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Theorem fourierdlem111 45418
Description: The fourier partial sum for 𝐹 is the sum of two integrals, with the same integrand involving 𝐹 and the Dirichlet Kernel 𝐷, but on two opposite intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem111.a 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑑))) d𝑑 / Ο€))
fourierdlem111.b 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑑))) d𝑑 / Ο€))
fourierdlem111.s 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
fourierdlem111.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem111.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem111.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem111.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem111.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem111.6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem111.fper ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem111.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
fourierdlem111.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem111.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem111.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem111.t 𝑇 = (2 Β· Ο€)
fourierdlem111.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem111.14 π‘Š = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem111 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š,𝑛   𝐡,π‘š   𝐷,𝑖,π‘š,𝑦   𝐷,𝑠,𝑑,𝑖,𝑦   π‘₯,𝐷,𝑖,𝑠,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑠,𝑑,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑛   𝑖,𝐺,𝑠,π‘₯   𝐿,𝑠,𝑑   π‘₯,𝐿   𝑖,𝑀,π‘š,𝑝   𝑀,𝑠,𝑑,𝑦   π‘₯,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠,𝑑,𝑦   π‘₯,𝑄   𝑅,𝑠,𝑑   π‘₯,𝑅   𝑇,𝑠,π‘₯   𝑖,π‘Š,π‘š,𝑝   π‘Š,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑖,𝑋,π‘š,𝑛,𝑦   𝑋,𝑝   𝑋,𝑠,𝑑   π‘₯,𝑋   πœ‘,𝑖,π‘š,𝑛,𝑦   πœ‘,𝑠,𝑑   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑝)   𝐴(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐡(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑖,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐷(𝑛,𝑝)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(π‘š,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑆(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑇(𝑦,𝑑,𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐹(π‘š,𝑝)   𝐺(𝑦,𝑑,π‘š,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑦,𝑖,π‘š,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑑,𝑖,π‘š,𝑛,𝑠,𝑝)   π‘Š(𝑑,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem111
Dummy variables π‘˜ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2813 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↔ 𝑛 ∈ β„•))
21anbi2d 628 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)))
3 fveq2 6881 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = (π‘†β€˜π‘›))
4 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (π·β€˜π‘˜) = (π·β€˜π‘›))
54fveq1d 6883 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋)))
65oveq2d 7417 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))))
76adantr 480 . . . . . . 7 ((π‘˜ = 𝑛 ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) = ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))))
87itgeq2dv 25633 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑)
93, 8eqeq12d 2740 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π‘†β€˜π‘˜) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 ↔ (π‘†β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑))
102, 9imbi12d 344 . . . 4 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑)))
11 fourierdlem111.6 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1211adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
13 eqid 2724 . . . . 5 (-Ο€(,)Ο€) = (-Ο€(,)Ο€)
14 ioossre 13382 . . . . . . . . 9 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† ℝ)
1611, 15feqresmpt 6951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
17 ioossicc 13407 . . . . . . . . 9 (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
19 ioombl 25416 . . . . . . . . 9 (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-Ο€(,)Ο€) ∈ dom vol)
2111adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
22 pire 26310 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ
2322renegcli 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 -Ο€ ∈ ℝ
2423, 22elicc2i 13387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↔ (𝑑 ∈ ℝ ∧ -Ο€ ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ Ο€))
2524simp1bi 1142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
2625ssriv 3978 . . . . . . . . . . 11 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
2827sselda 3974 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2921, 28ffvelcdmd 7077 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3011, 27feqresmpt 6951 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) = (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
31 fourierdlem111.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘β€˜π‘š) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
32 fourierdlem111.m . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
33 fourierdlem111.q . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
34 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3611, 35fssd 6725 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
3736, 27fssresd 6748 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)):(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
38 ioossicc 13407 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
3923rexri 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 -Ο€ ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ -Ο€ ∈ ℝ*)
4122rexri 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ Ο€ ∈ ℝ*)
4331, 32, 33fourierdlem15 45323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(-Ο€[,]Ο€))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4640, 42, 44, 45fourierdlem8 45316 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
4738, 46sstrid 3985 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
4847resabs1d 6002 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
49 fourierdlem111.fcn . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
5048, 49eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
51 fourierdlem111.r . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
5248oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
5351, 52eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
54 fourierdlem111.l . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
5548oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
5654, 55eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
5731, 32, 33, 37, 50, 53, 56fourierdlem69 45376 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) ∈ 𝐿1)
5830, 57eqeltrrd 2826 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
5918, 20, 29, 58iblss 25656 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€(,)Ο€) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
6016, 59eqeltrd 2825 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ 𝐿1)
6160adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€(,)Ο€)) ∈ 𝐿1)
62 fourierdlem111.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑑))) d𝑑 / Ο€))
63 fourierdlem111.b . . . . 5 𝐡 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑑))) d𝑑 / Ο€))
64 fourierdlem111.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
6564adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
66 fourierdlem111.s . . . . 5 𝑆 = (π‘š ∈ β„• ↦ (((π΄β€˜0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...π‘š)(((π΄β€˜π‘›) Β· (cosβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))) + ((π΅β€˜π‘›) Β· (sinβ€˜(𝑛 Β· 𝑋))))))
67 fourierdlem111.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
68 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
6912, 13, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68fourierdlem83 45390 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘˜) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘˜)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑)
7010, 69chvarvv 1994 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑)
7123a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
7222a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
7336adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
7425adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
7573, 74ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7675adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
7767dirkerf 45298 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
7877ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
7964adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
8074, 79resubcld 11639 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
8180adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑑 βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
8278, 81ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
8382recnd 11239 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋)) ∈ β„‚)
8476, 83mulcld 11231 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) ∈ β„‚)
8571, 72, 84itgioo 25667 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 = ∫(-Ο€[,]Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑)
86 fvres 6900 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) = (πΉβ€˜π‘‘))
8786eqcomd 2730 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘))
8887oveq1d 7416 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))))
