Theorem restrcl 23165

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22910	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		n0i 4340	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
4		restfn 17469	. . . 4 ⊢ ↾t Fn (V × V)
5	4	fndmi 6672	. . 3 ⊢ dom ↾t = (V × V)
6	5	ndmov 7617	. 2 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
7	3, 6	nsyl2 141	1 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ∅c0 4333   × cxp 5683  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17465  Topctop 22899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-rest 17467  df-top 22900

This theorem is referenced by:  cnrest2r  23295  imacmp  23405  fiuncmp  23412  conncompss  23441  kgeni  23545  kgencmp  23553  kgencmp2  23554