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Theorem en2top 22901
Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2top (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
Proof of Theorem en2top
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2 toponss 22842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
32ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
4 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ 𝑋 = βˆ…)
5 sseq0 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘₯ = βˆ…)
63, 4, 5syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ = βˆ…)
7 velsn 4645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {βˆ…} ↔ π‘₯ = βˆ…)
86, 7sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…})
98expr 456 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…}))
109ssrdv 3986 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 βŠ† {βˆ…})
11 topontop 22828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
12 0opn 22819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1514snssd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝐽)
1610, 15eqssd 3997 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 = {βˆ…})
17 0ex 5307 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ V
1817ensn1 9042 . . . . . . . . . . . 12 {βˆ…} β‰ˆ 1o
1916, 18eqbrtrdi 5187 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 β‰ˆ 1o)
2019olcd 873 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐽 = βˆ… ∨ 𝐽 β‰ˆ 1o))
21 sdom2en01 10326 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β‰Ί 2o ↔ (𝐽 = βˆ… ∨ 𝐽 β‰ˆ 1o))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 β‰Ί 2o)
23 sdomnen 9002 . . . . . . . . 9 (𝐽 β‰Ί 2o β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2524ex 412 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑋 = βˆ… β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o))
2625necon2ad 2952 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
271, 26mpd 15 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2827necomd 2993 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ βˆ… β‰  𝑋)
2913adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
30 toponmax 22841 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
32 en2eqpr 10031 . . . . 5 ((𝐽 β‰ˆ 2o ∧ βˆ… ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ… β‰  𝑋 β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋}))
331, 29, 31, 32syl3anc 1369 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (βˆ… β‰  𝑋 β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋}))
3428, 33mpd 15 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
3534, 27jca 511 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
36 simprl 770 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
37 simprr 772 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3837necomd 2993 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ… β‰  𝑋)
39 enpr2 10026 . . . 4 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ βˆ… β‰  𝑋) β†’ {βˆ…, 𝑋} β‰ˆ 2o)
4017, 30, 38, 39mp3an2ani 1465 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ {βˆ…, 𝑋} β‰ˆ 2o)
4136, 40eqbrtrd 5170 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
4235, 41impbida 800 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  1oc1o 8480  2oc2o 8481   β‰ˆ cen 8961   β‰Ί csdm 8963  Topctop 22808  TopOnctopon 22825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-top 22809  df-topon 22826
This theorem is referenced by:  hmphindis  23714
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