Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfneige0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfneige0 33950
Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 23228. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
pnfneige0.j 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
pnfneige0 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11264 . . . 4 (((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2 simpllr 776 . . . 4 (((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4561 . . 3 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4 ovif 7531 . . . . . 6 (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5 rexr 11307 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
6 0xr 11308 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 11315 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
10 iocinif 32783 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
124, 11eqtr4id 2796 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
1312ad2antlr 727 . . . 4 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14 iocssicc 13477 . . . . . 6 (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15 sslin 4243 . . . . . 6 ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18 ssin 4239 . . . . . . . 8 (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
1918biimpri 228 . . . . . . 7 ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
2019simpld 494 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21 ssinss1 4246 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
2217, 20, 213syl 18 . . . . 5 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
2316, 22sstrd 3994 . . . 4 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
2413, 23eqsstrd 4018 . . 3 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
2625sseq1d 4015 . . . 4 (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
2726rspcev 3622 . . 3 ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
283, 24, 27syl2anc 584 . 2 ((((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29 letopon 23213 . . . . . . . . . 10 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30 iccssxr 13470 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31 resttopon 23169 . . . . . . . . . 10 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
3229, 30, 31mp2an 692 . . . . . . . . 9 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
3332topontopi 22921 . . . . . . . 8 ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35 ovex 7464 . . . . . . . 8 (0(,]+∞) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37 pnfneige0.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
38 xrge0topn 33942 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
3937, 38eqtri 2765 . . . . . . . . 9 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
4039eleq2i 2833 . . . . . . . 8 (𝐴𝐽𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
4140biimpi 216 . . . . . . 7 (𝐴𝐽𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42 elrestr 17473 . . . . . . 7 ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
4334, 36, 41, 42syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44 letop 23214 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45 ovex 7464 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ∈ V
46 restabs 23173 . . . . . . 7 (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
4744, 14, 45, 46mp3an 1463 . . . . . 6 (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
4843, 47eleqtrdi 2851 . . . . 5 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
4944a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50 iocpnfordt 23223 . . . . . . 7 (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52 ssidd 4007 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
53 inss2 4238 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
55 restopnb 23183 . . . . . 6 ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
5649, 36, 51, 52, 54, 55syl23anc 1379 . . . . 5 (𝐴𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
5748, 56mpbird 257 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
5857adantr 480 . . 3 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
59 simpr 484 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
60 0ltpnf 13164 . . . . . 6 0 < +∞
61 ubioc1 13440 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
626, 8, 60, 61mp3an 1463 . . . . 5 +∞ ∈ (0(,]+∞)
6362a1i 11 . . . 4 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
6459, 63elind 4200 . . 3 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65 pnfnei 23228 . . 3 (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6658, 64, 65syl2anc 584 . 2 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6728, 66r19.29a 3162 1 ((𝐴𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,]cioc 13388  [,]cicc 13390  s cress 17274  t crest 17465  TopOpenctopn 17466  ordTopcordt 17544  *𝑠cxrs 17545  Topctop 22899  TopOnctopon 22916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-xrs 17547  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  lmxrge0  33951
  Copyright terms: Public domain W3C validator