Theorem tgclb 22855

Description: The property tgcl 22854 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22854	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		0opn 22789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
3	2	elfvexd 6859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4		bastg 22851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
7	5	sselda 3935	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
8	6, 7	anim12dan 619	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9		inopn 22784	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
10	9	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12		tg2 22850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
13	12	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
15	14	ralrimivva 3172	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16		isbasis2g 22833	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
17	3, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
18	15, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
19	1, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ‘cfv 6482  topGenctg 17341  Topctop 22778  TopBasesctb 22830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-topgen 17347  df-top 22779  df-bases 22831

This theorem is referenced by:  bastop2  22879  iocpnfordt  23100  icomnfordt  23101  iooordt  23102  tgcn  23137  tgcnp  23138  2ndcctbss  23340  2ndcomap  23343  dis2ndc  23345  flftg  23881  met2ndci  24408  xrtgioo  24693  topfneec  36339