Theorem endom 8975

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 8973	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 5194	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5149   ≈ cen 8936   ≼ cdom 8937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-f1o 6551  df-en 8940  df-dom 8941

This theorem is referenced by:  bren2  8979  domrefg  8983  endomtr  9008  domentr  9009  domunsncan  9072  sbthb  9094  dom0  9102  sdomentr  9111  ensdomtr  9113  domtriord  9123  domunsn  9127  xpen  9140  sdomdomtrfi  9204  domsdomtrfi  9205  sucdom2  9206  php  9210  php3  9212  onomeneq  9228  0sdom1dom  9238  rex2dom  9246  unxpdom2  9254  sucxpdom  9255  f1finf1o  9271  findcard3  9285  wdomen1  9571  wdomen2  9572  fidomtri2  9989  prdom2  10001  acnen  10048  acnen2  10050  alephdom  10076  alephinit  10090  undjudom  10162  pwdjudom  10211  fin1a2lem11  10405  hsmexlem1  10421  gchdomtri  10624  gchdjuidm  10663  gchxpidm  10664  gchpwdom  10665  gchhar  10674  gruina  10813  nnct  13946  odinf  19431  hauspwdom  23005  ufildom1  23430  iscmet3  24810  mbfaddlem  25177  ctbssinf  36287  pibt2  36298  heiborlem3  36681  zct  43748  qct  44072  caratheodory  45244