Theorem tgclb 23249

Description: The property tgcl 23248 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 23248	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		0opn 23183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
3	2	elfvexd 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4		bastg 23245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
5	3, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
7	5	sselda 3930	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
8	6, 7	anim12dan 631	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9		inopn 23178	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
10	9	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	syldan 603	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12		tg2 23244	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
13	12	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
15	14	ralrimivva 3205	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16		isbasis2g 23227	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
17	3, 16	syl 18	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
18	15, 17	mpbird 260	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
19	1, 18	impbii 212	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  ‘cfv 6527  topGenctg 17569  Topctop 23172  TopBasesctb 23224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-topgen 17575  df-top 23173  df-bases 23225

This theorem is used by:  bastop2  23273  iocpnfordt  23494  icomnfordt  23495  iooordt  23496  tgcn  23531  tgcnp  23532  2ndcctbss  23735  2ndcomap  23738  dis2ndc  23740  flftg  24276  met2ndci  24802  xrtgioo  25087  topfneec  37065