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Theorem en2top 22470
Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2top (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2 toponss 22411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
32ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥𝑋)
4 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5 sseq0 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7 velsn 4643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
86, 7sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
98expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥𝐽𝑥 ∈ {∅}))
109ssrdv 3987 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11 topontop 22397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12 0opn 22388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
1514snssd 4811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
1610, 15eqssd 3998 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17 0ex 5306 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1817ensn1 9013 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ≈ 1o
1916, 18eqbrtrdi 5186 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
2019olcd 873 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21 sdom2en01 10293 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23 sdomnen 8973 . . . . . . . . 9 (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
2524ex 414 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
2625necon2ad 2956 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o𝑋 ≠ ∅))
271, 26mpd 15 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
2827necomd 2997 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
2913adantr 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30 toponmax 22410 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
3130adantr 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋𝐽)
32 en2eqpr 9998 . . . . 5 ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽𝑋𝐽) → (∅ ≠ 𝑋𝐽 = {∅, 𝑋}))
331, 29, 31, 32syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋𝐽 = {∅, 𝑋}))
3428, 33mpd 15 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
3534, 27jca 513 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36 simprl 770 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37 simprr 772 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
3837necomd 2997 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39 enpr2 9993 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝑋𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
4017, 30, 38, 39mp3an2ani 1469 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
4136, 40eqbrtrd 5169 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
4235, 41impbida 800 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  Vcvv 3475  wss 3947  c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  cfv 6540  1oc1o 8454  2oc2o 8455  cen 8932  csdm 8934  Topctop 22377  TopOnctopon 22394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7851  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-top 22378  df-topon 22395
This theorem is referenced by:  hmphindis  23283
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