Theorem en2top 22470

Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2top	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2		toponss 22411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
3	2	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5		sseq0 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7		velsn 4643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
8	6, 7	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
9	8	expr 458	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ {∅}))
10	9	ssrdv 3987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11		topontop 22397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		0opn 22388	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
14	13	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
15	14	snssd 4811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
16	10, 15	eqssd 3998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17		0ex 5306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	ensn1 9013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ≈ 1o
19	16, 18	eqbrtrdi 5186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
20	19	olcd 873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21		sdom2en01 10293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
22	20, 21	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23		sdomnen 8973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
25	24	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o → 𝑋 ≠ ∅))
27	1, 26	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
28	27	necomd 2997	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
29	13	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30		toponmax 22410	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
31	30	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝐽)
32		en2eqpr 9998	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
33	1, 29, 31, 32	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
34	28, 33	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
35	34, 27	jca 513	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
38	37	necomd 2997	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39		enpr2 9993	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
40	17, 30, 38, 39	mp3an2ani 1469	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
41	36, 40	eqbrtrd 5169	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
42	35, 41	impbida 800	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627  {cpr 4629   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  1_oc1o 8454  2_oc2o 8455   ≈ cen 8932   ≺ csdm 8934  Topctop 22377  TopOnctopon 22394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-om 7851  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-top 22378  df-topon 22395

This theorem is referenced by:  hmphindis  23283