Theorem enrefg 8963

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6858	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 8947	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1450	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 567	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141   I cid 5566   ↾ cres 5671  –1-1-onto→wf1o 6531   ≈ cen 8919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-en 8923

This theorem is referenced by:  enref  8964  eqeng  8965  domrefg  8966  difsnen  9036  sdomirr  9097  mapdom1  9125  mapdom2  9131  rneqdmfinf1o  9311  infdifsn  9634  infdiffi  9635  onenon  9926  cardonle  9934  dju1en  10148  xpdjuen  10156  mapdjuen  10157  onadju  10170  nnadju  10174  ssfin4  10287  canthp1lem1  10629  gchhar  10656  hashfac  14401  mreexexlem3d  17572  cyggenod  19711  fidomndrnglem  20859  mdetunilem8  22050  frlmpwfi  41611  fiuneneq  41710  enrelmap  42519