ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
16 elin 3931 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
17 rabid 3430 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡))
18 rabid 3430 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢))
1917, 18anbi12i 628 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
2016, 19bitri 275 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
21 iftrue 4497 . . . . . . . . . 10 (0 ≀ 𝐡 β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) = 𝐡)
22 iftrue 4497 . . . . . . . . . 10 (0 ≀ 𝐢 β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) = 𝐢)
2321, 22oveqan12d 7381 . . . . . . . . 9 ((0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (𝐡 + 𝐢))
2423ad2ant2l 745 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (𝐡 + 𝐢))
2520, 24sylbi 216 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (𝐡 + 𝐢))
2625mpteq2ia 5213 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢))
27 inss1 4193 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡}
28 ssrab2 4042 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βŠ† 𝐴
2927, 28sstri 3958 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴
30 resmpt 5996 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
31 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
32 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
33 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
3431, 32, 33cbvmpt 5221 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
3534reseq1i 5938 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
36 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
37 nfrab1 3429 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡}
38 nfrab1 3429 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
3937, 38nfin 4181 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
4039nfcri 2895 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
4132nfeq2 2925 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))
4240, 41nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
43 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
4433eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
4543, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))))
4636, 42, 45cbvopab1 5185 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
47 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
48 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
4946, 47, 483eqtr4i 2775 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
5030, 35, 493eqtr4g 2802 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
5129, 50ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
52 resmpt 5996 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)))
53 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(𝐡 + 𝐢)
54 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)
55 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐡 + 𝐢) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
5653, 54, 55cbvmpt 5221 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
5756reseq1i 5938 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
58 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢))
5954nfeq2 2925 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)
6040, 59nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
6155eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = (𝐡 + 𝐢) ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)))
6243, 61anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢)) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))))
6358, 60, 62cbvopab1 5185 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))}
64 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢)) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (𝐡 + 𝐢))}
65 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢)) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))}
6663, 64, 653eqtr4i 2775 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢)) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(𝐡 + 𝐢))
6752, 57, 663eqtr4g 2802 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢)))
6829, 67ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (𝐡 + 𝐢))
6926, 51, 683eqtr4i 2775 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
7015, 69eqtri 2765 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
71 mbfposadd.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn)
721biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐡 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡)))
73 elrege0 13378 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡))
7472, 73bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐡 ↔ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)))
7574rabbidva 3417 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)})
76 0xr 11209 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
77 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . 11 +∞ ∈ ℝ*
78 0ltpnf 13050 . . . . . . . . . . 11 0 < +∞
79 snunioo 13402 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ ({0} βˆͺ (0(,)+∞)) = (0[,)+∞))
8076, 77, 78, 79mp3an 1462 . . . . . . . . . 10 ({0} βˆͺ (0(,)+∞)) = (0[,)+∞)
8180imaeq2i 6016 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0[,)+∞))
82 imaundi 6107 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)))
83 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)
8483mptpreima 6195 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)}
8581, 82, 843eqtr3ri 2774 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (0[,)+∞)} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)))
8675, 85eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))))
87 mbfposadd.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
881fmpttd 7068 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„)
89 mbfimasn 25012 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) ∈ dom vol)
902, 89mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) ∈ dom vol)
91 mbfima 25010 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
92 unmbl 24917 . . . . . . . . 9 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) ∈ dom vol ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
9390, 91, 92syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
9487, 88, 93syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
9586, 94eqeltrd 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol)
965biantrurd 534 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐢 ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢)))
97 elrege0 13378 . . . . . . . . . 10 (𝐢 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐢))
9896, 97bitr4di 289 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 ≀ 𝐢 ↔ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)))
9998rabbidva 3417 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)})
10080imaeq2i 6016 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0[,)+∞))
101 imaundi 6107 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ ({0} βˆͺ (0(,)+∞))) = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)))
102 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢)
103102mptpreima 6195 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)}
104100, 101, 1033eqtr3ri 2774 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (0[,)+∞)} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)))
10599, 104eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))))
106 mbfposadd.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
1075fmpttd 7068 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„)
108 mbfimasn 25012 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) ∈ dom vol)
1092, 108mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) ∈ dom vol)
110 mbfima 25010 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
111 unmbl 24917 . . . . . . . . 9 (((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) ∈ dom vol ∧ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
112109, 110, 111syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
