Theorem 2onn 8641

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7725, see 2onnALT 8642. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7725. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8480	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8499	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1798	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7858	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 710	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  ωcom 7855  2_oc2o 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-om 7856  df-1o 8466  df-2o 8467

This theorem is referenced by:  3onn  8643  nn2m  8653  nnneo  8654  nneob  8655  omopthlem1  8658  omopthlem2  8659  pwen  9150  en2eqpr  10002  en2eleq  10003  unctb  10200  infdjuabs  10201  ackbij1lem5  10219  sdom2en01  10297  fin56  10388  fin67  10390  fin1a2lem4  10398  alephexp1  10574  pwcfsdom  10578  alephom  10580  canthp1lem2  10648  pwxpndom2  10660  hash3  14366  hash2pr  14430  pr2pwpr  14440  rpnnen  16170  rexpen  16171  xpsfrnel  17508  xpscf  17511  symggen  19338  psgnunilem1  19361  simpgnsgd  19970  znfld  21116  hauspwdom  23005  xpsmet  23888  xpsxms  24043  xpsms  24044  unidifsnel  31772  unidifsnne  31773  sat1el2xp  34370  ex-sategoelelomsuc  34417  ex-sategoelel12  34418  1oequni2o  36249  finxpreclem4  36275  finxp3o  36281  wepwso  41785  frlmpwfi  41840  2omomeqom  42053  oenord1ex  42065  oaomoencom  42067  2finon  42201  har2o  42297