8988adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) = (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))))
9089itgeq2dv 25633 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€[,]Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 = ∫(-Ο€[,]Ο€)(((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑)
91 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑛 = π‘š)
9291oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝑛) = (2 Β· π‘š))
9392oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· 𝑛) + 1) = ((2 Β· π‘š) + 1))
9493oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)) = (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)))
9591oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) = (π‘š + (1 / 2)))
9695oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦) = ((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦))
9796fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) = (sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)))
9897oveq1d 7416 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))) = ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))
9994, 98ifeq12d 4541 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = π‘š ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))) = if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))
10099mpteq2dva 5238 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
101100cbvmptv 5251 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2))))))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
10267, 101eqtri 2752 . . . . . 6 𝐷 = (π‘š ∈ β„• ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· π‘š) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((π‘š + (1 / 2)) Β· 𝑦)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑦 / 2)))))))
103 fveq2 6881 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘ ) = ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘))
104 oveq1 7408 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑑 β†’ (𝑠 βˆ’ 𝑋) = (𝑑 βˆ’ 𝑋))
105104fveq2d 6885 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 βˆ’ 𝑋)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋)))
106103, 105oveq12d 7419 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑑 β†’ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘ ) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 βˆ’ 𝑋))) = (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))))
107106cbvmptv 5251 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘ ) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 βˆ’ 𝑋)))) = (𝑑 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))))
10833adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
10932adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
110 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
11164adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
11237adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)):(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„‚)
11350adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
11453adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
11556adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€)) β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
116102, 31, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115fourierdlem101 45408 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€[,]Ο€)(((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦)
117 oveq2 7409 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑦 β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑦))
118117fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
119 fveq2 6881 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
120118, 119oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
121120cbvitgv 25628 . . . . . . 7 ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦
122121a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦)
12323a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
124123, 64resubcld 11639 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
125124adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
12622a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
127126, 64resubcld 11639 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
128127adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
12936adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
13064adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
131 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋)))
132124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
133127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
134 elicc2 13386 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (Ο€ βˆ’ 𝑋))))
135132, 133, 134syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (Ο€ βˆ’ 𝑋))))
136131, 135mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ (Ο€ βˆ’ 𝑋)))
137136simp1d 1139 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
138130, 137readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
139129, 138ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) ∈ β„‚)
140139adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) ∈ β„‚)
14177ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
142137adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
143141, 142ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
144143recnd 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦) ∈ β„‚)
145140, 144mulcld 11231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
146125, 128, 145itgioo 25667 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦)
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
14822a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
14964recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
150126recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
151150negcld 11555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ -Ο€ ∈ β„‚)
152149, 151pncan3d 11571 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑋 + (-Ο€ βˆ’ 𝑋)) = -Ο€)
153152eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ -Ο€ = (𝑋 + (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ -Ο€ = (𝑋 + (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))
155136simp2d 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ≀ 𝑦)
156132, 137, 130, 155leadd2dd 11826 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + (-Ο€ βˆ’ 𝑋)) ≀ (𝑋 + 𝑦))
157154, 156eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ -Ο€ ≀ (𝑋 + 𝑦))
158136simp3d 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑦 ≀ (Ο€ βˆ’ 𝑋))
159137, 133, 130, 158leadd2dd 11826 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ≀ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ 𝑋)))
160149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
161150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
162160, 161pncan3d 11571 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + (Ο€ βˆ’ 𝑋)) = Ο€)
163159, 162breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ≀ Ο€)
164147, 148, 138, 157, 163eliccd 44702 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ∈ (-Ο€[,]Ο€))
165 fvres 6900 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑦) ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
167166eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)))
168167adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)))
169168oveq1d 7416 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
170169itgeq2dv 25633 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦)
171122, 146, 1703eqtrrd 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜(𝑋 + 𝑦)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) d𝑦 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
172116, 171eqtrd 2764 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€[,]Ο€)(((𝐹 β†Ύ (-Ο€[,]Ο€))β€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
17385, 90, 1723eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜π‘‘) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑑 βˆ’ 𝑋))) d𝑑 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
174 elioore 13351 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
175174adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
17636adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
17764adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
178174adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
179177, 178readdcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
180176, 179ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
181180adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
18277ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
183182, 175ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
184183recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
185181, 184mulcld 11231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
186 fourierdlem111.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
187 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + 𝑠))
188187fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
189 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
190188, 189oveq12d 7419 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
191190cbvmptv 5251 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
192186, 191eqtri 2752 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
193192fvmpt2 6999 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
194175, 185, 193syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
