Theorem tgclb 22956

Description: The property tgcl 22955 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22955	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		0opn 22890	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
3	2	elfvexd 6866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4		bastg 22952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
7	5	sselda 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
8	6, 7	anim12dan 626	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9		inopn 22885	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
10	9	3expb 1127	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	syldan 598	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12		tg2 22951	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
13	12	ralrimiva 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
15	14	ralrimivva 3184	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16		isbasis2g 22934	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
17	3, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
18	15, 17	mpbird 259	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
19	1, 18	impbii 211	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263  ‘cfv 6488  topGenctg 17395  Topctop 22879  TopBasesctb 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-topgen 17401  df-top 22880  df-bases 22932

This theorem is referenced by:  bastop2  22980  iocpnfordt  23201  icomnfordt  23202  iooordt  23203  tgcn  23238  tgcnp  23239  2ndcctbss  23441  2ndcomap  23444  dis2ndc  23446  flftg  23982  met2ndci  24508  xrtgioo  24793  topfneec  36596