Theorem oenord1ex 43311

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8448	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4740	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 43309	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2828	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7855	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6353	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8609	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oex 8447	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
9	8	prid2 4730	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8445	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2828	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
12		nnoeomeqom 43308	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
13	7, 11, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
14		3onn 8611	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
15	8	tpid2 4737	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2828	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 43308	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	14, 16, 17	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	13, 18	eleq12i 2822	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 329	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 264	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 382	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 231	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4299  {cpr 4594  {ctp 4596  Ord word 6334  (class class class)co 7390  ωcom 7845  1_oc1o 8430  2_oc2o 8431  3_oc3o 8432   ↑_o coe 8436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-3o 8439  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-oexp 8443

This theorem is referenced by:  oenord1  43312