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Theorem fourierdlem111 44868
Description: The fourier partial sum for 𝐹 is the sum of two integrals, with the same integrand involving 𝐹 and the Dirichlet Kernel 𝐷, but on two opposite intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem111.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (cos‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
fourierdlem111.b 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (sin‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
fourierdlem111.s 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
fourierdlem111.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
fourierdlem111.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem111.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem111.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem111.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem111.6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem111.fper ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem111.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
fourierdlem111.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem111.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem111.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem111.t 𝑇 = (2 · π)
fourierdlem111.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem111.14 𝑊 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem111 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚,𝑛   𝐵,𝑚   𝐷,𝑖,𝑚,𝑦   𝐷,𝑠,𝑡,𝑖,𝑦   𝑥,𝐷,𝑖,𝑠,𝑦   𝑖,𝐹,𝑛,𝑠,𝑡,𝑦   𝑥,𝐹,𝑛   𝑖,𝐺,𝑠,𝑥   𝐿,𝑠,𝑡   𝑥,𝐿   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑀,𝑠,𝑡,𝑦   𝑥,𝑀   𝑄,𝑖,𝑝   𝑄,𝑠,𝑡,𝑦   𝑥,𝑄   𝑅,𝑠,𝑡   𝑥,𝑅   𝑇,𝑠,𝑥   𝑖,𝑊,𝑚,𝑝   𝑊,𝑠,𝑥,𝑦   𝑖,𝑋,𝑚,𝑛,𝑦   𝑋,𝑝   𝑋,𝑠,𝑡   𝑥,𝑋   𝜑,𝑖,𝑚,𝑛,𝑦   𝜑,𝑠,𝑡   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑝)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑠,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑛,𝑠,𝑝)   𝐷(𝑛,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑄(𝑚,𝑛)   𝑅(𝑦,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑇(𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐹(𝑚,𝑝)   𝐺(𝑦,𝑡,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑛)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑡,𝑖,𝑚,𝑛,𝑠,𝑝)   𝑊(𝑡,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem111
Dummy variables 𝑘 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ ℕ))
21anbi2d 630 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ↔ (𝜑𝑛 ∈ ℕ)))
3 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → (𝑆𝑘) = (𝑆𝑛))
4 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑛))
54fveq1d 6890 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)))
65oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
76adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑛𝑡 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) = ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
87itgeq2dv 25281 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑛 → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
93, 8eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑆𝑘) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 ↔ (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡))
102, 9imbi12d 345 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡) ↔ ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)))
11 fourierdlem111.6 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1211adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13 eqid 2733 . . . . 5 (-π(,)π) = (-π(,)π)
14 ioossre 13381 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ ℝ
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ ℝ)
1611, 15feqresmpt 6957 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) = (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹𝑥)))
17 ioossicc 13406 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π(,)π) ⊆ (-π[,]π))
19 ioombl 25064 . . . . . . . . 9 (-π(,)π) ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π(,)π) ∈ dom vol)
2111adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 pire 25950 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ
2322renegcli 11517 . . . . . . . . . . . . . 14 -π ∈ ℝ
2423, 22elicc2i 13386 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↔ (𝑡 ∈ ℝ ∧ -π ≤ 𝑡𝑡 ≤ π))
2524simp1bi 1146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → 𝑡 ∈ ℝ)
2625ssriv 3985 . . . . . . . . . . 11 (-π[,]π) ⊆ ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
2827sselda 3981 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2921, 28ffvelcdmd 7083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3011, 27feqresmpt 6957 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹𝑥)))
31 fourierdlem111.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = -π ∧ (𝑝𝑚) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
32 fourierdlem111.m . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
33 fourierdlem111.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
34 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3611, 35fssd 6732 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
3736, 27fssresd 6755 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
38 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1)))
3923rexri 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 -π ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → -π ∈ ℝ*)
4122rexri 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ*
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → π ∈ ℝ*)
4331, 32, 33fourierdlem15 44773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
4443adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶(-π[,]π))
45 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
4640, 42, 44, 45fourierdlem8 44766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)[,](𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4738, 46sstrid 3992 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ (-π[,]π))
4847resabs1d 6010 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
49 fourierdlem111.fcn . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
5048, 49eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
51 fourierdlem111.r . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5248oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
5351, 52eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
54 fourierdlem111.l . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5548oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5654, 55eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
5731, 32, 33, 37, 50, 53, 56fourierdlem69 44826 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π[,]π)) ∈ 𝐿1)
5830, 57eqeltrrd 2835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5918, 20, 29, 58iblss 25304 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π(,)π) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
6016, 59eqeltrd 2834 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
6160adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π(,)π)) ∈ 𝐿1)
62 fourierdlem111.a . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (cos‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
63 fourierdlem111.b . . . . 5 𝐵 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · (sin‘(𝑛 · 𝑡))) d𝑡 / π))
64 fourierdlem111.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
6564adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
66 fourierdlem111.s . . . . 5 𝑆 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝐴‘0) / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)(((𝐴𝑛) · (cos‘(𝑛 · 𝑋))) + ((𝐵𝑛) · (sin‘(𝑛 · 𝑋))))))
67 fourierdlem111.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
68 simpr 486 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
6912, 13, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 68fourierdlem83 44840 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝑆𝑘) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑘)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
7010, 69chvarvv 2003 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
7123a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
7222a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
7336adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
7425adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑡 ∈ ℝ)
7573, 74ffvelcdmd 7083 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
7675adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
7767dirkerf 44748 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
7877ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
7964adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
8074, 79resubcld 11638 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
8180adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → (𝑡𝑋) ∈ ℝ)
8278, 81ffvelcdmd 7083 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℝ)
8382recnd 11238 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)) ∈ ℂ)
8476, 83mulcld 11230 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) ∈ ℂ)
8571, 72, 84itgioo 25315 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
