MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reltxrnmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reltxrnmnf 13076
Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
reltxrnmnf 𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf
StepHypRef Expression
1 elxr 12852 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2 reltre 13074 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
32rspec 3133 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
43a1d 25 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5 0red 10978 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
6 breq1 5077 . . . . . . 7 (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 = +∞ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
8 0ltpnf 12858 . . . . . . 7 0 < +∞
9 breq2 5078 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
108, 9mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
115, 7, 10rspcedvd 3563 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
1211a1d 25 . . . 4 (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
13 breq2 5078 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
14 mnfxr 11032 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
15 nltmnf 12865 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
1615pm2.21d 121 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
1714, 16ax-mp 5 . . . . 5 (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
1813, 17syl6bi 252 . . . 4 (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
194, 12, 183jaoi 1426 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
201, 19sylbi 216 . 2 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
2120rgen 3074 1 𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3o 1085   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wrex 3065   class class class wbr 5074  cr 10870  0cc0 10871  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  *cxr 11008   < clt 11009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208
This theorem is referenced by:  infmremnf  13077
  Copyright terms: Public domain W3C validator