Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnambfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnambfre 33789
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
21feqmptd 6480 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
32cnveqd 5513 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43imaeq1d 5689 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹𝑏) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏))
54ad2antrr 708 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏))
6 exmid 909 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
76biantrur 522 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
8 andir 1022 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)))
97, 8bitri 266 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)))
10 retopbas 22798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (,) ∈ TopBases
11 bastg 21005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
1312sseli 3805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ran (,) → 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413ad2antlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)))
15 cnpimaex 21295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
16153com12 1146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
17163expa 1140 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
1814, 17sylanl1 662 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
1918ex 399 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
20 simprrr 791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)
21 ffn 6266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
2221adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn 𝐴)
23 restsspw 16317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
2423sseli 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2524elpwid 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → 𝑦𝐴)
26 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → 𝑥𝑦)
27 fnfvima 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
2822, 25, 26, 27syl3an 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
29283expb 1142 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
3020, 29sseldd 3810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)
3130rexlimdvaa 3231 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
3231ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
3319, 32impbid 203 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
3433pm5.32da 570 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))))
35 r19.42v 3291 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ↔ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
3634, 35syl6bbr 280 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))))
3736orbi1d 931 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)) ↔ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))))
389, 37syl5bb 274 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))))
3938rabbidva 3389 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏} = {𝑥𝐴 ∣ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))})
40 eqid 2817 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))
4140mptpreima 5856 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏}
42 unrab 4110 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))}
4339, 41, 423eqtr4g 2876 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
445, 43eqtrd 2851 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
45443adantl3 1202 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
46 incom 4015 . . . . . . . . 9 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∩ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)})
47 dfin4 4080 . . . . . . . . 9 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∩ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}))
48 inrab 4111 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))})
5049iuneq2i 4742 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
51 iunin2 4787 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)})
52 iunrab 4770 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
5350, 51, 523eqtr3i 2847 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
5446, 47, 533eqtr3i 2847 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
55 eqeq2 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦 ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)))
56 eqeq2 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅ ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)))
57 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → 𝑥𝑦)
5825adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → 𝑦𝐴)
5958sselda 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
60 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
6160adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
6259, 61jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
6357, 62impbida 826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ↔ 𝑥𝑦))
6463abbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} = {𝑥𝑥𝑦})
65 df-rab 3116 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
66 cvjust 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 = {𝑥𝑥𝑦}
6764, 65, 663eqtr4g 2876 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦)
68 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)
6968con3i 151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
7069ralrimivw 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
71 rabeq0 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
7270, 71sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅)
7372adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ ¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅)
7455, 56, 67, 73ifbothda 4327 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅))
7574iuneq2i 4742 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)
76 retop 22799 . . . . . . . . . . . . . 14 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
77 resttop 21199 . . . . . . . . . . . . . 14 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top)
7876, 77mpan 673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top)
79 0opn 20943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom vol → ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
81 ifcl 4334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8281ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8380, 82sylan 571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8483ralrimiva 3165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
85 iunopn 20937 . . . . . . . . . . . . 13 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8678, 84, 85syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
87 eqid 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
8887subopnmbl 23608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ dom vol)
8986, 88mpdan 670 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ dom vol)
9075, 89syl5eqel 2900 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol)
9190adantr 468 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol)
92 difss 3947 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}
93 ssrab2 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
9493rgenw 3123 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
95 iunss 4764 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴)
9694, 95mpbir 222 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
9792, 96sstri 3818 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ 𝐴
98 mblss 23535 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
9997, 98syl5ss 3820 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ)
10099adantr 468 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ)
101 ssdif 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴 → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}))
10296, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})
103 ovex 6916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∈ V
104103rabex 5020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ V
105 eqid 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))})
106104, 105fnmpti 6243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) Fn 𝐴
107 retopon 22801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
108 resttopon 21200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
109107, 98, 108sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ dom vol → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
110 cnpfval 21273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}))
111109, 107, 110sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ dom vol → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}))
112111fneq1d 6202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ dom vol → ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) Fn 𝐴))
113106, 112mpbiri 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ dom vol → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴)
114 elpreima 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
116 rele 5466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Rel E
117 elrelimasn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Rel E → (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ 𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
118116, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ 𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
119 fvex 6431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ V
120119epeli 5239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
121118, 120bitr2i 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))
122121anbi2i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹})))
123115, 122syl6rbbr 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → ((𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ↔ 𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))))
124123abbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))} = {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))})
125 df-rab 3116 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))}
126 imaco 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))
127 abid2 2940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))} = ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))
128126, 127eqtr4i 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) = {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))}
129124, 125, 1283eqtr4g 2876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} = (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))
130129difeq2d 3938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
131102, 130syl5sseq 3861 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
132 difss 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ 𝐴
133132, 98syl5ss 3820 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ)
134131, 133jca 503 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → (( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ))
135 ovolssnul 23491 . . . . . . . . . . . 12 ((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
1361353expa 1140 . . . . . . . . . . 11 (((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
137134, 136sylan 571 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
138 nulmbl 23539 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol)
139100, 137, 138syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol)
140 difmbl 23547 . . . . . . . . 9 (( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol ∧ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) ∈ dom vol)
14191, 139, 140syl2anc 575 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) ∈ dom vol)
14254, 141syl5eqelr 2901 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ dom vol)
143 ssrab2 3895 . . . . . . . . . 10 {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ 𝐴
144143, 98syl5ss 3820 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ)
145144adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ)
146126eleq2i 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) ↔ 𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})))
147 ibar 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
148121, 147syl5rbb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹})) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
149115, 148sylan9bb 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
150146, 149syl5rbb 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
151150notbid 309 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
152151biimpd 220 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
153152adantrd 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
154153ss2rabdv 3891 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ {𝑥𝐴 ∣ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})})
155 dfdif2 3789 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})}
156154, 155syl6sseqr 3860 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
157156, 133jca 503 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → ({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ))
158 ovolssnul 23491 . . . . . . . . . 10 (({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
1591583expa 1140 . . . . . . . . 9 ((({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
160157, 159sylan 571 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
161 nulmbl 23539 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol)
162145, 160, 161syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol)
163 unmbl 23541 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ dom vol ∧ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
164142, 162, 163syl2anc 575 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
1651643adant1 1153 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
166165adantr 468 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
16745, 166eqeltrd 2896 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) ∈ dom vol)
168167ralrimiva 3165 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol)
169 ismbf 23632 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol))
1701693ad2ant1 1156 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol))
171168, 170mpbird 248 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  {cab 2803  wral 3107  wrex 3108  {crab 3111  cdif 3777  cun 3778  cin 3779  wss 3780  c0 4127  ifcif 4290  𝒫 cpw 4362  {csn 4381   ciun 4723   class class class wbr 4855  cmpt 4934   E cep 5236  ccnv 5323  dom cdm 5324  ran crn 5325  cima 5327  ccom 5328  Rel wrel 5329   Fn wfn 6106  wf 6107  cfv 6111  (class class class)co 6884  𝑚 cmap 8102  cr 10230  0cc0 10231  (,)cioo 12413  t crest 16306  topGenctg 16323  Topctop 20932  TopOnctopon 20949  TopBasesctb 20984   CnP ccnp 21264  vol*covol 23466  volcvol 23467  MblFncmbf 23618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-omul 7811  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-acn 9061  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-n0 11580  df-z 11664  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-rest 16308  df-topgen 16329  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-top 20933  df-topon 20950  df-bases 20985  df-cnp 21267  df-cmp 21425  df-ovol 23468  df-vol 23469  df-mbf 23623
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator