MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashneq0 14400
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 14378 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2 nn0re 12533 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3 nn0ge0 12549 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4 ne0gt0 11364 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
65bicomd 223 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7 breq2 5152 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8 0ltpnf 13162 . . . . . . 7 0 < +∞
9 0re 11261 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
10 renepnf 11307 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≠ +∞
1211necomi 2993 . . . . . . 7 +∞ ≠ 0
138, 122th 264 . . . . . 6 (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
14 neeq1 3001 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
1513, 14bitr4id 290 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
167, 15bitrd 279 . . . 4 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
176, 16jaoi 857 . . 3 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
181, 17syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19 hasheq0 14399 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2019necon3bid 2983 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2118, 20bitrd 279 1 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290   < clt 11293  cle 11294  0cn0 12524  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  14401  wrdlenge1n0  14585  ccatws1n0  14667  swrdlsw  14702  pfxsuff1eqwrdeq  14734  ccats1pfxeq  14749  wwlksnextinj  29929  clwwlkext2edg  30085  wwlksext2clwwlk  30086  numclwwlk2lem1lem  30371  tgoldbachgt  34657  lfuhgr2  35103  unitscyglem5  42181
  Copyright terms: Public domain W3C validator