Theorem rest0 22655

Description: The subspace topology induced by the topology 𝐽 on the empty set. (Contributed by FL, 22-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rest0	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Proof of Theorem rest0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5306	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		restval 17368	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
3	1, 2	mpan2 690	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)))
4		in0 4390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) = ∅
5	1	elsn2 4666	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅} ↔ (𝑥 ∩ ∅) = ∅)
6	4, 5	mpbir 230	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅}
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → (𝑥 ∩ ∅) ∈ {∅})
8	7	fmpttd 7110	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)):𝐽⟶{∅})
9	8	frnd 6722	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ran (𝑥 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∩ ∅)) ⊆ {∅})
10	3, 9	eqsstrd 4019	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ⊆ {∅})
11		resttop 22646	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ V) → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
12	1, 11	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) ∈ Top)
13		0opn 22388	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ↾t ∅) ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (𝐽 ↾t ∅))
15	14	snssd 4811	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → {∅} ⊆ (𝐽 ↾t ∅))
16	10, 15	eqssd 3998	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐽 ↾t ∅) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  {csn 4627   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  (class class class)co 7404   ↾_t crest 17362  Topctop 22377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22378  df-bases 22431

This theorem is referenced by:  fiuncmp  22890  xkouni  23085  icccmp  24323  cncfiooicc  44545