Theorem dirith2 27489

Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
dirith2	⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12244	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		inss1 4212	. . . . 5 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3		prmssnn 16693	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4	2, 3	sstri 3968	. . . 4 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
5		ssdomg 9012	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
8		logno1 26595	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
9		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	phicld 16789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnred 12253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		inss2 4213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
16		ssfi 9185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
17	14, 15, 16	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18		elinel2 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
20	4, 19	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 13047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
22		relogcl 26534	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
24	23, 20	nndivred 12292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
25	18, 24	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
26	17, 25	fsumrecl 15748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
27	26	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28		rpssre 13014	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
29	12	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
30		o1const 15634	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
31	28, 29, 30	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
33		1red 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
34	14, 24	fsumrecl 15748	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
35		log1 26544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘1) = 0
36	20	nnge1d 12286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
37		1rp 13010	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ+
38		logleb 26562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
39	37, 21, 38	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
40	36, 39	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
41	35, 40	eqbrtrrid 5155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
42	23, 21, 41	divge0d 13089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
43	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
44	14, 24, 42, 43	fsumless 15810	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
46	32, 27, 33, 34, 45	ello1d 15537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
47		0red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
48	18, 42	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
49	17, 25, 48	fsumge0 15809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
51	27, 47, 50	o1lo12 15552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
52	46, 51	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
53	13, 27, 31, 52	o1mul2 15639	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
54	12, 26	remulcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11261	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
56	55	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
57		relogcl 26534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
58	57	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
60		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
61		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
62		rpvmasum.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
63		rpvmasum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
64		rpvmasum.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
65	60, 61, 9, 62, 63, 64	rplogsum 27488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
66	65	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
67	56, 59, 66	o1dif 15644	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
68	53, 67	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
69	68	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
70	8, 69	mtoi 199	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71		nnenom 13996	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
72		sdomentr 9123	. . . . 5 ⊢ (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
73	71, 72	mpan2 691	. . . 4 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
74		isfinite2 9304	. . . 4 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
75	73, 74	syl 17	. . 3 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
76	70, 75	nsyl 140	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
77		bren2 8995	. 2 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
78	7, 76, 77	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  {csn 4601   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ωcom 7859   ≈ cen 8954   ≼ cdom 8955   ≺ csdm 8956  Fincfn 8957  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132   ≤ cle 11268   − cmin 11464   / cdiv 11892  ℕcn 12238  ℝ⁺crp 13006  ...cfz 13522  ⌊cfl 13805  𝑂(1)co1 15500  ≤𝑂(1)clo1 15501  Σcsu 15700  ℙcprime 16688  ϕcphi 16781  Unitcui 20313  ℤRHomczrh 21458  ℤ/nℤczn 21461  logclog 26513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-rpss 7715  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-tpos 8223  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-dju 9913  df-card 9951  df-acn 9954  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-word 14530  df-concat 14587  df-s1 14612  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-o1 15504  df-lo1 15505  df-sum 15701  df-ef 16081  df-e 16082  df-sin 16083  df-cos 16084  df-tan 16085  df-pi 16086  df-dvds 16271  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-numer 16752  df-denom 16753  df-phi 16783  df-pc 16855  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-qus 17521  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19049  df-subg 19104  df-nsg 19105  df-eqg 19106  df-ghm 19194  df-gim 19240  df-ga 19271  df-cntz 19298  df-oppg 19327  df-od 19507  df-gex 19508  df-pgp 19509  df-lsm 19615  df-pj1 19616  df-cmn 19761  df-abl 19762  df-cyg 19857  df-dprd 19976  df-dpj 19977  df-mgp 20099  df-rng 20111  df-ur 20140  df-ring 20193  df-cring 20194  df-oppr 20295  df-dvdsr 20315  df-unit 20316  df-invr 20346  df-dvr 20359  df-rhm 20430  df-subrng 20504  df-subrg 20528  df-drng 20689  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-lsp 20927  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167  df-rsp 21168  df-2idl 21209  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-zring 21406  df-zrh 21462  df-zn 21465  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-cmp 23323  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-0p 25621  df-limc 25817  df-dv 25818  df-ply 26143  df-idp 26144  df-coe 26145  df-dgr 26146  df-quot 26249  df-ulm 26336  df-log 26515  df-cxp 26516  df-atan 26827  df-em 26953  df-cht 27057  df-vma 27058  df-chp 27059  df-ppi 27060  df-mu 27061  df-dchr 27194

This theorem is referenced by:  dirith  27490