Theorem sxbrsigalem3 34729

Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem3	⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Distinct variable group:   𝑒,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒, 𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsigalem0 34728	. . 3 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24971	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2861	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4, 4	txtopi 23800	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6		uniretop 24972	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	2	unieqi 4886	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
8	6, 7	eqtr4i 2791	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	4, 4, 8, 8	txunii 23803	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
10	5, 9	unicls 34359	. . 3 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
11	1, 10	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12		ovex 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒[,)+∞) ∈ V
13		reex 11208	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	12, 13	xpex 7758	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
16	14, 15	fnmpti 6682	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
18	17	xpeq1d 5692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19		ovex 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢[,)+∞) ∈ V
20	19, 13	xpex 7758	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
21	18, 15, 20	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22		icopnfcld 24977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
23	2	fveq2i 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
24	22, 23	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25		dif0 4334	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26		0opn 23113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
27	4, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 𝐽
28	8	opncld 23242	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
29	4, 27, 28	mp2an 705	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
30	25, 29	eqeltrri 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31		txcld 23813	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
32	24, 30, 31	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
33	21, 32	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
34	33	rgen 3083	. . . . 5 ⊢ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35		fnfvrnss 7120	. . . . 5 ⊢ (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
36	16, 34, 35	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37		ovex 7452	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓[,)+∞) ∈ V
38	13, 37	xpex 7758	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
40	38, 39	fnmpti 6682	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41		oveq1 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
42	41	xpeq2d 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43		ovex 7452	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣[,)+∞) ∈ V
44	13, 43	xpex 7758	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
45	42, 39, 44	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46		icopnfcld 24977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
47	46, 23	eleqtrrdi 2876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48		txcld 23813	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
49	30, 47, 48	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	45, 49	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51	50	rgen 3083	. . . . 5 ⊢ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52		fnfvrnss 7120	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	40, 51, 52	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
54	36, 53	unssi 4144	. . 3 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56		sssigagen 34602	. . . 4 ⊢ ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
57	55, 56	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
58	54, 57	sstri 3947	. 2 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59		sigagenss2 34607	. 2 ⊢ ((∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
60	11, 58, 55, 59	mp3an 1490	1 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∪ cuni 4874   ↦ cmpt 5194   × cxp 5661  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  +∞cpnf 11257  (,)cioo 13390  [,)cico 13392  topGenctg 17514  Topctop 23102  Clsdccld 23225   ×_t ctx 23770  sigaGencsigagen 34595

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-topgen 17520  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cld 23228  df-tx 23772  df-siga 34565  df-sigagen 34596

This theorem is used by:  sxbrsigalem4  34744