Theorem en2top 22888

Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2top	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2		toponss 22830	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
3	2	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4		simprl 770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5		sseq0 4356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7		velsn 4595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
9	8	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ {∅}))
10	9	ssrdv 3943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11		topontop 22816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		0opn 22807	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
15	14	snssd 4763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
16	10, 15	eqssd 3955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17		0ex 5249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	ensn1 8953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ≈ 1o
19	16, 18	eqbrtrdi 5134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
20	19	olcd 874	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21		sdom2en01 10215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23		sdomnen 8913	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2940	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o → 𝑋 ≠ ∅))
27	1, 26	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
28	27	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
29	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30		toponmax 22829	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝐽)
32		en2eqpr 9920	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
33	1, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
34	28, 33	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
35	34, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36		simprl 770	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
38	37	necomd 2980	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39		enpr2 9917	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
40	17, 30, 38, 39	mp3an2ani 1470	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
41	36, 40	eqbrtrd 5117	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
42	35, 41	impbida 800	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389   ≈ cen 8876   ≺ csdm 8878  Topctop 22796  TopOnctopon 22813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-card 9854  df-top 22797  df-topon 22814

This theorem is referenced by:  hmphindis  23700