Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufilen 22545
 Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilen (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8501 . . . . . 6 Rel ≼
21brrelex2i 5574 . . . . 5 (ω ≼ 𝑋𝑋 ∈ V)
3 numth3 9884 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
42, 3syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝑋𝑋 ∈ dom card)
5 csdfil 22509 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
64, 5mpancom 687 . . 3 (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7 filssufil 22527 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
86, 7syl 17 . 2 (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9 elfvex 6679 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
109ad2antlr 726 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11 ufilfil 22519 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12 filelss 22467 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
1311, 12sylan 583 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
1413adantll 713 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
15 ssdomg 8541 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (𝑥𝑋𝑥𝑋))
1610, 14, 15sylc 65 . . . . 5 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
17 filfbas 22463 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
1811, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
1918adantl 485 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20 fbncp 22454 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓)
2119, 20sylan 583 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓)
22 difeq2 4044 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑋𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)))
2322breq1d 5041 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑥) → ((𝑋𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) ≺ 𝑋))
24 difss 4059 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
25 elpw2g 5212 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ V → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
2624, 25mpbiri 261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27263ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28 simp2 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
29 dfss4 4185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) = 𝑥)
3028, 29sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) = 𝑥)
31 simp3 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
3230, 31eqbrtrd 5053 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) ≺ 𝑋)
3323, 27, 32elrabd 3630 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋})
34 ssel 3908 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3533, 34syl5com 31 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
36353expa 1115 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3736impancom 455 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥𝑋 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3837con3d 155 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
3938impancom 455 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
4010, 14, 21, 39syl21anc 836 . . . . 5 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
41 bren2 8526 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝑋))
4241simplbi2 504 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (¬ 𝑥𝑋𝑥𝑋))
4316, 40, 42sylsyld 61 . . . 4 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓𝑥𝑋))
4443ralrimdva 3154 . . 3 ((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥𝑓 𝑥𝑋))
4544reximdva 3233 . 2 (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋))
468, 45mpd 15 1 (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5031  dom cdm 5520  ‘cfv 6325  ωcom 7563   ≈ cen 8492   ≼ cdom 8493   ≺ csdm 8494  cardccrd 9351  fBascfbas 20083  Filcfil 22460  UFilcufil 22514 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-ac2 9877 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-rpss 7432  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fi 8862  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-ac 9530  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-fil 22461  df-ufil 22516 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator