Theorem reltxrnmnf 13404

Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltxrnmnf	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13179	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2		reltre 13402	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
3	2	rspec 3256	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
4	3	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5		breq1 5169	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
6		0red 11293	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
7		0ltpnf 13185	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
10	5, 6, 9	rspcedvdw 3638	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
11	10	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
12		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
13		mnfxr 11347	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		nltmnf 13192	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
15	14	pm2.21d 121	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
17	12, 16	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
18	4, 11, 17	3jaoi 1428	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
19	1, 18	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
20	19	rgen 3069	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   class class class wbr 5166  ℝcr 11183  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523

This theorem is referenced by:  infmremnf  13405