MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rest0 23192
Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5312 . . . 4 ∅ ∈ V
2 restval 17472 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4 in0 4400 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ ∅) = ∅
51elsn2 4669 . . . . . . 7 ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
64, 5mpbir 231 . . . . . 6 (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
87fmpttd 7134 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
98frnd 6744 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
103, 9eqsstrd 4033 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ⊆ {∅})
11 resttop 23183 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) ∈ Top)
121, 11mpan2 691 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ∈ Top)
13 0opn 22925 . . . 4 ((𝐽t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1514snssd 4813 . 2 (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽t ∅))
1610, 15eqssd 4012 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  c0 4338  {csn 4630  cmpt 5230  ran crn 5689  (class class class)co 7430  t crest 17466  Topctop 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-en 8984  df-fin 8987  df-fi 9448  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  fiuncmp  23427  xkouni  23622  icccmp  24860  cncfiooicc  45849
  Copyright terms: Public domain W3C validator