86 fvres 6907 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) = (𝐹𝑡))
8786eqcomd 2739 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → (𝐹𝑡) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡))
8887oveq1d 7419 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (-π[,]π) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
8988adantl 483 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑡 ∈ (-π[,]π)) → ((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
9089itgeq2dv 25281 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫(-π[,]π)(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡)
91 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → 𝑛 = 𝑚)
9291oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑚))
9392oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑚) + 1))
9493oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)) = (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)))
9591oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑚 + (1 / 2)))
9695oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦) = ((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦))
9796fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) = (sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)))
9897oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
9994, 98ifeq12d 4548 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑚𝑦 ∈ ℝ) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
10099mpteq2dva 5247 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
101100cbvmptv 5260 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
10267, 101eqtri 2761 . . . . . 6 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑚) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑚 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
103 fveq2 6888 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑠) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡))
104 oveq1 7411 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑡 → (𝑠𝑋) = (𝑡𝑋))
105104fveq2d 6892 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑡 → ((𝐷𝑛)‘(𝑠𝑋)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋)))
106103, 105oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑡 → (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑠) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠𝑋))) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
107106cbvmptv 5260 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑠) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠𝑋)))) = (𝑡 ∈ (-π[,]π) ↦ (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))))
10833adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
10932adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
110 simpr 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
11164adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
11237adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 ↾ (-π[,]π)):(-π[,]π)⟶ℂ)
11350adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
11453adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
11556adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ (-π[,]π)) ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
116102, 31, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115fourierdlem101 44858 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
117 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + 𝑦))
118117fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
119 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑦 → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑦))
120118, 119oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑦 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)))
121120cbvitgv 25276 . . . . . . 7 ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦
122121a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
12323a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -π ∈ ℝ)
124123, 64resubcld 11638 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
125124adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
12622a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
127126, 64resubcld 11638 . . . . . . . 8 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
128127adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
12936adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
13064adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
131 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
132124adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
133127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
134 elicc2 13385 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (π − 𝑋))))
135132, 133, 134syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (π − 𝑋))))
136131, 135mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (-π − 𝑋) ≤ 𝑦𝑦 ≤ (π − 𝑋)))
137136simp1d 1143 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ∈ ℝ)
138130, 137readdcld 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
139129, 138ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℂ)
140139adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) ∈ ℂ)
14177ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
142137adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ∈ ℝ)
143141, 142ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑦) ∈ ℝ)
144143recnd 11238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑦) ∈ ℂ)
145140, 144mulcld 11230 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) ∈ ℂ)
146125, 128, 145itgioo 25315 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
14723a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ∈ ℝ)
14822a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℝ)
14964recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
150126recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → π ∈ ℂ)
151150negcld 11554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → -π ∈ ℂ)
152149, 151pncan3d 11570 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 + (-π − 𝑋)) = -π)
153152eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
154153adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π = (𝑋 + (-π − 𝑋)))
155136simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ≤ 𝑦)
156132, 137, 130, 155leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (-π − 𝑋)) ≤ (𝑋 + 𝑦))
157154, 156eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → -π ≤ (𝑋 + 𝑦))
158136simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑦 ≤ (π − 𝑋))
159137, 133, 130, 158leadd2dd 11825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ≤ (𝑋 + (π − 𝑋)))
160149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℂ)
161150adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → π ∈ ℂ)
162160, 161pncan3d 11570 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + (π − 𝑋)) = π)
163159, 162breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ≤ π)
164147, 148, 138, 157, 163eliccd 44152 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ (-π[,]π))
165 fvres 6907 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 + 𝑦) ∈ (-π[,]π) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
166164, 165syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
167166eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)))
168167adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) = ((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)))
169168oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) = (((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)))
170169itgeq2dv 25281 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦)
171122, 146, 1703eqtrrd 2778 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘(𝑋 + 𝑦)) · ((𝐷𝑛)‘𝑦)) d𝑦 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
172116, 171eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)(((𝐹 ↾ (-π[,]π))‘𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
17385, 90, 1723eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)((𝐹𝑡) · ((𝐷𝑛)‘(𝑡𝑋))) d𝑡 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
174 elioore 13350 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋)) → 𝑠 ∈ ℝ)
175174adantl 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
17636adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
17764adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝑋 ∈ ℝ)
178174adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
179177, 178readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
180176, 179ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
181180adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
18277ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
183182, 175ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
184183recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
185181, 184mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
186 fourierdlem111.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
187 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑠))
188187fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
189 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
