Theorem 2onn 8698

Description: The ordinal 2 is a natural number. For a shorter proof using Peano's postulates that depends on ax-un 7770, see 2onnALT 8699. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) Avoid ax-un 7770. (Revised by BTernaryTau, 1-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2on 8536	. 2 ⊢ 2o ∈ On
2		2ellim 8555	. . 3 ⊢ (Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
3	2	ax-gen 1793	. 2 ⊢ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)
4		elom 7906	. 2 ⊢ (2o ∈ ω ↔ (2o ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 2o ∈ 𝑥)))
5	1, 3, 4	mpbir2an 710	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1535   ∈ wcel 2108  Oncon0 6395  Lim wlim 6396  ωcom 7903  2_oc2o 8516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-tr 5284  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523

This theorem is referenced by:  3onn  8700  nn2m  8710  nnneo  8711  nneob  8712  omopthlem1  8715  omopthlem2  8716  pwen  9216  prfi  9391  en2eqpr  10076  en2eleq  10077  unctb  10273  infdjuabs  10274  ackbij1lem5  10292  sdom2en01  10371  fin56  10462  fin67  10464  fin1a2lem4  10472  alephexp1  10648  pwcfsdom  10652  alephom  10654  canthp1lem2  10722  pwxpndom2  10734  hash3  14455  hash2pr  14518  pr2pwpr  14528  rpnnen  16275  rexpen  16276  xpsfrnel  17622  xpscf  17625  symggen  19512  psgnunilem1  19535  simpgnsgd  20144  znfld  21602  hauspwdom  23530  xpsmet  24413  xpsxms  24568  xpsms  24569  unidifsnel  32563  unidifsnne  32564  sat1el2xp  35347  ex-sategoelelomsuc  35394  ex-sategoelel12  35395  1oequni2o  37334  finxpreclem4  37360  finxp3o  37366  wepwso  43000  frlmpwfi  43055  2omomeqom  43265  oenord1ex  43277  oaomoencom  43279  2finon  43412  har2o  43508