Theorem icomnfordt 23190

Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
icomnfordt	⊢ (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem icomnfordt

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 23187	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5		letop 23180	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
6	4, 5	eqeltrri 2834	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7		tgclb 22944	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
8	6, 7	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9		bastg 22940	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
11	10, 4	sseqtrri 3972	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12		ssun1 4119	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13		ssun2 4120	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)
15		oveq2 7366	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)𝐴))
16	15	rspceeqv 3588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
17	14, 16	mpan2 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
19		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞[,)𝑥) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5909	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)𝐴) = (-∞[,)𝑥))
21	17, 20	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
22	13, 21	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
23	12, 22	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
24	11, 23	sselid 3920	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
25	24	adantl 481	. 2 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
26		df-ico 13293	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
27	26	ixxf 13297	. . . . 5 ⊢ [,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
28	27	fdmi 6671	. . . 4 ⊢ dom [,) = (ℝ* × ℝ*)
29	28	ndmov 7542	. . 3 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) = ∅)
30		0opn 22878	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
31	5, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
32	29, 31	eqeltrdi 2845	. 2 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
33	25, 32	pm2.61i 182	1 ⊢ (-∞[,)𝐴) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167   × cxp 5620  ran crn 5623  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13287  (,]cioc 13288  [,)cico 13289  topGenctg 17389  ordTopcordt 17452  Topctop 22867  TopBasesctb 22919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-topgen 17395  df-ordt 17454  df-ps 18521  df-tsr 18522  df-top 22868  df-topon 22885  df-bases 22920

This theorem is referenced by:  xlimmnfvlem1  46275