MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1top 23007
Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 22926 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 en1eqsn 9306 . . . 4 ((∅ ∈ 𝐽𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
32ex 412 . . 3 (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
41, 3syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
5 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6 0ex 5313 . . . 4 ∅ ∈ V
76ensn1 9060 . . 3 {∅} ≈ 1o
85, 7eqbrtrdi 5187 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
94, 8impbid1 225 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  1oc1o 8498  cen 8981  Topctop 22915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-1o 8505  df-en 8985  df-top 22916
This theorem is referenced by:  hmph0  23819
  Copyright terms: Public domain W3C validator