Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnambfre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnambfre 37675
Description: A real-valued, a.e. continuous function is measurable. (Contributed by Brendan Leahy, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
cnambfre ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem cnambfre
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
21feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
32cnveqd 5886 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43imaeq1d 6077 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹𝑏) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏))
54ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏))
6 exmid 895 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
76biantrur 530 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
8 andir 1011 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∨ ¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)))
97, 8bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)))
10 retopbas 24781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran (,) ∈ TopBases
11 bastg 22973 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
1312sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ ran (,) → 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)))
1413ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)))
15 cnpimaex 23264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ 𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
16153com12 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
17163expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑏 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
1814, 17sylanl1 680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
1918ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
20 simprrr 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)
21 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝐴⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐴)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → 𝐹 Fn 𝐴)
23 restsspw 17476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ⊆ 𝒫 𝐴
2423sseli 3979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
2524elpwid 4609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → 𝑦𝐴)
26 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → 𝑥𝑦)
27 fnfvima 7253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 Fn 𝐴𝑦𝐴𝑥𝑦) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
2822, 25, 26, 27syl3an 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
29283expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑥) ∈ (𝐹𝑦))
3020, 29sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)
3130rexlimdvaa 3156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
3231ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))
3319, 32impbid 212 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
3433pm5.32da 579 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))))
35 r19.42v 3191 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ↔ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
3634, 35bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ↔ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))))
3736orbi1d 917 . . . . . . . . 9 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)) ↔ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))))
389, 37bitrid 283 . . . . . . . 8 ((((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) ∈ 𝑏 ↔ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))))
3938rabbidva 3443 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏} = {𝑥𝐴 ∣ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))})
40 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥))
4140mptpreima 6258 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏}
42 unrab 4315 . . . . . . 7 ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ∨ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏))}
4339, 41, 423eqtr4g 2802 . . . . . 6 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) “ 𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
445, 43eqtrd 2777 . . . . 5 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
45443adantl3 1169 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) = ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}))
46 incom 4209 . . . . . . . . 9 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∩ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)})
47 dfin4 4278 . . . . . . . . 9 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∩ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}))
48 inrab 4316 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))})
5049iuneq2i 5013 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
51 iunin2 5071 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)})
52 iunrab 5052 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
5350, 51, 523eqtr3i 2773 . . . . . . . . 9 ({𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} ∩ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}) = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
5446, 47, 533eqtr3i 2773 . . . . . . . 8 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
55 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦 ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)))
56 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . . 12 (∅ = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) → ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅ ↔ {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)))
57 simprrl 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))) → 𝑥𝑦)
5825adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → 𝑦𝐴)
5958sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑥𝐴)
60 pm3.22 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
6160adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
6259, 61jca 511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) ∧ 𝑥𝑦) → (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)))
6357, 62impbida 801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)) ↔ 𝑥𝑦))
6463abbidv 2808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} = {𝑥𝑥𝑦})
65 df-rab 3437 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴 ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))}
66 cvjust 2731 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 = {𝑥𝑥𝑦}
6764, 65, 663eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)
6968con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
7069ralrimivw 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
71 rabeq0 4388 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))
7270, 71sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏 → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ ¬ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = ∅)
7455, 56, 67, 73ifbothda 4564 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) → {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅))
7574iuneq2i 5013 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} = 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅)
76 retop 24782 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
77 resttop 23168 . . . . . . . . . . . . 13 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top)
7876, 77mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top)
79 0opn 22910 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
81 ifcl 4571 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ ∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8281ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∅ ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8380, 82sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8483ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
85 iunopn 22904 . . . . . . . . . . . 12 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ Top ∧ ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
8678, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴))
87 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) = ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)
8887subopnmbl 25639 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)) → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ dom vol)
8986, 88mpdan 687 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)if((𝐹𝑦) ⊆ 𝑏, 𝑦, ∅) ∈ dom vol)
9075, 89eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol)
91 difss 4136 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)}
92 ssrab2 4080 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
9392rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
94 iunss 5045 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴 ↔ ∀𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴)
9593, 94mpbir 231 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴
9691, 95sstri 3993 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ 𝐴
97 mblss 25566 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
9896, 97sstrid 3995 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ)
99 ssdif 4144 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ⊆ 𝐴 → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}))
