Theorem tgclb 22977

Description: The property tgcl 22976 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22976	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		0opn 22910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
3	2	elfvexd 6945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4		bastg 22973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
7	5	sselda 3983	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
8	6, 7	anim12dan 619	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9		inopn 22905	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
10	9	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12		tg2 22972	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
13	12	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
15	14	ralrimivva 3202	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16		isbasis2g 22955	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
17	3, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
18	15, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
19	1, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  topGenctg 17482  Topctop 22899  TopBasesctb 22952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-topgen 17488  df-top 22900  df-bases 22953

This theorem is referenced by:  bastop2  23001  iocpnfordt  23223  icomnfordt  23224  iooordt  23225  tgcn  23260  tgcnp  23261  2ndcctbss  23463  2ndcomap  23466  dis2ndc  23468  flftg  24004  met2ndci  24535  xrtgioo  24828  topfneec  36356