190188, 189oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
191190cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
192186, 191eqtri 2761 . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
193192fvmpt2 7005 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
194175, 185, 193syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
195194eqcomd 2739 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
196195itgeq2dv 25281 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠)
19736adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
19864adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
199 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
200198, 199readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
201197, 200ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
202201adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
20377adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
204203ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
205204recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
206202, 205mulcld 11230 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) ∈ ℂ)
207206, 186fmptd 7109 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
208207adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
209124adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (-π − 𝑋) ∈ ℝ)
210127adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (π − 𝑋) ∈ ℝ)
211 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋)))
212 eliccre 44153 . . . . . . . . . 10 (((-π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ (π − 𝑋) ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
213209, 210, 211, 212syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
214213adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → 𝑠 ∈ ℝ)
215208, 214ffvelcdmd 7083 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
216125, 128, 215itgioo 25315 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠)
217 fveq2 6888 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑥 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑥))
218217cbvitgv 25276 . . . . . 6 ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥
219216, 218eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
220196, 219eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
221 eqid 2733 . . . . . . 7 ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)) = ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))
222111renegcld 11637 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -𝑋 ∈ ℝ)
223 fourierdlem111.o . . . . . . 7 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑝𝑚) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
22431fourierdlem2 44760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
22532, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
22633, 225mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
227226simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
228 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
229227, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
230229ffvelcdmda 7082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
23164adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
232230, 231resubcld 11638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
233 fourierdlem111.14 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋))
234232, 233fmptd 7109 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊:(0...𝑀)⟶ℝ)
235 reex 11197 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
236 ovex 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (0...𝑀) ∈ V
237235, 236pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V)
238 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ∈ V ∧ (0...𝑀) ∈ V) → (𝑊 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑊:(0...𝑀)⟶ℝ))
239237, 238mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑊:(0...𝑀)⟶ℝ))
240234, 239mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
241233a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 = (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋)))
242 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 0 → (𝑄𝑖) = (𝑄‘0))
243226simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
244243simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑄‘0) = -π ∧ (𝑄𝑀) = π))
245244simpld 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄‘0) = -π)
246242, 245sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 0) → (𝑄𝑖) = -π)
247246oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = 0) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) = (-π − 𝑋))
248 0zd 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
24932nnzd 12581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
250 0red 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ∈ ℝ)
251 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
252 nngt0 12239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
253250, 251, 252ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑀)
25432, 253syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
255 eluz2 12824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
256248, 249, 254, 255syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
257 eluzfz1 13504 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑀))
258256, 257syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
259241, 247, 258, 124fvmptd 7001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊‘0) = (-π − 𝑋))
260 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑀 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑀))
261244simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑄𝑀) = π)
262260, 261sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → (𝑄𝑖) = π)
263262oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 = 𝑀) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) = (π − 𝑋))
264 eluzfz2 13505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
265256, 264syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
266241, 263, 265, 127fvmptd 7001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑊𝑀) = (π − 𝑋))
267259, 266jca 513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)))
268229adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
269 elfzofz 13644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
270269adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (0...𝑀))
271268, 270ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
272 fzofzp1 13725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
273272adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
274268, 273ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
27564adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℝ)
276243simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
277276r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
278271, 274, 275, 277ltsub1dd 11822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) < ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
279270, 232syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ)
280233fvmpt2 7005 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ (0...𝑀) ∧ ((𝑄𝑖) − 𝑋) ∈ ℝ) → (𝑊𝑖) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
281270, 279, 280syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) = ((𝑄𝑖) − 𝑋))
282 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝑗 → (𝑄𝑖) = (𝑄𝑗))
283282oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑄𝑖) − 𝑋) = ((𝑄𝑗) − 𝑋))
284283cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑖) − 𝑋)) = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋))
285233, 284eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋))
286285a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑊 = (𝑗 ∈ (0...𝑀) ↦ ((𝑄𝑗) − 𝑋)))
287 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = (𝑖 + 1) → (𝑄𝑗) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
288287oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑖 + 1) → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
289288adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑗 = (𝑖 + 1)) → ((𝑄𝑗) − 𝑋) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
290274, 275resubcld 11638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) ∈ ℝ)
291286, 289, 273, 290fvmptd 7001 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋))
292278, 281, 2913brtr4d 5179 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
293292ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
294240, 267, 293jca32 517 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))))
295223fourierdlem2 44760 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑊 ∈ (𝑂𝑀) ↔ (𝑊 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1))))))
29632, 295syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑊 ∈ (𝑂𝑀) ↔ (𝑊 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑊‘0) = (-π − 𝑋) ∧ (𝑊𝑀) = (π − 𝑋)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1))))))
297294, 296mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ (𝑂𝑀))
298297adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ (𝑂𝑀))
299150, 151, 149nnncan2d 11602 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)) = (π − -π))
