Theorem endom 8519

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 8517	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 5075	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5030   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-f1o 6331  df-en 8493  df-dom 8494

This theorem is referenced by:  bren2  8523  domrefg  8527  endomtr  8550  domentr  8551  domunsncan  8600  sbthb  8622  sdomentr  8635  ensdomtr  8637  domtriord  8647  domunsn  8651  xpen  8664  unxpdom2  8710  sucxpdom  8711  wdomen1  9024  wdomen2  9025  fidomtri2  9407  prdom2  9417  acnen  9464  acnen2  9466  alephdom  9492  alephinit  9506  undjudom  9578  pwdjudom  9627  fin1a2lem11  9821  hsmexlem1  9837  gchdomtri  10040  gchdjuidm  10079  gchxpidm  10080  gchpwdom  10081  gchhar  10090  gruina  10229  nnct  13344  odinf  18682  hauspwdom  22106  ufildom1  22531  iscmet3  23897  mbfaddlem  24264  ctbssinf  34823  pibt2  34834  heiborlem3  35251  zct  41695  qct  41994  caratheodory  43167