MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rest0 22655
Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5306 . . . 4 ∅ ∈ V
2 restval 17368 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4 in0 4390 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ ∅) = ∅
51elsn2 4666 . . . . . . 7 ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
64, 5mpbir 230 . . . . . 6 (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
87fmpttd 7110 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
98frnd 6722 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
103, 9eqsstrd 4019 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ⊆ {∅})
11 resttop 22646 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) ∈ Top)
121, 11mpan2 690 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ∈ Top)
13 0opn 22388 . . . 4 ((𝐽t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1514snssd 4811 . 2 (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽t ∅))
1610, 15eqssd 3998 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3946  c0 4321  {csn 4627  cmpt 5230  ran crn 5676  (class class class)co 7404  t crest 17362  Topctop 22377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22378  df-bases 22431
This theorem is referenced by:  fiuncmp  22890  xkouni  23085  icccmp  24323  cncfiooicc  44545
  Copyright terms: Public domain W3C validator