MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashneq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashneq0 14353
Description: Two ways of saying a set is not empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashneq0 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))

Proof of Theorem hashneq0
StepHypRef Expression
1 hashnn0pnf 14331 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞))
2 nn0re 12509 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐴) ∈ ℝ)
3 nn0ge0 12525 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (♯‘𝐴))
4 ne0gt0 11347 . . . . . 6 (((♯‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘𝐴)) → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
52, 3, 4syl2anc 582 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 0 < (♯‘𝐴)))
65bicomd 222 . . . 4 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
7 breq2 5145 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 0 < +∞))
8 0ltpnf 13132 . . . . . . 7 0 < +∞
9 0re 11244 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
10 renepnf 11290 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℝ → 0 ≠ +∞)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 0 ≠ +∞
1211necomi 2985 . . . . . . 7 +∞ ≠ 0
138, 122th 263 . . . . . 6 (0 < +∞ ↔ +∞ ≠ 0)
14 neeq1 2993 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) = +∞ → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
1513, 14bitr4id 289 . . . . 5 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < +∞ ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
167, 15bitrd 278 . . . 4 ((♯‘𝐴) = +∞ → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
176, 16jaoi 855 . . 3 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∨ (♯‘𝐴) = +∞) → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
181, 17syl 17 . 2 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ (♯‘𝐴) ≠ 0))
19 hasheq0 14352 . . 3 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = ∅))
2019necon3bid 2975 . 2 (𝐴𝑉 → ((♯‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
2118, 20bitrd 278 1 (𝐴𝑉 → (0 < (♯‘𝐴) ↔ 𝐴 ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2930  c0 4316   class class class wbr 5141  cfv 6541  cr 11135  0cc0 11136  +∞cpnf 11273   < clt 11276  cle 11277  0cn0 12500  chash 14319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-hash 14320
This theorem is referenced by:  hashgt0n0  14354  wrdlenge1n0  14530  ccatws1n0  14612  swrdlsw  14647  pfxsuff1eqwrdeq  14679  ccats1pfxeq  14694  wwlksnextinj  29726  clwwlkext2edg  29882  wwlksext2clwwlk  29883  numclwwlk2lem1lem  30168  tgoldbachgt  34324  lfuhgr2  34757
  Copyright terms: Public domain W3C validator