Theorem pnfneige0 33941

Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 23107. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
pnfneige0.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))

Assertion

Ref	Expression
pnfneige0	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem pnfneige0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11177	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2		simpllr 775	. . . 4 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ ¬ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
3	1, 2	ifclda 4524	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4		ovif 7487	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5		rexr 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
6		0xr 11221	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
8		pnfxr 11228	. . . . . . . 8 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
10		iocinif 32704	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
11	5, 7, 9, 10	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
12	4, 11	eqtr4id 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
13	12	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14		iocssicc 13398	. . . . . 6 ⊢ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞)
15		sslin 4206	. . . . . 6 ⊢ ((0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
16	14, 15	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18		ssin 4202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
19	18	biimpri 228	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞)))
20	19	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) → (𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴)
21		ssinss1 4209	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(,]+∞) ⊆ 𝐴 → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) ⊆ 𝐴)
23	16, 22	sstrd 3957	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) ⊆ 𝐴)
24	13, 23	eqsstrd 3981	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴)
25		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → (𝑥(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
26	25	sseq1d 3978	. . . 4 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) → ((𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴))
27	26	rspcev 3588	. . 3 ⊢ ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
28	3, 24, 27	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)
29		letopon 23092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
30		iccssxr 13391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
31		resttopon 23048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*) ∧ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*) → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞)))
32	29, 30, 31	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ (TopOn‘(0[,]+∞))
33	32	topontopi 22802	. . . . . . . 8 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top
34	33	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top)
35		ovex 7420	. . . . . . . 8 ⊢ (0(,]+∞) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ V)
37		pnfneige0.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
38		xrge0topn 33933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
39	37, 38	eqtri 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
40	39	eleq2i 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
41	40	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)))
42		elrestr 17391	. . . . . . 7 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
43	34, 36, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)))
44		letop 23093	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
45		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]+∞) ∈ V
46		restabs 23052	. . . . . . 7 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) → (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
47	44, 14, 45, 46	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ (((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞)) ↾t (0(,]+∞)) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))
48	43, 47	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞)))
49	44	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top)
50		iocpnfordt 23102	. . . . . . 7 ⊢ (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
52		ssidd 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞))
53		inss2 4201	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞)
54	53	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))
55		restopnb 23062	. . . . . 6 ⊢ ((((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ (0(,]+∞) ⊆ (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ⊆ (0(,]+∞))) → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
56	49, 36, 51, 52, 54, 55	syl23anc 1379	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0(,]+∞))))
57	48, 56	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐽 → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
58	57	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
59		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ 𝐴)
60		0ltpnf 13082	. . . . . 6 ⊢ 0 < +∞
61		ubioc1 13360	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
62	6, 8, 60, 61	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ +∞ ∈ (0(,]+∞)
63	62	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (0(,]+∞))
64	59, 63	elind 4163	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65		pnfnei 23107	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTop‘ ≤ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
66	58, 64, 65	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) ⊆ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
67	28, 66	r19.29a 3141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑥(,]+∞) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ifcif 4488   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  (,]cioc 13307  [,]cicc 13309   ↾_s cress 17200   ↾_t crest 17383  TopOpenctopn 17384  ordTopcordt 17462  ℝ^*_𝑠cxrs 17463  Topctop 22780  TopOnctopon 22797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-rest 17385  df-topn 17386  df-topgen 17406  df-ordt 17464  df-xrs 17465  df-ps 18525  df-tsr 18526  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833

This theorem is referenced by:  lmxrge0  33942