MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgclb 22992
Description: The property tgcl 22991 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 22991 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 0opn 22925 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
32elfvexd 6945 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4 bastg 22988 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3994 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
75sselda 3994 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
86, 7anim12dan 619 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9 inopn 22920 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
1093expb 1119 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
118, 10syldan 591 . . . . 5 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12 tg2 22987 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1514ralrimivva 3199 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 isbasis2g 22970 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
173, 16syl 17 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
1815, 17mpbird 257 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
191, 18impbii 209 1 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  c0 4338  cfv 6562  topGenctg 17483  Topctop 22914  TopBasesctb 22967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968
This theorem is referenced by:  bastop2  23016  iocpnfordt  23238  icomnfordt  23239  iooordt  23240  tgcn  23275  tgcnp  23276  2ndcctbss  23478  2ndcomap  23481  dis2ndc  23483  flftg  24019  met2ndci  24550  xrtgioo  24841  topfneec  36337
  Copyright terms: Public domain W3C validator