MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cdainflem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdainflem 9300
Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cdainflem ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))

Proof of Theorem cdainflem
StepHypRef Expression
1 unfi2 8470 . . . 4 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴𝐵) ≺ ω)
2 sdomnen 8223 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≺ ω → ¬ (𝐴𝐵) ≈ ω)
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ¬ (𝐴𝐵) ≈ ω)
43con2i 137 . 2 ((𝐴𝐵) ≈ ω → ¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω))
5 ianor 1005 . . 3 (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) ↔ (¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω))
6 relen 8199 . . . . . . . . . 10 Rel ≈
76brrelex1i 5362 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴𝐵) ∈ V)
8 ssun1 3973 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
9 ssdomg 8240 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵)))
107, 8, 9mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ (𝐴𝐵))
11 domentr 8253 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1210, 11mpancom 680 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ ω)
1312anim1i 609 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14 bren2 8225 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
1513, 14sylibr 226 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
1615ex 402 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
17 ssun2 3974 . . . . . . . . 9 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
18 ssdomg 8240 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐵 ⊆ (𝐴𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵)))
197, 17, 18mpisyl 21 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ (𝐴𝐵))
20 domentr 8253 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≼ (𝐴𝐵) ∧ (𝐴𝐵) ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
2119, 20mpancom 680 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ ω)
2221anim1i 609 . . . . . 6 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
23 bren2 8225 . . . . . 6 (𝐵 ≈ ω ↔ (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
2422, 23sylibr 226 . . . . 5 (((𝐴𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → 𝐵 ≈ ω)
2524ex 402 . . . 4 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐵 ≺ ω → 𝐵 ≈ ω))
2616, 25orim12d 988 . . 3 ((𝐴𝐵) ≈ ω → ((¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
275, 26syl5bi 234 . 2 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
284, 27mpd 15 1 ((𝐴𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wo 874  wcel 2157  Vcvv 3384  cun 3766  wss 3768   class class class wbr 4842  ωcom 7298  cen 8191  cdom 8192  csdm 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-oadd 7802  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198
This theorem is referenced by:  cdainf  9301
  Copyright terms: Public domain W3C validator