Theorem 2onn 8249

Description: The ordinal 2 is a natural number. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
2onn	⊢ 2o ∈ ω

Proof of Theorem 2onn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2o 8086	. 2 ⊢ 2o = suc 1o
2		1onn 8248	. . 3 ⊢ 1o ∈ ω
3		peano2 7582	. . 3 ⊢ (1o ∈ ω → suc 1o ∈ ω)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ suc 1o ∈ ω
5	1, 4	eqeltri 2886	1 ⊢ 2o ∈ ω

Syntax hints:   ∈ wcel 2111  suc csuc 6161  ωcom 7560  1_oc1o 8078  2_oc2o 8079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561  df-1o 8085  df-2o 8086

This theorem is referenced by:  3onn  8250  nn2m  8260  nnneo  8261  nneob  8262  omopthlem1  8265  omopthlem2  8266  pwen  8674  en3  8739  en2eqpr  9418  en2eleq  9419  unctb  9616  infdjuabs  9617  ackbij1lem5  9635  sdom2en01  9713  fin56  9804  fin67  9806  fin1a2lem4  9814  alephexp1  9990  pwcfsdom  9994  alephom  9996  canthp1lem2  10064  pwxpndom2  10076  hash3  13763  hash2pr  13823  pr2pwpr  13833  rpnnen  15572  rexpen  15573  xpsfrnel  16827  xpscf  16830  symggen  18590  psgnunilem1  18613  simpgnsgd  19215  znfld  20252  hauspwdom  22106  xpsmet  22989  xpsxms  23141  xpsms  23142  unidifsnel  30307  unidifsnne  30308  sat1el2xp  32739  ex-sategoelelomsuc  32786  ex-sategoelel12  32787  1oequni2o  34785  finxpreclem4  34811  finxp3o  34817  wepwso  39987  frlmpwfi  40042