Theorem oenord1ex 44143

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8470	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4737	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 44141	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2861	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7875	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6379	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8633	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oelpr 8469	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
9		df2o3 8466	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
11		nnoeomeqom 44140	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
12	7, 10, 11	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
13		3onn 8635	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
14		1oex 8468	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15	14	tpid2 4734	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2861	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 44140	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	13, 16, 17	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	12, 18	eleq12i 2855	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 267	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  {cpr 4589  {ctp 4591  Ord word 6360  (class class class)co 7416  ωcom 7865  1_oc1o 8451  2_oc2o 8452  3_oc3o 8453   ↑_o coe 8457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-3o 8460  df-oadd 8462  df-omul 8463  df-oexp 8464

This theorem is used by:  oenord1  44144