Theorem 2onn 8472

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7588, see 2onnALT 8473. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7588. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8311	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8329	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1798	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7715	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 708	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1537   ∈ wcel 2106  Oncon0 6266  Lim wlim 6267  ωcom 7712  2_oc2o 8291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-om 7713  df-1o 8297  df-2o 8298

This theorem is referenced by:  3onn  8474  nn2m  8484  nnneo  8485  nneob  8486  omopthlem1  8489  omopthlem2  8490  pwen  8937  en3  9054  en2eqpr  9763  en2eleq  9764  unctb  9961  infdjuabs  9962  ackbij1lem5  9980  sdom2en01  10058  fin56  10149  fin67  10151  fin1a2lem4  10159  alephexp1  10335  pwcfsdom  10339  alephom  10341  canthp1lem2  10409  pwxpndom2  10421  hash3  14121  hash2pr  14183  pr2pwpr  14193  rpnnen  15936  rexpen  15937  xpsfrnel  17273  xpscf  17276  symggen  19078  psgnunilem1  19101  simpgnsgd  19703  znfld  20768  hauspwdom  22652  xpsmet  23535  xpsxms  23690  xpsms  23691  unidifsnel  30883  unidifsnne  30884  sat1el2xp  33341  ex-sategoelelomsuc  33388  ex-sategoelel12  33389  1oequni2o  35539  finxpreclem4  35565  finxp3o  35571  wepwso  40868  frlmpwfi  40923  2finon  41057  har2o  41153