300 picn 25951 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
3013002timesi 12346 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · π) = (π + π)
302 fourierdlem111.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (2 · π)
303300, 300subnegi 11535 . . . . . . . . . . . . 13 (π − -π) = (π + π)
304301, 302, 3033eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (π − -π)
305299, 304eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)) = 𝑇)
306305oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))) = (𝑥 + 𝑇))
307306fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺‘(𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
308307ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
309 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
310186fvmpt2 7005 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) ∈ ℂ) → (𝐺𝑥) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
311309, 206, 310syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺𝑥) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)))
312149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
313199recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
314 2re 12282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
315314, 22remulcli 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) ∈ ℝ
316302, 315eqeltri 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 ∈ ℝ
317316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
318317recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
319318adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
320312, 313, 319addassd 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑥) + 𝑇) = (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)))
321320eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)) = ((𝑋 + 𝑥) + 𝑇))
322321fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)))
323 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝜑)
324323, 200jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ))
325 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝑠 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ))
326325anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)))
327 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝑠 + 𝑇) = ((𝑋 + 𝑥) + 𝑇))
328327fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)))
329 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (𝐹𝑠) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
330328, 329eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → ((𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠) ↔ (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
331326, 330imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑋 + 𝑥) → (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))))
332 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ ℝ ↔ 𝑠 ∈ ℝ))
333332anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑𝑠 ∈ ℝ)))
334 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 + 𝑇) = (𝑠 + 𝑇))
335334fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)))
336 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
337335, 336eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠)))
338333, 337imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠))))
339 fourierdlem111.fper . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
340338, 339chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑠 + 𝑇)) = (𝐹𝑠))
341331, 340vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
342200, 324, 341sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑥) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
343322, 342eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))))
344343adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))))
34567, 302dirkerper 44747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐷𝑛)‘𝑥))
346345eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)))
347346adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)))
348344, 347oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
349192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
350 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑋 + 𝑠) = (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)))
351350fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))))
352 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)))
353351, 352oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = (𝑥 + 𝑇) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
354353adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑠 = (𝑥 + 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
355316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
356309, 355readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
357316a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
358199, 357readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
359198, 358readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑥 + 𝑇)) ∈ ℝ)
360197, 359ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
361360adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
36277ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
363362, 356ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℝ)
364363recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
365361, 364mulcld 11230 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))) ∈ ℂ)
366349, 354, 356, 365fvmptd 7001 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))))
367366eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑥 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑥 + 𝑇))) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
368311, 348, 3673eqtrrd 2778 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐺𝑥))
369308, 368eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑥 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺𝑥))
370192reseq1i 5975 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
371370a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
372 ioossre 13381 . . . . . . . . . 10 ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
373 resmpt 6035 . . . . . . . . . 10 (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
374372, 373ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
375371, 374eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
376271rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
377376adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
378274rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
379378adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
38064adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
381 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) → 𝑠 ∈ ℝ)
382381adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
383380, 382readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
384383adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
385 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↔ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
386385anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))))
387187breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑥) ↔ (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑠)))
388386, 387imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑥)) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑠))))
389149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑋 ∈ ℂ)
390281, 279eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
391390recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℂ)
392389, 391addcomd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) = ((𝑊𝑖) + 𝑋))
393281oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖) + 𝑋) = (((𝑄𝑖) − 𝑋) + 𝑋))
394271recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ℂ)
395394, 389npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄𝑖) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑄𝑖))
396392, 393, 3953eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
397396adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
398390adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
399 elioore 13350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
400399adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
40164ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
402390rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ*)
403402adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ*)
404291, 290eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
405404rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
406405adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
407 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
408 ioogtlb 44143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑥)
409403, 406, 407, 408syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑥)
410398, 400, 401, 409ltadd2dd 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) < (𝑋 + 𝑥))
411397, 410eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑥))
412388, 411chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑠))