10095, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})
101 rele 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Rel E
102 elrelimasn 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Rel E → (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ 𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ 𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
104 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ V
105104epeli 5586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 E ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))
106103, 105bitr2i 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))
107106anbi2i 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹})))
108 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑m 𝐴) ∈ V
109108rabex 5339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ V
110 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))})
111109, 110fnmpti 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) Fn 𝐴
112 retopon 24784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
113 resttopon 23169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
114112, 97, 113sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ dom vol → ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
115 cnpfval 23242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}))
116114, 112, 115sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ dom vol → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) = (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}))
117116fneq1d 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ dom vol → ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴 ↔ (𝑥𝐴 ↦ {𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐴) ∣ ∀𝑏 ∈ (topGen‘ran (,))((𝑓𝑥) ∈ 𝑏 → ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝑥𝑦 ∧ (𝑓𝑦) ⊆ 𝑏))}) Fn 𝐴))
118111, 117mpbiri 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ dom vol → (((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴)
119 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
120118, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ dom vol → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
121107, 120bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ dom vol → ((𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)) ↔ 𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))))
122121abbidv 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))} = {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))})
123 df-rab 3437 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥))}
124 imaco 6271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) = ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))
125 abid2 2879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))} = ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))
126124, 125eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) = {𝑥𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹}))}
127122, 123, 1263eqtr4g 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)} = (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))
128127difeq2d 4126 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) = (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
129100, 128sseqtrid 4026 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
130 difss 4136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ 𝐴
131130, 97sstrid 3995 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ dom vol → (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ)
132129, 131jca 511 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → (( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ))
133 ovolssnul 25522 . . . . . . . . . . . 12 ((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
1341333expa 1119 . . . . . . . . . . 11 (((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
135132, 134sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0)
136 nulmbl 25570 . . . . . . . . . 10 ((( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol)
13798, 135, 136syl2an2r 685 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol)
138 difmbl 25578 . . . . . . . . 9 (( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∈ dom vol ∧ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) ∈ dom vol)
13990, 137, 138syl2an2r 685 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ ( 𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴){𝑥𝐴 ∣ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏)} ∖ {𝑥𝐴𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)})) ∈ dom vol)
14054, 139eqeltrrid 2846 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ dom vol)
141 ssrab2 4080 . . . . . . . . 9 {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ 𝐴
142141, 97sstrid 3995 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ)
143124eleq2i 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}) ↔ 𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})))
144 ibar 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥𝐴 → (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}) ↔ (𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹}))))
145106, 144bitr2id 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴 → ((𝑥𝐴 ∧ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∈ ( E “ {𝐹})) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
146120, 145sylan9bb 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) “ ( E “ {𝐹})) ↔ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥)))
147143, 146bitr2id 284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
148147notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
149148biimpd 229 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) → ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
150149adantrd 491 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑥𝐴) → ((¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏) → ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
151150ss2rabdv 4076 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ {𝑥𝐴 ∣ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})})
152 dfdif2 3960 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) = {𝑥𝐴 ∣ ¬ 𝑥 ∈ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})}
153151, 152sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom vol → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})))
154153, 131jca 511 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom vol → ({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ))
155 ovolssnul 25522 . . . . . . . . . 10 (({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
1561553expa 1119 . . . . . . . . 9 ((({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ∧ (𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹})) ⊆ ℝ) ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
157154, 156sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0)
158 nulmbl 25570 . . . . . . . 8 (({𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ (vol*‘{𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol)
159142, 157, 158syl2an2r 685 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol)
160 unmbl 25572 . . . . . . 7 (({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∈ dom vol ∧ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)} ∈ dom vol) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
161140, 159, 160syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
1621613adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
163162adantr 480 . . . 4 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → ({𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ ((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴)(𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝑥𝑦 ∧ (𝐹𝑦) ⊆ 𝑏))} ∪ {𝑥𝐴 ∣ (¬ 𝐹 ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑥) ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑏)}) ∈ dom vol)
16445, 163eqeltrd 2841 . . 3 (((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) ∧ 𝑏 ∈ ran (,)) → (𝐹𝑏) ∈ dom vol)
165164ralrimiva 3146 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol)
166 ismbf 25663 . . 3 (𝐹:𝐴⟶ℝ → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol))
1671663ad2ant1 1134 . 2 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → (𝐹 ∈ MblFn ↔ ∀𝑏 ∈ ran (,)(𝐹𝑏) ∈ dom vol))
168165, 167mpbird 257 1 ((𝐹:𝐴⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ dom vol ∧ (vol*‘(𝐴 ∖ (((((topGen‘ran (,)) ↾t 𝐴) CnP (topGen‘ran (,))) ∘ E ) “ {𝐹}))) = 0) → 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  {cab 2714  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525  𝒫 cpw 4600  {csn 4626   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5225   E cep 5583  ccnv 5684  dom cdm 5685  ran crn 5686  cima 5688  ccom 5689  Rel wrel 5690   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  cr 11154  0cc0 11155  (,)cioo 13387  t crest 17465  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopOnctopon 22916  TopBasesctb 22952   CnP ccnp 23233  vol*covol 25497  volcvol 25498  MblFncmbf 25649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator