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Theorem en2top 22351
Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2top (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))

Proof of Theorem en2top
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2 toponss 22292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
32ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝑋)
4 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ 𝑋 = βˆ…)
5 sseq0 4360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ π‘₯ = βˆ…)
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ = βˆ…)
7 velsn 4603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ {βˆ…} ↔ π‘₯ = βˆ…)
86, 7sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘₯ ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…})
98expr 458 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐽 β†’ π‘₯ ∈ {βˆ…}))
109ssrdv 3951 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 βŠ† {βˆ…})
11 topontop 22278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
12 0opn 22269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1413ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
1514snssd 4770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ {βˆ…} βŠ† 𝐽)
1610, 15eqssd 3962 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 = {βˆ…})
17 0ex 5265 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ… ∈ V
1817ensn1 8964 . . . . . . . . . . . 12 {βˆ…} β‰ˆ 1o
1916, 18eqbrtrdi 5145 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 β‰ˆ 1o)
2019olcd 873 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (𝐽 = βˆ… ∨ 𝐽 β‰ˆ 1o))
21 sdom2en01 10243 . . . . . . . . . 10 (𝐽 β‰Ί 2o ↔ (𝐽 = βˆ… ∨ 𝐽 β‰ˆ 1o))
2220, 21sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐽 β‰Ί 2o)
23 sdomnen 8924 . . . . . . . . 9 (𝐽 β‰Ί 2o β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o)
2524ex 414 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝑋 = βˆ… β†’ Β¬ 𝐽 β‰ˆ 2o))
2625necon2ad 2955 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o β†’ 𝑋 β‰  βˆ…))
271, 26mpd 15 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
2827necomd 2996 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ βˆ… β‰  𝑋)
2913adantr 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ βˆ… ∈ 𝐽)
30 toponmax 22291 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
3130adantr 482 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
32 en2eqpr 9948 . . . . 5 ((𝐽 β‰ˆ 2o ∧ βˆ… ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) β†’ (βˆ… β‰  𝑋 β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋}))
331, 29, 31, 32syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (βˆ… β‰  𝑋 β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋}))
3428, 33mpd 15 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
3534, 27jca 513 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐽 β‰ˆ 2o) β†’ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…))
36 simprl 770 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 = {βˆ…, 𝑋})
37 simprr 772 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
3837necomd 2996 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ βˆ… β‰  𝑋)
39 enpr2 9943 . . . 4 ((βˆ… ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ βˆ… β‰  𝑋) β†’ {βˆ…, 𝑋} β‰ˆ 2o)
4017, 30, 38, 39mp3an2ani 1469 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ {βˆ…, 𝑋} β‰ˆ 2o)
4136, 40eqbrtrd 5128 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)) β†’ 𝐽 β‰ˆ 2o)
4235, 41impbida 800 1 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ (𝐽 β‰ˆ 2o ↔ (𝐽 = {βˆ…, 𝑋} ∧ 𝑋 β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3444   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  1oc1o 8406  2oc2o 8407   β‰ˆ cen 8883   β‰Ί csdm 8885  Topctop 22258  TopOnctopon 22275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-om 7804  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9880  df-top 22259  df-topon 22276
This theorem is referenced by:  hmphindis  23164
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