MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdainflem 10131
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 9265 . . . 4 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)
2 sdomnen 8927 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≺ ω → ¬ (𝐴𝐵) ≈ ω)
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ¬ (𝐴𝐵) ≈ ω)
43con2i 139 . 2 ((𝐴𝐵) ≈ ω → ¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω))
5 ianor 981 . . 3 (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) ↔ (¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω))
6 relen 8894 . . . . . . . . . 10 Rel ≈
76brrelex1i 5692 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴𝐵) ∈ V)
8 ssun1 4136 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
9 ssdomg 8946 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
11 domentr 8959 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1210, 11mpancom 687 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ ω)
1312anim1i 616 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14 bren2 8929 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
1513, 14sylibr 233 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1615ex 414 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
17 ssun2 4137 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
18 ssdomg 8946 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵)))
197, 17, 18mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
20 domentr 8959 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
2119, 20mpancom 687 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ ω)
2221anim1i 616 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
23 bren2 8929 . . . . . 6 (𝐵 ≈ ω ↔ (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
2422, 23sylibr 233 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → 𝐵 ≈ ω)
2524ex 414 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐵 ≺ ω → 𝐵 ≈ ω))
2616, 25orim12d 964 . . 3 ((𝐴𝐵) ≈ ω → ((¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
275, 26biimtrid 241 . 2 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
284, 27mpd 15 1 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  wo 846  wcel 2107  Vcvv 3447  cun 3912  wss 3914   class class class wbr 5109  ωcom 7806  cen 8886  cdom 8887  csdm 8888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893
This theorem is referenced by:  djuinf  10132
  Copyright terms: Public domain W3C validator