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Theorem en2top 22839
Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2top (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))

Proof of Theorem en2top
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2 toponss 22780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
32ad2ant2rl 746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
4 simprl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ 𝑋 = βˆ…)
5 sseq0 4394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘₯ = βˆ…)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ = βˆ…)
7 velsn 4639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {βˆ…} ↔ π‘₯ = βˆ…)
86, 7sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…})
98expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…}))
109ssrdv 3983 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 βŠ† {βˆ…})
11 topontop 22766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
12 0opn 22757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1413ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1514snssd 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝐽)
1610, 15eqssd 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 = {βˆ…})
17 0ex 5300 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ V
1817ensn1 9016 . . . . . . . . . . . 12 {βˆ…} β‰ˆ 1o
1916, 18eqbrtrdi 5180 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 β‰ˆ 1o)
2019olcd 871 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐽 = βˆ… ∨ 𝐽 β‰ˆ 1o))
21 sdom2en01 10296 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β‰Ί 2o ↔ (𝐽 = βˆ… ∨ 𝐽 β‰ˆ 1o))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 β‰Ί 2o)
23 sdomnen 8976 . . . . . . . . 9 (𝐽 β‰Ί 2o β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2524ex 412 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑋 = βˆ… β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o))
2625necon2ad 2949 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
271, 26mpd 15 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2827necomd 2990 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ βˆ… β‰  𝑋)
2913adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
30 toponmax 22779 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
32 en2eqpr 10001 . . . . 5 ((𝐽 β‰ˆ 2o ∧ βˆ… ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ… β‰  𝑋 β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋}))
331, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (βˆ… β‰  𝑋 β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋}))
3428, 33mpd 15 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
3534, 27jca 511 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
36 simprl 768 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
37 simprr 770 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3837necomd 2990 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ… β‰  𝑋)
39 enpr2 9996 . . . 4 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ βˆ… β‰  𝑋) β†’ {βˆ…, 𝑋} β‰ˆ 2o)
4017, 30, 38, 39mp3an2ani 1464 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ {βˆ…, 𝑋} β‰ˆ 2o)
4136, 40eqbrtrd 5163 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
4235, 41impbida 798 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  1oc1o 8457  2oc2o 8458   β‰ˆ cen 8935   β‰Ί csdm 8937  Topctop 22746  TopOnctopon 22763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7852  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-card 9933  df-top 22747  df-topon 22764
This theorem is referenced by:  hmphindis  23652
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