Theorem 2onn 8616

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7722, see 2onnALT 8617. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7722. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8455	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8472	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1818	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7853	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 723	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1561   ∈ wcel 2145  Oncon0 6350  Lim wlim 6351  ωcom 7850  2_oc2o 8435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-om 7851  df-1o 8441  df-2o 8442

This theorem is referenced by:  3onn  8618  nn2m  8628  nnneo  8629  nneob  8630  omopthlem1  8633  omopthlem2  8634  pwen  9126  prfi  9271  en2eqpr  9979  en2eleq  9980  unctb  10175  infdjuabs  10176  ackbij1lem5  10194  sdom2en01  10274  fin56  10365  fin67  10367  fin1a2lem4  10375  alephexp1  10552  pwcfsdom  10556  alephom  10558  canthp1lem2  10626  pwxpndom2  10638  hash3  14433  hash2pr  14496  pr2pwpr  14506  rpnnen  16273  rexpen  16274  xpsfrnel  17606  xpscf  17609  symggen  19531  psgnunilem1  19554  simpgnsgd  20163  znfld  21670  hauspwdom  23619  xpsmet  24500  xpsxms  24652  xpsms  24653  unidifsnel  32791  unidifsnne  32792  sat1el2xp  35742  ex-sategoelelomsuc  35789  ex-sategoelel12  35790  1oequni2o  37874  finxpreclem4  37900  finxp3o  37906  wepwso  43632  frlmpwfi  43687  2omomeqom  43892  oenord1ex  43904  oaomoencom  43906  2finon  44038  har2o  44134