Theorem nlim2 8498

Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim2	⊢ ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8487	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8484	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2860	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
4		1on 8489	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ On
5	4	onirri 6477	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
6		eleq2 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
7	5, 6	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
8	3, 7	mt2 203	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o = 1o
9	8	neir 2959	. . . . 5 ⊢ 2o ≠ 1o
10	2	unieqi 4879	. . . . . 6 ⊢ ∪ 2o = ∪ {∅, 1o}
11		0ex 5261	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12		1oex 8486	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	11, 12	unipr 4884	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14		0un 4346	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ 1o) = 1o
15	10, 13, 14	3eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ∪ 2o = 1o
16	9, 15	neeqtrri 3029	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∪ 2o
17	16	neii 2958	. . 3 ⊢ ¬ 2o = ∪ 2o
18		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o) → 2o = ∪ 2o)
19	17, 18	mto 200	. 2 ⊢ ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o)
20		df-lim 6367	. 2 ⊢ (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o))
21	19, 20	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Lim 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {cpr 4586  ∪ cuni 4867  Ord word 6361  Lim wlim 6363  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-1o 8476  df-2o 8477

This theorem is used by:  2ellim  8507