Theorem 0opn 22894

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 4873	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 4335	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 22887	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2845	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  ∪ cuni 4845  Topctop 22883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-pw 4538  df-uni 4846  df-top 22884

This theorem is referenced by:  0ntop  22895  topgele  22920  tgclb  22960  0top  22973  en1top  22974  en2top  22975  topcld  23025  clsval2  23040  ntr0  23071  opnnei  23110  0nei  23118  restrcl  23147  rest0  23159  ordtrest2lem  23193  iocpnfordt  23205  icomnfordt  23206  cnindis  23282  isconn2  23404  kqtop  23735  mopn0  24488  locfinref  34032  ordtrest2NEWlem  34113  sxbrsigalem3  34463  cnambfre  38042