Theorem sxbrsigalem3 34450

Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem3	⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Distinct variable group:   𝑒,𝑓

Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsigalem0 34449	. . 3 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2		sxbrsiga.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3		retop 24717	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
4	2, 3	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4, 4	txtopi 23546	. . . 4 ⊢ (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6		uniretop 24718	. . . . . 6 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
7	2	unieqi 4877	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ (topGen‘ran (,))
8	6, 7	eqtr4i 2763	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	4, 4, 8, 8	txunii 23549	. . . 4 ⊢ (ℝ × ℝ) = ∪ (𝐽 ×t 𝐽)
10	5, 9	unicls 34081	. . 3 ⊢ ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
11	1, 10	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ ∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒[,)+∞) ∈ V
13		reex 11129	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
14	12, 13	xpex 7708	. . . . . 6 ⊢ ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
16	14, 15	fnmpti 6643	. . . . 5 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
18	17	xpeq1d 5661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢[,)+∞) ∈ V
20	19, 13	xpex 7708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
21	18, 15, 20	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22		icopnfcld 24723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
23	2	fveq2i 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
24	22, 23	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25		dif0 4332	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26		0opn 22860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
27	4, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ 𝐽
28	8	opncld 22989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
29	4, 27, 28	mp2an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
30	25, 29	eqeltrri 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31		txcld 23559	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
32	24, 30, 31	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
33	21, 32	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
34	33	rgen 3054	. . . . 5 ⊢ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35		fnfvrnss 7075	. . . . 5 ⊢ (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
36	16, 34, 35	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓[,)+∞) ∈ V
38	13, 37	xpex 7708	. . . . . 6 ⊢ (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
40	38, 39	fnmpti 6643	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41		oveq1 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
42	41	xpeq2d 5662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43		ovex 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣[,)+∞) ∈ V
44	13, 43	xpex 7708	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
45	42, 39, 44	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46		icopnfcld 24723	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
47	46, 23	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48		txcld 23559	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
49	30, 47, 48	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
50	45, 49	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
51	50	rgen 3054	. . . . 5 ⊢ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52		fnfvrnss 7075	. . . . 5 ⊢ (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
53	40, 51, 52	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
54	36, 53	unssi 4145	. . 3 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55		fvex 6855	. . . 4 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56		sssigagen 34323	. . . 4 ⊢ ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
57	55, 56	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
58	54, 57	sstri 3945	. 2 ⊢ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59		sigagenss2 34328	. 2 ⊢ ((∪ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = ∪ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
60	11, 58, 55, 59	mp3an 1464	1 ⊢ (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∪ cun 3901   ⊆ wss 3903  ∅c0 4287  ∪ cuni 4865   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ran crn 5633   Fn wfn 6495  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  +∞cpnf 11175  (,)cioo 13273  [,)cico 13275  topGenctg 17369  Topctop 22849  Clsdccld 22972   ×_t ctx 23516  sigaGencsigagen 34316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-topgen 17375  df-top 22850  df-topon 22867  df-bases 22902  df-cld 22975  df-tx 23518  df-siga 34287  df-sigagen 34317

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  34465