Theorem icomnfordt 23278

Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
icomnfordt	⊢ (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem icomnfordt

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3		eqid 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 23275	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5		letop 23268	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
6	4, 5	eqeltrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7		tgclb 23032	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
8	6, 7	mpbir 233	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9		bastg 23028	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
11	10, 4	sseqtrri 3987	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12		ssun1 4132	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13		ssun2 4133	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)
15		oveq2 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)𝐴))
16	15	rspceeqv 3606	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
17	14, 16	mpan2 701	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
18		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
19		ovex 7431	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞[,)𝑥) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5940	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
21	17, 20	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
22	13, 21	sselid 3936	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
23	12, 22	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
24	11, 23	sselid 3936	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
25	24	adantl 485	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
26		df-ico 13357	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
27	26	ixxf 13361	. . . . 5 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
28	27	fdmi 6705	. . . 4 ⊢ dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
29	28	ndmov 7582	. . 3 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) = ∅)
30		0opn 22966	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
31	5, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
32	29, 31	eqeltrdi 2872	. 2 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
33	25, 32	pm2.61i 183	1 ⊢ (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3088   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5183   × cxp 5647  ran crn 5650  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  +∞cpnf 11215  -∞cmnf 11216  ℝ^*cxr 11217   < clt 11218   ≤ cle 11219  (,)cioo 13351  (,]cioc 13352  [,)cico 13353  topGenctg 17468  ordTopcordt 17531  Topctop 22955  TopBasesctb 23007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fi 9359  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-topgen 17474  df-ordt 17533  df-ps 18600  df-tsr 18601  df-top 22956  df-topon 22973  df-bases 23008

This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem1  46411