MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ufilen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ufilen 23656
Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
ufilen (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋)
Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 8949 . . . . . 6 Rel ≼
21brrelex2i 5734 . . . . 5 (ω ≼ 𝑋𝑋 ∈ V)
3 numth3 10469 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
42, 3syl 17 . . . 4 (ω ≼ 𝑋𝑋 ∈ dom card)
5 csdfil 23620 . . . 4 ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
64, 5mpancom 684 . . 3 (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7 filssufil 23638 . . 3 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
86, 7syl 17 . 2 (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9 elfvex 6930 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
109ad2antlr 723 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11 ufilfil 23630 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12 filelss 23578 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
1311, 12sylan 578 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
1413adantll 710 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
15 ssdomg 9000 . . . . . 6 (𝑋 ∈ V → (𝑥𝑋𝑥𝑋))
1610, 14, 15sylc 65 . . . . 5 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → 𝑥𝑋)
17 filfbas 23574 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
1811, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20 fbncp 23565 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥𝑓) → ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓)
2119, 20sylan 578 . . . . . 6 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓)
22 difeq2 4117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑋𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)))
2322breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑋𝑥) → ((𝑋𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) ≺ 𝑋))
24 difss 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋
25 elpw2g 5345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ V → ((𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋𝑥) ⊆ 𝑋))
2624, 25mpbiri 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ V → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27263ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
29 dfss4 4259 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) = 𝑥)
3028, 29sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) = 𝑥)
31 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
3230, 31eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋𝑥)) ≺ 𝑋)
3323, 27, 32elrabd 3686 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → (𝑋𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋})
34 ssel 3976 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3533, 34syl5com 31 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋𝑥𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
36353expa 1116 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑥𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3736impancom 450 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥𝑋 → (𝑋𝑥) ∈ 𝑓))
3837con3d 152 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
3938impancom 450 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥𝑋) ∧ ¬ (𝑋𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
4010, 14, 21, 39syl21anc 834 . . . . 5 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥𝑋))
41 bren2 8983 . . . . . 6 (𝑥𝑋 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ¬ 𝑥𝑋))
4241simplbi2 499 . . . . 5 (𝑥𝑋 → (¬ 𝑥𝑋𝑥𝑋))
4316, 40, 42sylsyld 61 . . . 4 (((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓𝑥𝑋))
4443ralrimdva 3152 . . 3 ((ω ≼ 𝑋𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥𝑓 𝑥𝑋))
4544reximdva 3166 . 2 (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋))
468, 45mpd 15 1 (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥𝑓 𝑥𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1085   = wceq 1539  wcel 2104  wral 3059  wrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472  cdif 3946  wss 3949  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  cfv 6544  ωcom 7859  cen 8940  cdom 8941  csdm 8942  cardccrd 9934  fBascfbas 21134  Filcfil 23571  UFilcufil 23625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rpss 7717  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9410  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-ac 10115  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-fil 23572  df-ufil 23627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator