Theorem reltxrnmnf 13290

Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltxrnmnf	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13062	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2		reltre 13288	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
3	2	rspec 3232	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
4	3	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5		breq1 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
6		0red 11142	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
7		0ltpnf 13068	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
10	5, 6, 9	rspcedvdw 3565	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
12		breq2 5079	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
13		mnfxr 11197	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		nltmnf 13075	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
15	14	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
17	12, 16	biimtrdi 255	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
18	4, 11, 17	3jaoi 1437	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
19	1, 18	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
20	19	rgen 3057	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1092   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   class class class wbr 5075  ℝcr 11032  0cc0 11033  +∞cpnf 11171  -∞cmnf 11172  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375

This theorem is referenced by:  infmremnf  13291