Theorem ufilen 24056

Description: Any infinite set has an ultrafilter on it whose elements are of the same cardinality as the set. Any such ultrafilter is necessarily free. (Contributed by Jeff Hankins, 7-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 3-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ufilen	⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Distinct variable group:   𝑥,𝑓,𝑋

Proof of Theorem ufilen

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8949	. . . . . 6 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5719	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ V)
3		numth3 10454	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ V → 𝑋 ∈ dom card)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → 𝑋 ∈ dom card)
5		csdfil 24020	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ dom card ∧ ω ≼ 𝑋) → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
6	4, 5	mpancom 700	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋))
7		filssufil 24038	. . 3 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ∈ (Fil‘𝑋) → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓)
9		elfvex 6917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑋 ∈ V)
10	9	ad2antlr 739	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑋 ∈ V)
11		ufilfil 24030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (Fil‘𝑋))
12		filelss 23978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
13	11, 12	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
14	13	adantll 726	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
15		ssdomg 8997	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑥 ⊆ 𝑋 → 𝑥 ≼ 𝑋))
16	10, 14, 15	sylc 66	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → 𝑥 ≼ 𝑋)
17		filfbas 23974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
18	11, 17	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ (UFil‘𝑋) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
19	18	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → 𝑓 ∈ (fBas‘𝑋))
20		fbncp 23965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
21	19, 20	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓)
22		difeq2 4083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → (𝑋 ∖ 𝑦) = (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)))
23	22	breq1d 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑋 ∖ 𝑥) → ((𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋))
24		difss 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋
25		elpw2g 5304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ V → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ 𝑥) ⊆ 𝑋))
26	24, 25	mpbiri 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ V → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
27	26	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 𝑋)
28		simp2 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ⊆ 𝑋)
29		dfss4 4230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ⊆ 𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
30	28, 29	sylib 221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) = 𝑥)
31		simp3 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → 𝑥 ≺ 𝑋)
32	30, 31	eqbrtrd 5137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ (𝑋 ∖ 𝑥)) ≺ 𝑋)
33	23, 27, 32	elrabd 3661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋})
34		ssel 3939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ((𝑋 ∖ 𝑥) ∈ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
35	33, 34	syl5com 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
36	35	3expa 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ 𝑥 ≺ 𝑋) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
37	36	impancom 456	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (𝑥 ≺ 𝑋 → (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓))
38	37	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ {𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓) → (¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
39	38	impancom 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ 𝑋) ∧ ¬ (𝑋 ∖ 𝑥) ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
40	10, 14, 21, 39	syl21anc 850	. . . . 5 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
41		bren2 8980	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≈ 𝑋 ↔ (𝑥 ≼ 𝑋 ∧ ¬ 𝑥 ≺ 𝑋))
42	41	simplbi2 505	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≼ 𝑋 → (¬ 𝑥 ≺ 𝑋 → 𝑥 ≈ 𝑋))
43	16, 40, 42	sylsyld 62	. . . 4 ⊢ (((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑓) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → 𝑥 ≈ 𝑋))
44	43	ralrimdva 3171	. . 3 ⊢ ((ω ≼ 𝑋 ∧ 𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)) → ({𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
45	44	reximdva 3184	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → (∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋){𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (𝑋 ∖ 𝑦) ≺ 𝑋} ⊆ 𝑓 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋))
46	8, 45	mpd 16	1 ⊢ (ω ≼ 𝑋 → ∃𝑓 ∈ (UFil‘𝑋)∀𝑥 ∈ 𝑓 𝑥 ≈ 𝑋)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  ∃wrex 3095  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567   class class class wbr 5113  dom cdm 5662  ‘cfv 6537  ωcom 7862   ≈ cen 8940   ≼ cdom 8941   ≺ csdm 8942  cardccrd 9921  fBascfbas 21479  Filcfil 23971  UFilcufil 24025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-ac2 10447

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-rpss 7721  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fi 9371  df-oi 9472  df-dju 9887  df-card 9925  df-ac 10100  df-fbas 21488  df-fg 21489  df-fil 23972  df-ufil 24027

This theorem is referenced by: (None)