Theorem en1top 22838

Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1top	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22757	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		en1eqsn 9273	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6		0ex 5300	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	ensn1 9016	. . 3 ⊢ {∅} ≈ 1o
8	5, 7	eqbrtrdi 5180	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
9	4, 8	impbid1 224	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∅c0 4317  {csn 4623   class class class wbr 5141  1_oc1o 8457   ≈ cen 8935  Topctop 22746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-1o 8464  df-en 8939  df-top 22747

This theorem is referenced by:  hmph0  23650