MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1top 22900
Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 22819 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 en1eqsn 9299 . . . 4 ((∅ ∈ 𝐽𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
32ex 412 . . 3 (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
41, 3syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
5 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6 0ex 5307 . . . 4 ∅ ∈ V
76ensn1 9042 . . 3 {∅} ≈ 1o
85, 7eqbrtrdi 5187 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
94, 8impbid1 224 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5148  1oc1o 8480  cen 8961  Topctop 22808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-1o 8487  df-en 8965  df-top 22809
This theorem is referenced by:  hmph0  23712
  Copyright terms: Public domain W3C validator