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Theorem lindsenlbs 36471
Description: A maximal linearly independent set in a free module of finite dimension over a division ring is a basis. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
lindsenlbs (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋 ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem lindsenlbs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1193 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2 drngring 20314 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
43frlmlmod 21295 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
52, 4sylan 580 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
6 eqid 2732 . . . . . . 7 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
76linds1 21356 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
96, 8lspssv 20586 . . . . . 6 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
105, 7, 9syl2an 596 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
11103impa 1110 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1211adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 bren2 8975 . . . . . . 7 (𝑋𝐼 ↔ (𝑋𝐼 ∧ ¬ 𝑋𝐼))
1413simprbi 497 . . . . . 6 (𝑋𝐼 → ¬ 𝑋𝐼)
15 snfi 9040 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦} ∈ Fin
16 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝐼 ∈ Fin)
17 lindsdom 36470 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋𝐼)
18 domfi 9188 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋 ∈ Fin)
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ∈ Fin)
20 unfi 9168 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦} ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ Fin)
2115, 19, 20sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ Fin)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ Fin)
23 vex 3478 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
2423snss 4788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑋 ↔ {𝑦} ⊆ 𝑋)
256, 8lspssid 20588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
265, 7, 25syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
27263impa 1110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
2827sseld 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑦𝑋𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
2924, 28biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ({𝑦} ⊆ 𝑋𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
3029con3dimp 409 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ¬ {𝑦} ⊆ 𝑋)
31 nsspssun 4256 . . . . . . . . . . 11 (¬ {𝑦} ⊆ 𝑋𝑋 ⊊ ({𝑦} ∪ 𝑋))
3230, 31sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → 𝑋 ⊊ ({𝑦} ∪ 𝑋))
33 php3 9208 . . . . . . . . . 10 ((({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ Fin ∧ 𝑋 ⊊ ({𝑦} ∪ 𝑋)) → 𝑋 ≺ ({𝑦} ∪ 𝑋))
3422, 32, 33syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → 𝑋 ≺ ({𝑦} ∪ 𝑋))
3534adantrl 714 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → 𝑋 ≺ ({𝑦} ∪ 𝑋))
36 simpl1 1191 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → 𝑅 ∈ DivRing)
37 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → 𝐼 ∈ Fin)
38 snssi 4810 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → {𝑦} ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
3938adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → {𝑦} ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4073ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
41 unss 4183 . . . . . . . . . . . 12 (({𝑦} ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4241biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (({𝑦} ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4339, 40, 42syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
4528con3dimp 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ¬ 𝑦𝑋)
46 difsn 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑦𝑋 → (𝑋 ∖ {𝑦}) = 𝑋)
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → (𝑋 ∖ {𝑦}) = 𝑋)
4847fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) = ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
4944, 48neleqtrrd 2856 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
5049adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
51 difsnid 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧𝑋 → ((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧}) = 𝑋)
5251fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧𝑋 → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) = ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
5352eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝑋 → (𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) ↔ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
5453notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝑋 → (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
5554biimparc 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
5655adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
573frlmsca 21299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
58 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
5957, 58eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing)
60 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
6160islvec 20707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ DivRing))
625, 59, 61sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
63623adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
6463ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
657ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
66653ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
6766ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → (𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
68 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
69 difundir 4279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) = (({𝑦} ∖ {𝑧}) ∪ (𝑋 ∖ {𝑧}))
7069equncomi 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) = ((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ ({𝑦} ∖ {𝑧}))
71 elsni 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 ∈ {𝑦} → 𝑧 = 𝑦)
7271eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ {𝑦} → (𝑧𝑋𝑦𝑋))
7372notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 ∈ {𝑦} → (¬ 𝑧𝑋 ↔ ¬ 𝑦𝑋))
7445, 73syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → (𝑧 ∈ {𝑦} → ¬ 𝑧𝑋))
7574con2d 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → (𝑧𝑋 → ¬ 𝑧 ∈ {𝑦}))
7675imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ {𝑦})
77 difsn 4800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑧 ∈ {𝑦} → ({𝑦} ∖ {𝑧}) = {𝑦})
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ({𝑦} ∖ {𝑧}) = {𝑦})
7978uneq2d 4162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ ({𝑦} ∖ {𝑧})) = ((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦}))
8070, 79eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) = ((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦}))
8180fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) = ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦})))
8281eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦}))))
8382adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦}))))
8483biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦})))
85 drngnzr 20327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ NzRing)
8757, 86eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing)
885, 87jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing))
8988anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
90893impa 1110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
918, 60lindsind2 21365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑧})))
92913expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ NzRing) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑧})))
9390, 92sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑧})))
9493ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑧})))
9584, 94eldifd 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → 𝑧 ∈ (((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑧}))))
96 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
976, 96, 8lspsolv 20748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ∧ ((𝑋 ∖ {𝑧}) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑧 ∈ (((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑦})) ∖ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑧}))))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
9864, 67, 68, 95, 97syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘((𝑋 ∖ {𝑧}) ∪ {𝑧})))
9956, 98mtand 814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})))
10099ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ∀𝑧𝑋 ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})))
101 ralunb 4190 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋) ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ (∀𝑧 ∈ {𝑦} ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∧ ∀𝑧𝑋 ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
102 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑦𝑧 = 𝑦)
103 sneq 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 = 𝑦 → {𝑧} = {𝑦})
104103difeq2d 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = 𝑦 → (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) = (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑦}))
105 uncom 4152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ({𝑦} ∪ 𝑋) = (𝑋 ∪ {𝑦})
106105difeq1i 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑦}) = ((𝑋 ∪ {𝑦}) ∖ {𝑦})
