Theorem oenord1ex 41998

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8472	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4776	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 41996	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2833	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7860	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6379	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8637	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oex 8471	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
9	8	prid2 4766	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8469	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
12		nnoeomeqom 41995	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
13	7, 11, 12	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
14		3onn 8639	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
15	8	tpid2 4773	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2833	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 41995	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	14, 16, 17	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	13, 18	eleq12i 2827	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 329	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 264	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 384	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 230	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∅c0 4321  {cpr 4629  {ctp 4631  Ord word 6360  (class class class)co 7404  ωcom 7850  1_oc1o 8454  2_oc2o 8455  3_oc3o 8456   ↑_o coe 8460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-3o 8463  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-oexp 8467

This theorem is referenced by:  oenord1  41999