Theorem rest0 23105

Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5277	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17438	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4		in0 4370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) = ∅
5	1	elsn2 4641	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
6	4, 5	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
8	7	fmpttd 7104	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
9	8	frnd 6713	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
10	3, 9	eqsstrd 3993	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ⊆ {∅})
11		resttop 23096	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
12	1, 11	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
13		0opn 22840	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
15	14	snssd 4785	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽 ↾t ∅))
16	10, 15	eqssd 3976	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925  ∅c0 4308  {csn 4601   ↦ cmpt 5201  ran crn 5655  (class class class)co 7403   ↾_t crest 17432  Topctop 22829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-en 8958  df-fin 8961  df-fi 9421  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-top 22830  df-bases 22882

This theorem is referenced by:  fiuncmp  23340  xkouni  23535  icccmp  24763  cncfiooicc  45871