195194eqcomd 2730 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (πΊβ€˜π‘ ))
196195itgeq2dv 25633 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
19736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
19864adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
200198, 199readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ)
201197, 200ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) ∈ β„‚)
202201adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) ∈ β„‚)
20377adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
204203ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
205204recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
206202, 205mulcld 11231 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
207206, 186fmptd 7105 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
208207adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
209124adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
210127adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
211 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋)))
212 eliccre 44703 . . . . . . . . . 10 (((-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
213209, 210, 211, 212syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
214213adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
215208, 214ffvelcdmd 7077 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
216125, 128, 215itgioo 25667 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠)
217 fveq2 6881 . . . . . . 7 (𝑠 = π‘₯ β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘₯))
218217cbvitgv 25628 . . . . . 6 ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯
219216, 218eqtrdi 2780 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
220196, 219eqtrd 2764 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
221 eqid 2724 . . . . . . 7 ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)) = ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋))
222111renegcld 11638 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑋 ∈ ℝ)
223 fourierdlem111.o . . . . . . 7 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘β€˜π‘š) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
22431fourierdlem2 45310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
22532, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
22633, 225mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
227226simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
228 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
229227, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
230229ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
23164adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
232230, 231resubcld 11639 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0...𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
233 fourierdlem111.14 . . . . . . . . . . . 12 π‘Š = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
234232, 233fmptd 7105 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Š:(0...𝑀)βŸΆβ„)
235 reex 11197 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
236 ovex 7434 . . . . . . . . . . . . 13 (0...𝑀) ∈ V
237235, 236pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V)
238 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) β†’ (π‘Š ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ π‘Š:(0...𝑀)βŸΆβ„))
239237, 238mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ π‘Š:(0...𝑀)βŸΆβ„))
240234, 239mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
241233a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Š = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)))
242 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜0))
243226simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
244243simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = -Ο€ ∧ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€))
245244simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = -Ο€)
246242, 245sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = -Ο€)
247246oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋))
248 0zd 12567 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
24932nnzd 12582 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
250 0red 11214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ∈ ℝ)
251 nnre 12216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
252 nngt0 12240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑀)
253250, 251, 252ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ β„• β†’ 0 ≀ 𝑀)
25432, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
255 eluz2 12825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ↔ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 ≀ 𝑀))
256248, 249, 254, 255syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
257 eluzfz1 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
259241, 247, 258, 124fvmptd 6995 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋))
260 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘€))
261244simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = Ο€)
262260, 261sylan9eqr 2786 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = Ο€)
263262oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 = 𝑀) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = (Ο€ βˆ’ 𝑋))
264 eluzfz2 13506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
265256, 264syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
266241, 263, 265, 127fvmptd 6995 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Šβ€˜π‘€) = (Ο€ βˆ’ 𝑋))
267259, 266jca 511 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Šβ€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘Šβ€˜π‘€) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)))
268229adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
269 elfzofz 13645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
270269adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
271268, 270ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
272 fzofzp1 13726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
273272adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
274268, 273ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
27564adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
276243simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
277276r19.21bi 3240 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
278271, 274, 275, 277ltsub1dd 11823 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) < ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
279270, 232syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
280233fvmpt2 6999 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
281270, 279, 280syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋))
282 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜π‘—))
283282oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) = ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
284283cbvmptv 5251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
285233, 284eqtri 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 π‘Š = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋))
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ π‘Š = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋)))
287 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
288287oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
289288adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) β†’ ((π‘„β€˜π‘—) βˆ’ 𝑋) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
290274, 275resubcld 11639 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
291286, 289, 273, 290fvmptd 6995 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) = ((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋))
292278, 281, 2913brtr4d 5170 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
293292ralrimiva 3138 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘Šβ€˜π‘–) < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
294240, 267, 293jca32 515 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘Šβ€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘Šβ€˜π‘€) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘Šβ€˜π‘–) < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
295223fourierdlem2 45310 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„• β†’ (π‘Š ∈ (π‘‚β€˜π‘€) ↔ (π‘Š ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘Šβ€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘Šβ€˜π‘€) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘Šβ€˜π‘–) < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))))
29632, 295syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Š ∈ (π‘‚β€˜π‘€) ↔ (π‘Š ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘Šβ€˜0) = (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∧ (π‘Šβ€˜π‘€) = (Ο€ βˆ’ 𝑋)) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘Šβ€˜π‘–) < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))))
297294, 296mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
298297adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Š ∈ (π‘‚β€˜π‘€))
299150, 151, 149nnncan2d 11603 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)) = (Ο€ βˆ’ -Ο€))
300 picn 26311 . . . . . . . . . . . . . 14 Ο€ ∈ β„‚
3013002timesi 12347 . . . . . . . . . . . . 13 (2 Β· Ο€) = (Ο€ + Ο€)
302 fourierdlem111.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (2 Β· Ο€)
303300, 300subnegi 11536 . . . . . . . . . . . . 13 (Ο€ βˆ’ -Ο€) = (Ο€ + Ο€)
