Theorem hash3tr 14528

Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hash3tr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 14396	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 703	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash3 14442	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘3o) = 3
6	5	eqcomi 2770	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (♯‘3o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
8	7	eqeq2d 2772	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9		3onn 8629	. . . . . . . 8 ⊢ 3o ∈ ω
10		nnfi 9151	. . . . . . . 8 ⊢ (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ Fin
12		hashen 14383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
13	11, 12	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
14	13	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
15	8, 14	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
16	15	adantld 495	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
17	4, 16	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18		en3 9240	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
19	17, 18	syl 18	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141  {ctp 4592   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ωcom 7861  3_oc3o 8447   ≈ cen 8939  Fincfn 8942  3c3 12295  ℕ₀cn0 12503  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-3o 8454  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  hash1to3  14529  hash3tpde  14530