Theorem xnn0gt0 30667

Description: Nonzero extended nonnegative integers are strictly greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0gt0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)

Proof of Theorem xnn0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12050	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		elnnne0 11990	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
3		nngt0 11747	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	2, 3	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
5	4	ancoms 462	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6	5	adantll 714	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
7		0ltpnf 12600	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5034	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (0 < 𝑁 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 0 < 𝑁)
10	9	adantl 485	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 = +∞) → 0 < 𝑁)
11		simpl 486	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12	6, 10, 11	mpjaodan 958	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
13	1, 12	sylanb 584	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934   class class class wbr 5030  0cc0 10615  +∞cpnf 10750   < clt 10753  ℕcn 11716  ℕ₀cn0 11976  ℕ₀^*cxnn0 12048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977  df-xnn0 12049

This theorem is referenced by:  nn0xmulclb  30669