Theorem oenord1ex 43290

Description: When ordinals two and three are both raised to the power of omega, ordering of the powers is not equivalent to the ordering of the bases. Remark 3.26 of [Schloeder] p. 11. (Contributed by RP, 30-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oenord1ex	⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Proof of Theorem oenord1ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2oex 8499	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ V
2	1	tpid3 4753	. . . 4 ⊢ 2o ∈ {∅, 1o, 2o}
3		df3o2 43288	. . . 4 ⊢ 3o = {∅, 1o, 2o}
4	2, 3	eleqtrri 2832	. . 3 ⊢ 2o ∈ 3o
5		ordom 7879	. . . 4 ⊢ Ord ω
6		ordirr 6381	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
7		2onn 8662	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
8		1oex 8498	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
9	8	prid2 4743	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o}
10		df2o3 8496	. . . . . . . 8 ⊢ 2o = {∅, 1o}
11	9, 10	eleqtrri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 2o
12		nnoeomeqom 43287	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 1o ∈ 2o) → (2o ↑o ω) = ω)
13	7, 11, 12	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (2o ↑o ω) = ω
14		3onn 8664	. . . . . . 7 ⊢ 3o ∈ ω
15	8	tpid2 4750	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ {∅, 1o, 2o}
16	15, 3	eleqtrri 2832	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ 3o
17		nnoeomeqom 43287	. . . . . . 7 ⊢ ((3o ∈ ω ∧ 1o ∈ 3o) → (3o ↑o ω) = ω)
18	14, 16, 17	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (3o ↑o ω) = ω
19	13, 18	eleq12i 2826	. . . . 5 ⊢ ((2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω) ↔ ω ∈ ω)
20	6, 19	sylnibr 329	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
21	5, 20	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)
22	4, 21	2th 264	. 2 ⊢ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))
23		xor3 382	. 2 ⊢ (¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)) ↔ (2o ∈ 3o ↔ ¬ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω)))
24	22, 23	mpbir 231	1 ⊢ ¬ (2o ∈ 3o ↔ (2o ↑o ω) ∈ (3o ↑o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4313  {cpr 4608  {ctp 4610  Ord word 6362  (class class class)co 7413  ωcom 7869  1_oc1o 8481  2_oc2o 8482  3_oc3o 8483   ↑_o coe 8487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-inf2 9663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-3o 8490  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-oexp 8494

This theorem is referenced by:  oenord1  43291