Theorem enrefg 8227

Description: Equinumerosity is reflexive. Theorem 1 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 18-Jun-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enrefg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem enrefg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6393	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴
2		f1oen2g 8212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ( I ↾ 𝐴):𝐴–1-1-onto→𝐴) → 𝐴 ≈ 𝐴)
3	1, 2	mp3an3 1575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ≈ 𝐴)
4	3	anidms 563	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843   I cid 5219   ↾ cres 5314  –1-1-onto→wf1o 6100   ≈ cen 8192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-en 8196

This theorem is referenced by:  enref  8228  eqeng  8229  domrefg  8230  difsnen  8284  sdomirr  8339  mapdom1  8367  mapdom2  8373  onfin  8393  ssnnfi  8421  rneqdmfinf1o  8484  infdifsn  8804  infdiffi  8805  onenon  9061  cardonle  9069  cda1en  9285  xpcdaen  9293  mapcdaen  9294  onacda  9307  ssfin4  9420  canthp1lem1  9762  gchhar  9789  hashfac  13491  mreexexlem3d  16621  cyggenod  18601  fidomndrnglem  19629  mdetunilem8  20751  frlmpwfi  38453  fiuneneq  38560  enrelmap  39073