Theorem ufilen 23878

Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufilen	⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8970	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5735	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
3		numth3 10495	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
5		csdfil 23842	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	mpancom 686	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 23860	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9		elfvex 6934	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10	9	ad2antlr 725	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11		ufilfil 23852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12		filelss 23800	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
13	11, 12	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
14	13	adantll 712	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
15		ssdomg 9021	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ≼ 𝑋))
16	10, 14, 15	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ≼ 𝑋)
17		filfbas 23796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
19	18	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20		fbncp 23787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
21	19, 20	sylan 578	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
22		difeq2 4112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)))
23	22	breq1d 5159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋))
24		difss 4128	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
25		elpw2g 5347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
26	24, 25	mpbiri 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27	26	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
29		dfss4 4257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
30	28, 29	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
31		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ≺ 𝑋)
32	30, 31	eqbrtrd 5171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋)
33	23, 27, 32	elrabd 3681	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋})
34		ssel 3970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
35	33, 34	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
36	35	3expa 1115	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
37	36	impancom 450	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥 ≺ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
38	37	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
39	38	impancom 450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
40	10, 14, 21, 39	syl21anc 836	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
41		bren2 9004	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑋 ↔ (𝑥 ≼ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
42	41	simplbi2 499	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑋 → (¬ 𝑥 ≺ 𝑋 → 𝑥 ≈ 𝑋))
43	16, 40, 42	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → 𝑥 ≈ 𝑋))
44	43	ralrimdva 3143	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
45	44	reximdva 3157	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
46	8, 45	mpd 15	1 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941   ⊆ wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  ‘cfv 6549  ωcom 7871   ≈ cen 8961   ≼ cdom 8962   ≺ csdm 8963  cardccrd 9960  fBascfbas 21284  Filcfil 23793  UFilcufil 23847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-rpss 7729  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-ac 10141  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-fil 23794  df-ufil 23849

This theorem is referenced by: (None)