Theorem en2top 22992

Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2top	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2		toponss 22933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
3	2	ad2ant2rl 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5		sseq0 4403	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7		velsn 4642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
9	8	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ {∅}))
10	9	ssrdv 3989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11		topontop 22919	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		0opn 22910	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
15	14	snssd 4809	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
16	10, 15	eqssd 4001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17		0ex 5307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	ensn1 9061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ≈ 1o
19	16, 18	eqbrtrdi 5182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
20	19	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21		sdom2en01 10342	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23		sdomnen 9021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2955	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o → 𝑋 ≠ ∅))
27	1, 26	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
28	27	necomd 2996	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
29	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30		toponmax 22932	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝐽)
32		en2eqpr 10047	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
33	1, 29, 31, 32	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
34	28, 33	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
35	34, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
38	37	necomd 2996	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39		enpr2 10042	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
40	17, 30, 38, 39	mp3an2ani 1470	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
41	36, 40	eqbrtrd 5165	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
42	35, 41	impbida 801	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  1_oc1o 8499  2_oc2o 8500   ≈ cen 8982   ≺ csdm 8984  Topctop 22899  TopOnctopon 22916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-top 22900  df-topon 22917

This theorem is referenced by:  hmphindis  23805