Theorem satefvfmla1 34019

Description: The simplified satisfaction predicate at two Godel-sets of membership combined with a Godel-set for NAND. (Contributed by AV, 17-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
satfv1fvfmla1.x	⊢ 𝑋 = ((𝐼∈𝑔𝐽)⊼𝑔(𝐾∈𝑔𝐿))

Assertion

Ref	Expression
satefvfmla1	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})

Distinct variable groups:   𝐼,𝑎   𝐽,𝑎   𝐾,𝑎   𝐿,𝑎   𝑀,𝑎   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem satefvfmla1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satfv1fvfmla1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ((𝐼∈𝑔𝐽)⊼𝑔(𝐾∈𝑔𝐿))
2	1	ovexi 7391	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	jctr 525	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V))
4	3	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V))
5		satefv 34008	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋))
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋))
7		sqxpexg 7689	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
8		inex2g 5277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
10	9	ancli 549	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12		satom 33950	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖))
13	11, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖))
14	13	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋) = (∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)‘𝑋))
15		satfun 34005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))
16	11, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))
17	16	ffund 6672	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → Fun ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω))
18	13	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) = ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω))
19	18	funeqd 6523	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (Fun ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) ↔ Fun ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)))
20	17, 19	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → Fun ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖))
21		1onn 8586	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 1o ∈ ω)
23	1	2goelgoanfmla1 34018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 𝑋 ∈ (Fmla‘1o))
24	23	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 𝑋 ∈ (Fmla‘1o))
25	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 1o ∈ ω)
26		satfdmfmla 33994	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o) = (Fmla‘1o))
27	9, 25, 26	mpd3an23 1463	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o) = (Fmla‘1o))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o) = (Fmla‘1o))
29	24, 28	eleqtrrd 2841	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 𝑋 ∈ dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o))
30		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)
31	30	fviunfun 7877	. . . 4 ⊢ ((Fun ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) ∧ 1o ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)) → (∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)‘𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋))
32	20, 22, 29, 31	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)‘𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋))
33	14, 32	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋))
34	1	satfv1fvfmla1 34017	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿))})
35	10, 34	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿))})
36		brin 5157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ↔ ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ∧ (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽)))
37		elmapi 8787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → 𝑎:ω⟶𝑀)
38		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐼 ∈ ω) → (𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀)
39	38	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐼 ∈ ω → (𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀))
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐼 ∈ ω → (𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀))
41		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)
42	41	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐽 ∈ ω → (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
43	37, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐽 ∈ ω → (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
44	40, 43	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)))
45	44	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)))
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)))
47	46	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
48		brxp 5681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽) ↔ ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
49	47, 48	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽))
50	49	biantrud 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ↔ ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ∧ (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽))))
51		fvex 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎‘𝐽) ∈ V
52	51	epeli 5539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ↔ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽))
53	50, 52	bitr3di 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ∧ (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽)) ↔ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽)))
54	36, 53	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ↔ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽)))
55	54	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ↔ ¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽)))
56		brin 5157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿) ↔ ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ∧ (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿)))
57		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀)
58	57	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐾 ∈ ω → (𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀))
59	37, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐾 ∈ ω → (𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀))
60		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)
61	60	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐿 ∈ ω → (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
62	37, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐿 ∈ ω → (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
63	59, 62	anim12d 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)))
64	63	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)))
65	64	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)))
66	65	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
67		brxp 5681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿) ↔ ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
68	66, 67	sylibr 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿))
69	68	biantrud 532	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ↔ ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ∧ (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿))))
70		fvex 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎‘𝐿) ∈ V
71	70	epeli 5539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ↔ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))
72	69, 71	bitr3di 285	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ∧ (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿)) ↔ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿)))
73	56, 72	bitrid 282	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿) ↔ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿)))
74	73	notbid 317	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿) ↔ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿)))
75	55, 74	orbi12d 917	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))))
76	75	rabbidva 3414	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿))} = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})
77	35, 76	eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})
78	6, 33, 77	3eqtrd 2780	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3407  Vcvv 3445   ∩ cin 3909  𝒫 cpw 4560  ∪ ciun 4954   class class class wbr 5105   E cep 5536   × cxp 5631  dom cdm 5633  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ωcom 7802  1_oc1o 8405   ↑_m cmap 8765  ∈_𝑔cgoe 33927  ⊼_𝑔cgna 33928   Sat csat 33930  Fmlacfmla 33931   Sat_∈ csate 33932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9875  df-ac 10052  df-goel 33934  df-gona 33935  df-goal 33936  df-sat 33937  df-sate 33938  df-fmla 33939

This theorem is referenced by:  elnanelprv  34023