113106, 107, 112syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ {0}) βˆͺ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
114105, 113eqeltrd 2838 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol)
115 inmbl 24922 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
11695, 114, 115syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
117 mbfres 25024 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) ∈ MblFn ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
11871, 116, 117syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝐡 + 𝐢)) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
11970, 118eqeltrid 2842 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
120 inss2 4194 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
121 resabs1 5972 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
122120, 121ax-mp 5 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
123 rabid 3430 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
124123, 18anbi12i 628 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
125 elin 3931 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
126 anandi 675 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐡) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
127124, 125, 1263bitr4i 303 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢)))
128 iffalse 4500 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ 0 ≀ 𝐡 β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) = 0)
129128, 22oveqan12d 7381 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (0 + 𝐢))
130129ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢))) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (0 + 𝐢))
1315recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
132131addid2d 11363 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (0 + 𝐢) = 𝐢)
133132adantrr 716 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢))) β†’ (0 + 𝐢) = 𝐢)
134130, 133eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 0 ≀ 𝐡 ∧ 0 ≀ 𝐢))) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = 𝐢)
135127, 134sylan2b 595 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = 𝐢)
136135mpteq2dva 5210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢))
137 inss1 4193 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}
138 ssrab2 4042 . . . . . . . 8 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} βŠ† 𝐴
139137, 138sstri 3958 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴
140 resmpt 5996 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
14134reseq1i 5938 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
142 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
143 nfrab1 3429 . . . . . . . . . . . . 13 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}
144143, 38nfin 4181 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘₯({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
145144nfcri 2895 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
146145, 41nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
147 eleq1w 2821 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↔ 𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
148147, 44anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))))
149142, 146, 148cbvopab1 5185 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
150 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
151 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
152149, 150, 1513eqtr4i 2775 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
153140, 141, 1523eqtr4g 2802 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
154139, 153ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
155 resmpt 5996 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢))
156 nfcv 2908 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦𝐢
157 nfcsb1v 3885 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
158 csbeq1a 3874 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
159156, 157, 158cbvmpt 5221 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
160159reseq1i 5938 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
161 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢)
162157nfeq2 2925 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢
163145, 162nfan 1903 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯(𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
164158eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = 𝐢 ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢))
165147, 164anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢) ↔ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)))
166161, 163, 165cbvopab1 5185 . . . . . . . . 9 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢)} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)}
167 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = 𝐢)}
168 df-mpt 5194 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)}
169166, 167, 1683eqtr4i 2775 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢) = (𝑦 ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐢)
170155, 160, 1693eqtr4g 2802 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢))
171139, 170ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = (π‘₯ ∈ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ↦ 𝐢)
172136, 154, 1713eqtr4g 2802 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
173122, 172eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})))
17483mptpreima 6195 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (-∞(,)0)}
175 elioomnf 13368 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ* β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0)))
17676, 175ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0))
1771biantrurd 534 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 0 ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0)))
178 ltnle 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
1791, 2, 178sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
180177, 179bitr3d 281 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 < 0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
181176, 180bitrid 283 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐡 ∈ (-∞(,)0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐡))
182181rabbidva 3417 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐡 ∈ (-∞(,)0)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡})
183174, 182eqtrid 2789 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡})
184 mbfima 25010 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
18587, 88, 184syl2anc 585 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
186183, 185eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol)
187 inmbl 24922 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
188186, 114, 187syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol)
189 mbfres 25024 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
190106, 188, 189syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
191173, 190eqeltrd 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) β†Ύ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) ∈ MblFn)
192 ssid 3971 . . . . . 6 𝐴 βŠ† 𝐴
193 dfrab3ss 4277 . . . . . 6 (𝐴 βŠ† 𝐴 β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = (𝐴 ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
194192, 193ax-mp 5 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} = (𝐴 ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
195 rabxm 4351 . . . . . 6 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡})
196195ineq1i 4173 . . . . 5 (𝐴 ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) = (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}) ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
197 indir 4240 . . . . 5 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡}) ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) = (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βˆͺ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}))
