Theorem oenord1ex 43969

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8465	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4742	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 43967	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2868	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7872	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6379	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8628	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oelpr 8464	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
9		df2o3 8461	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrri 2868	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
11		nnoeomeqom 43966	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
12	7, 10, 11	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
13		3onn 8630	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
14		1oex 8463	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15	14	tpid2 4739	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2868	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 43966	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	13, 16, 17	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	12, 18	eleq12i 2862	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 267	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4292  {cpr 4594  {ctp 4596  Ord word 6360  (class class class)co 7411  ωcom 7862  1_oc1o 8446  2_oc2o 8447  3_oc3o 8448   ↑_o coe 8452

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-3o 8455  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-oexp 8459

This theorem is referenced by:  oenord1  43970