Theorem dirith2 26256

Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
rpvmasum.t	⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})

Assertion

Ref	Expression
dirith2	⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2

Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11715	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
2		inss1 4117	. . . . 5 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3		prmssnn 16110	. . . . 5 ⊢ ℙ ⊆ ℕ
4	2, 3	sstri 3884	. . . 4 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
5		ssdomg 8594	. . . 4 ⊢ (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
6	1, 4, 5	mp2 9	. . 3 ⊢ (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
8		logno1 25371	. . . 4 ⊢ ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
9		rpvmasum.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
10	9	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
11	10	phicld 16202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
12	11	nnred 11724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
13	12	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
14		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15		inss2 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
16		ssfi 8765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
17	14, 15, 16	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18		elinel2 4084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
19		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
20	4, 19	sseldi 3873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
21	20	nnrpd 12505	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
22		relogcl 25311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
24	23, 20	nndivred 11763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
25	18, 24	sylan2 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
26	17, 25	fsumrecl 15177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
27	26	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28		rpssre 12472	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
29	12	recnd 10740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
30		o1const 15060	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
31	28, 29, 30	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
33		1red 10713	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
34	14, 24	fsumrecl 15177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
35		log1 25321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (log‘1) = 0
36	20	nnge1d 11757	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
37		1rp 12469	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℝ+
38		logleb 25338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
39	37, 21, 38	sylancr 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
40	36, 39	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
41	35, 40	eqbrtrrid 5063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
42	23, 21, 41	divge0d 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
43	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
44	14, 24, 42, 43	fsumless 15237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
45	44	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
46	32, 27, 33, 34, 45	ello1d 14963	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
47		0red 10715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
48	18, 42	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
49	17, 25, 48	fsumge0 15236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
50	49	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
51	27, 47, 50	o1lo12 14978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
52	46, 51	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
53	13, 27, 31, 52	o1mul2 15065	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
54	12, 26	remulcld 10742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
55	54	recnd 10740	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
56	55	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
57		relogcl 25311	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
58	57	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
59	58	recnd 10740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
60		rpvmasum.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
61		rpvmasum.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
62		rpvmasum.u	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑍)
63		rpvmasum.b	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑈)
64		rpvmasum.t	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 = (◡𝐿 “ {𝐴})
65	60, 61, 9, 62, 63, 64	rplogsum 26255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
66	65	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
67	56, 59, 66	o1dif 15070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
68	53, 67	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
69	68	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
70	8, 69	mtoi 202	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71		nnenom 13432	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
72		sdomentr 8694	. . . . 5 ⊢ (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
73	71, 72	mpan2 691	. . . 4 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
74		isfinite2 8843	. . . 4 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
75	73, 74	syl 17	. . 3 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
76	70, 75	nsyl 142	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
77		bren2 8579	. 2 ⊢ ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
78	7, 76, 77	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3397   ∩ cin 3840   ⊆ wss 3841  {csn 4513   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  ^◡ccnv 5518   “ cima 5522  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ωcom 7593   ≈ cen 8545   ≼ cdom 8546   ≺ csdm 8547  Fincfn 8548  ℂcc 10606  ℝcr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   · cmul 10613   ≤ cle 10747   − cmin 10941   / cdiv 11368  ℕcn 11709  ℝ⁺crp 12465  ...cfz 12974  ⌊cfl 13244  𝑂(1)co1 14926  ≤𝑂(1)clo1 14927  Σcsu 15128  ℙcprime 16105  ϕcphi 16194  Unitcui 19504  ℤRHomczrh 20313  ℤ/nℤczn 20316  logclog 25290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-disj 4993  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-rpss 7461  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-ec 8315  df-qs 8319  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-s1 14032  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-o1 14930  df-lo1 14931  df-sum 15129  df-ef 15506  df-e 15507  df-sin 15508  df-cos 15509  df-tan 15510  df-pi 15511  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-prm 16106  df-numer 16168  df-denom 16169  df-phi 16196  df-pc 16267  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-qus 16878  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-nsg 18388  df-eqg 18389  df-ghm 18467  df-gim 18510  df-ga 18531  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-od 18767  df-gex 18768  df-pgp 18769  df-lsm 18872  df-pj1 18873  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-cyg 19109  df-dprd 19229  df-dpj 19230  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-rnghom 19582  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-lidl 20058  df-rsp 20059  df-2idl 20117  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-zring 20283  df-zrh 20317  df-zn 20320  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-cmp 22131  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-0p 24415  df-limc 24610  df-dv 24611  df-ply 24929  df-idp 24930  df-coe 24931  df-dgr 24932  df-quot 25031  df-ulm 25116  df-log 25292  df-cxp 25293  df-atan 25597  df-em 25722  df-cht 25826  df-vma 25827  df-chp 25828  df-ppi 25829  df-mu 25830  df-dchr 25961

This theorem is referenced by:  dirith  26257