Theorem pnfneige0 33924

Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 23105. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfneige0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Assertion

Ref	Expression
pnfneige0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11118	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2		simpllr 775	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	1, 2	ifclda 4512	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4		ovif 7447	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5		rexr 11161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
6		0xr 11162	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11169	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
10		iocinif 32725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
12	4, 11	eqtr4id 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
13	12	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14		iocssicc 13340	. . . . . 6 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15		sslin 4194	. . . . . 6 ⊢ ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18		ssin 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
19	18	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21		ssinss1 4197	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3946	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
24	13, 23	eqsstrd 3970	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25		oveq1 7356	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
26	25	sseq1d 3967	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
27	26	rspcev 3577	. . 3 ⊢ ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
28	3, 24, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29		letopon 23090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30		iccssxr 13333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31		resttopon 23046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
33	32	topontopi 22800	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35		ovex 7382	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,]+∞) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37		pnfneige0.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
38		xrge0topn 33916	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
40	39	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42		elrestr 17332	. . . . . . 7 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
43	34, 36, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44		letop 23091	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45		ovex 7382	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
46		restabs 23050	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
47	44, 14, 45, 46	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
48	43, 47	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
49	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50		iocpnfordt 23100	. . . . . . 7 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52		ssidd 3959	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
53		inss2 4189	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
55		restopnb 23060	. . . . . 6 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
56	49, 36, 51, 52, 54, 55	syl23anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
57	48, 56	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
59		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
60		0ltpnf 13024	. . . . . 6 ⊢ 0 < +∞
61		ubioc1 13302	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
62	6, 8, 60, 61	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
64	59, 63	elind 4151	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65		pnfnei 23105	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
66	58, 64, 65	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
67	28, 66	r19.29a 3137	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4476   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  +∞cpnf 11146  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150  (,]cioc 13249  [,]cicc 13251   ↾_s cress 17141   ↾_t crest 17324  TopOpenctopn 17325  ordTopcordt 17403  ℝ^*_𝑠cxrs 17404  Topctop 22778  TopOnctopon 22795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fi 9301  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-rest 17326  df-topn 17327  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-xrs 17406  df-ps 18472  df-tsr 18473  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831

This theorem is referenced by:  lmxrge0  33925