Theorem restrcl 23051

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22798	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		n0i 4306	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
4		restfn 17394	. . . 4 ⊢ ↾t Fn (V × V)
5	4	fndmi 6625	. . 3 ⊢ dom ↾t = (V × V)
6	5	ndmov 7576	. 2 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
7	3, 6	nsyl2 141	1 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299   × cxp 5639  (class class class)co 7390   ↾_t crest 17390  Topctop 22787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-rest 17392  df-top 22788

This theorem is referenced by:  cnrest2r  23181  imacmp  23291  fiuncmp  23298  conncompss  23327  kgeni  23431  kgencmp  23439  kgencmp2  23440