MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  en1top Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem en1top 22350
Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 22269 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 en1eqsn 9221 . . . 4 ((∅ ∈ 𝐽𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
32ex 414 . . 3 (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
41, 3syl 17 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
5 id 22 . . 3 (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6 0ex 5265 . . . 4 ∅ ∈ V
76ensn1 8964 . . 3 {∅} ≈ 1o
85, 7eqbrtrdi 5145 . 2 (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
94, 8impbid1 224 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o𝐽 = {∅}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  c0 4283  {csn 4587   class class class wbr 5106  1oc1o 8406  cen 8883  Topctop 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-1o 8413  df-en 8887  df-top 22259
This theorem is referenced by:  hmph0  23162
  Copyright terms: Public domain W3C validator