413187breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑋 + 𝑥) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑋 + 𝑠) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))
414386, 413imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) < (𝑄‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
415404adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
416 iooltub 44158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
417403, 406, 407, 416syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
418400, 415, 401, 417ltadd2dd 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) < (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
419404recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
420389, 419addcomd 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑊‘(𝑖 + 1)) + 𝑋))
421291oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊‘(𝑖 + 1)) + 𝑋) = (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋))
422274recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
423422, 389npcand 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑄‘(𝑖 + 1)) − 𝑋) + 𝑋) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
424420, 421, 4233eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
425424adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
426418, 425breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
427414, 426chvarvv 2003 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
428377, 379, 384, 412, 427eliood 44146 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
429187cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑠))
430429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑠)))
431 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
43311, 432feqresmpt 6957 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
434433adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹𝑥)))
435 fveq2 6888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
436428, 430, 434, 435fmptco 7122 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
437 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥))
438 ssid 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
439438a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
440439, 149, 439constcncfg 44523 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑋) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
441 cncfmptid 24411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
442438, 438, 441mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
443442a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
444440, 443addcncf 24943 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
445444adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
446 ioosscn 13382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
447446a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
448 ioosscn 13382 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ
449448a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
450376adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
451378adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
45264adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
453399adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
454452, 453readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
455454adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℝ)
456450, 451, 455, 411, 426eliood 44146 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
457437, 445, 447, 449, 456cncfmptssg 44522 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
458457, 49cncfco 24405 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
459436, 458eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
460459adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
461 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠))
46277feqmptd 6956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
463 cncfss 24397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
46434, 438, 463mp2an 691 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
46567dirkercncf 44758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
466464, 465sselid 3979 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
467462, 466eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (ℝ–cn→ℂ))
468372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
469438a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
470 cncff 24391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℂ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
471466, 470syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
472471adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
473381adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ℝ)
474472, 473ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
475461, 467, 468, 469, 474cncfmptssg 44522 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
476475ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
477460, 476mulcncf 24945 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
478375, 477eqeltrd 2834 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
479453, 201syldan 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
480479adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) ∈ ℂ)
481 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))
482480, 481fmptd 7109 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
483482adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
48477ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
485372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
486484, 485fssresd 6755 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℝ)
48734a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ℝ ⊆ ℂ)
488486, 487fssd 6732 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
489 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠)))
490 fdm 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
49136, 490syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
492431, 491sseqtrrid 4034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹)
493 ssdmres 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) ⊆ dom 𝐹 ↔ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
494492, 493sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
495494eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
496495ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
497456, 496eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))))
498271adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ)
499498, 411gtned 11345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄𝑖))
500 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}) ↔ ((𝑋 + 𝑥) ∈ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄𝑖)))
501497, 499, 500sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
502501ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
503 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))
504503rnmptss 7117 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
505502, 504syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄𝑖)}))
506 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
507 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑊𝑖) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
508507adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑊𝑖)) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
509390leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ≤ (𝑊𝑖))
510390, 404, 292ltled 11358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ≤ (𝑊‘(𝑖 + 1)))
511390, 404, 390, 509, 510eliccd 44152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
512396, 271eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) ∈ ℝ)
513506, 508, 511, 512fvmptd 7001 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊𝑖)) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
514396eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) = (𝑄𝑖))
515513, 514eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊𝑖)))
516390, 404iccssred 13407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
517516, 34sstrdi 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ)
518517resmptd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
519 rescncf 24395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)))
520517, 445, 519sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
521518, 520eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
522521, 511cnlimci 25388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊𝑖)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
523515, 522eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
524 ioossicc 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))
525 resmpt 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
526524, 525ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))
527526eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
528527a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
529528oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)) = (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
530149ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℂ)
531390adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
532404adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
