MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirith2 27586
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12269 . . . 4 ℕ ∈ V
2 inss1 4244 . . . . 5 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3 prmssnn 16709 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
42, 3sstri 4004 . . . 4 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
5 ssdomg 9038 . . . 4 (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
8 logno1 26692 . . . 4 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110phicld 16805 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1211nnred 12278 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
14 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 inss2 4245 . . . . . . . . . 10 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
16 ssfi 9211 . . . . . . . . . 10 (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18 elinel2 4211 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
204, 19sselid 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2120nnrpd 13072 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
22 relogcl 26631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2423, 20nndivred 12317 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2518, 24sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2617, 25fsumrecl 15766 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28 rpssre 13039 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
2912recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
30 o1const 15652 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3228a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
33 1red 11259 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
3414, 24fsumrecl 15766 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
35 log1 26641 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
3620nnge1d 12311 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
37 1rp 13035 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
38 logleb 26659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
3937, 21, 38sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
4036, 39mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
4135, 40eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
4223, 21, 41divge0d 13114 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
4315a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
4414, 24, 42, 43fsumless 15828 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4632, 27, 33, 34, 45ello1d 15555 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
47 0red 11261 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
4818, 42sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
4917, 25, 48fsumge0 15827 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5127, 47, 50o1lo12 15570 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
5246, 51mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5313, 27, 31, 52o1mul2 15657 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5412, 26remulcld 11288 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
57 relogcl 26631 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5958recnd 11286 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
60 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
61 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
62 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑍)
63 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑈)
64 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
6560, 61, 9, 62, 63, 64rplogsum 27585 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6756, 59, 66o1dif 15662 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
6853, 67mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
6968ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
708, 69mtoi 199 . . 3 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71 nnenom 14017 . . . . 5 ℕ ≈ ω
72 sdomentr 9149 . . . . 5 (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
7371, 72mpan2 691 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
74 isfinite2 9331 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7573, 74syl 17 . . 3 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7670, 75nsyl 140 . 2 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
77 bren2 9021 . 2 ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
787, 76, 77sylanbrc 583 1 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  cfv 6562  (class class class)co 7430  ωcom 7886  cen 8980  cdom 8981  csdm 8982  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  +crp 13031  ...cfz 13543  cfl 13826  𝑂(1)co1 15518  ≤𝑂(1)clo1 15519  Σcsu 15718  cprime 16704  ϕcphi 16797  Unitcui 20371  ℤRHomczrh 21527  ℤ/nczn 21530  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-rpss 7741  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-ec 8745  df-qs 8749  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-word 14549  df-concat 14605  df-s1 14630  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-o1 15522  df-lo1 15523  df-sum 15719  df-ef 16099  df-e 16100  df-sin 16101  df-cos 16102  df-tan 16103  df-pi 16104  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-numer 16768  df-denom 16769  df-phi 16799  df-pc 16870  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-qus 17555  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-nsg 19154  df-eqg 19155  df-ghm 19243  df-gim 19289  df-ga 19320  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-od 19560  df-gex 19561  df-pgp 19562  df-lsm 19668  df-pj1 19669  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-cyg 19910  df-dprd 20029  df-dpj 20030  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-lidl 21235  df-rsp 21236  df-2idl 21277  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-zn 21534  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ply 26241  df-idp 26242  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-quot 26347  df-ulm 26434  df-log 26612  df-cxp 26613  df-atan 26924  df-em 27050  df-cht 27154  df-vma 27155  df-chp 27156  df-ppi 27157  df-mu 27158  df-dchr 27291
This theorem is referenced by:  dirith  27587
  Copyright terms: Public domain W3C validator