Theorem iocpnfordt 23526

Description: An unbounded above open interval is open in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iocpnfordt	⊢ (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )

Proof of Theorem iocpnfordt

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
2		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
3		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ran (,) = ran (,)
4	1, 2, 3	leordtval 23524	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
5		letop 23517	. . . . . . . 8 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
6	4, 5	eqeltrri 2858	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top
7		tgclb 23281	. . . . . . 7 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases ↔ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))) ∈ Top)
8	6, 7	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases
9		bastg 23277	. . . . . 6 ⊢ (((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ∈ TopBases → ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))))
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (topGen‘((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
11	10, 4	sseqtrri 3980	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)) ⊆ (ordTop‘ ≤ )
12		ssun1 4124	. . . . 5 ⊢ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ⊆ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,))
13		ssun1 4124	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)))
14		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴(,]+∞) = (𝐴(,]+∞)
15		oveq1 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(,]+∞) = (𝐴(,]+∞))
16	15	rspceeqv 3599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐴(,]+∞) = (𝐴(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
17	14, 16	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
18		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
19		ovex 7451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥(,]+∞) ∈ V
20	18, 19	elrnmpti 5944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (𝐴(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
21	17, 20	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)))
22	13, 21	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))))
23	12, 22	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ ((ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ∪ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))) ∪ ran (,)))
24	11, 23	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
25	24	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
26		df-ioc 13474	. . . . . 6 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
27	26	ixxf 13479	. . . . 5 ⊢ (,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
28	27	fdmi 6719	. . . 4 ⊢ dom (,] = (ℝ* × ℝ*)
29	28	ndmov 7603	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) = ∅)
30		0opn 23215	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ ))
31	5, 30	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ∅ ∈ (ordTop‘ ≤ )
32	29, 31	eqeltrdi 2869	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ ))
33	25, 32	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝐴(,]+∞) ∈ (ordTop‘ ≤ )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  +∞cpnf 11333  -∞cmnf 11334  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  (,)cioo 13469  (,]cioc 13470  [,)cico 13471  topGenctg 17601  ordTopcordt 17664  Topctop 23204  TopBasesctb 23256

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fi 9396  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-topgen 17607  df-ordt 17666  df-ps 18733  df-tsr 18734  df-top 23205  df-topon 23222  df-bases 23257

This theorem is used by:  xrlimcnp  27289  pnfneige0  34576  lmxrge0  34577  xlimpnfvlem1  46815