Theorem hashneq0 14388

Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hashneq0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashnn0pnf 14366	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2		nn0re 12501	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3		nn0ge0 12517	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4		ne0gt0 11303	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
6	5	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7		breq2 5108	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8		0ltpnf 13135	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
9		0re 11198	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		renepnf 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ +∞
12	11	necomi 3014	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ≠ 0
13	8, 12	2th 267	. . . . . 6 ⊢ (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
14		neeq1 3022	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
15	13, 14	bitr4id 293	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
16	7, 15	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
17	6, 16	jaoi 870	. . 3 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
18	1, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19		hasheq0 14387	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
20	19	necon3bid 3004	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
21	18, 20	bitrd 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∅c0 4288   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  ℝcr 11087  0cc0 11088  +∞cpnf 11228   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℕ₀cn0 12492  ♯chash 14354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-hash 14355

This theorem is referenced by:  hashgt0n0  14389  wrdlenge1n0  14575  ccatws1n0  14658  swrdlsw  14693  pfxsuff1eqwrdeq  14724  ccats1pfxeq  14739  wwlksnextinj  30153  clwwlkext2edg  30312  wwlksext2clwwlk  30313  numclwwlk2lem1lem  30598  tgoldbachgt  34962  lfuhgr2  35477  unitscyglem5  42823