304301, 302, 3033eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (Ο€ βˆ’ -Ο€)
305299, 304eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)) = 𝑇)
306305oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋))) = (π‘₯ + 𝑇))
307306fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
308307ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
309 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
310186fvmpt2 6999 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
311309, 206, 310syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
312149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
313199recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
314 2re 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
315314, 22remulcli 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
316302, 315eqeltri 2821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℝ
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
318317recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
319318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
320312, 313, 319addassd 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 + π‘₯) + 𝑇) = (𝑋 + (π‘₯ + 𝑇)))
321320eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + (π‘₯ + 𝑇)) = ((𝑋 + π‘₯) + 𝑇))
322321fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + π‘₯) + 𝑇)))
323 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ πœ‘)
324323, 200jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ))
325 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ))
326325anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ)))
327 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ (𝑠 + 𝑇) = ((𝑋 + π‘₯) + 𝑇))
328327fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ (πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = (πΉβ€˜((𝑋 + π‘₯) + 𝑇)))
329 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
330328, 329eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ ((πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘ ) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 + π‘₯) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
331326, 330imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑋 + π‘₯) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘ )) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + π‘₯) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))))
332 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ 𝑠 ∈ ℝ))
333332anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ)))
334 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘₯ + 𝑇) = (𝑠 + 𝑇))
335334fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)))
336 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘ ))
337335, 336eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘ )))
338333, 337imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘ ))))
339 fourierdlem111.fper . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
340338, 339chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘ ))
341331, 340vtoclg 3535 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + π‘₯) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
342200, 324, 341sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + π‘₯) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
343322, 342eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))))
344343adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))))
34567, 302dirkerper 45297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
346345eqcomd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇)))
347346adantll 711 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇)))
348344, 347oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇))))
349192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
350 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (π‘₯ + 𝑇)))
351350fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))))
352 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇)))
353351, 352oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (π‘₯ + 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇))))
354353adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑠 = (π‘₯ + 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇))))
355316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
356309, 355readdcld 11240 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
357316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
358199, 357readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑇) ∈ ℝ)
359198, 358readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + (π‘₯ + 𝑇)) ∈ ℝ)
360197, 359ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) ∈ β„‚)
361360adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) ∈ β„‚)
36277ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
363362, 356ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ ℝ)
364363recnd 11239 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇)) ∈ β„‚)
365361, 364mulcld 11231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇))) ∈ β„‚)
366349, 354, 356, 365fvmptd 6995 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇))))
367366eqcomd 2730 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (π‘₯ + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘₯ + 𝑇))) = (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)))
368311, 348, 3673eqtrrd 2769 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΊβ€˜π‘₯))
369308, 368eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯ + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))) = (πΊβ€˜π‘₯))
370192reseq1i 5967 . . . . . . . . . 10 (𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
371370a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
372 ioossre 13382 . . . . . . . . . 10 ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
373 resmpt 6027 . . . . . . . . . 10 (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ β†’ ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
374372, 373ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
375371, 374eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))))
376271rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
377376adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
378274rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
379378adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
38064adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
381 elioore 13351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
382381adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
383380, 382readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
384383adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
385 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↔ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
386385anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))))
387187breq2d 5150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + π‘₯) ↔ (π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠)))
388386, 387imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + π‘₯)) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))))
389149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
390281, 279eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
391390recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ β„‚)
392389, 391addcomd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((π‘Šβ€˜π‘–) + 𝑋))
393281oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–) + 𝑋) = (((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
394271recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ β„‚)
395394, 389npcand 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘„β€˜π‘–))
396392, 393, 3953eqtrrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)))
397396adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)))
398390adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
399 elioore 13351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
400399adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
40164ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
402390rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
403402adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
404291, 290eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
405404rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
406405adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
407 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
408 ioogtlb 44693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) < π‘₯)
409403, 406, 407, 408syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) < π‘₯)
410398, 400, 401, 409ltadd2dd 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)) < (𝑋 + π‘₯))
411397, 410eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + π‘₯))
412388, 411chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑠))
413187breq1d 5148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((𝑋 + π‘₯) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ↔ (𝑋 + 𝑠) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
414386, 413imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↔ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
415404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
416 iooltub 44708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
417403, 406, 407, 416syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
418400, 415, 401, 417ltadd2dd 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) < (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
