Theorem icomnfordt 23030

Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
icomnfordt	⊢ (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem icomnfordt

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3		eqid 2724	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 23027	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5		letop 23020	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
6	4, 5	eqeltrri 2822	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7		tgclb 22783	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
8	6, 7	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9		bastg 22779	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
11	10, 4	sseqtrri 4011	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12		ssun1 4164	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13		ssun2 4165	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)
15		oveq2 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)𝐴))
16	15	rspceeqv 3625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
17	14, 16	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
18		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
19		ovex 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞[,)𝑥) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5949	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
21	17, 20	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
22	13, 21	sselid 3972	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
23	12, 22	sselid 3972	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
24	11, 23	sselid 3972	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
25	24	adantl 481	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
26		df-ico 13326	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
27	26	ixxf 13330	. . . . 5 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
28	27	fdmi 6719	. . . 4 ⊢ dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
29	28	ndmov 7584	. . 3 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) = ∅)
30		0opn 22716	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
31	5, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
32	29, 31	eqeltrdi 2833	. 2 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
33	25, 32	pm2.61i 182	1 ⊢ (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  𝒫 cpw 4594   ↦ cmpt 5221   × cxp 5664  ran crn 5667  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  +∞cpnf 11241  -∞cmnf 11242  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245  (,)cioo 13320  (,]cioc 13321  [,)cico 13322  topGenctg 17379  ordTopcordt 17441  Topctop 22705  TopBasesctb 22758

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-1o 8461  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fi 9401  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-topgen 17385  df-ordt 17443  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-top 22706  df-topon 22723  df-bases 22759

This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem1  44999