Theorem 2onn 8629

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7734, see 2onnALT 8630. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7734. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8468	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8485	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1825	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7866	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 723	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1568   ∈ wcel 2143  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  ωcom 7863  2_oc2o 8448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-tr 5220  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-om 7864  df-1o 8454  df-2o 8455

This theorem is referenced by:  3onn  8631  nn2m  8641  nnneo  8642  nneob  8643  omopthlem1  8646  omopthlem2  8647  pwen  9139  prfi  9284  en2eqpr  9992  en2eleq  9993  unctb  10188  infdjuabs  10189  ackbij1lem5  10207  sdom2en01  10287  fin56  10378  fin67  10380  fin1a2lem4  10388  alephexp1  10565  pwcfsdom  10569  alephom  10571  canthp1lem2  10639  pwxpndom2  10651  hash3  14444  hash2pr  14508  pr2pwpr  14518  rpnnen  16284  rexpen  16285  xpsfrnel  17617  xpscf  17620  symggen  19541  psgnunilem1  19564  simpgnsgd  20173  znfld  21691  hauspwdom  23639  xpsmet  24520  xpsxms  24672  xpsms  24673  unidifsnel  32859  unidifsnne  32860  sat1el2xp  35849  ex-sategoelelomsuc  35896  ex-sategoelel12  35897  1oequni2o  37992  finxpreclem4  38018  finxp3o  38024  wepwso  43750  frlmpwfi  43805  2omomeqom  44010  oenord1ex  44022  oaomoencom  44024  2finon  44156  har2o  44252