Theorem sxbrsigalem3 32248

Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem3	⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Distinct variable group:   𝑒,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsigalem0 32247	. . 3 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 23934	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4, 4	txtopi 22750	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6		uniretop 23935	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	2	unieqi 4853	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
8	6, 7	eqtr4i 2770	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	4, 4, 8, 8	txunii 22753	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
10	5, 9	unicls 31862	. . 3 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
11	1, 10	eqtr4i 2770	. 2 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12		ovex 7317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒[,)+∞) ∈ V
13		reex 10971	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	12, 13	xpex 7612	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
16	14, 15	fnmpti 6585	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17		oveq1 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
18	17	xpeq1d 5619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19		ovex 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢[,)+∞) ∈ V
20	19, 13	xpex 7612	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
21	18, 15, 20	fvmpt 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22		icopnfcld 23940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
23	2	fveq2i 6786	. . . . . . . . 9 ⊢ (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
24	22, 23	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25		dif0 4307	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26		0opn 22062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
27	4, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 𝐽
28	8	opncld 22193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
29	4, 27, 28	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
30	25, 29	eqeltrri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31		txcld 22763	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
32	24, 30, 31	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
33	21, 32	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
34	33	rgen 3075	. . . . 5 ⊢ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35		fnfvrnss 7003	. . . . 5 ⊢ (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
36	16, 34, 35	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37		ovex 7317	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓[,)+∞) ∈ V
38	13, 37	xpex 7612	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
40	38, 39	fnmpti 6585	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41		oveq1 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
42	41	xpeq2d 5620	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43		ovex 7317	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣[,)+∞) ∈ V
44	13, 43	xpex 7612	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
45	42, 39, 44	fvmpt 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46		icopnfcld 23940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
47	46, 23	eleqtrrdi 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48		txcld 22763	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
49	30, 47, 48	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	45, 49	eqeltrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51	50	rgen 3075	. . . . 5 ⊢ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52		fnfvrnss 7003	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	40, 51, 52	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
54	36, 53	unssi 4120	. . 3 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		fvex 6796	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56		sssigagen 32122	. . . 4 ⊢ ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
57	55, 56	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
58	54, 57	sstri 3931	. 2 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59		sigagenss2 32127	. 2 ⊢ ((∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
60	11, 58, 55, 59	mp3an 1460	1 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3065  Vcvv 3433   ∖ cdif 3885   ∪ cun 3886   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257  ∪ cuni 4840   ↦ cmpt 5158   × cxp 5588  ran crn 5591   Fn wfn 6432  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  +∞cpnf 11015  (,)cioo 13088  [,)cico 13090  topGenctg 17157  Topctop 22051  Clsdccld 22176   ×_t ctx 22720  sigaGencsigagen 32115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-sup 9210  df-inf 9211  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-q 12698  df-ioo 13092  df-ico 13094  df-topgen 17163  df-top 22052  df-topon 22069  df-bases 22105  df-cld 22179  df-tx 22722  df-siga 32086  df-sigagen 32116

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  32263