Theorem reltxrnmnf 13371

Description: For all extended real numbers not being minus infinity there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltxrnmnf	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltxrnmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 13143	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞))
2		reltre 13369	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
3	2	rspec 3262	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
4	3	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
5		breq1 5116	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑥))
6		0red 11213	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 ∈ ℝ)
7		0ltpnf 13149	. . . . . . 7 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = +∞ → (0 < 𝑥 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = +∞ → 0 < 𝑥)
10	5, 6, 9	rspcedvdw 3593	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = +∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
11	10	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑥 = +∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
12		breq2 5117	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 ↔ -∞ < -∞))
13		mnfxr 11268	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
14		nltmnf 13156	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
15	14	pm2.21d 122	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (-∞ < -∞ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
17	12, 16	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -∞ → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
18	4, 11, 17	3jaoi 1452	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∨ 𝑥 = +∞ ∨ 𝑥 = -∞) → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
19	1, 18	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥))
20	19	rgen 3087	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* (-∞ < 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 1100   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ℝcr 11101  0cc0 11102  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-po 5572  df-so 5573  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  infmremnf  13372