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Theorem en2top 21685
 Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2top (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 488 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2 toponss 21627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
32ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥𝑋)
4 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5 sseq0 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
63, 4, 5syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7 velsn 4538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
86, 7sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
98expr 460 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥𝐽𝑥 ∈ {∅}))
109ssrdv 3898 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11 topontop 21613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12 0opn 21604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
1514snssd 4699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
1610, 15eqssd 3909 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17 0ex 5177 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1817ensn1 8592 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ≈ 1o
1916, 18eqbrtrdi 5071 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
2019olcd 871 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21 sdom2en01 9762 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
2220, 21sylibr 237 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23 sdomnen 8556 . . . . . . . . 9 (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
2524ex 416 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
2625necon2ad 2966 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o𝑋 ≠ ∅))
271, 26mpd 15 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
2827necomd 3006 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
2913adantr 484 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30 toponmax 21626 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
3130adantr 484 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋𝐽)
32 en2eqpr 9467 . . . . 5 ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽𝑋𝐽) → (∅ ≠ 𝑋𝐽 = {∅, 𝑋}))
331, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋𝐽 = {∅, 𝑋}))
3428, 33mpd 15 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
3534, 27jca 515 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36 simprl 770 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37 simprr 772 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
3837necomd 3006 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39 pr2nelem 9464 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝑋𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
4017, 30, 38, 39mp3an2ani 1465 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
4136, 40eqbrtrd 5054 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
4235, 41impbida 800 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  {csn 4522  {cpr 4524   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  1oc1o 8105  2oc2o 8106   ≈ cen 8524   ≺ csdm 8526  Topctop 21593  TopOnctopon 21610 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-om 7580  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-card 9401  df-top 21594  df-topon 21611 This theorem is referenced by:  hmphindis  22497
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