MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntr0 21293
Description: The interior of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ntr0 (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem ntr0
StepHypRef Expression
1 0opn 21116 . 2 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
2 0ss 4198 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
3 eqid 2778 . . . 4 𝐽 = 𝐽
43isopn3 21278 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
52, 4mpan2 681 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ 𝐽 ↔ ((int‘𝐽)‘∅) = ∅))
61, 5mpbid 224 1 (𝐽 ∈ Top → ((int‘𝐽)‘∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792  c0 4141   cuni 4671  cfv 6135  Topctop 21105  intcnt 21229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-top 21106  df-ntr 21232
This theorem is referenced by:  iccntr  23032
  Copyright terms: Public domain W3C validator