MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rest0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rest0 23177
Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rest0 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5307 . . . 4 ∅ ∈ V
2 restval 17471 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
31, 2mpan2 691 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4 in0 4395 . . . . . . 7 (𝑥 ∩ ∅) = ∅
51elsn2 4665 . . . . . . 7 ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
64, 5mpbir 231 . . . . . 6 (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
87fmpttd 7135 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
98frnd 6744 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
103, 9eqsstrd 4018 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ⊆ {∅})
11 resttop 23168 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽t ∅) ∈ Top)
121, 11mpan2 691 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) ∈ Top)
13 0opn 22910 . . . 4 ((𝐽t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1412, 13syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽t ∅))
1514snssd 4809 . 2 (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽t ∅))
1610, 15eqssd 4001 1 (𝐽 ∈ Top → (𝐽t ∅) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  cmpt 5225  ran crn 5686  (class class class)co 7431  t crest 17465  Topctop 22899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  fiuncmp  23412  xkouni  23607  icccmp  24847  cncfiooicc  45909
  Copyright terms: Public domain W3C validator