Theorem en1top 22943

Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1top	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22863	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		en1eqsn 9187	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6		0ex 5254	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	ensn1 8970	. . 3 ⊢ {∅} ≈ 1o
8	5, 7	eqbrtrdi 5139	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
9	4, 8	impbid1 225	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∅c0 4287  {csn 4582   class class class wbr 5100  1_oc1o 8400   ≈ cen 8892  Topctop 22852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-1o 8407  df-en 8896  df-top 22853

This theorem is referenced by:  hmph0  23754