419404recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
420389, 419addcomd 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋))
421291oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
422274recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„‚)
423422, 389npcand 11572 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘„β€˜(𝑖 + 1)) βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
424420, 421, 4233eqtrd 2768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
425424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
426418, 425breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
427414, 426chvarvv 1994 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
428377, 379, 384, 412, 427eliood 44696 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
429187cbvmptv 5251 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑠))
430429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑠)))
431 ioossre 13382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
43311, 432feqresmpt 6951 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
434433adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
435 fveq2 6881 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
436428, 430, 434, 435fmptco 7119 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))))
437 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯))
438 ssid 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ βŠ† β„‚
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
440439, 149, 439constcncfg 45073 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
441 cncfmptid 24755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„‚ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
442438, 438, 441mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ π‘₯) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
444440, 443addcncf 25294 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
445444adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
446 ioosscn 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
447446a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
448 ioosscn 13383 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚
449448a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
450376adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
451378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
45264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
453399adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
454452, 453readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ)
455454adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ ℝ)
456450, 451, 455, 411, 426eliood 44696 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
457437, 445, 447, 449, 456cncfmptssg 45072 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
458457, 49cncfco 24749 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
459436, 458eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
460459adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
461 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
46277feqmptd 6950 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
463 cncfss 24741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚))
46434, 438, 463mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ–cn→ℝ) βŠ† (ℝ–cnβ†’β„‚)
46567dirkercncf 45308 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
466464, 465sselid 3972 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
467462, 466eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚))
468372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
469438a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
470 cncff 24735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cnβ†’β„‚) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„‚)
471466, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„‚)
472471adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„‚)
473381adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
474472, 473ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
475461, 467, 468, 469, 474cncfmptssg 45072 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
476475ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
477460, 476mulcncf 25296 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
478375, 477eqeltrd 2825 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
479453, 201syldan 590 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) ∈ β„‚)
480479adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) ∈ β„‚)
481 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))
482480, 481fmptd 7105 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))):((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
483482adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))):((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
48477ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
485372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
486484, 485fssresd 6748 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))):((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„)
48734a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
488486, 487fssd 6725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))):((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
489 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )))
490 fdm 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹:β„βŸΆβ„‚ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
49136, 490syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = ℝ)
492431, 491sseqtrrid 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹)
493 ssdmres 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
494492, 493sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
495494eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
496495ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
497456, 496eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
498271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
499498, 411gtned 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) β‰  (π‘„β€˜π‘–))
500 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜π‘–)}) ↔ ((𝑋 + π‘₯) ∈ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑋 + π‘₯) β‰  (π‘„β€˜π‘–)))
501497, 499, 500sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜π‘–)}))
502501ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))(𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜π‘–)}))
503 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))
504503rnmptss 7114 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))(𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜π‘–)}) β†’ ran (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜π‘–)}))
505502, 504syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ran (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜π‘–)}))
506 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)))
507 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (π‘Šβ€˜π‘–) β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)))
508507adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘Šβ€˜π‘–)) β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)))
509390leidd 11777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ≀ (π‘Šβ€˜π‘–))
510390, 404, 292ltled 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ≀ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
511390, 404, 390, 509, 510eliccd 44702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
512396, 271eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)) ∈ ℝ)
513506, 508, 511, 512fvmptd 6995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)))
514396eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)) = (π‘„β€˜π‘–))
515513, 514eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)))
516390, 404iccssred 13408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
517516, 34sstrdi 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚)
518517resmptd 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)))
519 rescncf 24739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† β„‚ β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)))
520517, 445, 519sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
521518, 520eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
522521, 511cnlimci 25740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
523515, 522eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
524 ioossicc 13407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
525 resmpt 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)))
526524, 525ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))
527526eqcomi 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
528527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
529528oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
530149ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
531390adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
532404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
533 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
534 eliccre 44703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ ∧ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
535531, 532, 533, 534syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
536535recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
537530, 536addcld 11230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ β„‚)
538 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))
