Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfneige0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfneige0 32931
Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 22724. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
pnfneige0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
pnfneige0 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem pnfneige0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11217 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
2 simpllr 775 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ Β¬ 𝑦 < 0) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4564 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4 ovif 7506 . . . . . 6 (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5 rexr 11260 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
6 0xr 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 11268 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
10 iocinif 31992 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
124, 11eqtr4id 2792 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
1312ad2antlr 726 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14 iocssicc 13414 . . . . . 6 (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞)
15 sslin 4235 . . . . . 6 ((0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18 ssin 4231 . . . . . . . 8 (((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
1918biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) β†’ ((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞)))
2019simpld 496 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) β†’ (𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴)
21 ssinss1 4238 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2217, 20, 213syl 18 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2316, 22sstrd 3993 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2413, 23eqsstrd 4021 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴)
25 oveq1 7416 . . . . 5 (π‘₯ = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) β†’ (π‘₯(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
2625sseq1d 4014 . . . 4 (π‘₯ = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) β†’ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴))
2726rspcev 3613 . . 3 ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
283, 24, 27syl2anc 585 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
29 letopon 22709 . . . . . . . . . 10 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
30 iccssxr 13407 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
31 resttopon 22665 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
3229, 30, 31mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
3332topontopi 22417 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top)
35 ovex 7442 . . . . . . . 8 (0(,]+∞) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) ∈ V)
37 pnfneige0.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
38 xrge0topn 32923 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
3937, 38eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
4039eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
4140biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
42 elrestr 17374 . . . . . . 7 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))) β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)))
4334, 36, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)))
44 letop 22710 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
45 ovex 7442 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ∈ V
46 restabs 22669 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞)))
4744, 14, 45, 46mp3an 1462 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))
4843, 47eleqtrdi 2844 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞)))
4944a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
50 iocpnfordt 22719 . . . . . . 7 (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
52 ssidd 4006 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞))
53 inss2 4230 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞)
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞))
55 restopnb 22679 . . . . . 6 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ (0(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞))) β†’ ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))))
5649, 36, 51, 52, 54, 55syl23anc 1378 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))))
5748, 56mpbird 257 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
5857adantr 482 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
59 simpr 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ 𝐴)
60 0ltpnf 13102 . . . . . 6 0 < +∞
61 ubioc1 13377 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
626, 8, 60, 61mp3an 1462 . . . . 5 +∞ ∈ (0(,]+∞)
6362a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
6459, 63elind 4195 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65 pnfnei 22724 . . 3 (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6658, 64, 65syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6728, 66r19.29a 3163 1 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327   β†Ύs cress 17173   β†Ύt crest 17366  TopOpenctopn 17367  ordTopcordt 17445  β„*𝑠cxrs 17446  Topctop 22395  TopOnctopon 22412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-xrs 17448  df-ps 18519  df-tsr 18520  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  lmxrge0  32932
  Copyright terms: Public domain W3C validator