Theorem 2onn 8580

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7690, see 2onnALT 8581. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7690. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8420	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8436	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1797	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7821	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 712	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1540   ∈ wcel 2114  Oncon0 6325  Lim wlim 6326  ωcom 7818  2_oc2o 8401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-tr 5208  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-om 7819  df-1o 8407  df-2o 8408

This theorem is referenced by:  3onn  8582  nn2m  8592  nnneo  8593  nneob  8594  omopthlem1  8597  omopthlem2  8598  pwen  9090  prfi  9236  en2eqpr  9929  en2eleq  9930  unctb  10126  infdjuabs  10127  ackbij1lem5  10145  sdom2en01  10224  fin56  10315  fin67  10317  fin1a2lem4  10325  alephexp1  10502  pwcfsdom  10506  alephom  10508  canthp1lem2  10576  pwxpndom2  10588  hash3  14341  hash2pr  14404  pr2pwpr  14414  rpnnen  16164  rexpen  16165  xpsfrnel  17495  xpscf  17498  symggen  19411  psgnunilem1  19434  simpgnsgd  20043  znfld  21527  hauspwdom  23457  xpsmet  24338  xpsxms  24490  xpsms  24491  unidifsnel  32621  unidifsnne  32622  sat1el2xp  35592  ex-sategoelelomsuc  35639  ex-sategoelel12  35640  1oequni2o  37617  finxpreclem4  37643  finxp3o  37649  wepwso  43394  frlmpwfi  43449  2omomeqom  43654  oenord1ex  43666  oaomoencom  43668  2finon  43800  har2o  43896