Theorem ufilen 23909

Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufilen	⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8894	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5683	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
3		numth3 10387	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
5		csdfil 23873	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	mpancom 689	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 23891	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9		elfvex 6871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10	9	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11		ufilfil 23883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12		filelss 23831	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
13	11, 12	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
14	13	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
15		ssdomg 8942	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ≼ 𝑋))
16	10, 14, 15	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ≼ 𝑋)
17		filfbas 23827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
18	11, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
19	18	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20		fbncp 23818	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
21	19, 20	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
22		difeq2 4061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)))
23	22	breq1d 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋))
24		difss 4077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
25		elpw2g 5271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
26	24, 25	mpbiri 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27	26	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
29		dfss4 4210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
30	28, 29	sylib 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
31		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ≺ 𝑋)
32	30, 31	eqbrtrd 5108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋)
33	23, 27, 32	elrabd 3637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋})
34		ssel 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
35	33, 34	syl5com 31	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
36	35	3expa 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
37	36	impancom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥 ≺ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
38	37	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
39	38	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
40	10, 14, 21, 39	syl21anc 838	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
41		bren2 8925	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑋 ↔ (𝑥 ≼ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
42	41	simplbi2 500	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑋 → (¬ 𝑥 ≺ 𝑋 → 𝑥 ≈ 𝑋))
43	16, 40, 42	sylsyld 61	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → 𝑥 ≈ 𝑋))
44	43	ralrimdva 3138	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
45	44	reximdva 3151	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
46	8, 45	mpd 15	1 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086  dom cdm 5626  ‘cfv 6494  ωcom 7812   ≈ cen 8885   ≼ cdom 8886   ≺ csdm 8887  cardccrd 9854  fBascfbas 21336  Filcfil 23824  UFilcufil 23878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-inf2 9557  ax-ac2 10380

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-rpss 7672  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-oi 9420  df-dju 9820  df-card 9858  df-ac 10033  df-fbas 21345  df-fg 21346  df-fil 23825  df-ufil 23880

This theorem is referenced by: (None)