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Theorem en2top 21277
Description: If a topology has two elements, it is the indiscrete topology. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2top (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))

Proof of Theorem en2top
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 ≈ 2o)
2 toponss 21219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥𝑋)
32ad2ant2rl 745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥𝑋)
4 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑋 = ∅)
5 sseq0 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝑋𝑋 = ∅) → 𝑥 = ∅)
63, 4, 5syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥 = ∅)
7 velsn 4488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
86, 7sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑥𝐽)) → 𝑥 ∈ {∅})
98expr 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑥𝐽𝑥 ∈ {∅}))
109ssrdv 3895 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ⊆ {∅})
11 topontop 21205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12 0opn 21196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∅ ∈ 𝐽)
1413ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ∅ ∈ 𝐽)
1514snssd 4649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → {∅} ⊆ 𝐽)
1610, 15eqssd 3906 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 = {∅})
17 0ex 5102 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ V
1817ensn1 8421 . . . . . . . . . . . 12 {∅} ≈ 1o
1916, 18syl6eqbr 5001 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≈ 1o)
2019olcd 871 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
21 sdom2en01 9570 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ≺ 2o ↔ (𝐽 = ∅ ∨ 𝐽 ≈ 1o))
2220, 21sylibr 235 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐽 ≺ 2o)
23 sdomnen 8386 . . . . . . . . 9 (𝐽 ≺ 2o → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
2422, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) ∧ 𝑋 = ∅) → ¬ 𝐽 ≈ 2o)
2524ex 413 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝑋 = ∅ → ¬ 𝐽 ≈ 2o))
2625necon2ad 2999 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 ≈ 2o𝑋 ≠ ∅))
271, 26mpd 15 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∅)
2827necomd 3039 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ≠ 𝑋)
2913adantr 481 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → ∅ ∈ 𝐽)
30 toponmax 21218 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
3130adantr 481 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝑋𝐽)
32 en2eqpr 9279 . . . . 5 ((𝐽 ≈ 2o ∧ ∅ ∈ 𝐽𝑋𝐽) → (∅ ≠ 𝑋𝐽 = {∅, 𝑋}))
331, 29, 31, 32syl3anc 1364 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (∅ ≠ 𝑋𝐽 = {∅, 𝑋}))
3428, 33mpd 15 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
3534, 27jca 512 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐽 ≈ 2o) → (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅))
36 simprl 767 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 = {∅, 𝑋})
37 simprr 769 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝑋 ≠ ∅)
3837necomd 3039 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ∅ ≠ 𝑋)
39 pr2nelem 9276 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝑋𝐽 ∧ ∅ ≠ 𝑋) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
4017, 30, 38, 39mp3an2ani 1460 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → {∅, 𝑋} ≈ 2o)
4136, 40eqbrtrd 4984 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → 𝐽 ≈ 2o)
4235, 41impbida 797 1 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → (𝐽 ≈ 2o ↔ (𝐽 = {∅, 𝑋} ∧ 𝑋 ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 842   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  Vcvv 3437  wss 3859  c0 4211  {csn 4472  {cpr 4474   class class class wbr 4962  cfv 6225  1oc1o 7946  2oc2o 7947  cen 8354  csdm 8356  Topctop 21185  TopOnctopon 21202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-om 7437  df-1o 7953  df-2o 7954  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-top 21186  df-topon 21203
This theorem is referenced by:  hmphindis  22089
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