Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rest0 21693
 Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5208 . . . 4 ∅ ∈ V
2 restval 16690 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 687 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4 in0 4349 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ ∅) = ∅
51elsn2 4601 . . . . . . 7 ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
64, 5mpbir 232 . . . . . 6 (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
87fmpttd 6875 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
98frnd 6518 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
103, 9eqsstrd 4009 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ⊆ {∅})
11 resttop 21684 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) ∈ Top)
121, 11mpan2 687 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ∈ Top)
13 0opn 21428 . . . 4 ((𝐽t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1514snssd 4741 . 2 (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽t ∅))
1610, 15eqssd 3988 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  Vcvv 3500   ∩ cin 3939  ∅c0 4295  {csn 4564   ↦ cmpt 5143  ran crn 5555  (class class class)co 7148   ↾t crest 16684  Topctop 21417 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-fin 8502  df-fi 8864  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-top 21418  df-bases 21470 This theorem is referenced by:  fiuncmp  21928  xkouni  22123  icccmp  23348  cncfiooicc  42042
 Copyright terms: Public domain W3C validator