Theorem enrefg 8979

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6859	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 8963	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 576	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108   I cid 5554   ↾ cres 5662  –1-1-onto→wf1o 6535   ≈ cen 8938

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-en 8942

This theorem is used by:  enref  8980  eqeng  8981  domrefg  8982  difsnen  9045  sdomirr  9100  mapdom1  9128  mapdom2  9134  rneqdmfinf1o  9288  infdifsn  9624  infdiffi  9625  onenon  9942  cardonle  9950  dju1en  10162  xpdjuen  10170  mapdjuen  10171  onadju  10184  nnadju  10188  ssfin4  10300  canthp1lem1  10643  gchhar  10670  hashfac  14502  mreexexlem3d  17708  cyggenod  19960  mdetunilem8  22787  rankkardu  35592  frlmpwfi  43853  fiuneneq  43947  enrelmap  44751