Theorem hash3tr 13914

Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hash3tr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 11966	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 13785	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash3 13831	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘3o) = 3
6	5	eqcomi 2768	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (♯‘3o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
8	7	eqeq2d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9		3onn 8284	. . . . . . . 8 ⊢ 3o ∈ ω
10		nnfi 8764	. . . . . . . 8 ⊢ (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ Fin
12		hashen 13771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
13	11, 12	mpan2 690	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
14	13	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
15	8, 14	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
16	15	adantld 494	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
17	4, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18		en3 8805	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112  {ctp 4530   class class class wbr 5037  ‘cfv 6341  ωcom 7586  3_oc3o 8114   ≈ cen 8538  Fincfn 8541  3c3 11744  ℕ₀cn0 11948  ♯chash 13754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-2o 8120  df-3o 8121  df-oadd 8123  df-er 8306  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-dju 9377  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-hash 13755

This theorem is referenced by:  hash1to3  13915