MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirith2 26256
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)

Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 11715 . . . 4 ℕ ∈ V
2 inss1 4117 . . . . 5 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℙ
3 prmssnn 16110 . . . . 5 ℙ ⊆ ℕ
42, 3sstri 3884 . . . 4 (ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ
5 ssdomg 8594 . . . 4 (ℕ ∈ V → ((ℙ ∩ 𝑇) ⊆ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ
76a1i 11 . 2 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ)
8 logno1 25371 . . . 4 ¬ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
109adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 𝑁 ∈ ℕ)
1110phicld 16202 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
1211nnred 11724 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℝ)
14 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 inss2 4118 . . . . . . . . . 10 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)
16 ssfi 8765 . . . . . . . . . 10 (((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1714, 15, 16sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18 elinel2 4084 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
19 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇))
204, 19sseldi 3873 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2120nnrpd 12505 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
22 relogcl 25311 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
2423, 20nndivred 11763 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2518, 24sylan2 596 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → ((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2617, 25fsumrecl 15177 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
2726adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
28 rpssre 12472 . . . . . . . 8 + ⊆ ℝ
2912recnd 10740 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
30 o1const 15060 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 590 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (ϕ‘𝑁)) ∈ 𝑂(1))
3228a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ℝ+ ⊆ ℝ)
33 1red 10713 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 1 ∈ ℝ)
3414, 24fsumrecl 15177 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
35 log1 25321 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘1) = 0
3620nnge1d 11757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 1 ≤ 𝑛)
37 1rp 12469 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
38 logleb 25338 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
3937, 21, 38sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (1 ≤ 𝑛 ↔ (log‘1) ≤ (log‘𝑛)))
4036, 39mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → (log‘1) ≤ (log‘𝑛))
4135, 40eqbrtrrid 5063 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ (log‘𝑛))
4223, 21, 41divge0d 12547 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
4315a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇)) ⊆ (ℙ ∩ 𝑇))
4414, 24, 42, 43fsumless 15237 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4544adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℙ ∩ 𝑇)((log‘𝑛) / 𝑛))
4632, 27, 33, 34, 45ello1d 14963 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1))
47 0red 10715 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ∈ ℝ)
4818, 42sylan2 596 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))) → 0 ≤ ((log‘𝑛) / 𝑛))
4917, 25, 48fsumge0 15236 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5049adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))
5127, 47, 50o1lo12 14978 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ≤𝑂(1)))
5246, 51mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5313, 27, 31, 52o1mul2 15065 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5412, 26remulcld 10742 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 10740 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
5655adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
57 relogcl 25311 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5857adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
5958recnd 10740 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
60 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
61 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
62 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 𝑈 = (Unit‘𝑍)
63 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝑈)
64 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
6560, 61, 9, 62, 63, 64rplogsum 26255 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6665adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
6756, 59, 66o1dif 15070 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ (ℙ ∩ 𝑇))((log‘𝑛) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
6853, 67mpbid 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1))
6968ex 416 . . . 4 (𝜑 → ((ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (log‘𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
708, 69mtoi 202 . . 3 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71 nnenom 13432 . . . . 5 ℕ ≈ ω
72 sdomentr 8694 . . . . 5 (((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
7371, 72mpan2 691 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω)
74 isfinite2 8843 . . . 4 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ω → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7573, 74syl 17 . . 3 ((ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ → (ℙ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7670, 75nsyl 142 . 2 (𝜑 → ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ)
77 bren2 8579 . 2 ((ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ ↔ ((ℙ ∩ 𝑇) ≼ ℕ ∧ ¬ (ℙ ∩ 𝑇) ≺ ℕ))
787, 76, 77sylanbrc 586 1 (𝜑 → (ℙ ∩ 𝑇) ≈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  Vcvv 3397  cin 3840  wss 3841  {csn 4513   class class class wbr 5027  cmpt 5107  ccnv 5518  cima 5522  cfv 6333  (class class class)co 7164  ωcom 7593  cen 8545  cdom 8546  csdm 8547  Fincfn 8548  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608  1c1 10609   · cmul 10613  cle 10747  cmin 10941   / cdiv 11368  cn 11709  +crp 12465  ...cfz 12974  cfl 13244  𝑂(1)co1 14926  ≤𝑂(1)clo1 14927  Σcsu 15128  cprime 16105  ϕcphi 16194  Unitcui 19504  ℤRHomczrh 20313  ℤ/nczn 20316  logclog 25290
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-disj 4993  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-rpss 7461  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-tpos 7914  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-ec 8315  df-qs 8319  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-xnn0 12042  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-word 13949  df-concat 14005  df-s1 14032  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-o1 14930  df-lo1 14931  df-sum 15129  df-ef 15506  df-e 15507  df-sin 15508  df-cos 15509  df-tan 15510  df-pi 15511  df-dvds 15693  df-gcd 15931  df-prm 16106  df-numer 16168  df-denom 16169  df-phi 16196  df-pc 16267  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-qus 16878  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-nsg 18388  df-eqg 18389  df-ghm 18467  df-gim 18510  df-ga 18531  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-od 18767  df-gex 18768  df-pgp 18769  df-lsm 18872  df-pj1 18873  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-cyg 19109  df-dprd 19229  df-dpj 19230  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-cring 19412  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-rnghom 19582  df-drng 19616  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-lidl 20058  df-rsp 20059  df-2idl 20117  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-zring 20283  df-zrh 20317  df-zn 20320  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-cmp 22131  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-0p 24415  df-limc 24610  df-dv 24611  df-ply 24929  df-idp 24930  df-coe 24931  df-dgr 24932  df-quot 25031  df-ulm 25116  df-log 25292  df-cxp 25293  df-atan 25597  df-em 25722  df-cht 25826  df-vma 25827  df-chp 25828  df-ppi 25829  df-mu 25830  df-dchr 25961
This theorem is referenced by:  dirith  26257
  Copyright terms: Public domain W3C validator