Theorem 0opn 22848

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 4891	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 4352	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 22841	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2841	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ∪ cuni 4863  Topctop 22837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-pw 4556  df-uni 4864  df-top 22838

This theorem is referenced by:  0ntop  22849  topgele  22874  tgclb  22914  0top  22927  en1top  22928  en2top  22929  topcld  22979  clsval2  22994  ntr0  23025  opnnei  23064  0nei  23072  restrcl  23101  rest0  23113  ordtrest2lem  23147  iocpnfordt  23159  icomnfordt  23160  cnindis  23236  isconn2  23358  kqtop  23689  mopn0  24442  locfinref  33998  ordtrest2NEWlem  34079  sxbrsigalem3  34429  cnambfre  37869