533 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
534 eliccre 44153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
535531, 532, 533, 534syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
536535recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
537530, 536addcld 11229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ ℂ)
538 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))
539537, 538fmptd 7109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)):((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
540390, 404, 292, 539limciccioolb 44272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
541529, 540eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
542523, 541eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄𝑖) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊𝑖)))
543505, 542, 51limccog 44271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
54436, 432fssresd 6755 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
545544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
546456, 503fmptd 7109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
547 fcompt 7126 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))):((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ ∧ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)):((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))))
548545, 546, 547syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))))
549 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)))
550 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
551550adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + 𝑦))
552 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
55364adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
554372, 552sselid 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
555553, 554readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
556549, 551, 552, 555fvmptd 7001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦) = (𝑋 + 𝑦))
557556fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)))
558557adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)))
559376adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) ∈ ℝ*)
560378adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
561555adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ℝ)
562396adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) = (𝑋 + (𝑊𝑖)))
563390adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
564554adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
56564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑋 ∈ ℝ)
566402adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ*)
567405adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*)
568 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
569 ioogtlb 44143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑦)
570566, 567, 568, 569syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊𝑖) < 𝑦)
571563, 564, 565, 570ltadd2dd 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊𝑖)) < (𝑋 + 𝑦))
572562, 571eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑄𝑖) < (𝑋 + 𝑦))
573404adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
574 iooltub 44158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊𝑖) ∈ ℝ* ∧ (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
575566, 567, 568, 574syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑦 < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
576564, 573, 565, 575ltadd2dd 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) < (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
577424adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
578576, 577breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
579559, 560, 561, 572, 578eliood 44146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑦) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))
580 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 + 𝑦) ∈ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
581579, 580syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘(𝑋 + 𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
582558, 581eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
583582mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦))))
584550fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
585584cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑦)))
586583, 585eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑦 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))))‘((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘𝑦))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
587548, 586eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
588587oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
589543, 588eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
590589adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊𝑖)))
591 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊𝑖) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)))
592511, 591syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)))
593592eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)))
594593adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)))
595516adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ)
596465ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
597 rescncf 24395 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ℝ → ((𝐷𝑛) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ)))
598595, 596, 597sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))–cn→ℝ))
599511adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
600598, 599cnlimci 25388 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊𝑖)) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
601594, 600eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
602524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
603602resabs1d 6010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
604603eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
605604oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
606605adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
607390adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) ∈ ℝ)
608404adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
609292adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊𝑖) < (𝑊‘(𝑖 + 1)))
610471ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℂ)
611610, 595fssresd 6755 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))):((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))⟶ℂ)
612607, 608, 609, 611limciccioolb 44272 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
613606, 612eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
614601, 613eleqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖)) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
615483, 488, 489, 590, 614mullimcf 44274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊𝑖)))
616 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) = (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))))
617188adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∧ 𝑥 = 𝑠) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
618 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))
61936adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
620619, 383ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
621620adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
622616, 617, 618, 621fvmptd 7001 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
623622adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
624 fvres 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
625624adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
626623, 625oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠)) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
627626eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠)))
628627mpteq2dva 5247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))))
629375, 628eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) = (𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
630629oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊𝑖)) = ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
631615, 630eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑅 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊𝑖))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊𝑖)))
632455, 426ltned 11346 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1)))
633 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) ↔ ((𝑋 + 𝑥) ∈ dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝑋 + 𝑥) ≠ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
634497, 632, 633sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) → (𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
635634ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
636503rnmptss 7117 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))(𝑋 + 𝑥) ∈ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
637635, 636syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ran (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ⊆ (dom (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∖ {(𝑄‘(𝑖 + 1))}))
