Theorem 0opn 22860

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 4893	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 4354	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 22853	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2842	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865  Topctop 22849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-pw 4558  df-uni 4866  df-top 22850

This theorem is referenced by:  0ntop  22861  topgele  22886  tgclb  22926  0top  22939  en1top  22940  en2top  22941  topcld  22991  clsval2  23006  ntr0  23037  opnnei  23076  0nei  23084  restrcl  23113  rest0  23125  ordtrest2lem  23159  iocpnfordt  23171  icomnfordt  23172  cnindis  23248  isconn2  23370  kqtop  23701  mopn0  24454  locfinref  34018  ordtrest2NEWlem  34099  sxbrsigalem3  34449  cnambfre  37916