539537, 538fmptd 7105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)):((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
540390, 404, 292, 539limciccioolb 44822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
541529, 540eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
542523, 541eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
543505, 542, 51limccog 44821 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ (((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
54436, 432fssresd 6748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
545544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
546456, 503fmptd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)):((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))⟢((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
547 fcompt 7123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))):((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)):((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))⟢((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) = (𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦))))
548545, 546, 547syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) = (𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦))))
549 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)))
550 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + 𝑦))
551550adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = 𝑦) β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + 𝑦))
552 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
55364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
554372, 552sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
555553, 554readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
556549, 551, 552, 555fvmptd 6995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦) = (𝑋 + 𝑦))
557556fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑦)))
558557adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦)) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑦)))
559376adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
560378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
561555adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
562396adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)))
563390adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
564554adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
56564ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
566402adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ*)
567405adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
568 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
569 ioogtlb 44693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) < 𝑦)
570566, 567, 568, 569syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) < 𝑦)
571563, 564, 565, 570ltadd2dd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜π‘–)) < (𝑋 + 𝑦))
572562, 571eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (𝑋 + 𝑦))
573404adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
574 iooltub 44708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
575566, 567, 568, 574syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑦 < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
576564, 573, 565, 575ltadd2dd 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑦) < (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
577424adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
578576, 577breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑦) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
579559, 560, 561, 572, 578eliood 44696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + 𝑦) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
580 fvres 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑦)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
581579, 580syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜(𝑋 + 𝑦)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
582558, 581eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
583582mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦))) = (𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦))))
584550fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
585584cbvmptv 5251 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) = (𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑦)))
586583, 585eqtr4di 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑦 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜π‘¦))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
587548, 586eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
588587oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
589543, 588eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
590589adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
591 fvres 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)))
592511, 591syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)))
593592eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)))
594593adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)))
595516adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ)
596465ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
597 rescncf 24739 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ℝ β†’ ((π·β€˜π‘›) ∈ (ℝ–cn→ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)))
598595, 596, 597sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
599511adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
600598, 599cnlimci 25740 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) ∈ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
601594, 600eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) ∈ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
602524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
603602resabs1d 6002 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
604603eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
605604oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
606605adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
607390adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) ∈ ℝ)
608404adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
609292adantlr 712 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜π‘–) < (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
610471ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„‚)
611610, 595fssresd 6748 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))):((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))βŸΆβ„‚)
612607, 608, 609, 611limciccioolb 44822 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
613606, 612eqtr2d 2765 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
614601, 613eleqtrd 2827 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–)) ∈ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
615483, 488, 489, 590, 614mullimcf 44824 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
616 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))))
617188adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∧ π‘₯ = 𝑠) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
618 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
61936adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
620619, 383ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
621620adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
622616, 617, 618, 621fvmptd 6995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
623622adantllr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
624 fvres 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
625624adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
626623, 625oveq12d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
627626eqcomd 2730 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )))
628627mpteq2dva 5238 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))))
629375, 628eqtr2d 2765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))) = (𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
630629oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
631615, 630eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑅 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜π‘–))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜π‘–)))
632455, 426ltned 11347 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
633 eldifsn 4782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑋 + π‘₯) ∈ dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑋 + π‘₯) β‰  (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
634497, 632, 633sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†’ (𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜(𝑖 + 1))}))
635634ralrimiva 3138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))(𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜(𝑖 + 1))}))
636503rnmptss 7114 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))(𝑋 + π‘₯) ∈ (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜(𝑖 + 1))}) β†’ ran (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜(𝑖 + 1))}))
637635, 636syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ran (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) βŠ† (dom (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) βˆ– {(π‘„β€˜(𝑖 + 1))}))
638404leidd 11777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ≀ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))
639390, 404, 404, 510, 638eliccd 44702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
