Theorem oenord1ex 44317

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8488	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4733	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 44315	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7887	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6380	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8651	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oelpr 8487	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
9		df2o3 8484	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
11		nnoeomeqom 44314	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
12	7, 10, 11	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
13		3onn 8653	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
14		1oex 8486	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15	14	tpid2 4730	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 44314	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	13, 16, 17	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	12, 18	eleq12i 2853	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 267	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  {cpr 4585  {ctp 4587  Ord word 6361  (class class class)co 7420  ωcom 7877  1_oc1o 8469  2_oc2o 8470  3_oc3o 8471   ↑_o coe 8475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-3o 8478  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-oexp 8482

This theorem is used by:  oenord1  44318