Theorem dirith2 27856

Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
dirith2	⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12342	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		inss1 4133	. . . . 5 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3		prmssnn 16852	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4	2, 3	sstri 3917	. . . 4 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
5		ssdomg 9028	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
8		logno1 26965	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
9		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	phicld 16950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnred 12351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
14		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		inss2 4134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
16		ssfi 9189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
17	14, 15, 16	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18		elinel2 4099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
20	4, 19	sselid 3906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 13163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
22		relogcl 26904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
24	23, 20	nndivred 12393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
25	18, 24	sylan2 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
26	17, 25	fsumrecl 15901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
27	26	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28		rpssre 13129	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
29	12	recnd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
30		o1const 15788	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
31	28, 29, 30	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
33		1red 11310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
34	14, 24	fsumrecl 15901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
35		log1 26914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘1) = 0
36	20	nnge1d 12387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
37		1rp 13125	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ+
38		logleb 26932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
39	37, 21, 38	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
40	36, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
41	35, 40	eqbrtrrid 5140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
42	23, 21, 41	divge0d 13205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
43	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
44	14, 24, 42, 43	fsumless 15964	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
45	44	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
46	32, 27, 33, 34, 45	ello1d 15691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
47		0red 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
48	18, 42	sylan2 605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
49	17, 25, 48	fsumge0 15963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
51	27, 47, 50	o1lo12 15706	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
52	46, 51	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
53	13, 27, 31, 52	o1mul2 15793	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
54	12, 26	remulcld 11340	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 11338	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
56	55	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
57		relogcl 26904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
58	57	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
59	58	recnd 11338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
60		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
61		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
62		rpvmasum.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
63		rpvmasum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
64		rpvmasum.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
65	60, 61, 9, 62, 63, 64	rplogsum 27855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
66	65	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
67	56, 59, 66	o1dif 15798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
68	53, 67	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
69	68	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
70	8, 69	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71		nnenom 14124	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
72		sdomentr 9131	. . . . 5 ⊢ (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
73	71, 72	mpan2 704	. . . 4 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
74		isfinite2 9291	. . . 4 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
75	73, 74	syl 18	. . 3 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
76	70, 75	nsyl 141	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
77		bren2 9011	. 2 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
78	7, 76, 77	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4583   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877   ≈ cen 8971   ≼ cdom 8972   ≺ csdm 8973  Fincfn 8974  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206   ≤ cle 11345   − cmin 11542   / cdiv 11974  ℕcn 12336  ℝ⁺crp 13121  ...cfz 13640  ⌊cfl 13931  𝑂(1)co1 15654  ≤𝑂(1)clo1 15655  Σcsu 15854  ℙcprime 16847  ϕcphi 16942  Unitcui 20586  ℤRHomczrh 21806  ℤ/nℤczn 21809  logclog 26883

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-rpss 7739  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8244  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-dju 9983  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ioc 13482  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-seq 14146  df-exp 14206  df-fac 14419  df-bc 14448  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-shft 15221  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-limsup 15639  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-o1 15658  df-lo1 15659  df-sum 15855  df-ef 16234  df-e 16235  df-sin 16236  df-cos 16237  df-tan 16238  df-pi 16239  df-dvds 16424  df-gcd 16666  df-prm 16848  df-numer 16912  df-denom 16913  df-phi 16944  df-pc 17016  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-qus 17682  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-mhm 18979  df-submnd 18980  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-mulg 19279  df-subg 19334  df-nsg 19335  df-eqg 19336  df-ghm 19429  df-gim 19474  df-ga 19505  df-cntz 19532  df-oppg 19561  df-od 19743  df-gex 19744  df-pgp 19745  df-lsm 19851  df-pj1 19852  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-cyg 20093  df-dprd 20212  df-dpj 20213  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-cring 20463  df-oppr 20568  df-dvdsr 20588  df-unit 20589  df-invr 20619  df-dvr 20632  df-rhm 20703  df-subrng 20799  df-subrg 20823  df-drng 20983  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-lsp 21248  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487  df-rsp 21488  df-2idl 21544  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-zring 21754  df-zrh 21810  df-zn 21813  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-lp 23455  df-perf 23456  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-haus 23634  df-cmp 23706  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cncf 25200  df-0p 25992  df-limc 26187  df-dv 26188  df-ply 26507  df-idp 26508  df-coe 26509  df-dgr 26510  df-quot 26613  df-ulm 26705  df-log 26885  df-cxp 26886  df-atan 27196  df-em 27321  df-cht 27425  df-vma 27426  df-chp 27427  df-ppi 27428  df-mu 27429  df-dchr 27561

This theorem is used by:  dirith  27857