MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufilen 23878
Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilen (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8970 . . . . . 6 Rel ≼
21brrelex2i 5735 . . . . 5 (ω ≼ 𝑋𝑋 ∈ V)
3 numth3 10495 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
42, 3syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝑋𝑋 ∈ dom card)
5 csdfil 23842 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
64, 5mpancom 686 . . 3 (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7 filssufil 23860 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
86, 7syl 17 . 2 (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9 elfvex 6934 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
109ad2antlr 725 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11 ufilfil 23852 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12 filelss 23800 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
1311, 12sylan 578 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
1413adantll 712 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
15 ssdomg 9021 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (𝑥𝑋𝑥𝑋))
1610, 14, 15sylc 65 . . . . 5 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
17 filfbas 23796 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
1811, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20 fbncp 23787 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓)
2119, 20sylan 578 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓)
22 difeq2 4112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑋𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)))
2322breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑥) → ((𝑋𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) ≺ 𝑋))
24 difss 4128 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
25 elpw2g 5347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ V → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
2624, 25mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27263ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
29 dfss4 4257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) = 𝑥)
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) = 𝑥)
31 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
3230, 31eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) ≺ 𝑋)
3323, 27, 32elrabd 3681 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋})
34 ssel 3970 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3533, 34syl5com 31 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
36353expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3736impancom 450 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥𝑋 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3837con3d 152 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
3938impancom 450 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
4010, 14, 21, 39syl21anc 836 . . . . 5 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
41 bren2 9004 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝑋))
4241simplbi2 499 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (¬ 𝑥𝑋𝑥𝑋))
4316, 40, 42sylsyld 61 . . . 4 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓𝑥𝑋))
4443ralrimdva 3143 . . 3 ((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥𝑓 𝑥𝑋))
4544reximdva 3157 . 2 (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋))
468, 45mpd 15 1 (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  wss 3944  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  cfv 6549  ωcom 7871  cen 8961  cdom 8962  csdm 8963  cardccrd 9960  fBascfbas 21284  Filcfil 23793  UFilcufil 23847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-rpss 7729  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-ac 10141  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-fil 23794  df-ufil 23849
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator