Theorem pnfneige0 34133

Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 23179. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfneige0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Assertion

Ref	Expression
pnfneige0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11147	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2		simpllr 776	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	1, 2	ifclda 4517	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4		ovif 7466	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5		rexr 11190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
6		0xr 11191	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11198	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
10		iocinif 32876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
12	4, 11	eqtr4id 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
13	12	ad2antlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14		iocssicc 13365	. . . . . 6 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15		sslin 4197	. . . . . 6 ⊢ ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18		ssin 4193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
19	18	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21		ssinss1 4200	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
24	13, 23	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25		oveq1 7375	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
26	25	sseq1d 3967	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
27	26	rspcev 3578	. . 3 ⊢ ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
28	3, 24, 27	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29		letopon 23164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30		iccssxr 13358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31		resttopon 23120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
32	29, 30, 31	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
33	32	topontopi 22874	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35		ovex 7401	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,]+∞) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37		pnfneige0.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
38		xrge0topn 34125	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
40	39	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42		elrestr 17360	. . . . . . 7 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
43	34, 36, 41, 42	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44		letop 23165	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
46		restabs 23124	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
47	44, 14, 45, 46	mp3an 1464	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
48	43, 47	eleqtrdi 2847	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
49	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50		iocpnfordt 23174	. . . . . . 7 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
53		inss2 4192	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
55		restopnb 23134	. . . . . 6 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
56	49, 36, 51, 52, 54, 55	syl23anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
57	48, 56	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
59		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
60		0ltpnf 13048	. . . . . 6 ⊢ 0 < +∞
61		ubioc1 13327	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
62	6, 8, 60, 61	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
64	59, 63	elind 4154	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65		pnfnei 23179	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
66	58, 64, 65	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
67	28, 66	r19.29a 3146	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177   < clt 11178   ≤ cle 11179  (,]cioc 13274  [,]cicc 13276   ↾_s cress 17169   ↾_t crest 17352  TopOpenctopn 17353  ordTopcordt 17432  ℝ^*_𝑠cxrs 17433  Topctop 22852  TopOnctopon 22869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-rest 17354  df-topn 17355  df-topgen 17375  df-ordt 17434  df-xrs 17435  df-ps 18501  df-tsr 18502  df-top 22853  df-topon 22870  df-bases 22905

This theorem is referenced by:  lmxrge0  34134