MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dirith2 27411
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12219 . . . 4 β„• ∈ V
2 inss1 4223 . . . . 5 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
3 prmssnn 16617 . . . . 5 β„™ βŠ† β„•
42, 3sstri 3986 . . . 4 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„•
5 ssdomg 8995 . . . 4 (β„• ∈ V β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•)
8 logno1 26520 . . . 4 Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110phicld 16711 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
1211nnred 12228 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 inss2 4224 . . . . . . . . . 10 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
16 ssfi 9172 . . . . . . . . . 10 (((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1714, 15, 16sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18 elinel2 4191 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
204, 19sselid 3975 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2120nnrpd 13017 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
22 relogcl 26459 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2423, 20nndivred 12267 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2518, 24sylan2 592 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2617, 25fsumrecl 15683 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2726adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
28 rpssre 12984 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
2912recnd 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
30 o1const 15567 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3228a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
33 1red 11216 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 1 ∈ ℝ)
3414, 24fsumrecl 15683 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
35 log1 26469 . . . . . . . . . . . . 13 (logβ€˜1) = 0
3620nnge1d 12261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 1 ≀ 𝑛)
37 1rp 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
38 logleb 26487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
3937, 21, 38sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›))
4135, 40eqbrtrrid 5177 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘›))
4223, 21, 41divge0d 13059 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4315a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇))
4414, 24, 42, 43fsumless 15745 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4632, 27, 33, 34, 45ello1d 15470 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1))
47 0red 11218 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ∈ ℝ)
4818, 42sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4917, 25, 48fsumge0 15744 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5127, 47, 50o1lo12 15485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1)))
5246, 51mpbird 257 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5313, 27, 31, 52o1mul2 15572 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5412, 26remulcld 11245 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 11243 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
5655adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
57 relogcl 26459 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5857adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5958recnd 11243 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
60 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
61 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
62 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
63 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
64 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
6560, 61, 9, 62, 63, 64rplogsum 27410 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6665adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6756, 59, 66o1dif 15577 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
6853, 67mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
6968ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
708, 69mtoi 198 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71 nnenom 13948 . . . . 5 β„• β‰ˆ Ο‰
72 sdomentr 9110 . . . . 5 (((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• ∧ β„• β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
7371, 72mpan2 688 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
74 isfinite2 9300 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7573, 74syl 17 . . 3 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7670, 75nsyl 140 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•)
77 bren2 8978 . 2 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„• ↔ ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„• ∧ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•))
787, 76, 77sylanbrc 582 1 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Ο‰com 7851   β‰ˆ cen 8935   β‰Ό cdom 8936   β‰Ί csdm 8937  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  β„•cn 12213  β„+crp 12977  ...cfz 13487  βŒŠcfl 13758  π‘‚(1)co1 15433  β‰€π‘‚(1)clo1 15434  Ξ£csu 15635  β„™cprime 16612  Ο•cphi 16703  Unitcui 20254  β„€RHomczrh 21381  β„€/nβ„€czn 21384  logclog 26438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-dju 9895  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-word 14468  df-concat 14524  df-s1 14549  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-o1 15437  df-lo1 15438  df-sum 15636  df-ef 16014  df-e 16015  df-sin 16016  df-cos 16017  df-tan 16018  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-numer 16677  df-denom 16678  df-phi 16705  df-pc 16776  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-qus 17461  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-mulg 18993  df-subg 19047  df-nsg 19048  df-eqg 19049  df-ghm 19136  df-gim 19181  df-ga 19203  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-od 19445  df-gex 19446  df-pgp 19447  df-lsm 19553  df-pj1 19554  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-cyg 19795  df-dprd 19914  df-dpj 19915  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-cring 20138  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-rhm 20371  df-subrng 20443  df-subrg 20468  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-lidl 21064  df-rsp 21065  df-2idl 21104  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-zring 21329  df-zrh 21385  df-zn 21388  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-cmp 23241  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-0p 25549  df-limc 25745  df-dv 25746  df-ply 26072  df-idp 26073  df-coe 26074  df-dgr 26075  df-quot 26176  df-ulm 26263  df-log 26440  df-cxp 26441  df-atan 26749  df-em 26875  df-cht 26979  df-vma 26980  df-chp 26981  df-ppi 26982  df-mu 26983  df-dchr 27116
This theorem is referenced by:  dirith  27412
  Copyright terms: Public domain W3C validator