MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enrefg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enrefg 8931
Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
enrefg (𝐴𝑉𝐴𝐴)

Proof of Theorem enrefg
StepHypRef Expression
1 f1oi 6827 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1oen2g 8915 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐴)
31, 2mp3an3 1451 . 2 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)
43anidms 568 1 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5110   I cid 5535  cres 5640  1-1-ontowf1o 6500  cen 8887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-en 8891
This theorem is referenced by:  enref  8932  eqeng  8933  domrefg  8934  difsnen  9004  sdomirr  9065  mapdom1  9093  mapdom2  9099  rneqdmfinf1o  9279  infdifsn  9600  infdiffi  9601  onenon  9892  cardonle  9900  dju1en  10114  xpdjuen  10122  mapdjuen  10123  onadju  10136  nnadju  10140  ssfin4  10253  canthp1lem1  10595  gchhar  10622  hashfac  14364  mreexexlem3d  17533  cyggenod  19668  fidomndrnglem  20793  mdetunilem8  21984  frlmpwfi  41454  fiuneneq  41553  enrelmap  42343
  Copyright terms: Public domain W3C validator