Theorem nlim2 8474

Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim2	⊢ ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8462	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4734	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8460	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2868	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
5		1on 8465	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ On
6	5	onirri 6476	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
7		eleq2 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
8	6, 7	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
9	4, 8	mt2 203	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o = 1o
10	9	neir 2967	. . . . 5 ⊢ 2o ≠ 1o
11	3	unieqi 4888	. . . . . 6 ⊢ ∪ 2o = ∪ {∅, 1o}
12		0ex 5272	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
13	12, 1	unipr 4893	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14		0un 4360	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ 1o) = 1o
15	11, 13, 14	3eqtri 2796	. . . . 5 ⊢ ∪ 2o = 1o
16	10, 15	neeqtrri 3037	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∪ 2o
17	16	neii 2966	. . 3 ⊢ ¬ 2o = ∪ 2o
18		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o) → 2o = ∪ 2o)
19	17, 18	mto 200	. 2 ⊢ ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o)
20		df-lim 6366	. 2 ⊢ (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o))
21	19, 20	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Lim 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   ∪ cun 3911  ∅c0 4294  {cpr 4596  ∪ cuni 4876  Ord word 6360  Lim wlim 6362  1_oc1o 8445  2_oc2o 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-tr 5223  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-1o 8452  df-2o 8453

This theorem is referenced by:  2ellim  8483