Theorem 2onn 8567

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7675, see 2onnALT 8568. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7675. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8408	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8424	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1795	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7809	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 711	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  Oncon0 6311  Lim wlim 6312  ωcom 7806  2_oc2o 8389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-tr 5203  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-om 7807  df-1o 8395  df-2o 8396

This theorem is referenced by:  3onn  8569  nn2m  8579  nnneo  8580  nneob  8581  omopthlem1  8584  omopthlem2  8585  pwen  9074  prfi  9232  en2eqpr  9920  en2eleq  9921  unctb  10117  infdjuabs  10118  ackbij1lem5  10136  sdom2en01  10215  fin56  10306  fin67  10308  fin1a2lem4  10316  alephexp1  10492  pwcfsdom  10496  alephom  10498  canthp1lem2  10566  pwxpndom2  10578  hash3  14331  hash2pr  14394  pr2pwpr  14404  rpnnen  16154  rexpen  16155  xpsfrnel  17484  xpscf  17487  symggen  19367  psgnunilem1  19390  simpgnsgd  19999  znfld  21485  hauspwdom  23404  xpsmet  24286  xpsxms  24438  xpsms  24439  unidifsnel  32497  unidifsnne  32498  sat1el2xp  35354  ex-sategoelelomsuc  35401  ex-sategoelel12  35402  1oequni2o  37344  finxpreclem4  37370  finxp3o  37376  wepwso  43019  frlmpwfi  43074  2omomeqom  43279  oenord1ex  43291  oaomoencom  43293  2finon  43426  har2o  43522