MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgclb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgclb 22977
Description: The property tgcl 22976 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tgclb (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgcl 22976 . 2 (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2 0opn 22910 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
32elfvexd 6945 . . . . . . . . 9 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4 bastg 22973 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
65sselda 3983 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
75sselda 3983 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
86, 7anim12dan 619 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9 inopn 22905 . . . . . . 7 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
1093expb 1121 . . . . . 6 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
118, 10syldan 591 . . . . 5 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12 tg2 22972 . . . . . 6 (((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)) → ∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1312ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝑥𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1411, 13syl 17 . . . 4 (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
1514ralrimivva 3202 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦)))
16 isbasis2g 22955 . . . 4 (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
173, 16syl 17 . . 3 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑥𝑦)∃𝑤𝐵 (𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥𝑦))))
1815, 17mpbird 257 . 2 ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
191, 18impbii 209 1 (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopBasesctb 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  bastop2  23001  iocpnfordt  23223  icomnfordt  23224  iooordt  23225  tgcn  23260  tgcnp  23261  2ndcctbss  23463  2ndcomap  23466  dis2ndc  23468  flftg  24004  met2ndci  24535  xrtgioo  24828  topfneec  36356
  Copyright terms: Public domain W3C validator