Theorem ffthf1o 17883

Description: The morphism map of a fully faithful functor is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
isfth.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
isfth.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
isfth.j	⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
ffthf1o.f	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺)
ffthf1o.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ffthf1o.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ffthf1o	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem ffthf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfth.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		isfth.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3		isfth.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Hom ‘𝐷)
4		ffthf1o.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺)
5		brin 5159	. . . . 5 ⊢ (𝐹((𝐶 Full 𝐷) ∩ (𝐶 Faith 𝐷))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
6	4, 5	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺 ∧ 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺))
7	6	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
8		ffthf1o.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		ffthf1o.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	1, 2, 3, 7, 8, 9	fthf1 17881	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
11	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12	1, 3, 2, 11, 8, 9	fullfo 17876	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
13		df-f1o 6518	. 2 ⊢ ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ∧ (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))
14	10, 12, 13	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐺𝑌):(𝑋𝐻𝑌)–1-1-onto→((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   class class class wbr 5107  –1-1→wf1 6508  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Hom chom 17231   Full cful 17866   Faith cfth 17867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-ixp 8871  df-func 17820  df-full 17868  df-fth 17869

This theorem is referenced by:  catcisolem  18072  uptrlem1  49199  uptrar  49205  uptr2  49210