Theorem sxbrsigalem3 31762

Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem3	⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Distinct variable group:   𝑒,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsigalem0 31761	. . 3 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 23468	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2848	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4, 4	txtopi 22295	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6		uniretop 23469	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	2	unieqi 4814	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
8	6, 7	eqtr4i 2784	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	4, 4, 8, 8	txunii 22298	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
10	5, 9	unicls 31378	. . 3 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
11	1, 10	eqtr4i 2784	. 2 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12		ovex 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒[,)+∞) ∈ V
13		reex 10671	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	12, 13	xpex 7479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
16	14, 15	fnmpti 6478	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17		oveq1 7162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
18	17	xpeq1d 5556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19		ovex 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢[,)+∞) ∈ V
20	19, 13	xpex 7479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
21	18, 15, 20	fvmpt 6763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22		icopnfcld 23474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
23	2	fveq2i 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
24	22, 23	eleqtrrdi 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25		dif0 4273	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26		0opn 21609	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
27	4, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 𝐽
28	8	opncld 21738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
29	4, 27, 28	mp2an 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
30	25, 29	eqeltrri 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31		txcld 22308	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
32	24, 30, 31	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
33	21, 32	eqeltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
34	33	rgen 3080	. . . . 5 ⊢ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35		fnfvrnss 6880	. . . . 5 ⊢ (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
36	16, 34, 35	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37		ovex 7188	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓[,)+∞) ∈ V
38	13, 37	xpex 7479	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39		eqid 2758	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
40	38, 39	fnmpti 6478	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41		oveq1 7162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
42	41	xpeq2d 5557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43		ovex 7188	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣[,)+∞) ∈ V
44	13, 43	xpex 7479	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
45	42, 39, 44	fvmpt 6763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46		icopnfcld 23474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
47	46, 23	eleqtrrdi 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48		txcld 22308	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
49	30, 47, 48	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	45, 49	eqeltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51	50	rgen 3080	. . . . 5 ⊢ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52		fnfvrnss 6880	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	40, 51, 52	mp2an 691	. . . 4 ⊢ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
54	36, 53	unssi 4092	. . 3 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		fvex 6675	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56		sssigagen 31636	. . . 4 ⊢ ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
57	55, 56	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
58	54, 57	sstri 3903	. 2 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59		sigagenss2 31641	. 2 ⊢ ((∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
60	11, 58, 55, 59	mp3an 1458	1 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ∖ cdif 3857   ∪ cun 3858   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ∪ cuni 4801   ↦ cmpt 5115   × cxp 5525  ran crn 5528   Fn wfn 6334  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  ℝcr 10579  +∞cpnf 10715  (,)cioo 12784  [,)cico 12786  topGenctg 16774  Topctop 21598  Clsdccld 21721   ×_t ctx 22265  sigaGencsigagen 31629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657  ax-pre-sup 10658

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-sup 8944  df-inf 8945  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-div 11341  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-q 12394  df-ioo 12788  df-ico 12790  df-topgen 16780  df-top 21599  df-topon 21616  df-bases 21651  df-cld 21724  df-tx 22267  df-siga 31600  df-sigagen 31630

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  31777