Theorem ntr0 23029

Description: The interior of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ntr0	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ntr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22850	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2		0ss 4398	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
4	3	isopn3 23014	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
5	2, 4	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
6	1, 5	mpbid 231	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ∅c0 4322  ∪ cuni 4909  ‘cfv 6549  Topctop 22839  intcnt 22965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-top 22840  df-ntr 22968

This theorem is referenced by:  iccntr  24781