Theorem oenord1ex 44260

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8466	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4733	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 44258	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2859	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7870	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6369	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8629	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oelpr 8465	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
9		df2o3 8462	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
10	8, 9	eleqtrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
11		nnoeomeqom 44257	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
12	7, 10, 11	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
13		3onn 8631	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
14		1oex 8464	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15	14	tpid2 4730	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2859	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 44257	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	13, 16, 17	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	12, 18	eleq12i 2853	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 267	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4278  {cpr 4585  {ctp 4587  Ord word 6350  (class class class)co 7408  ωcom 7860  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448  3_oc3o 8449   ↑_o coe 8453

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-3o 8456  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-oexp 8460

This theorem is used by:  oenord1  44261