Theorem hashneq0 14317

Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashneq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14295	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		nn0re 12437	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 12453	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4		ne0gt0 11242	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
6	5	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8		0ltpnf 13064	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
9		0re 11137	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		renepnf 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ +∞
12	11	necomi 2987	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ 0
13	8, 12	2th 264	. . . . . 6 ⊢ (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
14		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
15	13, 14	bitr4id 290	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
16	7, 15	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
17	6, 16	jaoi 858	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
18	1, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19		hasheq0 14316	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
20	19	necon3bid 2977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
21	18, 20	bitrd 279	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167   < clt 11170   ≤ cle 11171  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hashgt0n0  14318  wrdlenge1n0  14503  ccatws1n0  14586  swrdlsw  14621  pfxsuff1eqwrdeq  14652  ccats1pfxeq  14667  wwlksnextinj  29982  clwwlkext2edg  30141  wwlksext2clwwlk  30142  numclwwlk2lem1lem  30427  tgoldbachgt  34823  lfuhgr2  35317  unitscyglem5  42652