Theorem endom 8993

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 8991	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 5164	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   class class class wbr 5119   ≈ cen 8956   ≼ cdom 8957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-rel 5661  df-f1o 6538  df-en 8960  df-dom 8961

This theorem is referenced by:  bren2  8997  domrefg  9001  endomtr  9026  domentr  9027  domunsncan  9086  sbthb  9108  dom0  9116  sdomentr  9125  ensdomtr  9127  domtriord  9137  domunsn  9141  xpen  9154  sdomdomtrfi  9215  domsdomtrfi  9216  sucdom2  9217  php  9221  php3  9223  onomeneq  9237  0sdom1dom  9246  rex2dom  9254  unxpdom2  9262  sucxpdom  9263  f1finf1o  9277  findcard3  9290  fodomfi  9322  wdomen1  9590  wdomen2  9591  fidomtri2  10008  prdom2  10020  acnen  10067  acnen2  10069  alephdom  10095  alephinit  10109  undjudom  10182  pwdjudom  10229  fin1a2lem11  10424  hsmexlem1  10440  gchdomtri  10643  gchdjuidm  10682  gchxpidm  10683  gchpwdom  10684  gchhar  10693  gruina  10832  nnct  13999  odinf  19544  hauspwdom  23439  ufildom1  23864  iscmet3  25245  mbfaddlem  25613  ctbssinf  37424  pibt2  37435  heiborlem3  37837  zct  45085  qct  45389  caratheodory  46557