Theorem enrefg 8928

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6812	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 8912	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 571	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079   I cid 5519   ↾ cres 5627  –1-1-onto→wf1o 6491   ≈ cen 8887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-en 8891

This theorem is referenced by:  enref  8929  eqeng  8930  domrefg  8931  difsnen  8994  sdomirr  9049  mapdom1  9077  mapdom2  9083  rneqdmfinf1o  9240  infdifsn  9576  infdiffi  9577  onenon  9871  cardonle  9879  dju1en  10092  xpdjuen  10100  mapdjuen  10101  onadju  10114  nnadju  10118  ssfin4  10230  canthp1lem1  10573  gchhar  10600  hashfac  14418  mreexexlem3d  17610  cyggenod  19857  mdetunilem8  22609  frlmpwfi  43544  fiuneneq  43638  enrelmap  44442