Theorem tgclb 22890

Description: The property tgcl 22889 can be reversed: if the topology generated by 𝐵 is actually a topology, then 𝐵 must be a topological basis. This yields an alternative definition of TopBases. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgclb	⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Proof of Theorem tgclb

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcl 22889	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases → (topGen‘𝐵) ∈ Top)
2		0opn 22824	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∅ ∈ (topGen‘𝐵))
3	2	elfvexd 6879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ V)
4		bastg 22886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
6	5	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
7	5	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))
8	6, 7	anim12dan 619	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)))
9		inopn 22819	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
10	9	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (topGen‘𝐵))) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
11	8, 10	syldan 591	. . . . 5 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵))
12		tg2 22885	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
13	12	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ (topGen‘𝐵) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
14	11, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (((topGen‘𝐵) ∈ Top ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
15	14	ralrimivva 3178	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦)))
16		isbasis2g 22868	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
17	3, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → (𝐵 ∈ TopBases ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)∃𝑤 ∈ 𝐵 (𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥 ∩ 𝑦))))
18	15, 17	mpbird 257	. 2 ⊢ ((topGen‘𝐵) ∈ Top → 𝐵 ∈ TopBases)
19	1, 18	impbii 209	1 ⊢ (𝐵 ∈ TopBases ↔ (topGen‘𝐵) ∈ Top)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  ‘cfv 6499  topGenctg 17376  Topctop 22813  TopBasesctb 22865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fv 6507  df-topgen 17382  df-top 22814  df-bases 22866

This theorem is referenced by:  bastop2  22914  iocpnfordt  23135  icomnfordt  23136  iooordt  23137  tgcn  23172  tgcnp  23173  2ndcctbss  23375  2ndcomap  23378  dis2ndc  23380  flftg  23916  met2ndci  24443  xrtgioo  24728  topfneec  36336