Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocpnfordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocpnfordt 21820
 Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocpnfordt (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem iocpnfordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2 eqid 2798 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3 eqid 2798 . . . . . . . . 9 ran (,) = ran (,)
41, 2, 3leordtval 21818 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5 letop 21811 . . . . . . . 8 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
64, 5eqeltrri 2887 . . . . . . 7 (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7 tgclb 21575 . . . . . . 7 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
86, 7mpbir 234 . . . . . 6 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9 bastg 21571 . . . . . 6 (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
1110, 4sseqtrri 3952 . . . 4 ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12 ssun1 4099 . . . . 5 (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13 ssun1 4099 . . . . . 6 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝐴(,]+∞) = (𝐴(,]+∞)
15 oveq1 7142 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(,]+∞) = (𝐴(,]+∞))
1615rspceeqv 3586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,]+∞) = (𝐴(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
1714, 16mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
18 eqid 2798 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
19 ovex 7168 . . . . . . . 8 (𝑥(,]+∞) ∈ V
2018, 19elrnmpti 5796 . . . . . . 7 ((𝐴(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
2117, 20sylibr 237 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)))
2213, 21sseldi 3913 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
2312, 22sseldi 3913 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
2411, 23sseldi 3913 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
2524adantr 484 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
26 df-ioc 12731 . . . . . 6 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
2726ixxf 12736 . . . . 5 (,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
2827fdmi 6498 . . . 4 dom (,] = (ℝ* × ℝ*)
2928ndmov 7312 . . 3 (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) = ∅)
30 0opn 21509 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
315, 30ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
3229, 31eqeltrdi 2898 . 2 (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
3325, 32pm2.61i 185 1 (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ran crn 5520  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,)cico 12728  topGenctg 16703  ordTopcordt 16764  Topctop 21498  TopBasesctb 21550 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551 This theorem is referenced by:  xrlimcnp  25554  pnfneige0  31304  lmxrge0  31305  xlimpnfvlem1  42473
 Copyright terms: Public domain W3C validator