MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dirith2 27481
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12256 . . . 4 β„• ∈ V
2 inss1 4231 . . . . 5 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
3 prmssnn 16654 . . . . 5 β„™ βŠ† β„•
42, 3sstri 3991 . . . 4 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„•
5 ssdomg 9027 . . . 4 (β„• ∈ V β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•)
8 logno1 26590 . . . 4 Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
109adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110phicld 16748 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
1211nnred 12265 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 inss2 4232 . . . . . . . . . 10 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
16 ssfi 9204 . . . . . . . . . 10 (((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1714, 15, 16sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18 elinel2 4198 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
19 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
204, 19sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2120nnrpd 13054 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
22 relogcl 26529 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2423, 20nndivred 12304 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2518, 24sylan2 591 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2617, 25fsumrecl 15720 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2726adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
28 rpssre 13021 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
2912recnd 11280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
30 o1const 15604 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3228a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
33 1red 11253 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 1 ∈ ℝ)
3414, 24fsumrecl 15720 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
35 log1 26539 . . . . . . . . . . . . 13 (logβ€˜1) = 0
3620nnge1d 12298 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 1 ≀ 𝑛)
37 1rp 13018 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
38 logleb 26557 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
3937, 21, 38sylancr 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›))
4135, 40eqbrtrrid 5188 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘›))
4223, 21, 41divge0d 13096 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4315a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇))
4414, 24, 42, 43fsumless 15782 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4632, 27, 33, 34, 45ello1d 15507 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1))
47 0red 11255 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ∈ ℝ)
4818, 42sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4917, 25, 48fsumge0 15781 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5049adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5127, 47, 50o1lo12 15522 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1)))
5246, 51mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5313, 27, 31, 52o1mul2 15609 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5412, 26remulcld 11282 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 11280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
5655adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
57 relogcl 26529 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5857adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5958recnd 11280 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
60 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
61 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
62 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
63 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
64 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
6560, 61, 9, 62, 63, 64rplogsum 27480 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6665adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6756, 59, 66o1dif 15614 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
6853, 67mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
6968ex 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
708, 69mtoi 198 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71 nnenom 13985 . . . . 5 β„• β‰ˆ Ο‰
72 sdomentr 9142 . . . . 5 (((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• ∧ β„• β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
7371, 72mpan2 689 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
74 isfinite2 9332 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7573, 74syl 17 . . 3 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7670, 75nsyl 140 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•)
77 bren2 9010 . 2 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„• ↔ ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„• ∧ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•))
787, 76, 77sylanbrc 581 1 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235  β—‘ccnv 5681   β€œ cima 5685  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Ο‰com 7876   β‰ˆ cen 8967   β‰Ό cdom 8968   β‰Ί csdm 8969  Fincfn 8970  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  β„•cn 12250  β„+crp 13014  ...cfz 13524  βŒŠcfl 13795  π‘‚(1)co1 15470  β‰€π‘‚(1)clo1 15471  Ξ£csu 15672  β„™cprime 16649  Ο•cphi 16740  Unitcui 20301  β„€RHomczrh 21432  β„€/nβ„€czn 21435  logclog 26508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225  ax-mulf 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-disj 5118  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-rpss 7734  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-ec 8733  df-qs 8737  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-dju 9932  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-word 14505  df-concat 14561  df-s1 14586  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-o1 15474  df-lo1 15475  df-sum 15673  df-ef 16051  df-e 16052  df-sin 16053  df-cos 16054  df-tan 16055  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-numer 16714  df-denom 16715  df-phi 16742  df-pc 16813  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-qus 17498  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-nsg 19086  df-eqg 19087  df-ghm 19175  df-gim 19220  df-ga 19248  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-od 19490  df-gex 19491  df-pgp 19492  df-lsm 19598  df-pj1 19599  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-cyg 19840  df-dprd 19959  df-dpj 19960  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-lidl 21111  df-rsp 21112  df-2idl 21151  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-zring 21380  df-zrh 21436  df-zn 21439  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-cmp 23311  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-0p 25619  df-limc 25815  df-dv 25816  df-ply 26142  df-idp 26143  df-coe 26144  df-dgr 26145  df-quot 26246  df-ulm 26333  df-log 26510  df-cxp 26511  df-atan 26819  df-em 26945  df-cht 27049  df-vma 27050  df-chp 27051  df-ppi 27052  df-mu 27053  df-dchr 27186
This theorem is referenced by:  dirith  27482
  Copyright terms: Public domain W3C validator