MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirith2 26892
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12166 . . . 4 β„• ∈ V
2 inss1 4193 . . . . 5 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
3 prmssnn 16559 . . . . 5 β„™ βŠ† β„•
42, 3sstri 3958 . . . 4 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„•
5 ssdomg 8947 . . . 4 (β„• ∈ V β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•)
8 logno1 26007 . . . 4 Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110phicld 16651 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
1211nnred 12175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 inss2 4194 . . . . . . . . . 10 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
16 ssfi 9124 . . . . . . . . . 10 (((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1714, 15, 16sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18 elinel2 4161 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
204, 19sselid 3947 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2120nnrpd 12962 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
22 relogcl 25947 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2423, 20nndivred 12214 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2518, 24sylan2 594 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2617, 25fsumrecl 15626 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2726adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
28 rpssre 12929 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
2912recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
30 o1const 15509 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3228a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
33 1red 11163 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 1 ∈ ℝ)
3414, 24fsumrecl 15626 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
35 log1 25957 . . . . . . . . . . . . 13 (logβ€˜1) = 0
3620nnge1d 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 1 ≀ 𝑛)
37 1rp 12926 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
38 logleb 25974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
3937, 21, 38sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›))
4135, 40eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘›))
4223, 21, 41divge0d 13004 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4315a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇))
4414, 24, 42, 43fsumless 15688 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4544adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4632, 27, 33, 34, 45ello1d 15412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1))
47 0red 11165 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ∈ ℝ)
4818, 42sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4917, 25, 48fsumge0 15687 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5049adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5127, 47, 50o1lo12 15427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1)))
5246, 51mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5313, 27, 31, 52o1mul2 15514 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5412, 26remulcld 11192 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 11190 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
5655adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
57 relogcl 25947 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5857adantl 483 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5958recnd 11190 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
60 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
61 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
62 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
63 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
64 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
6560, 61, 9, 62, 63, 64rplogsum 26891 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6665adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6756, 59, 66o1dif 15519 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
6853, 67mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
6968ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
708, 69mtoi 198 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71 nnenom 13892 . . . . 5 β„• β‰ˆ Ο‰
72 sdomentr 9062 . . . . 5 (((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• ∧ β„• β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
7371, 72mpan2 690 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
74 isfinite2 9252 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7573, 74syl 17 . . 3 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7670, 75nsyl 140 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•)
77 bren2 8930 . 2 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„• ↔ ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„• ∧ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•))
787, 76, 77sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888   β‰Ί csdm 8889  Fincfn 8890  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  β„+crp 12922  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  π‘‚(1)co1 15375  β‰€π‘‚(1)clo1 15376  Ξ£csu 15577  β„™cprime 16554  Ο•cphi 16643  Unitcui 20075  β„€RHomczrh 20916  β„€/nβ„€czn 20919  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-rpss 7665  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-word 14410  df-concat 14466  df-s1 14491  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-o1 15379  df-lo1 15380  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-tan 15961  df-pi 15962  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-numer 16617  df-denom 16618  df-phi 16645  df-pc 16716  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-qus 17398  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-gim 19056  df-ga 19077  df-cntz 19104  df-oppg 19131  df-od 19317  df-gex 19318  df-pgp 19319  df-lsm 19425  df-pj1 19426  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-cyg 19662  df-dprd 19781  df-dpj 19782  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ply 25565  df-idp 25566  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-quot 25667  df-ulm 25752  df-log 25928  df-cxp 25929  df-atan 26233  df-em 26358  df-cht 26462  df-vma 26463  df-chp 26464  df-ppi 26465  df-mu 26466  df-dchr 26597
This theorem is referenced by:  dirith  26893
  Copyright terms: Public domain W3C validator