Theorem pnfneige0 33911

Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 23243. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfneige0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Assertion

Ref	Expression
pnfneige0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11261	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2		simpllr 776	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	1, 2	ifclda 4565	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4		ovif 7530	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5		rexr 11304	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
6		0xr 11305	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11312	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
10		iocinif 32789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
12	4, 11	eqtr4id 2793	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
13	12	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14		iocssicc 13473	. . . . . 6 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15		sslin 4250	. . . . . 6 ⊢ ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18		ssin 4246	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
19	18	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21		ssinss1 4253	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 4005	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
24	13, 23	eqsstrd 4033	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25		oveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
26	25	sseq1d 4026	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
27	26	rspcev 3621	. . 3 ⊢ ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
28	3, 24, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29		letopon 23228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30		iccssxr 13466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31		resttopon 23184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
33	32	topontopi 22936	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35		ovex 7463	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,]+∞) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37		pnfneige0.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
38		xrge0topn 33903	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
40	39	eleq2i 2830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42		elrestr 17474	. . . . . . 7 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
43	34, 36, 41, 42	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44		letop 23229	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45		ovex 7463	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
46		restabs 23188	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
47	44, 14, 45, 46	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
48	43, 47	eleqtrdi 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
49	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50		iocpnfordt 23238	. . . . . . 7 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52		ssidd 4018	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
53		inss2 4245	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
55		restopnb 23198	. . . . . 6 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
56	49, 36, 51, 52, 54, 55	syl23anc 1376	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
57	48, 56	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
59		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
60		0ltpnf 13161	. . . . . 6 ⊢ 0 < +∞
61		ubioc1 13436	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
62	6, 8, 60, 61	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
64	59, 63	elind 4209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65		pnfnei 23243	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
66	58, 64, 65	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
67	28, 66	r19.29a 3159	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067  Vcvv 3477   ∩ cin 3961   ⊆ wss 3962  ifcif 4530   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  (,]cioc 13384  [,]cicc 13386   ↾_s cress 17273   ↾_t crest 17466  TopOpenctopn 17467  ordTopcordt 17545  ℝ^*_𝑠cxrs 17546  Topctop 22914  TopOnctopon 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-rest 17468  df-topn 17469  df-topgen 17489  df-ordt 17547  df-xrs 17548  df-ps 18623  df-tsr 18624  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968

This theorem is referenced by:  lmxrge0  33912