MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash3tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash3tr 14204
Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash3tr ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hash3tr
StepHypRef Expression
1 3nn0 12251 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2 hashvnfin 14075 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
31, 2mpan2 688 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
43imp 407 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5 hash3 14121 . . . . . . . 8 (♯‘3o) = 3
65eqcomi 2747 . . . . . . 7 3 = (♯‘3o)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
87eqeq2d 2749 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9 3onn 8474 . . . . . . . 8 3o ∈ ω
10 nnfi 8950 . . . . . . . 8 (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 3o ∈ Fin
12 hashen 14061 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
1311, 12mpan2 688 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
1413biimpd 228 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
158, 14sylbid 239 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
1615adantld 491 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
174, 16mpcom 38 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18 en3 9054 . 2 (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
1917, 18syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  {ctp 4565   class class class wbr 5074  cfv 6433  ωcom 7712  3oc3o 8292  cen 8730  Fincfn 8733  3c3 12029  0cn0 12233  chash 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-3o 8299  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045
This theorem is referenced by:  hash1to3  14205
  Copyright terms: Public domain W3C validator