Theorem hash3tr 14637

Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
hash3tr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem hash3tr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12625	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 14505	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash3 14551	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘3o) = 3
6	5	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 3 = (♯‘3o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
8	7	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9		3onn 8654	. . . . . . . 8 ⊢ 3o ∈ ω
10		nnfi 9184	. . . . . . . 8 ⊢ (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ Fin
12		hashen 14492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
13	11, 12	mpan2 704	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
14	13	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
15	8, 14	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
16	15	adantld 496	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
17	4, 16	mpcom 39	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18		en3 9273	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
19	17, 18	syl 18	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎∃𝑏∃𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  {ctp 4587   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  ωcom 7877  3_oc3o 8472   ≈ cen 8971  Fincfn 8974  3c3 12399  ℕ₀cn0 12607  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-3o 8479  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476

This theorem is used by:  hash1to3  14638  hash3tpde  14639