MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  enrefg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem enrefg 8982
Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
enrefg (𝐴𝑉𝐴𝐴)

Proof of Theorem enrefg
StepHypRef Expression
1 f1oi 6871 . . 3 ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴
2 f1oen2g 8966 . . 3 ((𝐴𝑉𝐴𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴1-1-onto𝐴) → 𝐴𝐴)
31, 2mp3an3 1450 . 2 ((𝐴𝑉𝐴𝑉) → 𝐴𝐴)
43anidms 567 1 (𝐴𝑉𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106   class class class wbr 5148   I cid 5573  cres 5678  1-1-ontowf1o 6542  cen 8938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8942
This theorem is referenced by:  enref  8983  eqeng  8984  domrefg  8985  difsnen  9055  sdomirr  9116  mapdom1  9144  mapdom2  9150  rneqdmfinf1o  9330  infdifsn  9654  infdiffi  9655  onenon  9946  cardonle  9954  dju1en  10168  xpdjuen  10176  mapdjuen  10177  onadju  10190  nnadju  10194  ssfin4  10307  canthp1lem1  10649  gchhar  10676  hashfac  14423  mreexexlem3d  17594  cyggenod  19793  mdetunilem8  22341  frlmpwfi  42142  fiuneneq  42241  enrelmap  43050
  Copyright terms: Public domain W3C validator