MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash3tr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash3tr 14449
Description: A set of size three is an unordered triple. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hash3tr ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hash3tr
StepHypRef Expression
1 3nn0 12488 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
2 hashvnfin 14318 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
31, 2mpan2 688 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ∈ Fin))
43imp 406 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ∈ Fin)
5 hash3 14364 . . . . . . . 8 (♯‘3o) = 3
65eqcomi 2733 . . . . . . 7 3 = (♯‘3o)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → 3 = (♯‘3o))
87eqeq2d 2735 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘3o)))
9 3onn 8640 . . . . . . . 8 3o ∈ ω
10 nnfi 9164 . . . . . . . 8 (3o ∈ ω → 3o ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 3o ∈ Fin
12 hashen 14305 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
1311, 12mpan2 688 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) ↔ 𝑉 ≈ 3o))
1413biimpd 228 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘3o) → 𝑉 ≈ 3o))
158, 14sylbid 239 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 3 → 𝑉 ≈ 3o))
1615adantld 490 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o))
174, 16mpcom 38 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → 𝑉 ≈ 3o)
18 en3 9279 . 2 (𝑉 ≈ 3o → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
1917, 18syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 3) → ∃𝑎𝑏𝑐 𝑉 = {𝑎, 𝑏, 𝑐})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {ctp 4625   class class class wbr 5139  cfv 6534  ωcom 7849  3oc3o 8457  cen 8933  Fincfn 8936  3c3 12266  0cn0 12470  chash 14288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-3o 8464  df-oadd 8466  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483  df-hash 14289
This theorem is referenced by:  hash1to3  14450
  Copyright terms: Public domain W3C validator