Theorem hashneq0 14431

Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashneq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14409	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		nn0re 12540	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 12556	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4		ne0gt0 11342	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
6	5	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8		0ltpnf 13176	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
9		0re 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		renepnf 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ +∞
12	11	necomi 3009	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ 0
13	8, 12	2th 267	. . . . . 6 ⊢ (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
14		neeq1 3017	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
15	13, 14	bitr4id 293	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
16	7, 15	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
17	6, 16	jaoi 871	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
18	1, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19		hasheq0 14430	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
20	19	necon3bid 2999	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
21	18, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  ℝcr 11126  0cc0 11127  +∞cpnf 11267   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕ₀cn0 12531  ♯chash 14397

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13565  df-hash 14398

This theorem is used by:  hashgt0n0  14432  wrdlenge1n0  14618  ccatws1n0  14703  swrdlsw  14740  pfxsuff1eqwrdeq  14771  ccats1pfxeq  14786  lfuhgr2  29609  wwlksnextinj  30370  clwwlkext2edg  30529  wwlksext2clwwlk  30530  numclwwlk2lem1lem  30825  tgoldbachgt  35174  unitscyglem5  43068