Theorem iocpnfordt 23223

Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iocpnfordt	⊢ (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem iocpnfordt

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 23221	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5		letop 23214	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
6	4, 5	eqeltrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7		tgclb 22977	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
8	6, 7	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9		bastg 22973	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
11	10, 4	sseqtrri 4033	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12		ssun1 4178	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13		ssun1 4178	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,]+∞) = (𝐴(,]+∞)
15		oveq1 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(,]+∞) = (𝐴(,]+∞))
16	15	rspceeqv 3645	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,]+∞) = (𝐴(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
17	14, 16	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
19		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
21	17, 20	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)))
22	13, 21	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
23	12, 22	sselid 3981	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
24	11, 23	sselid 3981	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
25	24	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
26		df-ioc 13392	. . . . . 6 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
27	26	ixxf 13397	. . . . 5 ⊢ (,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
28	27	fdmi 6747	. . . 4 ⊢ dom (,] = (ℝ* × ℝ*)
29	28	ndmov 7617	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) = ∅)
30		0opn 22910	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
31	5, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
32	29, 31	eqeltrdi 2849	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
33	25, 32	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  𝒫 cpw 4600   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ran crn 5686  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  topGenctg 17482  ordTopcordt 17544  Topctop 22899  TopBasesctb 22952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  xrlimcnp  27011  pnfneige0  33950  lmxrge0  33951  xlimpnfvlem1  45851