Theorem nlim2 8419

Description: 2 is not a limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nlim2	⊢ ¬ Lim 2o

Proof of Theorem nlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1oex 8409	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
2	1	prid2 4708	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
3		df2o3 8407	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
4	2, 3	eleqtrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
5		1on 8411	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ On
6	5	onirri 6432	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 1o ∈ 1o
7		eleq2 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (2o = 1o → (1o ∈ 2o ↔ 1o ∈ 1o))
8	6, 7	mtbiri 327	. . . . . . 7 ⊢ (2o = 1o → ¬ 1o ∈ 2o)
9	4, 8	mt2 200	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2o = 1o
10	9	neir 2936	. . . . 5 ⊢ 2o ≠ 1o
11	3	unieqi 4863	. . . . . 6 ⊢ ∪ 2o = ∪ {∅, 1o}
12		0ex 5243	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
13	12, 1	unipr 4868	. . . . . 6 ⊢ ∪ {∅, 1o} = (∅ ∪ 1o)
14		0un 4337	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∪ 1o) = 1o
15	11, 13, 14	3eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ ∪ 2o = 1o
16	10, 15	neeqtrri 3006	. . . 4 ⊢ 2o ≠ ∪ 2o
17	16	neii 2935	. . 3 ⊢ ¬ 2o = ∪ 2o
18		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o) → 2o = ∪ 2o)
19	17, 18	mto 197	. 2 ⊢ ¬ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o)
20		df-lim 6323	. 2 ⊢ (Lim 2o ↔ (Ord 2o ∧ 2o ≠ ∅ ∧ 2o = ∪ 2o))
21	19, 20	mtbir 323	1 ⊢ ¬ Lim 2o

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3888  ∅c0 4274  {cpr 4570  ∪ cuni 4851  Ord word 6317  Lim wlim 6319  1_oc1o 8392  2_oc2o 8393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-1o 8399  df-2o 8400

This theorem is referenced by:  2ellim  8428