Theorem enrefg 8993

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6860	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 8977	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 577	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107   I cid 5553   ↾ cres 5661  –1-1-onto→wf1o 6536   ≈ cen 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-en 8956

This theorem is used by:  enref  8994  eqeng  8995  domrefg  8996  difsnen  9060  sdomirr  9115  mapdom1  9143  mapdom2  9149  rneqdmfinf1o  9303  infdifsn  9639  infdiffi  9640  onenon  9957  cardonle  9965  dju1en  10177  xpdjuen  10185  mapdjuen  10186  onadju  10199  nnadju  10203  ssfin4  10315  canthp1lem1  10664  gchhar  10691  hashfac  14525  mreexexlem3d  17738  cyggenod  20015  mdetunilem8  22845  rankkardu  35699  frlmpwfi  43941  fiuneneq  44035  enrelmap  44839