Theorem xnn0gt0 31982

Description: Nonzero extended nonnegative integers are strictly greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0gt0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)

Proof of Theorem xnn0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12546	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		elnnne0 12486	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
3		nngt0 12243	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	2, 3	sylbir 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
5	4	ancoms 460	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6	5	adantll 713	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
7		0ltpnf 13102	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (0 < 𝑁 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 0 < 𝑁)
10	9	adantl 483	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 = +∞) → 0 < 𝑁)
11		simpl 484	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12	6, 10, 11	mpjaodan 958	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
13	1, 12	sylanb 582	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   < clt 11248  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℕ₀^*cxnn0 12544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-xnn0 12545

This theorem is referenced by:  nn0xmulclb  31984