Theorem restrcl 23186

Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
restrcl	⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 22931	. . 3 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴))
2		n0i 4363	. . 3 ⊢ (∅ ∈ (𝐽 ↾t 𝐴) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → ¬ (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
4		restfn 17484	. . . 4 ⊢ ↾t Fn (V × V)
5	4	fndmi 6683	. . 3 ⊢ dom ↾t = (V × V)
6	5	ndmov 7634	. 2 ⊢ (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽 ↾t 𝐴) = ∅)
7	3, 6	nsyl2 141	1 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352   × cxp 5698  (class class class)co 7448   ↾_t crest 17480  Topctop 22920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-rest 17482  df-top 22921

This theorem is referenced by:  cnrest2r  23316  imacmp  23426  fiuncmp  23433  conncompss  23462  kgeni  23566  kgencmp  23574  kgencmp2  23575