Theorem hash3tr 13851

Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hash3tr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11918	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 13724	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 689	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash3 13770	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘3o) = 3
6	5	eqcomi 2832	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (♯‘3o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
8	7	eqeq2d 2834	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9		3onn 8269	. . . . . . . 8 ⊢ 3o ∈ ω
10		nnfi 8713	. . . . . . . 8 ⊢ (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ Fin
12		hashen 13710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
13	11, 12	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
14	13	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
15	8, 14	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
16	15	adantld 493	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
17	4, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18		en3 8757	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114  {ctp 4573   class class class wbr 5068  ‘cfv 6357  ωcom 7582  3_oc3o 8099   ≈ cen 8508  Fincfn 8511  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ♯chash 13693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-3o 8106  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-dju 9332  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-hash 13694

This theorem is referenced by:  hash1to3  13852