Theorem nlim2 8415

Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim2	⊢ ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8405	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4695	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8403	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2838	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
5		1on 8407	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ On
6	5	onirri 6424	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
7		eleq2 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
8	6, 7	mtbiri 328	. . . . . . 7 ⊢ (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
9	4, 8	mt2 201	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o = 1o
10	9	neir 2937	. . . . 5 ⊢ 2o ≠ 1o
11	3	unieqi 4850	. . . . . 6 ⊢ ∪ 2o = ∪ {∅, 1o}
12		0ex 5229	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
13	12, 1	unipr 4855	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14		0un 4324	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ 1o) = 1o
15	11, 13, 14	3eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ ∪ 2o = 1o
16	10, 15	neeqtrri 3007	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∪ 2o
17	16	neii 2936	. . 3 ⊢ ¬ 2o = ∪ 2o
18		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o) → 2o = ∪ 2o)
19	17, 18	mto 198	. 2 ⊢ ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o)
20		df-lim 6315	. 2 ⊢ (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o))
21	19, 20	mtbir 324	1 ⊢ ¬ Lim 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∪ cun 3881  ∅c0 4261  {cpr 4557  ∪ cuni 4838  Ord word 6309  Lim wlim 6311  1_oc1o 8388  2_oc2o 8389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-1o 8395  df-2o 8396

This theorem is referenced by:  2ellim  8424