640521, 639cnlimci 25740 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
641 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
642641adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ π‘₯ = (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
643275, 404readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
644506, 642, 639, 643fvmptd 6995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (𝑋 + (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
645644, 424eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
646528oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
647390, 404, 292, 539limcicciooub 44838 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
648646, 647eqtr2d 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
649640, 645, 6483eltr3d 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯)) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
650637, 649, 54limccog 44821 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ (((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
651587oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∘ (π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
652650, 651eleqtrd 2827 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
653652adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
654639adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
655598, 654cnlimci 25740 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ∈ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
656 fvres 6900 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
657654, 656syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
658607, 608, 609, 611limcicciooub 44838 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
659658eqcomd 2730 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
660 resabs1 6001 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
661524, 660mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) = ((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))))
662661oveq1d 7416 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
663659, 662eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)[,](π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
664655, 657, 6633eltr3d 2839 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ∈ (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
665483, 488, 489, 653, 664mullimcf 44824 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
666629oveq1d 7416 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝑠 ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (((π‘₯ ∈ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) ↦ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)))β€˜π‘ ) Β· (((π·β€˜π‘›) β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))) = ((𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
667665, 666eleqtrd 2827 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐿 Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 β†Ύ ((π‘Šβ€˜π‘–)(,)(π‘Šβ€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘Šβ€˜(𝑖 + 1))))
668125, 128, 221, 222, 223, 109, 298, 207, 369, 478, 631, 667fourierdlem110 45417 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋)[,]((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
669668eqcomd 2730 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋)[,]((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
670124recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
671670, 149subnegd 11575 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋) = ((-Ο€ βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
672151, 149npcand 11572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = -Ο€)
673671, 672eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋) = -Ο€)
674127recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (Ο€ βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
675674, 149subnegd 11575 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋) = ((Ο€ βˆ’ 𝑋) + 𝑋))
676150, 149npcand 11572 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((Ο€ βˆ’ 𝑋) + 𝑋) = Ο€)
677675, 676eqtrd 2764 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋) = Ο€)
678673, 677oveq12d 7419 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋)[,]((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋)) = (-Ο€[,]Ο€))
679678itgeq1d 45158 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ∫(((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋)[,]((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(-Ο€[,]Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
680679adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(((-Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋)[,]((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ -𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(-Ο€[,]Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
681669, 680eqtrd 2764 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)[,](Ο€ βˆ’ 𝑋))(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(-Ο€[,]Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
682 fveq2 6881 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘ ))
683682cbvitgv 25628 . . . . 5 ∫(-Ο€(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠
684207adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
68528adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
686684, 685ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
68771, 72, 686itgioo 25667 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(-Ο€[,]Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯)
688 elioore 13351 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
689688adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
69036adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
69164adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
692688adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
693691, 692readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
694690, 693ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
695694adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
69677ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
697696, 689ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
698697recnd 11239 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
699695, 698mulcld 11231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
700689, 699, 193syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€(,)Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
701700itgeq2dv 25633 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
702683, 687, 7013eqtr3a 2788 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€[,]Ο€)(πΊβ€˜π‘₯) dπ‘₯ = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
703220, 681, 7023eqtrd 2768 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫((-Ο€ βˆ’ 𝑋)(,)(Ο€ βˆ’ 𝑋))((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
70470, 173, 7033eqtrd 2768 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠)
70572renegcld 11638 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
706 0red 11214 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
707 0re 11213 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
708 negpilt0 44475 . . . . . 6 -Ο€ < 0
70923, 707, 708ltleii 11334 . . . . 5 -Ο€ ≀ 0
710709a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -Ο€ ≀ 0)
711 pipos 26312 . . . . . 6 0 < Ο€
712707, 22, 711ltleii 11334 . . . . 5 0 ≀ Ο€
713712a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ Ο€)
71471, 72, 706, 710, 713eliccd 44702 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
715 ioossicc 13407 . . . . 5 (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0)
716715a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€(,)0) βŠ† (-Ο€[,]0))
717 ioombl 25416 . . . . 5 (-Ο€(,)0) ∈ dom vol
718717a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (-Ο€(,)0) ∈ dom vol)
71936adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
72064adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
72123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) β†’ -Ο€ ∈ ℝ)
722 0red 11214 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) β†’ 0 ∈ ℝ)
723 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0))
724 eliccre 44703 . . . . . . . . . 10 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
725721, 722, 723, 724syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
726725adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
727720, 726readdcld 11240 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
728719, 727ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
729728adantlr 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) ∈ β„‚)
73077ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
731725adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
732730, 731ffvelcdmd 7077 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
733732recnd 11239 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ) ∈ β„‚)
734729, 733mulcld 11231 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
735731, 734, 193syl2anc 583 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
736735eqcomd 2730 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]0)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (πΊβ€˜π‘ ))
737736mpteq2dva 5238 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
738305oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑠 + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋))) = (𝑠 + 𝑇))
