Theorem cdainflem 10271

Description: Any partition of omega into two pieces (which may be disjoint) contains an infinite subset. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cdainflem	⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))

Proof of Theorem cdainflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfi2 9307	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω)
2		sdomnen 9013	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≺ ω → ¬ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → ¬ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω)
4	3	con2i 140	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → ¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω))
5		ianor 997	. . 3 ⊢ (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) ↔ (¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω))
6		relen 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≈
7	6	brrelex1i 5706	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
8		ssun1 4175	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
9		ssdomg 9032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
10	7, 8, 9	mpisyl 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
11		domentr 9045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
12	10, 11	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → 𝐴 ≼ ω)
13	12	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
14		bren2 9015	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω) → 𝐴 ≈ ω)
16	15	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐴 ≺ ω → 𝐴 ≈ ω))
17		ssun2 4176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵)
18		ssdomg 9032	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → (𝐵 ⊆ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝐵 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵)))
19	7, 17, 18	mpisyl 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵))
20		domentr 9045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ≼ (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ (𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω) → 𝐵 ≼ ω)
21	19, 20	mpancom 701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → 𝐵 ≼ ω)
22	21	anim1i 627	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
23		bren2 9015	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ ω ↔ (𝐵 ≼ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω))
24	22, 23	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω ∧ ¬ 𝐵 ≺ ω) → 𝐵 ≈ ω)
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → (¬ 𝐵 ≺ ω → 𝐵 ≈ ω))
26	16, 25	orim12d 979	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → ((¬ 𝐴 ≺ ω ∨ ¬ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
27	5, 26	biimtrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → (¬ (𝐴 ≺ ω ∧ 𝐵 ≺ ω) → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω)))
28	4, 27	mpd 16	1 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ≈ ω → (𝐴 ≈ ω ∨ 𝐵 ≈ ω))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∪ cun 4148   class class class wbr 5102  ωcom 7879   ≈ cen 8975   ≼ cdom 8976   ≺ csdm 8977

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-ov 7425  df-om 7880  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982

This theorem is used by:  djuinf  10272