Theorem ufilen 22827

Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufilen	⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8632	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5606	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
3		numth3 10084	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
5		csdfil 22791	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	mpancom 688	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 22809	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9		elfvex 6750	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10	9	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11		ufilfil 22801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12		filelss 22749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
13	11, 12	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
14	13	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
15		ssdomg 8674	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ≼ 𝑋))
16	10, 14, 15	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ≼ 𝑋)
17		filfbas 22745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
19	18	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20		fbncp 22736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
21	19, 20	sylan 583	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
22		difeq2 4031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)))
23	22	breq1d 5063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋))
24		difss 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
25		elpw2g 5237	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
26	24, 25	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27	26	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28		simp2 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
29		dfss4 4173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
31		simp3 1140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ≺ 𝑋)
32	30, 31	eqbrtrd 5075	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋)
33	23, 27, 32	elrabd 3604	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋})
34		ssel 3893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
35	33, 34	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
36	35	3expa 1120	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
37	36	impancom 455	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥 ≺ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
38	37	con3d 155	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
39	38	impancom 455	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
40	10, 14, 21, 39	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
41		bren2 8659	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑋 ↔ (𝑥 ≼ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
42	41	simplbi2 504	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑋 → (¬ 𝑥 ≺ 𝑋 → 𝑥 ≈ 𝑋))
43	16, 40, 42	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → 𝑥 ≈ 𝑋))
44	43	ralrimdva 3110	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
45	44	reximdva 3193	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
46	8, 45	mpd 15	1 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408   ∖ cdif 3863   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513   class class class wbr 5053  dom cdm 5551  ‘cfv 6380  ωcom 7644   ≈ cen 8623   ≼ cdom 8624   ≺ csdm 8625  cardccrd 9551  fBascfbas 20351  Filcfil 22742  UFilcufil 22796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-ac2 10077

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-rpss 7511  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fi 9027  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-ac 9730  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-fil 22743  df-ufil 22798

This theorem is referenced by: (None)