MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntr0 22220
Description: The interior of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ntr0 (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ntr0
StepHypRef Expression
1 0opn 22041 . 2 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 0ss 4331 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
3 eqid 2738 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 22205 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
52, 4mpan2 688 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
61, 5mpbid 231 1 (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wss 3887  c0 4257   cuni 4840  cfv 6427  Topctop 22030  intcnt 22156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-top 22031  df-ntr 22159
This theorem is referenced by:  iccntr  23972
  Copyright terms: Public domain W3C validator