Theorem 2onn 8557

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7668, see 2onnALT 8558. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7668. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8398	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8414	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1796	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7799	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 711	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1539   ∈ wcel 2111  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  ωcom 7796  2_oc2o 8379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-tr 5199  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386

This theorem is referenced by:  3onn  8559  nn2m  8569  nnneo  8570  nneob  8571  omopthlem1  8574  omopthlem2  8575  pwen  9063  prfi  9208  en2eqpr  9898  en2eleq  9899  unctb  10095  infdjuabs  10096  ackbij1lem5  10114  sdom2en01  10193  fin56  10284  fin67  10286  fin1a2lem4  10294  alephexp1  10470  pwcfsdom  10474  alephom  10476  canthp1lem2  10544  pwxpndom2  10556  hash3  14313  hash2pr  14376  pr2pwpr  14386  rpnnen  16136  rexpen  16137  xpsfrnel  17466  xpscf  17469  symggen  19383  psgnunilem1  19406  simpgnsgd  20015  znfld  21498  hauspwdom  23417  xpsmet  24298  xpsxms  24450  xpsms  24451  unidifsnel  32513  unidifsnne  32514  sat1el2xp  35421  ex-sategoelelomsuc  35468  ex-sategoelel12  35469  1oequni2o  37408  finxpreclem4  37434  finxp3o  37440  wepwso  43082  frlmpwfi  43137  2omomeqom  43342  oenord1ex  43354  oaomoencom  43356  2finon  43489  har2o  43585