Theorem oenord1ex 44507

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8513	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4734	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 44505	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2863	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7908	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6395	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8676	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oelpr 8512	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
9		df2o3 8509	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
11		nnoeomeqom 44504	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
12	7, 10, 11	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
13		3onn 8678	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
14		1oex 8511	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15	14	tpid2 4731	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2863	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 44504	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	13, 16, 17	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	12, 18	eleq12i 2857	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 267	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  {cpr 4590  {ctp 4592  Ord word 6376  (class class class)co 7440  ωcom 7898  1_oc1o 8494  2_oc2o 8495  3_oc3o 8496   ↑_o coe 8500

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-3o 8503  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-oexp 8507

This theorem is used by:  oenord1  44508