638404leidd 11776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ≤ (𝑊‘(𝑖 + 1)))
639390, 404, 404, 510, 638eliccd 44152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
640521, 639cnlimci 25388 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
641 oveq2 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑊‘(𝑖 + 1)) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
642641adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑥 = (𝑊‘(𝑖 + 1))) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
643275, 404readdcld 11239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ ℝ)
644506, 642, 639, 643fvmptd 7001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑋 + (𝑊‘(𝑖 + 1))))
645644, 424eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = (𝑄‘(𝑖 + 1)))
646528oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
647390, 404, 292, 539limcicciooub 44288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
648646, 647eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
649640, 645, 6483eltr3d 2848 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥)) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
650637, 649, 54limccog 44271 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
651587oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∘ (𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
652650, 651eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
653652adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
654639adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))
655598, 654cnlimci 25388 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
656 fvres 6907 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘(𝑖 + 1)) ∈ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1))))
657654, 656syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))))‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1))))
658607, 608, 609, 611limcicciooub 44288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
659658eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
660 resabs1 6009 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ⊆ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1))) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
661524, 660mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) = ((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))))
662661oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
663659, 662eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)[,](𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
664655, 657, 6633eltr3d 2848 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1))) ∈ (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
665483, 488, 489, 653, 664mullimcf 44274 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
666629oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝑠 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (((𝑥 ∈ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))) ↦ (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)))‘𝑠) · (((𝐷𝑛) ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1))))‘𝑠))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))) = ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
667665, 666eleqtrd 2836 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐿 · ((𝐷𝑛)‘(𝑊‘(𝑖 + 1)))) ∈ ((𝐺 ↾ ((𝑊𝑖)(,)(𝑊‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑊‘(𝑖 + 1))))
668125, 128, 221, 222, 223, 109, 298, 207, 369, 478, 631, 667fourierdlem110 44867 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
669668eqcomd 2739 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥)
670124recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (-π − 𝑋) ∈ ℂ)
671670, 149subnegd 11574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π − 𝑋) − -𝑋) = ((-π − 𝑋) + 𝑋))
672151, 149npcand 11571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((-π − 𝑋) + 𝑋) = -π)
673671, 672eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((-π − 𝑋) − -𝑋) = -π)
674127recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (π − 𝑋) ∈ ℂ)
675674, 149subnegd 11574 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π − 𝑋) − -𝑋) = ((π − 𝑋) + 𝑋))
676150, 149npcand 11571 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((π − 𝑋) + 𝑋) = π)
677675, 676eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((π − 𝑋) − -𝑋) = π)
678673, 677oveq12d 7422 . . . . . . 7 (𝜑 → (((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋)) = (-π[,]π))
679678itgeq1d 44608 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
680679adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(((-π − 𝑋) − -𝑋)[,]((π − 𝑋) − -𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
681669, 680eqtrd 2773 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)[,](π − 𝑋))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
682 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑠))
683682cbvitgv 25276 . . . . 5 ∫(-π(,)π)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠
684207adantr 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
68528adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
686684, 685ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
68771, 72, 686itgioo 25315 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥)
688 elioore 13350 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (-π(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
689688adantl 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
69036adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
69164adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑋 ∈ ℝ)
692688adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
693691, 692readdcld 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
694690, 693ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
695694adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
69677ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
697696, 689ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
698697recnd 11238 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
699695, 698mulcld 11230 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
700689, 699, 193syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
701700itgeq2dv 25281 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
702683, 687, 7013eqtr3a 2797 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π[,]π)(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
703220, 681, 7023eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫((-π − 𝑋)(,)(π − 𝑋))((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
70470, 173, 7033eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠)
70572renegcld 11637 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ∈ ℝ)
706 0red 11213 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
707 0re 11212 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
708 negpilt0 43925 . . . . . 6 -π < 0
70923, 707, 708ltleii 11333 . . . . 5 -π ≤ 0
710709a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -π ≤ 0)
711 pipos 25952 . . . . . 6 0 < π
712707, 22, 711ltleii 11333 . . . . 5 0 ≤ π
713712a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ≤ π)
71471, 72, 706, 710, 713eliccd 44152 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ (-π[,]π))
715 ioossicc 13406 . . . . 5 (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0)
716715a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ⊆ (-π[,]0))
717 ioombl 25064 . . . . 5 (-π(,)0) ∈ dom vol
718717a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (-π(,)0) ∈ dom vol)
71936adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
72064adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑋 ∈ ℝ)
72123a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → -π ∈ ℝ)
722 0red 11213 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → 0 ∈ ℝ)
723 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → 𝑠 ∈ (-π[,]0))
724 eliccre 44153 . . . . . . . . . 10 ((-π ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
725721, 722, 723, 724syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (-π[,]0) → 𝑠 ∈ ℝ)
726725adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
727720, 726readdcld 11239 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
728719, 727ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
729728adantlr 714 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℂ)
73077ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
731725adantl 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → 𝑠 ∈ ℝ)
732730, 731ffvelcdmd 7083 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
733732recnd 11238 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
734729, 733mulcld 11230 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
735731, 734, 193syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
736735eqcomd 2739 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]0)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
737736mpteq2dva 5247 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝐺𝑠)))
