Theorem pnfneige0 33982

Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 23158. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfneige0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Assertion

Ref	Expression
pnfneige0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11238	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2		simpllr 775	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	1, 2	ifclda 4536	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4		ovif 7505	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5		rexr 11281	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
6		0xr 11282	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11289	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
10		iocinif 32758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
12	4, 11	eqtr4id 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
13	12	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14		iocssicc 13454	. . . . . 6 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15		sslin 4218	. . . . . 6 ⊢ ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18		ssin 4214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
19	18	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21		ssinss1 4221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3969	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
24	13, 23	eqsstrd 3993	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25		oveq1 7412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
26	25	sseq1d 3990	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
27	26	rspcev 3601	. . 3 ⊢ ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
28	3, 24, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29		letopon 23143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30		iccssxr 13447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31		resttopon 23099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
33	32	topontopi 22853	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35		ovex 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,]+∞) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37		pnfneige0.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
38		xrge0topn 33974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
40	39	eleq2i 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42		elrestr 17442	. . . . . . 7 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
43	34, 36, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44		letop 23144	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
46		restabs 23103	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
47	44, 14, 45, 46	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
48	43, 47	eleqtrdi 2844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
49	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50		iocpnfordt 23153	. . . . . . 7 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52		ssidd 3982	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
53		inss2 4213	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
55		restopnb 23113	. . . . . 6 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
56	49, 36, 51, 52, 54, 55	syl23anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
57	48, 56	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
59		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
60		0ltpnf 13138	. . . . . 6 ⊢ 0 < +∞
61		ubioc1 13416	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
62	6, 8, 60, 61	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
64	59, 63	elind 4175	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65		pnfnei 23158	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
66	58, 64, 65	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
67	28, 66	r19.29a 3148	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3060  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ifcif 4500   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  +∞cpnf 11266  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  (,]cioc 13363  [,]cicc 13365   ↾_s cress 17251   ↾_t crest 17434  TopOpenctopn 17435  ordTopcordt 17513  ℝ^*_𝑠cxrs 17514  Topctop 22831  TopOnctopon 22848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-rest 17436  df-topn 17437  df-topgen 17457  df-ordt 17515  df-xrs 17516  df-ps 18576  df-tsr 18577  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884

This theorem is referenced by:  lmxrge0  33983