Theorem endom 8722

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 8720	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 5115	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5070   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-f1o 6425  df-en 8692  df-dom 8693

This theorem is referenced by:  bren2  8726  domrefg  8730  endomtr  8753  domentr  8754  domunsncan  8812  sbthb  8834  sdomentr  8847  ensdomtr  8849  domtriord  8859  domunsn  8863  xpen  8876  unxpdom2  8960  sucxpdom  8961  wdomen1  9265  wdomen2  9266  fidomtri2  9683  prdom2  9693  acnen  9740  acnen2  9742  alephdom  9768  alephinit  9782  undjudom  9854  pwdjudom  9903  fin1a2lem11  10097  hsmexlem1  10113  gchdomtri  10316  gchdjuidm  10355  gchxpidm  10356  gchpwdom  10357  gchhar  10366  gruina  10505  nnct  13629  odinf  19085  hauspwdom  22560  ufildom1  22985  iscmet3  24362  mbfaddlem  24729  ctbssinf  35504  pibt2  35515  heiborlem3  35898  zct  42498  qct  42791  caratheodory  43956