198194, 196, 1973eqtrri 2770 . . . 4 (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βˆͺ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}
199198a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) βˆͺ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐡} ∩ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢})
20012, 119, 191, 199mbfres2 25025 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
201 rabid 3430 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
202 iffalse 4500 . . . . . . . . 9 (Β¬ 0 ≀ 𝐢 β†’ if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0) = 0)
203202oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (Β¬ 0 ≀ 𝐢 β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + 0))
2044recnd 11190 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ∈ β„‚)
205204addid1d 11362 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + 0) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
206203, 205sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐢) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
207206anasss 468 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 0 ≀ 𝐢)) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
208201, 207sylan2b 595 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) β†’ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)) = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
209208mpteq2dva 5210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
210 ssrab2 4042 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴
211 resmpt 5996 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
21234reseq1i 5938 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
213 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
214 nfrab1 3429 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯{π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}
215214nfcri 2895 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}
216215, 41nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
217 eleq1w 2821 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↔ 𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}))
218217, 44anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ↔ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))))
219213, 216, 218cbvopab1 5185 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
220 df-mpt 5194 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
221 df-mpt 5194 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))}
222219, 220, 2213eqtr4i 2775 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌(if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
223211, 212, 2223eqtr4g 2802 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))))
224210, 223ax-mp 5 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0)))
225 resmpt 5996 . . . . . 6 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
226 nfcv 2908 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)
227 nfcsb1v 3885 . . . . . . . 8 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)
228 csbeq1a 3874 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
229226, 227, 228cbvmpt 5221 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
230229reseq1i 5938 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = ((𝑦 ∈ 𝐴 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
231 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑦(π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
232227nfeq2 2925 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)
233215, 232nfan 1903 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
234228eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) ↔ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
235217, 234anbi12d 632 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ↔ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))))
236231, 233, 235cbvopab1 5185 . . . . . . 7 {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))} = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))}
237 df-mpt 5194 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = {⟨π‘₯, π‘§βŸ© ∣ (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))}
238 df-mpt 5194 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∧ 𝑧 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))}
239236, 237, 2383eqtr4i 2775 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) = (𝑦 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
240225, 230, 2393eqtr4g 2802 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} βŠ† 𝐴 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)))
241210, 240ax-mp 5 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0))
242209, 224, 2413eqtr4g 2802 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}))
2431, 87mbfpos 25031 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn)
244102mptpreima 6195 . . . . . 6 (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (-∞(,)0)}
245 elioomnf 13368 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ* β†’ (𝐢 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0)))
24676, 245ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ (-∞(,)0) ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0))
2475biantrurd 534 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 < 0 ↔ (𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0)))
248 ltnle 11241 . . . . . . . . . 10 ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (𝐢 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
2495, 2, 248sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
250247, 249bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢 ∈ ℝ ∧ 𝐢 < 0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
251246, 250bitrid 283 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝐢 ∈ (-∞(,)0) ↔ Β¬ 0 ≀ 𝐢))
252251rabbidva 3417 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 𝐢 ∈ (-∞(,)0)} = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
253244, 252eqtrid 2789 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
254 mbfima 25010 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn ∧ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢):π΄βŸΆβ„) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
255106, 107, 254syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
256253, 255eqeltrrd 2839 . . . 4 (πœ‘ β†’ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol)
257 mbfres 25024 . . . 4 (((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) ∈ MblFn ∧ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢} ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
258243, 256, 257syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0)) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
259242, 258eqeltrd 2838 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) β†Ύ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) ∈ MblFn)
260 rabxm 4351 . . . 4 𝐴 = ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢})
261260eqcomi 2746 . . 3 ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = 𝐴
262261a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ ({π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ 0 ≀ 𝐢} βˆͺ {π‘₯ ∈ 𝐴 ∣ Β¬ 0 ≀ 𝐢}) = 𝐴)
2639, 200, 259, 262mbfres2 25025 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (if(0 ≀ 𝐡, 𝐡, 0) + if(0 ≀ 𝐢, 𝐢, 0))) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3410  β¦‹csb 3860   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  ifcif 4491  {csn 4591   class class class wbr 5110  {copab 5172   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  (class class class)co 7362  β„cr 11057  0cc0 11058   + caddc 11061  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  volcvol 24843  MblFncmbf 24994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xadd 13041  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-xmet 20805  df-met 20806  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  36166
  Copyright terms: Public domain W3C validator