Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem3 33569
Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem3 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Distinct variable group:   𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsigalem0 33568 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 24498 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2827 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
54, 4txtopi 23314 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6 uniretop 24499 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
72unieqi 4920 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
86, 7eqtr4i 2761 . . . . 5 ℝ = 𝐽
94, 4, 8, 8txunii 23317 . . . 4 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
105, 9unicls 33181 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
111, 10eqtr4i 2761 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12 ovex 7444 . . . . . . 7 (𝑒[,)+∞) ∈ V
13 reex 11203 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1412, 13xpex 7742 . . . . . 6 ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
1614, 15fnmpti 6692 . . . . 5 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
1817xpeq1d 5704 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝑢[,)+∞) ∈ V
2019, 13xpex 7742 . . . . . . . 8 ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
2118, 15, 20fvmpt 6997 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22 icopnfcld 24504 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
232fveq2i 6893 . . . . . . . . 9 (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2422, 23eleqtrrdi 2842 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25 dif0 4371 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26 0opn 22626 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 𝐽
288opncld 22757 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
294, 27, 28mp2an 688 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
3025, 29eqeltrri 2828 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31 txcld 23327 . . . . . . . 8 (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3224, 30, 31sylancl 584 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3321, 32eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3433rgen 3061 . . . . 5 𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35 fnfvrnss 7121 . . . . 5 (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3616, 34, 35mp2an 688 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37 ovex 7444 . . . . . . 7 (𝑓[,)+∞) ∈ V
3813, 37xpex 7742 . . . . . 6 (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39 eqid 2730 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
4038, 39fnmpti 6692 . . . . 5 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
4241xpeq2d 5705 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43 ovex 7444 . . . . . . . . 9 (𝑣[,)+∞) ∈ V
4413, 43xpex 7742 . . . . . . . 8 (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
4542, 39, 44fvmpt 6997 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46 icopnfcld 24504 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4746, 23eleqtrrdi 2842 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48 txcld 23327 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
4930, 47, 48sylancr 585 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5045, 49eqeltrd 2831 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5150rgen 3061 . . . . 5 𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52 fnfvrnss 7121 . . . . 5 (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5340, 51, 52mp2an 688 . . . 4 ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
5436, 53unssi 4184 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55 fvex 6903 . . . 4 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56 sssigagen 33441 . . . 4 ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
5755, 56ax-mp 5 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5854, 57sstri 3990 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59 sigagenss2 33446 . 2 (( (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
6011, 58, 55, 59mp3an 1459 1 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  Vcvv 3472  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  c0 4321   cuni 4907  cmpt 5230   × cxp 5673  ran crn 5676   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7411  cr 11111  +∞cpnf 11249  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  topGenctg 17387  Topctop 22615  Clsdccld 22740   ×t ctx 23284  sigaGencsigagen 33434
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-tx 23286  df-siga 33405  df-sigagen 33435
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  33584
  Copyright terms: Public domain W3C validator