Theorem nlim2 8481

Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim2	⊢ ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8470	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8467	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2864	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
4		1on 8472	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ On
5	4	onirri 6479	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
6		eleq2 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
7	5, 6	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
8	3, 7	mt2 203	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o = 1o
9	8	neir 2963	. . . . 5 ⊢ 2o ≠ 1o
10	2	unieqi 4886	. . . . . 6 ⊢ ∪ 2o = ∪ {∅, 1o}
11		0ex 5272	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12		1oex 8469	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	11, 12	unipr 4891	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14		0un 4353	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ 1o) = 1o
15	10, 13, 14	3eqtri 2792	. . . . 5 ⊢ ∪ 2o = 1o
16	9, 15	neeqtrri 3033	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∪ 2o
17	16	neii 2962	. . 3 ⊢ ¬ 2o = ∪ 2o
18		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o) → 2o = ∪ 2o)
19	17, 18	mto 200	. 2 ⊢ ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o)
20		df-lim 6369	. 2 ⊢ (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o))
21	19, 20	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Lim 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∪ cun 3904  ∅c0 4286  {cpr 4593  ∪ cuni 4874  Ord word 6363  Lim wlim 6365  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-tr 5221  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-1o 8459  df-2o 8460

This theorem is used by:  2ellim  8490