Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfneige0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pnfneige0 32622
Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 22609. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
pnfneige0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
pnfneige0 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)
Proof of Theorem pnfneige0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11168 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
2 simpllr 775 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ Β¬ 𝑦 < 0) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4527 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4 ovif 7460 . . . . . 6 (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5 rexr 11211 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
6 0xr 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 11219 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
10 iocinif 31753 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
124, 11eqtr4id 2791 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
1312ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14 iocssicc 13365 . . . . . 6 (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞)
15 sslin 4200 . . . . . 6 ((0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18 ssin 4196 . . . . . . . 8 (((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
1918biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) β†’ ((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞)))
2019simpld 496 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) β†’ (𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴)
21 ssinss1 4203 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2217, 20, 213syl 18 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2316, 22sstrd 3958 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2413, 23eqsstrd 3986 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴)
25 oveq1 7370 . . . . 5 (π‘₯ = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) β†’ (π‘₯(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
2625sseq1d 3979 . . . 4 (π‘₯ = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) β†’ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴))
2726rspcev 3583 . . 3 ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
283, 24, 27syl2anc 585 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
29 letopon 22594 . . . . . . . . . 10 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
30 iccssxr 13358 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
31 resttopon 22550 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
3229, 30, 31mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
3332topontopi 22302 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top)
35 ovex 7396 . . . . . . . 8 (0(,]+∞) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) ∈ V)
37 pnfneige0.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
38 xrge0topn 32614 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
3937, 38eqtri 2760 . . . . . . . . 9 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
4039eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
4140biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
42 elrestr 17325 . . . . . . 7 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))) β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)))
4334, 36, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)))
44 letop 22595 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
45 ovex 7396 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ∈ V
46 restabs 22554 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞)))
4744, 14, 45, 46mp3an 1462 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))
4843, 47eleqtrdi 2843 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞)))
4944a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
50 iocpnfordt 22604 . . . . . . 7 (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
52 ssidd 3971 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞))
53 inss2 4195 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞)
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞))
55 restopnb 22564 . . . . . 6 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ (0(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞))) β†’ ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))))
5649, 36, 51, 52, 54, 55syl23anc 1378 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))))
5748, 56mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
5857adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
59 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ 𝐴)
60 0ltpnf 13053 . . . . . 6 0 < +∞
61 ubioc1 13328 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
626, 8, 60, 61mp3an 1462 . . . . 5 +∞ ∈ (0(,]+∞)
6362a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
6459, 63elind 4160 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65 pnfnei 22609 . . 3 (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6658, 64, 65syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6728, 66r19.29a 3156 1 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  ifcif 4492   class class class wbr 5111  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  β„cr 11060  0cc0 11061  +∞cpnf 11196  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  (,]cioc 13276  [,]cicc 13278   β†Ύs cress 17124   β†Ύt crest 17317  TopOpenctopn 17318  ordTopcordt 17396  β„*𝑠cxrs 17397  Topctop 22280  TopOnctopon 22297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5248  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4872  df-int 4914  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-1o 8418  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-fin 8895  df-fi 9357  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-nn 12164  df-2 12226  df-3 12227  df-4 12228  df-5 12229  df-6 12230  df-7 12231  df-8 12232  df-9 12233  df-n0 12424  df-z 12510  df-dec 12629  df-uz 12774  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-ico 13281  df-icc 13282  df-fz 13436  df-struct 17031  df-sets 17048  df-slot 17066  df-ndx 17078  df-base 17096  df-ress 17125  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-rest 17319  df-topn 17320  df-topgen 17340  df-ordt 17398  df-xrs 17399  df-ps 18470  df-tsr 18471  df-top 22281  df-topon 22298  df-bases 22334
This theorem is referenced by:  lmxrge0  32623
  Copyright terms: Public domain W3C validator