Theorem 0opn 23277

Description: The empty set is an open subset of any topology. (Contributed by Stefan Allan, 27-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0opn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

Proof of Theorem 0opn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uni0 4901	. 2 ⊢ ∪ ∅ = ∅
2		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐽
3		uniopn 23270	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ ∅ ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrrid 2869	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ∪ cuni 4872  Topctop 23266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-nul 4282  df-pw 4562  df-uni 4873  df-top 23267

This theorem is used by:  0ntop  23278  topgele  23303  tgclb  23343  0top  23356  en1top  23357  en2top  23358  topcld  23408  clsval2  23423  ntr0  23454  opnnei  23493  0nei  23501  restrcl  23530  rest0  23542  ordtrest2lem  23576  iocpnfordt  23588  icomnfordt  23589  cnindis  23665  isconn2  23787  kqtop  24119  mopn0  24872  locfinref  34584  ordtrest2NEWlem  34665  sxbrsigalem3  35015  cnambfre  38854