MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reltxrnmnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reltxrnmnf 13381
Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
reltxrnmnf 𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf
StepHypRef Expression
1 elxr 13156 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2 reltre 13379 . . . . . 6 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
32rspec 3248 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
43a1d 25 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
6 0red 11262 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
7 0ltpnf 13162 . . . . . . 7 0 < +∞
8 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
97, 8mpbiri 258 . . . . . 6 (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
105, 6, 9rspcedvdw 3625 . . . . 5 (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
1110a1d 25 . . . 4 (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
12 breq2 5152 . . . . 5 (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
13 mnfxr 11316 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
14 nltmnf 13169 . . . . . . 7 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
1514pm2.21d 121 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
1613, 15ax-mp 5 . . . . 5 (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
1712, 16biimtrdi 253 . . . 4 (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
184, 11, 173jaoi 1427 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
191, 18sylbi 217 . 2 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
2019rgen 3061 1 𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3o 1085   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cr 11152  0cc0 11153  +∞cpnf 11290  -∞cmnf 11291  *cxr 11292   < clt 11293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  infmremnf  13382
  Copyright terms: Public domain W3C validator