Theorem enrefg 9039

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6886	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶1-1onto𝐴
2		f1oen2g 9023	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴⟶1-1onto𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 577	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   I cid 5549   ↾ cres 5657  ⟶1-1ontowf1o 6557   ≈ cen 8998

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-en 9002

This theorem is used by:  enref  9040  eqeng  9041  domrefg  9042  difsnen  9106  sdomirr  9161  mapdom1  9189  mapdom2  9195  rneqdmfinf1o  9350  infdifsn  9685  infdiffi  9686  onenon  10057  cardonle  10065  dju1en  10277  xpdjuen  10285  mapdjuen  10286  onadju  10299  nnadju  10303  ssfin4  10415  canthp1lem1  10764  gchhar  10791  hashfac  14630  mreexexlem3d  17849  cyggenod  20128  mdetunilem8  22964  rankkardu  35939  frlmpwfi  44293  fiuneneq  44386  enrelmap  45189