MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nlim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nlim2 8432
Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)
Assertion
Ref Expression
nlim2 ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2
StepHypRef Expression
1 1oex 8418 . . . . . . . . 9 1o ∈ V
21prid2 4722 . . . . . . . 8 1o ∈ {∅, 1o}
3 df2o3 8416 . . . . . . . 8 2o = {∅, 1o}
42, 3eleqtrri 2837 . . . . . . 7 1o ∈ 2o
5 1on 8420 . . . . . . . . 9 1o ∈ On
65onirri 6427 . . . . . . . 8 ¬ 1o ∈ 1o
7 eleq2 2826 . . . . . . . 8 (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
86, 7mtbiri 326 . . . . . . 7 (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
94, 8mt2 199 . . . . . 6 ¬ 2o = 1o
109neir 2944 . . . . 5 2o ≠ 1o
113unieqi 4876 . . . . . 6 2o = {∅, 1o}
12 0ex 5262 . . . . . . 7 ∅ ∈ V
1312, 1unipr 4881 . . . . . 6 {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14 0un 4350 . . . . . 6 (∅ ∪ 1o) = 1o
1511, 13, 143eqtri 2768 . . . . 5 2o = 1o
1610, 15neeqtrri 3015 . . . 4 2o 2o
1716neii 2943 . . 3 ¬ 2o = 2o
18 simp3 1138 . . 3 ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = 2o) → 2o = 2o)
1917, 18mto 196 . 2 ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = 2o)
20 df-lim 6320 . 2 (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = 2o))
2119, 20mtbir 322 1 ¬ Lim 2o
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  cun 3906  c0 4280  {cpr 4586   cuni 4863  Ord word 6314  Lim wlim 6316  1oc1o 8401  2oc2o 8402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-tr 5221  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-1o 8408  df-2o 8409
This theorem is referenced by:  2ellim  8441
  Copyright terms: Public domain W3C validator