739738ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑠 + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋))) = (𝑠 + 𝑇))
740739fveq2d 6885 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(𝑠 + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))) = (πΊβ€˜(𝑠 + 𝑇)))
741186a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
742 oveq2 7409 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑠 + 𝑇) β†’ (𝑋 + π‘₯) = (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)))
743742fveq2d 6885 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑠 + 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) = (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))))
744 fveq2 6881 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑠 + 𝑇) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇)))
745743, 744oveq12d 7419 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑠 + 𝑇) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇))))
746745adantl 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ = (𝑠 + 𝑇)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + π‘₯)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇))))
747 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
748316a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
749747, 748readdcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑠 + 𝑇) ∈ ℝ)
750749adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑠 + 𝑇) ∈ ℝ)
75136adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
75264adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
753752, 749readdcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)) ∈ ℝ)
754751, 753ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) ∈ β„‚)
755754adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) ∈ β„‚)
75677ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (π·β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
757756, 750ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇)) ∈ ℝ)
758757recnd 11239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇)) ∈ β„‚)
759755, 758mulcld 11231 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇))) ∈ β„‚)
760741, 746, 750, 759fvmptd 6995 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(𝑠 + 𝑇)) = ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇))))
761149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
762747recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
763318adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
764761, 762, 763addassd 11233 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇) = (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)))
765764eqcomd 2730 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)) = ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇))
766765fveq2d 6885 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (πΉβ€˜((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)))
767752, 747readdcld 11240 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
768 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ πœ‘)
769768, 767jca 511 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ))
770 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ))
771770anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)))
772 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ (π‘₯ + 𝑇) = ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇))
773772fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)))
774773, 435eqeq12d 2740 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ ((πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))))
775771, 774imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑋 + 𝑠) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯)) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))))
776775, 339vtoclg 3535 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠))))
777767, 769, 776sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
778766, 777eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
779778adantlr 712 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)))
78067, 302dirkerper 45297 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
781780adantll 711 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇)) = ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))
782779, 781oveq12d 7419 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇))) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
783 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
784782, 759eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
785783, 784, 193syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
786785eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (πΊβ€˜π‘ ))
787782, 786eqtrd 2764 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜(𝑠 + 𝑇))) = (πΊβ€˜π‘ ))
788740, 760, 7873eqtrd 2768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜(𝑠 + ((Ο€ βˆ’ 𝑋) βˆ’ (-Ο€ βˆ’ 𝑋)))) = (πΊβ€˜π‘ ))
789 0ltpnf 13099 . . . . . . . 8 0 < +∞
790 pnfxr 11265 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
791 elioo2 13362 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (0 ∈ (-Ο€(,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ < 0 ∧ 0 < +∞)))
79239, 790, 791mp2an 689 . . . . . . . 8 (0 ∈ (-Ο€(,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -Ο€ < 0 ∧ 0 < +∞))
793707, 708, 789, 792mpbir3an 1338 . . . . . . 7 0 ∈ (-Ο€(,)+∞)
794793a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ (-Ο€(,)+∞))
795223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 71, 794fourierdlem105 45412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
796737, 795eqeltrd 2825 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]0) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
797716, 718, 734, 796iblss 25656 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€(,)0) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
798 elioore 13351 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
799798adantl 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
800799, 784syldan 590 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) ∈ β„‚)
801799, 800, 193syl2anc 583 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )))
802801eqcomd 2730 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)Ο€)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) = (πΊβ€˜π‘ ))
803802mpteq2dva 5238 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
804 ioossicc 13407 . . . . . 6 (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€)
805804a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0(,)Ο€) βŠ† (0[,]Ο€))
806 ioombl 25416 . . . . . 6 (0(,)Ο€) ∈ dom vol
807806a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (0(,)Ο€) ∈ dom vol)
808207adantr 480 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„‚)
809 0red 11214 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 0 ∈ ℝ)
81022a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
811 simpr 484 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€))
812 eliccre 44703 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
813809, 810, 811, 812syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
814813adantlr 712 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
815808, 814ffvelcdmd 7077 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
816 0xr 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
817816a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ*)
818790a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
819711a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 0 < Ο€)
820 ltpnf 13097 . . . . . . . 8 (Ο€ ∈ ℝ β†’ Ο€ < +∞)
82122, 820mp1i 13 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ < +∞)
822817, 818, 72, 819, 821eliood 44696 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ο€ ∈ (0(,)+∞))
823223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 706, 822fourierdlem105 45412 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
824805, 807, 815, 823iblss 25656 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
825803, 824eqeltrd 2825 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (0(,)Ο€) ↦ ((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
826705, 72, 714, 699, 797, 825itgsplitioo 25689 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ∫(-Ο€(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
827704, 826eqtrd 2764 1 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘†β€˜π‘›) = (∫(-Ο€(,)0)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠 + ∫(0(,)Ο€)((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) Β· ((π·β€˜π‘›)β€˜π‘ )) d𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  {crab 3424  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  ifcif 4520  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  ran crn 5667   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11242  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  β„•0cn0 12469  β„€cz 12555  β„€β‰₯cuz 12819  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  Ξ£csu 15629  sincsin 16004  cosccos 16005  Ο€cpi 16007  β€“cnβ†’ccncf 24718  volcvol 25314  πΏ1cibl 25468  βˆ«citg 25469   limβ„‚ climc 25713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-symdif 4234  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-t1 23140  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-ovol 25315  df-vol 25316  df-mbf 25470  df-itg1 25471  df-itg2 25472  df-ibl 25473  df-itg 25474  df-0p 25521  df-ditg 25698  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  fourierdlem112  45419
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