Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnfneige0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfneige0 33229
Description: A neighborhood of +∞ contains an unbounded interval based at a real number. See pnfnei 22944. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
pnfneige0.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
Assertion
Ref Expression
pnfneige0 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐽(π‘₯)

Proof of Theorem pnfneige0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0red 11221 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ 𝑦 < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
2 simpllr 772 . . . 4 (((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) ∧ Β¬ 𝑦 < 0) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31, 2ifclda 4562 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ)
4 ovif 7508 . . . . . 6 (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞))
5 rexr 11264 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
6 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 0 ∈ ℝ*)
8 pnfxr 11272 . . . . . . . 8 +∞ ∈ ℝ*
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
10 iocinif 32259 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
115, 7, 9, 10syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) = if(𝑦 < 0, (0(,]+∞), (𝑦(,]+∞)))
124, 11eqtr4id 2789 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
1312ad2antlr 723 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) = ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)))
14 iocssicc 13418 . . . . . 6 (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞)
15 sslin 4233 . . . . . 6 ((0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
1614, 15mp1i 13 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)))
17 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
18 ssin 4229 . . . . . . . 8 (((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞)) ↔ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
1918biimpri 227 . . . . . . 7 ((𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) β†’ ((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞)))
2019simpld 493 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) β†’ (𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴)
21 ssinss1 4236 . . . . . 6 ((𝑦(,]+∞) βŠ† 𝐴 β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2217, 20, 213syl 18 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0[,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2316, 22sstrd 3991 . . . 4 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ ((𝑦(,]+∞) ∩ (0(,]+∞)) βŠ† 𝐴)
2413, 23eqsstrd 4019 . . 3 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴)
25 oveq1 7418 . . . . 5 (π‘₯ = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) β†’ (π‘₯(,]+∞) = (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞))
2625sseq1d 4012 . . . 4 (π‘₯ = if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) β†’ ((π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴 ↔ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴))
2726rspcev 3611 . . 3 ((if(𝑦 < 0, 0, 𝑦) ∈ ℝ ∧ (if(𝑦 < 0, 0, 𝑦)(,]+∞) βŠ† 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
283, 24, 27syl2anc 582 . 2 ((((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
29 letopon 22929 . . . . . . . . . 10 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*)
30 iccssxr 13411 . . . . . . . . . 10 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
31 resttopon 22885 . . . . . . . . . 10 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ (TopOnβ€˜β„*) ∧ (0[,]+∞) βŠ† ℝ*) β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞)))
3229, 30, 31mp2an 688 . . . . . . . . 9 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ (TopOnβ€˜(0[,]+∞))
3332topontopi 22637 . . . . . . . 8 ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top)
35 ovex 7444 . . . . . . . 8 (0(,]+∞) ∈ V
3635a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) ∈ V)
37 pnfneige0.j . . . . . . . . . 10 𝐽 = (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞)))
38 xrge0topn 33221 . . . . . . . . . 10 (TopOpenβ€˜(ℝ*𝑠 β†Ύs (0[,]+∞))) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
3937, 38eqtri 2758 . . . . . . . . 9 𝐽 = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))
4039eleq2i 2823 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
4140biimpi 215 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)))
42 elrestr 17378 . . . . . . 7 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞))) β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)))
4334, 36, 41, 42syl3anc 1369 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)))
44 letop 22930 . . . . . . 7 (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top
45 ovex 7444 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ∈ V
46 restabs 22889 . . . . . . 7 (((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) βŠ† (0[,]+∞) ∧ (0[,]+∞) ∈ V) β†’ (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞)))
4744, 14, 45, 46mp3an 1459 . . . . . 6 (((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0[,]+∞)) β†Ύt (0(,]+∞)) = ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))
4843, 47eleqtrdi 2841 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞)))
4944a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top)
50 iocpnfordt 22939 . . . . . . 7 (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ )
5150a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
52 ssidd 4004 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (0(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞))
53 inss2 4228 . . . . . . 7 (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞)
5453a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞))
55 restopnb 22899 . . . . . 6 ((((ordTopβ€˜ ≀ ) ∈ Top ∧ (0(,]+∞) ∈ V) ∧ ((0(,]+∞) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ (0(,]+∞) βŠ† (0(,]+∞) ∧ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) βŠ† (0(,]+∞))) β†’ ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))))
5649, 36, 51, 52, 54, 55syl23anc 1375 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ ((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ↔ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ ((ordTopβ€˜ ≀ ) β†Ύt (0(,]+∞))))
5748, 56mpbird 256 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝐽 β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
5857adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ))
59 simpr 483 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ 𝐴)
60 0ltpnf 13106 . . . . . 6 0 < +∞
61 ubioc1 13381 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 0 < +∞) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
626, 8, 60, 61mp3an 1459 . . . . 5 +∞ ∈ (0(,]+∞)
6362a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ (0(,]+∞))
6459, 63elind 4193 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
65 pnfnei 22944 . . 3 (((𝐴 ∩ (0(,]+∞)) ∈ (ordTopβ€˜ ≀ ) ∧ +∞ ∈ (𝐴 ∩ (0(,]+∞))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6658, 64, 65syl2anc 582 . 2 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ (𝑦(,]+∞) βŠ† (𝐴 ∩ (0(,]+∞)))
6728, 66r19.29a 3160 1 ((𝐴 ∈ 𝐽 ∧ +∞ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ (π‘₯(,]+∞) βŠ† 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  ifcif 4527   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  (,]cioc 13329  [,]cicc 13331   β†Ύs cress 17177   β†Ύt crest 17370  TopOpenctopn 17371  ordTopcordt 17449  β„*𝑠cxrs 17450  Topctop 22615  TopOnctopon 22632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-rest 17372  df-topn 17373  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-xrs 17452  df-ps 18523  df-tsr 18524  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669
This theorem is referenced by:  lmxrge0  33230
  Copyright terms: Public domain W3C validator