MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reltxrnmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reltxrnmnf 13384
Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
reltxrnmnf 𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf
StepHypRef Expression
1 elxr 13158 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2 reltre 13382 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
32rspec 3250 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
43a1d 25 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5 breq1 5146 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
6 0red 11264 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
7 0ltpnf 13164 . . . . . . 7 0 < +∞
8 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
97, 8mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
105, 6, 9rspcedvdw 3625 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
1110a1d 25 . . . 4 (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
12 breq2 5147 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
13 mnfxr 11318 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
14 nltmnf 13171 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
1514pm2.21d 121 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
1613, 15ax-mp 5 . . . . 5 (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
1712, 16biimtrdi 253 . . . 4 (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
184, 11, 173jaoi 1430 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
191, 18sylbi 217 . 2 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
2019rgen 3063 1 𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1086   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cr 11154  0cc0 11155  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495
This theorem is referenced by:  infmremnf  13385
  Copyright terms: Public domain W3C validator