Theorem topcld 23353

Description: The underlying set of a topology is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 3-Oct-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
iscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topcld	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem topcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difid 4324	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑋) = ∅
2		0opn 23222	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
3	1, 2	eqeltrid 2864	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)
4		ssid 3930	. . 3 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
5	3, 4	jctil 529	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽))
6		iscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
7	6	iscld 23345	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (𝑋 ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋 ∖ 𝑋) ∈ 𝐽)))
8	5, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6538  Topctop 23211  Clsdccld 23334

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-top 23212  df-cld 23337

This theorem is used by:  clsval  23355  riincld  23362  clscld  23365  clstop  23387  cldmre  23396  indiscld  23409  isconn2  23732  cnmpopc  25249  rlmbn  25682  ubthlem1  31472  unicls  34535  cmpfiiin  43708  kelac1  44065