Theorem satefvfmla1 36276

Description: The simplified satisfaction predicate at two Godel-sets of membership combined with a Godel-set for NAND. (Contributed by AV, 17-Nov-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
satfv1fvfmla1.x	⊢ 𝑋 = ((𝐼∈𝑔𝐽)⊼𝑔(𝐾∈𝑔𝐿))

Assertion

Ref	Expression
satefvfmla1	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})

Distinct variable groups:   𝐼,𝑎   𝐽,𝑎   𝐾,𝑎   𝐿,𝑎   𝑀,𝑎   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem satefvfmla1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		satfv1fvfmla1.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = ((𝐼∈𝑔𝐽)⊼𝑔(𝐾∈𝑔𝐿))
2	1	ovexi 7454	. . . . 5 ⊢ 𝑋 ∈ V
3	2	jctr 534	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V))
4	3	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V))
5		satefv 36265	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ V) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋))
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋))
7		sqxpexg 7769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 × 𝑀) ∈ V)
8		inex2g 5279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 × 𝑀) ∈ V → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V)
10	9	ancli 558	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
11	10	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V))
12		satom 36207	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖))
13	11, 12	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖))
14	13	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋) = (∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)‘𝑋))
15		satfun 36262	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))
16	11, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω):(Fmla‘ω)⟶𝒫 (𝑀 ↑m ω))
17	16	ffund 6714	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → Fun ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω))
18	13	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) = ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω))
19	18	funeqd 6561	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (Fun ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) ↔ Fun ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)))
20	17, 19	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → Fun ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖))
21		1onn 8652	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ ω
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 1o ∈ ω)
23	1	2goelgoanfmla1 36275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 𝑋 ∈ (Fmla‘1o))
24	23	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 𝑋 ∈ (Fmla‘1o))
25	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → 1o ∈ ω)
26		satfdmfmla 36251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V ∧ 1o ∈ ω) → dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o) = (Fmla‘1o))
27	9, 25, 26	mpd3an23 1492	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o) = (Fmla‘1o))
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o) = (Fmla‘1o))
29	24, 28	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → 𝑋 ∈ dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o))
30		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)
31	30	fviunfun 7957	. . . 4 ⊢ ((Fun ∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖) ∧ 1o ∈ ω ∧ 𝑋 ∈ dom ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)) → (∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)‘𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋))
32	20, 22, 29, 31	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (∪ 𝑖 ∈ ω ((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘𝑖)‘𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋))
33	14, 32	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘ω)‘𝑋) = (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋))
34	1	satfv1fvfmla1 36274	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)) ∈ V) ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿))})
35	10, 34	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿))})
36		brin 5156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ↔ ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ∧ (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽)))
37		elmapi 8872	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → 𝑎:ω⟶𝑀)
38		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐼 ∈ ω) → (𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀)
39	38	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐼 ∈ ω → (𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀))
40	37, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐼 ∈ ω → (𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀))
41		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)
42	41	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐽 ∈ ω → (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
43	37, 42	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐽 ∈ ω → (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
44	40, 43	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)))
45	44	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)))
46	45	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀)))
47	46	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
48		brxp 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽) ↔ ((𝑎‘𝐼) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐽) ∈ 𝑀))
49	47, 48	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽))
50	49	biantrud 541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ↔ ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ∧ (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽))))
51		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎‘𝐽) ∈ V
52	51	epeli 5552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ↔ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽))
53	50, 52	bitr3di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (((𝑎‘𝐼) E (𝑎‘𝐽) ∧ (𝑎‘𝐼)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐽)) ↔ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽)))
54	36, 53	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ↔ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽)))
55	54	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ↔ ¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽)))
56		brin 5156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿) ↔ ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ∧ (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿)))
57		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐾 ∈ ω) → (𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀)
58	57	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐾 ∈ ω → (𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀))
59	37, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐾 ∈ ω → (𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀))
60		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎:ω⟶𝑀 ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)
61	60	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎:ω⟶𝑀 → (𝐿 ∈ ω → (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
62	37, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → (𝐿 ∈ ω → (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
63	59, 62	anim12d 621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)))
64	63	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)))
65	64	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀)))
66	65	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
67		brxp 5699	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿) ↔ ((𝑎‘𝐾) ∈ 𝑀 ∧ (𝑎‘𝐿) ∈ 𝑀))
68	66, 67	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿))
69	68	biantrud 541	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ↔ ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ∧ (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿))))
70		fvex 6898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎‘𝐿) ∈ V
71	70	epeli 5552	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ↔ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))
72	69, 71	bitr3di 289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (((𝑎‘𝐾) E (𝑎‘𝐿) ∧ (𝑎‘𝐾)(𝑀 × 𝑀)(𝑎‘𝐿)) ↔ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿)))
73	56, 72	bitrid 286	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿) ↔ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿)))
74	73	notbid 321	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → (¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿) ↔ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿)))
75	55, 74	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) ∧ 𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω)) → ((¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿)) ↔ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))))
76	75	rabbidva 3418	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾)( E ∩ (𝑀 × 𝑀))(𝑎‘𝐿))} = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})
77	35, 76	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (((𝑀 Sat ( E ∩ (𝑀 × 𝑀)))‘1o)‘𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})
78	6, 33, 77	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ (𝐼 ∈ ω ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ (𝐾 ∈ ω ∧ 𝐿 ∈ ω)) → (𝑀 Sat∈ 𝑋) = {𝑎 ∈ (𝑀 ↑m ω) ∣ (¬ (𝑎‘𝐼) ∈ (𝑎‘𝐽) ∨ ¬ (𝑎‘𝐾) ∈ (𝑎‘𝐿))})

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   E cep 5549   × cxp 5648  dom cdm 5650  Fun wfun 6532  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ωcom 7877  1_oc1o 8472   ↑_m cmap 8850  ∈_𝑔cgoe 36184  ⊼_𝑔cgna 36185   Sat csat 36187  Fmlacfmla 36188   Sat_∈ csate 36189

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-ac2 10544

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-ac 10198  df-goel 36191  df-gona 36192  df-goal 36193  df-sat 36194  df-sate 36195  df-fmla 36196

This theorem is used by:  elnanelprv  36280