Theorem hashneq0 13357

Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashneq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 13334	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		nn0re 11508	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 11525	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4		ne0gt0 10348	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
6	5	bicomd 213	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7		breq2 4791	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8		neeq1 3005	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
9		0ltpnf 12161	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
10		0re 10246	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
11		renepnf 10293	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ +∞
13	12	necomi 2997	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ 0
14	9, 13	2th 254	. . . . . 6 ⊢ (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
15	8, 14	syl6rbbr 279	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
16	7, 15	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
17	6, 16	jaoi 846	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
18	1, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19		hasheq0 13356	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
20	19	necon3bid 2987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
21	18, 20	bitrd 268	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 836   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∅c0 4063   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  ℝcr 10141  0cc0 10142  +∞cpnf 10277   < clt 10280   ≤ cle 10281  ℕ₀cn0 11499  ♯chash 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-hash 13322

This theorem is referenced by:  hashgt0n0  13358  wrdlenge1n0  13536  ccatws1n0  13616  ccatws1n0OLD  13617  swrdlsw  13661  2swrd1eqwrdeq  13663  ccats1swrdeq  13678  ccats1swrdeqrex  13687  wwlksnextinj  27043  clwwlkgt0  27136  clwwlkext2edg  27213  wwlksext2clwwlk  27214  wwlksext2clwwlkOLD  27215  numclwwlk2lem1lem  27525  numclwwlk2lem1lemOLD  27526  tgoldbachgt  31081  pfxsuff1eqwrdeq  41930  ccats1pfxeq  41944