Theorem ffthf1o 18002

Description: The morphism map of a fully faithful functor is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
ffthf1o.f	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺)
ffthf1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ffthf1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffthf1o	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ffthf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfth.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isfth.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
4		ffthf1o.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺)
5		brin 5165	. . . . 5 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
6	4, 5	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
7	6	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
8		ffthf1o.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ffthf1o.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	fthf1 18000	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
11	6	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12	1, 3, 2, 11, 8, 9	fullfo 17995	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
13		df-f1o 6547	. 2 ⊢ ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ∧ (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))
14	10, 12, 13	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∩ cin 3905   class class class wbr 5111  –1-1→wf1 6537  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  Hom chom 17345   Full cful 17985   Faith cfth 17986

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8832  df-ixp 8902  df-func 17939  df-full 17987  df-fth 17988

This theorem is used by:  catcisolem  18191  uptrlem1  50047  uptrar  50053  uptr2  50058