MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgclb 21494
Description: The property tgcl 21493 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 21493 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 0opn 21428 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
32elfvexd 6700 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4 bastg 21490 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3970 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
75sselda 3970 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
86, 7anim12dan 618 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9 inopn 21423 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
1093expb 1114 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
118, 10syldan 591 . . . . 5 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12 tg2 21489 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ralrimiva 3186 . . . . 5 ((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1514ralrimivva 3195 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 isbasis2g 21472 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
173, 16syl 17 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
1815, 17mpbird 258 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
191, 18impbii 210 1 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  wa 396  wcel 2106  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  cin 3938  wss 3939  c0 4294  cfv 6351  topGenctg 16703  Topctop 21417  TopBasesctb 21469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fv 6359  df-topgen 16709  df-top 21418  df-bases 21470
This theorem is referenced by:  bastop2  21518  iocpnfordt  21739  icomnfordt  21740  iooordt  21741  tgcn  21776  tgcnp  21777  2ndcctbss  21979  2ndcomap  21982  dis2ndc  21984  flftg  22520  met2ndci  23047  xrtgioo  23329  topfneec  33588
  Copyright terms: Public domain W3C validator