Theorem ffthf1o 17908

Description: The morphism map of a fully faithful functor is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
ffthf1o.f	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺)
ffthf1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ffthf1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffthf1o	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ffthf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfth.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isfth.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
4		ffthf1o.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺)
5		brin 5200	. . . . 5 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
6	4, 5	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
7	6	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
8		ffthf1o.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ffthf1o.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	fthf1 17906	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
11	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12	1, 3, 2, 11, 8, 9	fullfo 17901	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
13		df-f1o 6555	. 2 ⊢ ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ∧ (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))
14	10, 12, 13	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∩ cin 3946   class class class wbr 5148  –1-1→wf1 6545  –onto→wfo 6546  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Hom chom 17244   Full cful 17891   Faith cfth 17892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-ixp 8917  df-func 17844  df-full 17893  df-fth 17894

This theorem is referenced by:  catcisolem  18099