Theorem xnn0gt0 33225

Description: Nonzero extended nonnegative integers are strictly greater than zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0gt0	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)

Proof of Theorem xnn0gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12604	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		elnnne0 12543	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0))
3		nngt0 12292	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
4	2, 3	sylbir 238	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
5	4	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6	5	adantll 727	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
7		0ltpnf 13173	. . . . 5 ⊢ 0 < +∞
8		breq2 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (0 < 𝑁 ↔ 0 < +∞))
9	7, 8	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 0 < 𝑁)
10	9	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑁 = +∞) → 0 < 𝑁)
11		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
12	6, 10, 11	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)
13	1, 12	sylanb 593	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0* ∧ 𝑁 ≠ 0) → 0 < 𝑁)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  0cc0 11125  +∞cpnf 11265   < clt 11268  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  ℕ₀^*cxnn0 12602

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-xnn0 12603

This theorem is used by:  nn0xmulclb  33227  hashne0  33265