Theorem 0opn 22847

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 4879	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 4341	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 22840	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2842	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  ∪ cuni 4851  Topctop 22836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-pw 4544  df-uni 4852  df-top 22837

This theorem is referenced by:  0ntop  22848  topgele  22873  tgclb  22913  0top  22926  en1top  22927  en2top  22928  topcld  22978  clsval2  22993  ntr0  23024  opnnei  23063  0nei  23071  restrcl  23100  rest0  23112  ordtrest2lem  23146  iocpnfordt  23158  icomnfordt  23159  cnindis  23235  isconn2  23357  kqtop  23688  mopn0  24441  locfinref  33991  ordtrest2NEWlem  34072  sxbrsigalem3  34422  cnambfre  37980