Theorem en1top 22899

Description: {∅} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1top	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Proof of Theorem en1top

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22819	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		en1eqsn 9159	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝐽 ≈ 1o) → 𝐽 = {∅})
3	2	ex 412	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝐽 → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o → 𝐽 = {∅}))
5		id 22	. . 3 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 = {∅})
6		0ex 5243	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
7	6	ensn1 8943	. . 3 ⊢ {∅} ≈ 1o
8	5, 7	eqbrtrdi 5128	. 2 ⊢ (𝐽 = {∅} → 𝐽 ≈ 1o)
9	4, 8	impbid1 225	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ≈ 1o ↔ 𝐽 = {∅}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  {csn 4573   class class class wbr 5089  1_oc1o 8378   ≈ cen 8866  Topctop 22808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-1o 8385  df-en 8870  df-top 22809

This theorem is referenced by:  hmph0  23710