738305oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))) = (𝑠 + 𝑇))
739738ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋))) = (𝑠 + 𝑇))
740739fveq2d 6892 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺‘(𝑠 + 𝑇)))
741186a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥))))
742 oveq2 7412 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → (𝑋 + 𝑥) = (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)))
743742fveq2d 6892 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) = (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))))
744 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → ((𝐷𝑛)‘𝑥) = ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)))
745743, 744oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑠 + 𝑇) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))))
746745adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = (𝑠 + 𝑇)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑥)) · ((𝐷𝑛)‘𝑥)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))))
747 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
748316a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
749747, 748readdcld 11239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 + 𝑇) ∈ ℝ)
750749adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 + 𝑇) ∈ ℝ)
75136adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
75264adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℝ)
753752, 749readdcld 11239 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)) ∈ ℝ)
754751, 753ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) ∈ ℂ)
755754adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) ∈ ℂ)
75677ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐷𝑛):ℝ⟶ℝ)
757756, 750ffvelcdmd 7083 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) ∈ ℝ)
758757recnd 11238 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) ∈ ℂ)
759755, 758mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))) ∈ ℂ)
760741, 746, 750, 759fvmptd 7001 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑠 + 𝑇)) = ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))))
761149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ ℂ)
762747recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
763318adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
764761, 762, 763addassd 11232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇) = (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)))
765764eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + (𝑠 + 𝑇)) = ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇))
766765fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)))
767752, 747readdcld 11239 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
768 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝜑)
769768, 767jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ))
770 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑥 ∈ ℝ ↔ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ))
771770anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)))
772 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝑥 + 𝑇) = ((𝑋 + 𝑠) + 𝑇))
773772fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)))
774773, 435eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
775771, 774imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑋 + 𝑠) → (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))))
776775, 339vtoclg 3556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠))))
777767, 769, 776sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘((𝑋 + 𝑠) + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
778766, 777eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
779778adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) = (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)))
78067, 302dirkerper 44747 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
781780adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇)) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
782779, 781oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
783 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
784782, 759eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
785783, 784, 193syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
786785eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
787782, 786eqtrd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐹‘(𝑋 + (𝑠 + 𝑇))) · ((𝐷𝑛)‘(𝑠 + 𝑇))) = (𝐺𝑠))
788740, 760, 7873eqtrd 2777 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝐺‘(𝑠 + ((π − 𝑋) − (-π − 𝑋)))) = (𝐺𝑠))
789 0ltpnf 13098 . . . . . . . 8 0 < +∞
790 pnfxr 11264 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
791 elioo2 13361 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-π(,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < +∞)))
79239, 790, 791mp2an 691 . . . . . . . 8 (0 ∈ (-π(,)+∞) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -π < 0 ∧ 0 < +∞))
793707, 708, 789, 792mpbir3an 1342 . . . . . . 7 0 ∈ (-π(,)+∞)
794793a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ (-π(,)+∞))
795223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 71, 794fourierdlem105 44862 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
796737, 795eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
797716, 718, 734, 796iblss 25304 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π(,)0) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
798 elioore 13350 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (0(,)π) → 𝑠 ∈ ℝ)
799798adantl 483 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
800799, 784syldan 592 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) ∈ ℂ)
801799, 800, 193syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → (𝐺𝑠) = ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
802801eqcomd 2739 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0(,)π)) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) = (𝐺𝑠))
803802mpteq2dva 5247 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)))
804 ioossicc 13406 . . . . . 6 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
805804a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
806 ioombl 25064 . . . . . 6 (0(,)π) ∈ dom vol
807806a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (0(,)π) ∈ dom vol)
808207adantr 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝐺:ℝ⟶ℂ)
809 0red 11213 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → 0 ∈ ℝ)
81022a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → π ∈ ℝ)
811 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ (0[,]π))
812 eliccre 44153 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
813809, 810, 811, 812syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
814813adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
815808, 814ffvelcdmd 7083 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (0[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
816 0xr 11257 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
817816a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ*)
818790a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → +∞ ∈ ℝ*)
819711a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 0 < π)
820 ltpnf 13096 . . . . . . . 8 (π ∈ ℝ → π < +∞)
82122, 820mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π < +∞)
822817, 818, 72, 819, 821eliood 44146 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ (0(,)+∞))
823223, 221, 109, 298, 207, 788, 478, 631, 667, 706, 822fourierdlem105 44862 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
824805, 807, 815, 823iblss 25304 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
825803, 824eqeltrd 2834 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (0(,)π) ↦ ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
826705, 72, 714, 699, 797, 825itgsplitioo 25337 . 2 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ∫(-π(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
827704, 826eqtrd 2773 1 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑆𝑛) = (∫(-π(,)0)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠 + ∫(0(,)π)((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠)) d𝑠))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  {crab 3433  Vcvv 3475  cdif 3944  wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  cres 5677  ccom 5679  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  m cmap 8816  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  +∞cpnf 11241  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323  ...cfz 13480  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830  Σcsu 15628  sincsin 16003  cosccos 16004  πcpi 16006  cnccncf 24374  volcvol 24962  𝐿1cibl 25116  citg 25117   lim climc 25361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-ofr 7666  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-t1 22800  df-haus 22801  df-cmp 22873  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-ovol 24963  df-vol 24964  df-mbf 25118  df-itg1 25119  df-itg2 25120  df-ibl 25121  df-itg 25122  df-0p 25169  df-ditg 25346  df-limc 25365  df-dv 25366
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