Theorem en2top 22960

Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2top	⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2		toponss 22902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
3	2	ad2ant2rl 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
4		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5		sseq0 4344	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7		velsn 4584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
8	6, 7	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
9	8	expr 456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥 ∈ 𝐽 → 𝑥 ∈ {∅}))
10	9	ssrdv 3928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11		topontop 22888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		0opn 22879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
15	14	snssd 4753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
16	10, 15	eqssd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17		0ex 5242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ V
18	17	ensn1 8961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {∅} ≈ 1o
19	16, 18	eqbrtrdi 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
20	19	olcd 875	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21		sdom2en01 10215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
22	20, 21	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23		sdomnen 8921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
26	25	necon2ad 2948	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o → 𝑋 ≠ ∅))
27	1, 26	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
28	27	necomd 2988	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
29	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30		toponmax 22901	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐽)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝐽)
32		en2eqpr 9920	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽 ∧ 𝑋 ∈ 𝐽) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
33	1, 29, 31, 32	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋 → 𝐽 = {∅, 𝑋}))
34	28, 33	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
35	34, 27	jca 511	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36		simprl 771	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
38	37	necomd 2988	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39		enpr2 9917	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ 𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
40	17, 30, 38, 39	mp3an2ani 1471	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
41	36, 40	eqbrtrd 5108	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
42	35, 41	impbida 801	1 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392   ≈ cen 8883   ≺ csdm 8885  Topctop 22868  TopOnctopon 22885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7811  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-top 22869  df-topon 22886

This theorem is referenced by:  hmphindis  23772