Theorem rest0 21777

Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5211	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 16700	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4		in0 4345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) = ∅
5	1	elsn2 4604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
6	4, 5	mpbir 233	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
8	7	fmpttd 6879	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
9	8	frnd 6521	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
10	3, 9	eqsstrd 4005	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ⊆ {∅})
11		resttop 21768	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
12	1, 11	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
13		0opn 21512	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
15	14	snssd 4742	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽 ↾t ∅))
16	10, 15	eqssd 3984	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  Vcvv 3494   ∩ cin 3935  ∅c0 4291  {csn 4567   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556  (class class class)co 7156   ↾_t crest 16694  Topctop 21501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-fin 8513  df-fi 8875  df-rest 16696  df-topgen 16717  df-top 21502  df-bases 21554

This theorem is referenced by:  fiuncmp  22012  xkouni  22207  icccmp  23433  cncfiooicc  42197