MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enrefg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enrefg 8980
Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
enrefg (𝐴𝑉𝐴𝐴)

Proof of Theorem enrefg
StepHypRef Expression
1 f1oi 6872 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1oen2g 8964 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐴)
31, 2mp3an3 1451 . 2 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)
43anidms 568 1 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5149   I cid 5574  cres 5679  1-1-ontowf1o 6543  cen 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-en 8940
This theorem is referenced by:  enref  8981  eqeng  8982  domrefg  8983  difsnen  9053  sdomirr  9114  mapdom1  9142  mapdom2  9148  rneqdmfinf1o  9328  infdifsn  9652  infdiffi  9653  onenon  9944  cardonle  9952  dju1en  10166  xpdjuen  10174  mapdjuen  10175  onadju  10188  nnadju  10192  ssfin4  10305  canthp1lem1  10647  gchhar  10674  hashfac  14419  mreexexlem3d  17590  cyggenod  19752  fidomndrnglem  20925  mdetunilem8  22121  frlmpwfi  41840  fiuneneq  41939  enrelmap  42748
  Copyright terms: Public domain W3C validator