Theorem reltxrnmnf 13497

Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltxrnmnf	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13269	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2		reltre 13495	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
3	2	rspec 3257	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
4	3	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5		breq1 5109	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
6		0red 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
7		0ltpnf 13275	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
10	5, 6, 9	rspcedvdw 3583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
11	10	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
12		breq2 5110	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
13		mnfxr 11390	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		nltmnf 13282	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
15	14	pm2.21d 122	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
17	12, 16	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
18	4, 11, 17	3jaoi 1455	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
19	1, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
20	19	rgen 3082	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ℝcr 11223  0cc0 11224  +∞cpnf 11364  -∞cmnf 11365  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568

This theorem is used by:  infmremnf  13498