Theorem reltxrnmnf 13327

Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltxrnmnf	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13102	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2		reltre 13325	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
3	2	rspec 3241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
4	3	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5		0red 11221	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
6		breq1 5144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = +∞ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
8		0ltpnf 13108	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
9		breq2 5145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
10	8, 9	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
11	5, 7, 10	rspcedvd 3608	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
12	11	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
13		breq2 5145	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
14		mnfxr 11275	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
15		nltmnf 13115	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
16	15	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
17	14, 16	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
18	13, 17	biimtrdi 252	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
19	4, 12, 18	3jaoi 1424	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
20	1, 19	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
21	20	rgen 3057	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ w3o 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ℝcr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249  -∞cmnf 11250  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  infmremnf  13328