MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restrcl 23180
Description: Reverse closure for the subspace topology. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
restrcl ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))

Proof of Theorem restrcl
StepHypRef Expression
1 0opn 22925 . . 3 ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t 𝐴))
2 n0i 4345 . . 3 (∅ ∈ (𝐽t 𝐴) → ¬ (𝐽t 𝐴) = ∅)
31, 2syl 17 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → ¬ (𝐽t 𝐴) = ∅)
4 restfn 17470 . . . 4 t Fn (V × V)
54fndmi 6672 . . 3 dom ↾t = (V × V)
65ndmov 7616 . 2 (¬ (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐽t 𝐴) = ∅)
73, 6nsyl2 141 1 ((𝐽t 𝐴) ∈ Top → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  c0 4338   × cxp 5686  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-rest 17468  df-top 22915
This theorem is referenced by:  cnrest2r  23310  imacmp  23420  fiuncmp  23427  conncompss  23456  kgeni  23560  kgencmp  23568  kgencmp2  23569
  Copyright terms: Public domain W3C validator