MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dirith2 27020
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
rpvmasum.b (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
rpvmasum.t 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
dirith2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Proof of Theorem dirith2
Dummy variables 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 12214 . . . 4 β„• ∈ V
2 inss1 4227 . . . . 5 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„™
3 prmssnn 16609 . . . . 5 β„™ βŠ† β„•
42, 3sstri 3990 . . . 4 (β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„•
5 ssdomg 8992 . . . 4 (β„• ∈ V β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) βŠ† β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•
76a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„•)
8 logno1 26135 . . . 4 Β¬ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)
9 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
1110phicld 16701 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„•)
1211nnred 12223 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ ℝ)
14 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
15 inss2 4228 . . . . . . . . . 10 ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)
16 ssfi 9169 . . . . . . . . . 10 (((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin ∧ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) ∈ Fin)
18 elinel2 4195 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇))
204, 19sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
2120nnrpd 13010 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
22 relogcl 26075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜π‘›) ∈ ℝ)
2423, 20nndivred 12262 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2518, 24sylan2 593 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2617, 25fsumrecl 15676 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
2726adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
28 rpssre 12977 . . . . . . . 8 ℝ+ βŠ† ℝ
2912recnd 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚)
30 o1const 15560 . . . . . . . 8 ((ℝ+ βŠ† ℝ ∧ (Ο•β€˜π‘) ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3128, 29, 30sylancr 587 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Ο•β€˜π‘)) ∈ 𝑂(1))
3228a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
33 1red 11211 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 1 ∈ ℝ)
3414, 24fsumrecl 15676 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ∈ ℝ)
35 log1 26085 . . . . . . . . . . . . 13 (logβ€˜1) = 0
3620nnge1d 12256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 1 ≀ 𝑛)
37 1rp 12974 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℝ+
38 logleb 26102 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
3937, 21, 38sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (1 ≀ 𝑛 ↔ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›)))
4036, 39mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ (logβ€˜1) ≀ (logβ€˜π‘›))
4135, 40eqbrtrrid 5183 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ (logβ€˜π‘›))
4223, 21, 41divge0d 13052 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4315a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇)) βŠ† (β„™ ∩ 𝑇))
4414, 24, 42, 43fsumless 15738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ≀ π‘₯)) β†’ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛) ≀ Σ𝑛 ∈ (β„™ ∩ 𝑇)((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4632, 27, 33, 34, 45ello1d 15463 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1))
47 0red 11213 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ∈ ℝ)
4818, 42sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))) β†’ 0 ≀ ((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
4917, 25, 48fsumge0 15737 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5049adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))
5127, 47, 50o1lo12 15478 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ≀𝑂(1)))
5246, 51mpbird 256 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ 𝑂(1))
5313, 27, 31, 52o1mul2 15565 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1))
5412, 26remulcld 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ ℝ)
5554recnd 11238 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
5655adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) ∈ β„‚)
57 relogcl 26075 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5857adantl 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5958recnd 11238 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
60 rpvmasum.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
61 rpvmasum.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
62 rpvmasum.u . . . . . . . . 9 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘)
63 rpvmasum.b . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
64 rpvmasum.t . . . . . . . . 9 𝑇 = (◑𝐿 β€œ {𝐴})
6560, 61, 9, 62, 63, 64rplogsum 27019 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6665adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛)) βˆ’ (logβ€˜π‘₯))) ∈ 𝑂(1))
6756, 59, 66o1dif 15570 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ ((Ο•β€˜π‘) Β· Σ𝑛 ∈ ((1...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∩ (β„™ ∩ 𝑇))((logβ€˜π‘›) / 𝑛))) ∈ 𝑂(1) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
6853, 67mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1))
6968ex 413 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (logβ€˜π‘₯)) ∈ 𝑂(1)))
708, 69mtoi 198 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
71 nnenom 13941 . . . . 5 β„• β‰ˆ Ο‰
72 sdomentr 9107 . . . . 5 (((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• ∧ β„• β‰ˆ Ο‰) β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
7371, 72mpan2 689 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰)
74 isfinite2 9297 . . . 4 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί Ο‰ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7573, 74syl 17 . . 3 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„• β†’ (β„™ ∩ 𝑇) ∈ Fin)
7670, 75nsyl 140 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•)
77 bren2 8975 . 2 ((β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„• ↔ ((β„™ ∩ 𝑇) β‰Ό β„• ∧ Β¬ (β„™ ∩ 𝑇) β‰Ί β„•))
787, 76, 77sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ (β„™ ∩ 𝑇) β‰ˆ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Ο‰com 7851   β‰ˆ cen 8932   β‰Ό cdom 8933   β‰Ί csdm 8934  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„+crp 12970  ...cfz 13480  βŒŠcfl 13751  π‘‚(1)co1 15426  β‰€π‘‚(1)clo1 15427  Ξ£csu 15628  β„™cprime 16604  Ο•cphi 16693  Unitcui 20161  β„€RHomczrh 21040  β„€/nβ„€czn 21043  logclog 26054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-rpss 7709  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-s1 14542  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-o1 15430  df-lo1 15431  df-sum 15629  df-ef 16007  df-e 16008  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-prm 16605  df-numer 16667  df-denom 16668  df-phi 16695  df-pc 16766  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-qus 17451  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-nsg 18998  df-eqg 18999  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-ga 19148  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-od 19390  df-gex 19391  df-pgp 19392  df-lsm 19498  df-pj1 19499  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-cyg 19740  df-dprd 19859  df-dpj 19860  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-lidl 20779  df-rsp 20780  df-2idl 20849  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-zn 21047  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-0p 25178  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ply 25693  df-idp 25694  df-coe 25695  df-dgr 25696  df-quot 25795  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-atan 26361  df-em 26486  df-cht 26590  df-vma 26591  df-chp 26592  df-ppi 26593  df-mu 26594  df-dchr 26725
This theorem is referenced by:  dirith  27021
  Copyright terms: Public domain W3C validator