Theorem oenord1ex 43897

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8451	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4734	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 43895	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2863	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7858	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6366	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8614	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oex 8449	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
9	8	prid2 4724	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8447	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
12		nnoeomeqom 43894	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
13	7, 11, 12	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
14		3onn 8616	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
15	8	tpid2 4731	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 43894	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	14, 16, 17	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	13, 18	eleq12i 2857	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 331	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 266	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 384	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 233	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  ∅c0 4287  {cpr 4586  {ctp 4588  Ord word 6347  (class class class)co 7398  ωcom 7848  1_oc1o 8432  2_oc2o 8433  3_oc3o 8434   ↑_o coe 8438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-3o 8441  df-oadd 8443  df-omul 8444  df-oexp 8445

This theorem is referenced by:  oenord1  43898