Theorem hash3tr 14490

Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hash3tr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12485	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 14359	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 699	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 409	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash3 14405	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘3o) = 3
6	5	eqcomi 2761	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (♯‘3o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
8	7	eqeq2d 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9		3onn 8598	. . . . . . . 8 ⊢ 3o ∈ ω
10		nnfi 9121	. . . . . . . 8 ⊢ (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ Fin
12		hashen 14346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
13	11, 12	mpan2 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
14	13	biimpd 231	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
15	8, 14	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
16	15	adantld 493	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
17	4, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18		en3 9210	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1550  ∃wex 1789   ∈ wcel 2132  {ctp 4576   class class class wbr 5090  ‘cfv 6506  ωcom 7831  3_oc3o 8416   ≈ cen 8909  Fincfn 8912  3c3 12259  ℕ₀cn0 12467  ♯chash 14329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-2o 8422  df-3o 8423  df-oadd 8425  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-fz 13499  df-hash 14330

This theorem is referenced by:  hash1to3  14491  hash3tpde  14492