Theorem oenord1ex 44070

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8463	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4738	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 44068	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2861	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7870	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6378	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8626	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oelpr 8462	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
9		df2o3 8459	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
11		nnoeomeqom 44067	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
12	7, 10, 11	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
13		3onn 8628	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
14		1oex 8461	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15	14	tpid2 4735	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 44067	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	13, 16, 17	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	12, 18	eleq12i 2855	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 267	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  {cpr 4590  {ctp 4592  Ord word 6359  (class class class)co 7412  ωcom 7860  1_oc1o 8444  2_oc2o 8445  3_oc3o 8446   ↑_o coe 8450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-3o 8453  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-oexp 8457

This theorem is used by:  oenord1  44071