107 difun2 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∪ {𝑦}) ∖ {𝑦}) = (𝑋 ∖ {𝑦})
108106, 107eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑦}) = (𝑋 ∖ {𝑦})
109104, 108eqtrdi 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 = 𝑦 → (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) = (𝑋 ∖ {𝑦}))
110109fveq2d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑦 → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) = ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
111102, 110eleq12d 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
112111notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑦 → (¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦}))))
11323, 112ralsn 4684 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑧 ∈ {𝑦} ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})))
114113anbi1i 624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑧 ∈ {𝑦} ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∧ ∀𝑧𝑋 ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ∧ ∀𝑧𝑋 ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
115101, 114bitri 274 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋) ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(𝑋 ∖ {𝑦})) ∧ ∀𝑧𝑋 ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
11650, 100, 115sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋) ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})))
117116ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) → ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋) ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
11863ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec)
119 eldifsn 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ↔ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
120119biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
121120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))))
12238, 7, 42syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1231223ad2antl3 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
124123sselda 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) → 𝑧 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
125124adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → 𝑧 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
126 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
127 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
128 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1296, 60, 126, 127, 128, 8lspsnvs 20719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LVec ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ≠ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{(𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧)}) = ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{𝑧}))
130118, 121, 125, 129syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{(𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧)}) = ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{𝑧}))
131130sseq1d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{(𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧)}) ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{𝑧}) ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
13253adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
133132ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
134 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
135122ssdifssd 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1366, 96, 8lspcl 20579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ (({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∈ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1375, 135, 136syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∈ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
138137anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∈ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
139134, 138sylanb 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∈ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
140139ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∈ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
141 eldifi 4125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
142141adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1436, 60, 126, 127lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
144133, 142, 125, 143syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1456, 96, 8, 133, 140, 144lspsnel5 20598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → ((𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{(𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧)}) ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
146132ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
147139adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ∈ (LSubSp‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1486, 96, 8, 146, 147, 124lspsnel5 20598 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) → (𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{𝑧}) ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘{𝑧}) ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
150131, 145, 1493bitr4rd 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
151150notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) ↔ ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
152151biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})) → (¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) → ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
153152ralrimdva 3154 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)) → (¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) → ∀𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
154153ralimdva 3167 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋) ¬ 𝑧 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})) → ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)∀𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
155117, 154syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) → ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)∀𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
156155impr 455 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)∀𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})))
157 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ V
1586, 126, 8, 60, 127, 128islinds2 21359 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ V → (({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)∀𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧})))))
159157, 158ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (({𝑦} ∪ 𝑋) ⊆ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ∀𝑧 ∈ ({𝑦} ∪ 𝑋)∀𝑥 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}) ¬ (𝑥( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))𝑧) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘(({𝑦} ∪ 𝑋) ∖ {𝑧}))))
16043, 156, 159sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
161 lindsdom 36470 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ ({𝑦} ∪ 𝑋) ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ≼ 𝐼)
16236, 37, 160, 161syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → ({𝑦} ∪ 𝑋) ≼ 𝐼)
163 sdomdomtr 9106 . . . . . . . 8 ((𝑋 ≺ ({𝑦} ∪ 𝑋) ∧ ({𝑦} ∪ 𝑋) ≼ 𝐼) → 𝑋𝐼)
16435, 162, 163syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))) → 𝑋𝐼)
165164stoic1a 1774 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ ¬ 𝑋𝐼) → ¬ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
16614, 165sylan2 593 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → ¬ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
167 iman 402 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)) ↔ ¬ (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ¬ 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
168166, 167sylibr 233 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → (𝑦 ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑦 ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋)))
169168ssrdv 3987 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ⊆ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋))
17012, 169eqssd 3998 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
171 eqid 2732 . . 3 (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
1726, 171, 8islbs4 21378 . 2 (𝑋 ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod 𝐼))‘𝑋) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1731, 170, 172sylanbrc 583 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ (LIndS‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑋𝐼) → 𝑋 ∈ (LBasis‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  Vcvv 3474  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  wpss 3948  {csn 4627   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7405  cen 8932  cdom 8933  csdm 8934  Fincfn 8935  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  NzRingcnzr 20283  DivRingcdr 20307  LModclmod 20463  LSubSpclss 20534  LSpanclspn 20574  LBasisclbs 20677  LVecclvec 20705   freeLMod cfrlm 21292  LIndSclinds 21351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-mri 17528  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-nzr 20284  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lmhm 20625  df-lbs 20678  df-lvec 20706  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-uvc 21329  df-lindf 21352  df-linds 21353
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