Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1ocnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnt 30875
Description: Given a countable set 𝐴, number its elements by providing a one-to-one mapping either with or an integer range starting from 1. The domain of the function can then be used with iundisjcnt 30871 or iundisj2cnt 30872. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnt (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem f1ocnt
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1o0 6719 . . . . . . 7 ∅:∅–1-1-onto→∅
2 eqidd 2740 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ∅ = ∅)
3 dm0 5807 . . . . . . . . 9 dom ∅ = ∅
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → dom ∅ = ∅)
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
62, 4, 5f1oeq123d 6677 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
71, 6mpbiri 261 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → ∅:dom ∅–1-1-onto𝐴)
8 fveq2 6739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = (♯‘∅))
9 hash0 13967 . . . . . . . . . . . . 13 (♯‘∅) = 0
108, 9eqtrdi 2796 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → (♯‘𝐴) = 0)
1110oveq1d 7250 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 11982 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
1311, 12eqtrdi 2796 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → ((♯‘𝐴) + 1) = 1)
1413oveq2d 7251 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (1..^((♯‘𝐴) + 1)) = (1..^1))
15 fzo0 13296 . . . . . . . . 9 (1..^1) = ∅
1614, 15eqtrdi 2796 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (1..^((♯‘𝐴) + 1)) = ∅)
174, 16eqtr4d 2782 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))
1817olcd 874 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))
197, 18jca 515 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ∧ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
20 0ex 5217 . . . . . 6 ∅ ∈ V
21 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → 𝑓 = ∅)
22 dmeq 5790 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → dom 𝑓 = dom ∅)
23 eqidd 2740 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → 𝐴 = 𝐴)
2421, 22, 23f1oeq123d 6677 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ↔ ∅:dom ∅–1-1-onto𝐴))
2522eqeq1d 2741 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (dom 𝑓 = ℕ ↔ dom ∅ = ℕ))
2622eqeq1d 2741 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)) ↔ dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))
2725, 26orbi12d 919 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → ((dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1))) ↔ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
2824, 27anbi12d 634 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → ((𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))) ↔ (∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ∧ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))))
2920, 28spcev 3536 . . . . 5 ((∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ∧ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
3019, 29syl 17 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
3130adantl 485 . . 3 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
32 f1odm 6687 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = (1...(♯‘𝐴)))
3332f1oeq2d 6679 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴))
3433ibir 271 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)
3534adantl 485 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)
3632adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → dom 𝑓 = (1...(♯‘𝐴)))
37 simpl 486 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
3837nnzd 12311 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
39 fzval3 13341 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (1...(♯‘𝐴)) = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (1...(♯‘𝐴)) = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))
4136, 40eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))
4241olcd 874 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))
4335, 42jca 515 . . . . . . 7 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
4443ex 416 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))))
4544eximdv 1925 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))))
4645imp 410 . . . 4 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
4746adantl 485 . . 3 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
48 fz1f1o 15307 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
4948adantl 485 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(♯‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5031, 47, 49mpjaodan 959 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
51 isfinite 9297 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
5251notbii 323 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
5352biimpi 219 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ≺ ω)
5453anim2i 620 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
55 bren2 8685 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
5654, 55sylibr 237 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ ω)
57 nnenom 13585 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
5857ensymi 8704 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
59 entr 8706 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≈ ℕ)
6056, 58, 59sylancl 589 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ ℕ)
61 bren 8660 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto→ℕ)
6260, 61sylib 221 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto→ℕ)
63 f1oexbi 7728 . . . 4 (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto→ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴)
6462, 63sylib 221 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴)
65 f1odm 6687 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = ℕ)
6665f1oeq2d 6679 . . . . . 6 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴))
6766ibir 271 . . . . 5 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)
6865orcd 873 . . . . 5 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1))))
6967, 68jca 515 . . . 4 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
7069eximi 1842 . . 3 (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
7164, 70syl 17 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
7250, 71pm2.61dan 813 1 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((♯‘𝐴) + 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wo 847   = wceq 1543  wex 1787  wcel 2112  c0 4254   class class class wbr 5070  dom cdm 5569  1-1-ontowf1o 6400  cfv 6401  (class class class)co 7235  ωcom 7666  cen 8647  cdom 8648  csdm 8649  Fincfn 8650  0cc0 10759  1c1 10760   + caddc 10762  cn 11860  cz 12206  ...cfz 13125  ..^cfzo 13268  chash 13929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-inf2 9286  ax-cnex 10815  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-1st 7783  df-2nd 7784  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-1o 8226  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-fin 8654  df-card 9585  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-nn 11861  df-n0 12121  df-z 12207  df-uz 12469  df-fz 13126  df-fzo 13269  df-hash 13930
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator