Theorem ufilen 24087

Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufilen	⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8945	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5718	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
3		numth3 10449	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
5		csdfil 24051	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	mpancom 700	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 24069	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9		elfvex 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10	9	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11		ufilfil 24061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12		filelss 24009	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
13	11, 12	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
14	13	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
15		ssdomg 8993	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ≼ 𝑋))
16	10, 14, 15	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ≼ 𝑋)
17		filfbas 24005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
19	18	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20		fbncp 23996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
21	19, 20	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
22		difeq2 4075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)))
23	22	breq1d 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋))
24		difss 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
25		elpw2g 5304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
26	24, 25	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27	26	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
29		dfss4 4222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
31		simp3 1156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ≺ 𝑋)
32	30, 31	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋)
33	23, 27, 32	elrabd 3652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋})
34		ssel 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
35	33, 34	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
36	35	3expa 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
37	36	impancom 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥 ≺ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
38	37	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
39	38	impancom 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
40	10, 14, 21, 39	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
41		bren2 8976	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑋 ↔ (𝑥 ≼ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
42	41	simplbi2 505	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑋 → (¬ 𝑥 ≺ 𝑋 → 𝑥 ≈ 𝑋))
43	16, 40, 42	sylsyld 62	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → 𝑥 ≈ 𝑋))
44	43	ralrimdva 3165	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
45	44	reximdva 3178	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
46	8, 45	mpd 16	1 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  ωcom 7858   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937   ≺ csdm 8938  cardccrd 9917  fBascfbas 21510  Filcfil 24002  UFilcufil 24056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-ac2 10442

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-rpss 7720  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-oi 9468  df-dju 9883  df-card 9921  df-ac 10096  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-fil 24003  df-ufil 24058

This theorem is referenced by: (None)