Theorem nlim2 8536

Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim2	⊢ ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oelpr 8525	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
2		df2o3 8522	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
3	1, 2	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
4		1on 8527	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ On
5	4	onirri 6503	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
6		eleq2 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
7	5, 6	mtbiri 330	. . . . . . 7 ⊢ (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
8	3, 7	mt2 203	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o = 1o
9	8	neir 2962	. . . . 5 ⊢ 2o ≠ 1o
10	2	unieqi 4884	. . . . . 6 ⊢ ∪ 2o = ∪ {∅, 1o}
11		0ex 5267	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
12		1oex 8524	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ V
13	11, 12	unipr 4889	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14		0un 4349	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ 1o) = 1o
15	10, 13, 14	3eqtri 2790	. . . . 5 ⊢ ∪ 2o = 1o
16	9, 15	neeqtrri 3032	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∪ 2o
17	16	neii 2961	. . 3 ⊢ ¬ 2o = ∪ 2o
18		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o) → 2o = ∪ 2o)
19	17, 18	mto 200	. 2 ⊢ ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o)
20		df-lim 6393	. 2 ⊢ (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o))
21	19, 20	mtbir 326	1 ⊢ ¬ Lim 2o

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {cpr 4590  ∪ cuni 4872  Ord word 6387  Lim wlim 6389  1_oc1o 8507  2_oc2o 8508

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-tr 5219  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-1o 8514  df-2o 8515

This theorem is used by:  2ellim  8545